Ch 2 0 重积分的计算及应用 计划课时： 1 2 时 P 254—294 2005. 09 .26. Ch 20 重积分的计算及应用 ( 1 2 时 ) § 0 二重积分概念 ( 2 时 ) 一、 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义 二重积分 . 例 1 用定义计算二重积分 . ∫∫ ]1,0;1,0[ 2 σydx 用直线网 ),1( , , nji n j y n i x ≤≤== 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右 上顶点为介点 . 解 ∑∑∑∑ ∫∫ == ∞→ == ∞→ ==??? ? ? ? ? ? ? = n i n j n n i n j n D ji nnnn j n i 11 2 5 11 2 1 lim 11 lim ∑∑ = ∞→ = ∞→ = + ?++?=?= n i n n j n nn nnn n ji 1 5 1 2 6 1 2 )1( )12)(1( 6 11 limlim . 二 . 可积条件 : D . 大和与小和. = ] , ; , [ dcba Th 1 , . )(DRf ∈ ? ?? ∫∫ = ? DD Th 2 , )(DRf ∈ ? εσωε <Δ??>? ∑ ii T , , 0 . Th 3 在 D 上连续 , ? 在 D 上可积 . f f Th 4 设 ] , [] , [ ba?βα , R→] , [ : βα? 为 ] , [ βα 上的可积函数. ]} , [ , )(|),( { ?∈== βα? xxyyxE D, ( 或 ??∈== ]} , [] , [ , )(|),( { dcyyxyxE μλ? D ) . 若 在 D 上有界 , 且在 D \ f E 上连续 , 则 在 D 上可积 . f 三、一般域上的二重积分： 1．定义： 一般域上的二重积分. 2．可求面积图形 : 用特征函数定义. 例 2 (不可求面积图形的例 ) 四、二重积分的性质 : 性质 1 . ∫∫ = DD fkkf 性质 2 关于函数可加性 . 性质 3 . , intint 2121 DDDDD ∪==∩ φ 则 在 D 上可积 f ? 在 和 可积 , 且 . f 1 D 2 D ∫∫∫ += 21 DDD 性质 4 关于函数单调性 . 性质 5 . ∫∫ ≤ DD ff || || 性质 6 . DMfDmMfm D Δ≤≤Δ?≤≤ ∫ , 性质 7 中值定理 . Th 若区域 D 的边界是由有限条连续曲线 ( ],[ , )( baxxy ∈=? 或 ],[ , )( dcyyx ∈=ψ )组成 , 在 D 上连续 , 则 在 D 上可积 . f f 例 3 去掉积分 中的绝对值 . ∫∫ ? ]1,0;1,0[ 2 || dxdyyx § 1 二重积分的计算 ( 6 时 ) 一 . 化二重积分为累次积分 : 1．矩形域 上的二重积分 : ] , [ ] , [ dcbaD ×= 用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式. 一般结果. 例 3 . ∫∫ × + ]1,0[]1,0[ 2 )( dxdyyx 例 4 ( 8 ) ∫∫ ]3,1;2,0[ xydxdy 2. 简单域上的二重积分 : 简推公式, 一般结果 . 例 5 , ∫∫ D dxdy 3 , 2 , 2 : =+== yxyxxyD . 解 为三角形, 三个顶点为 , D ) 1 , 2 ( , ) 2 , 1 ( , ) 0 , 0 ( ∫∫ D dxdy 2 3 112 121 100 2 1 || === D . Ex P272. 237 例 6 , ∫∫ ? = D y dxdyexI 2 2 xyyxD === , 1 , 0 : . 例 7 求底半径为 R 的两直交圆柱所围立体的体积 . 二 . 二重积分换元: 1. 换元公式 : 设变换 的 Jacobi ),( , ),( vuyyvuxx == 0 ),( ),( ≠ ? ? vu yx , 则 () ∫∫ ∫∫ ′ ? ? = DD dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf ),( ),( ),( , ),(),( , 其中 是在该变换的逆变换 D′ ),( , ),( yxvvyxuu == 下 XY 平面上的区域 在 平面上的象. 由条件 D UV 0 ),( ),( ≠ ? ? vu yx , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换 ),( , ),( yxvvyxuu == , 由此求出变换 .而 ),( , ),( vuyyvuxx == 1 ),( ),( ),( ),( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? yx vu vu yx . 例 8 ∫∫ + ? D yx yx dxdye , 1 , 0 , 0 : =+== yxyxD . 註 当被积函数形如 ) ( ) , ( 1221222111 babacybxacybxaf ≠++++ , 积分 区域为直线型时, 可试用线性变换 222111 , cybxavcybxau ++=++= . 例 9 , ∫∫ dxdyyx 22 D x y x yxyxyD 3 , 1 , 2 , 2 1 : ==== . 解 设 xyv x y u == , . 则 ] 3 , 1 ; 2 , 2 1 [) , ( ∈vu . x y xy xx y yx vu 2 1 ),( ),( 2 = ? = ? ? ， ? uy x vu yx 2 1 2),( ),( == ? ? . 因此 , ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ′ = ? ? ? ? ? ? ? ? ?=?== DD u v u du dvvdudv u v 3 1 2 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 2ln 3 26 ln 32 1 2 1 2 1 . 註 若区域 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同 的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域. 设 区域 由以下两组曲线围成 : D D 第一组: ) ( , 0),,( , 0),,( qpqyxFpyxF <== ; 238 第二组: ) ( , 0),,( , 0),,( babyxGayxG <== . 可试用变换 0),,( , 0),,( == vyxGuyxF . ] , ; , [) , ( baqpvu ∈ . 从中解 出 . 在此变换之下 , 区域 变成 UV 平面上的矩形区域 . ),( , ),( vuyyvuxx == D ] , [ ] , [ baqp × 例 10 求由抛物线 和 直线 ) 0 ( , 22 nmnxymxy <<== xyxy βα == , 0 ( )βα << 所围平面区域 的面积。 D 2. 极坐标与广义极坐标变换 : 极坐标变换 : θθ sin , cos ryrx == , r r yx = ? ? ),( ),( θ . 广义极坐标变换 : θθ sin , cos bryarx == , abr r yx = ? ? ),( ),( θ . 例 11 ∫∫ ≤+ ?? 4 1 22 22 1 yx yx dxdy . 例 12 ( Viviani 问题 ) 求球体 被圆柱面 所割 下立体的体积 . 2222 Rzyx ≤++ Rxyx =+ 22 例 13 应用二重积分求广义积分 . ∫ +∞ ? 0 2 dxe x 例 14 求橢球体 1 2 2 2 2 2 2 ≤++ c z b y a x 的体积. 三、积分换序 : 例 15 连续 . 对积分 换序. . f ∫∫ ex dyyxfdx 1 ln 0 ),( ? ? ? ? ? ? ∫∫ 1 0 ),( e e y dxyxfdy 例 16 连续 . 对积分f ∫∫ 4 1 1 ),( dxyxfdy y y 换序. ? ? ? ? ? ? ? ? + ∫∫ ∫∫ 1 4 1 4 1 2 1 4 2 ),(),( x x dyyxfdxdyyxfdx . 例 17 计算积分 . ∫∫ 1 0 1 2 y x dxedy ? ? ? ? ? ? ? )1( 2 1 e . 239 例 18 求积分 ∫ >> ? = 1 0 ) 0 ( . ln abdx x xx I ab . Ex P273—275. 三、二重积分可积性与换元公式 ( 2 时 ) （一）． 可积性： 回顾一元函数可积条件的讨论. Th 函数 在 平面上可求面积区域 上 (R)可积 ),( yxf XOY D ? 对 0>?ε , 存在区域 的分割 D T , 使得 . 这里εω <Δ ∑ ii D i ω 为函数 在),( yxf i DΔ 上 的振幅 , 即 |)()(|sup),(inf),(sup 21 , 21 PfPfyxfyxf i i i DPP D D i ?=?= Δ∈ Δ Δ ω . 例 1 设 为定义在矩形域)()(),( 21 yfxfyxf = ],[],[ 2211 babaD ×= 上的函数. 若函数 在 上可积 , 在 上可积 . 则函数 在 上可积 , 且 1 f ],[ 11 ba 2 f ],[ 22 ba f D . ∫∫ ?= D b a b a fff 2 2 1 1 21 ∫ 证 对 0>?ε , 存在区间 的分法 和区间 的分法 , 使 ],[ 11 ba 1 T ],[ 22 ba 2 T ∑ , ∑ . = <Δ n i ii xf 1 1 )( εω = <Δ m j jj yf 1 2 )( εω 这里 |)()(|sup)( 11 ],[, 1 1 xfxff ii xxxx i ′′?′= ? ∈′′′ ω , |)()(|sup)( 22 ],[, 2 1 yfyff jj yyyy j ′′?′= ? ∈′′′ ω . 21 TT × 构成 的一个分割, 在第 个小矩形D ij ji yx Δ×Δ 上 , 注意到 =′′′′?′′ |)()()()(| 2121 yfxfyfxf ≤′′′′?′′′+′′′?′′= |)()()()()()()()(| 21212121 yfxfyfxfyfxfyfxf |)()(||)(||)()(||)(| 221112 yfyfxfxfxfyf ′′?′′′+′′?′′′≤ . ? =)( f ij ω |)()()()(|sup 2121 ),(),,( yfxfyfxf ji yxyxyx ′′′′?′′ ΔΔ∈′′′′′′ |)()(||)(|sup|)()(||)(|sup 221112 yfyfxfxfxfyf ′′?′′′+′′?′′′≤ )()( 21 fMfM ji ωω +≤ , 其中 MyfMxf ≤≤ |)(| , |)(| 21 . 于是在 的分割 之下 , 有 D 21 TT × 240 ∑∑ == ≤ΔΔ? m j n i jiij yxff 11 21 )(ω () ∑∑ == ΔΔ+ m j n i jiji yxffM 11 21 )()( ωω + ≤ ∑∑ == ΔΔ m j n i jii yxfM 11 1 )(ω ∑∑ == ΔΔ m j n i jij yxfM 11 2 )(ω ≤ ∑∑ == +ΔΔ m j n i iij xfyM 11 1 )(ω ∑∑ == ΔΔ m j n i ijj xyfM 11 2 )(ω )]()[()()( 11221122 ababMabMabM ?+?=?+?≤ εεε . 因此 , 函数 在矩形域)()(),( 21 yfxfyxf = ],[],[ 2211 babaD ×= 上可积 , 且 ∫ → = D T f 0|||| lim ∑∑ == ΔΔ m j n i jiji yxff 11 21 )()( ηξ . 0|||| 0|||| 2 1 lim → → = T T ∫∫ ∑∑ ?=Δ?Δ == 1 1 2 2 21 11 12 )()( b a b a m j n i iijj ffxfyf ξη （二） . 二重积分换元公式的证明 ( 简证 ) : 主要是证明换算公式 dudv vu yx dxdy ),( ),( ? ? = . 设函数 在 平面上的区域 内有连续的偏导数 . 在此变换之下, 平面上的区域 变为 UV 平面上的区域 ),( , ),( yxvvyxuu == XOY D XOY D D′ , 且设 0 ),( ),( ≠ ? ? = vu yx J . 引理 如上所述, 又设在 平面上有一块包含点 的区域 ),( , ),( yxvvyxuu == XOY ),( yx σ , 点 和 ),( yx σ 都在 内 . 通过变换D ),( , ),( yxvvyxuu == 将点 变换为 UV 平面上一点 , 将),( yx ),( vu σ 变换为 UV 平面上包含点 的 一块区域 .那么当 ),( vu * σ σ 无限地向点 收缩时 , 它们的面积之比),( yx || || * σ σ 的极限 为 , 即 || J ),( ),( || |*| lim ),( yx vu yx ? ? = → σ σ σ . 证明思路 : ⅰ> 在 内取出一点 , 作一个矩形 ( 边与坐标轴平行, 字母D ),( yxA ABCD 241 ABCD依逆时针标记 ) . 设四个顶点的坐标为 , ),( yxA ) , ( , ) , ( , ) , ( dyyxDdyydxxCydxxB ++++ . 则其面积分为 . dxdy ⅱ> 变换 ),( , ),( yxvvyxuu == 把该矩形变为 UV 平面上的一个曲边四边形 ，设四个顶点的坐标为 DCBA ′′′′ ， ， ， ),( 11 vuA′ ),( 22 vuB′ ),( 33 vuC′ ),( 44 vuD′ . ⅲ> 用 Taylor 公式把曲边四边形 DCBA ′′′′ 的四个顶点坐标用 x和 y 表示出来: ),( , ),( : 11 yxvvyxuuA ==′ ; , )(),(),() , ( : 2 dxdxyxuyxuydxxuuB x D++=+=′ ; )(),(),() , ( 2 dxdxyxvyxvydxxvv x D++=+= )()(),(),(),() , ( : 3 dydxdyyxudxyxuyxudyydxxuuC yx DD ++++=++=′ )()(),(),(),() , ( 3 dydxdyyxvdxyxvyxvdyydxxvv yx DD ++++=++= ; )(),(),() , ( : 4 dydyyxuyxudyyxuuD y D++=+=′ , )(),(),() , ( 4 dydyyxvyxvdyyxvv y D++=+= . ⅳ> 略去 和 , 得仿射变换. 在该仿射变换之下, 矩形 变为 平行四边形 . 用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形 )(dxD )(dyD ABCD DCBA ′′′′ 的面积. 平 行四边形的顶点坐标是上述 DCBA ′′′′ ,,, 的顶点坐标表达式中略去 和 所剩的式子. )(dxD )(dyD 该平行四边形的面积 = =± 1 1 1 33 22 11 vu vu vu = = ++++ ++± 1),(),(),(),(),(),( 1),(),(),(),( 1),(),( yxvdxyxvyxvyxudxyxuyxu dxyxvyxvdxyxuyxu yxvyxu yxyx xx dxdy yx vu dyvdyu dxvdxu vu yy xx ),( ),( 0 0 1 ? ? =±= . 242 引理的证明 . ( 由上述分析给出简证 ). § 2 三重积分的计算 ( 3 时 ) 一． 三重积分的定义： 1．长方体 上的积分： ],[],[],[ hkdcba ×× 2．一般可求体积立体 V 上的积分： 二． 三重积分的计算： 1． 长方体 ],[],[],[ hkdcba ×× 上的积分： . ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ = V b a d c h k dzzyxfdydxdxdydzzyxf ),,(),,( 2. ?Z 型体上的积分 : ⑴ 内一外二 : = , ∫∫∫ V dxdydzzyxf ),,( ∫∫ ∫ D yxz yxz dzzyxfdxdy ),( ),( 2 1 ),,( 其中 }),( , ),(),(|),,( { 21 DyxyxzzyxzzyxV ∈≤≤= , 为 V 在D XY 平面 上的投影. 就函数 为点密度的情况解释该公式 . ),,( zyxf ⑵ 内二外一 : = , ∫∫∫ V dxdydzzyxf ),,( ∫∫∫ h kD z dxdyzyxfdz ),,( 其中 V 介于平面 和 之间 , 是用平面kz = hz = z D zZ = 截 V 所得的截面. 内 二外一多用于围成 V 的闭合曲面由一个方程给出的情况. 例 1 ∫∫∫ + V yx dxdydz 22 , V : yzxyzxx ===== , , 0 , 2 , 1 . 解 } 21 , 0 , 0|),,( { ≤≤≤≤≤≤= xxyyzzyxV , ∫∫∫ = V ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ = + = + = + 21 ,0 0 21 ,0 2 10 222222 x xy y x xy x yx ydy dx yx ydxdy yx dz dxdy ∫∫ ==+= = = 2 1 2 1 0 22 .2ln 2 1 2ln 2 1 )ln( 2 1 dxdxyx xy y 例 2 ∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ++ V dxdydz c z b y a x 2 2 2 2 2 2 , V : 1 2 2 2 2 2 2 ≤++ c z b y a x . 解 ∫∫∫ = V ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ++ VVV dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x 2 2 2 2 2 2 . 243 法一 ( 内二外一 ) ∫∫∫ ∫ ∫∫ = V a D x dydzdx a x dxdydz a x 0 2 2 2 2 2 , 其中 为椭圆域 x D 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y ?≤+ , 即椭圆域 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? a x c z a x b y , 其面积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 111 a x bc a x c a x b ππ . 因此 ∫∫∫ ∫ = ? ? ? ? ? ? ? ? ?= V a abcdx a x x a bc dxdydz a x 0 2 2 2 22 2 15 4 12 π π . 同理得 ∫∫∫ = V abcdV b y π 15 4 2 2 , ∫∫∫ = V abcdV c z π 15 4 2 2 . 因此 ∫∫∫ =?= abcabc ππ 5 4 15 4 3 . 法二 ( 内一外二 ) V 上下对称, 2 2 a x 为 的偶函数, z ? ∫∫∫ ∫∫∫ ′ = VV dxdydz a x 2 2 2 , 其中 V 为 V 在 平面上方的部分, 其在 平 面上的投影为椭圆 ′ XOY XOY 1 2 2 2 2 ≤+ b y a x . 于是 ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ =??== ≤+ ?? ≤+ V b y a x b y a x c b y a x dxdy b y a x a x cdzdxdy a x dxdydz a x 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 1 2 2 122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫∫ ?============ == 2 0 1 0 232 sin , cos 1cos8 π θθ θθ drrrdabc bryarx . ∫ = ? ? ? ? ? ? += 2 0 2 0 2 4 2sin 2 1 2 1 cos π π π θθθθd , ∫∫ =?=====? ?= 1 0 1 0 22 1 23 15 2 )1(1 2 dtttdrrr rt . 244 因此 ∫∫∫ =??= V abcabcdxdydz a x π π 15 4 15 2 4 8 2 2 . 同理 ……. 于是 ∫∫∫ =?= abcabc ππ 5 4 15 4 3 . 例 3 设 ∫ = 1 0 2)( dxxf . 计算积分 , V : ∫∫∫ V dxdydzzfyfxf )()()( xzxyx ≤≤≤≤≤≤ 0 , 0 , 10 . 解 ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ≤≤ ≤≤ === V xy x xxx dzzfdyyfdxxfdzzfyfxf 0 ,10 1 00 00 )()()()()()( ∫∫∫∫ == ∫ ========? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = 2 0 2 0 32 1 0 )( 0 2 0 2 3 2 | 3 1 )()( 0 tdttdyyfddyyf x dyyft xx . 三 . 三重积分换元公式 : Th 1. 柱坐标 : 例 4 , V : . ∫∫∫ + V dxdydzyx )( 22 4 , )(2 22 ==+ zzyx 2. 球坐标 : 例 5 Ex P285. § 3 曲面的面积 ( 1 时 ) 设曲面方程为 . 有连续的一阶偏导数. 推导曲面面 积公式 Dyxyxfz ∈= ),( , ),( f ∫∫ = D zn dxdy S |),cos(| , 或 dxdyyxfyxfS D yx ∫∫ ++= ),(),(1 22 . 245