S F 01（数） Ch 2 数列极限 计划课时： 2 0 时 P 10—20 2004． 09． 18. Ch 2 数列极限 （ 1 2 时 ） § 1 数列极限 （ 8 时 ） 数列： 数列定义 —— 整标函数. 数列给出方法: 通项, 递推公式（ 循环级数 ）. 数列的几何意义. 特殊数列: 常驻列, 有界列, 单调列和往后单调列. 二. 数列极限: 以 n a n n ) 1 ( 1 ? += 为例. 定义 ( aa n n = ∞→ lim 的 “ N?ε ”定义 ) 定义 ( 数列 { } n a 收敛的“ N?ε ”定义 ) ε 的正值性, 任意性与确定性, ε 以小为贵; 的存在性与非唯一性, 对 只要 N N 求存在, 不在乎大小. aa n n = ∞→ lim 的几何意义 . [1]P34 图 2.2.1. 用定义验证数列极限： 思路与方法. 例 1 .0 1 lim = ∞→ n n 例 2 .1 ,0lim <= ∞→ qq n n 例 3 2 1 72 1 lim 2 2 = ? + ∞→ n n n . 例 4 1 32 lim 2 = ?+ ∞→ n nn n . 例 5 .1 ,1lim >= ∞→ aa n n 证法一 令 ,1 n n a α=? 有 .0> n α 用 Bernoulli 不等式，有 ),1(11)1( 1 ?+=+≥+= n n n n anna αα 或 " . 1 10 1 n a n a a n < ? ≤?< 证法二 （用均值不等式） 10 Nn n n aa 个1 1110 ? ?=?< " " . 1 1 1 1 n a n a n na < ? =? ?+ ≤? 例 6 .1lim = ∞→ n n n 证 时，2≥n . 222 1 22 11 10 2 n n n n nn nnn n nn < ? =? ?+ ≤?=?< ? 135lim =+ ∞→ n n n . 证 （用均值不等式）当 时， 9≥n 1 362 111 6161350 ? ?++ ≤?=?=?+< n nn nnnn nnn " "" , 3332 n n n n n ≤≤ + = 例 8 设 . 1 ,lim 1 ∑ = ∞→ == n i inn n a n Aaa 证明 .lim aA n n = ∞→ 无穷小量 : 定义. Th ( 数列极限与无穷小量的关系 ). Th （ 有界量与有界量的积 ） Ex [1]P43—44 1 ⑴—⑺，2 ⑴⑵⑸. 3 , 收敛数列的性质 : 1. 极限唯一性： （ 证 ） 2. 收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件： （ 证 ） 3. 收敛数列保号性 (或保序性 )： Th 1 设 .lim ,lim bbaa n n n n == ∞→∞→ 若 则,ba > . , , nn baNnN >?>??? （ 证 ） 系 1 设 .lim ,lim bbaa n n n n == ∞→∞→ 若 nn baNnN <>?? , 时有 ， （注 意“ = ” ；并注意 ? .ba ≤ bb n ≡ 和 的情况 ）. 0=b 系 2 设 ( 0lim >= ∞→ aa n n 或 . 则对)0< ar <<?0 (或 , ),0 ??<< Nra 11 raNn n >?>? , (或 ).ra n < 系 3 若 ,0lim ≠= ∞→ aa n n 则对 . , , , 0 raNnNar n >?>??<<? 绝对值收敛性见后. 迫敛性 ( 双逼原理 ): Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 ) 绝对值收敛性 : Th 3 . lim ,lim aaaa n n n n =?= ∞→∞→ ( 注意反之不确 ). .0 lim ,0lim =?= ∞→∞→ n n n n aa ( 证 ) 系 设数列 { }和{ }收敛, 则 n a n b }.lim , lim { min } , { min lim }, lim , lim max{} , max{lim n n n n nn n n n n n nn n baba baba ∞→∞→∞→ ∞→∞→∞→ = = ( 证明用到以下 6 所述极限的运算性质 ). 四则运算性质 : Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 ) 7. 子列收敛性 : 子列概念. Th 5 ( 数列收敛充要条件 ) { }收敛 n a ? { }的任何子列收敛于同一极限. n a Th 6 ( 数列收敛充要条件 ) { }收敛 n a ? 子列{ }和{ }收敛于同一极限. 12 ?n a n a 2 Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) { }收敛 n a ? 子列{ }、{ }和{ 都收敛. 12 ?k a k a 2 } 3k a ( 简证 ) 利用数列极限性质求极限 : 两个基本极限： ). 1 ( ,0lim ,0 1 lim <== ∞→∞→ qq n n nn 利用四则运算性质求极限： 12 例 9 . 52 10 21 13 lim + + ? ? + ∞→ n n n n n 註： 关于 的有理分式当 时的极限情况. n ∞→n 填空 : ⑴ ____;__________ )12( )12()2( lim 102 862 = + ?+ ∞→ n nn n ⑵ ._________ , 8 1 732 23 lim 322 3223 =+= +?+ ?+? ∞→ ka ananna ananan k n 例11 ). 11 (lim 22 ??+ ∞→ nnn n 例 12 求极限 nn nn n 3253 )2(5 lim 1 ?+? ?? + ∞→ . 例 13 求证: 当 时, 0>a .1lim = ∞→ n n a ( 与例 5 联系) 例 14 .1 . 1 lim ≠ + ∞→ a a a n n n Ex [1]P44 5 — 9 双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅[4] P53. 求下列极限: ⑴ );12sin( ) 13 (lim 2 +? ∞→ n n n ⑵ ∑ = ∞→ + n i n in0 2 ; 3 1 lim ⑶ . 12 1 24 1 14 1 lim 22 ? ? ? ? ? ? + ++ + + + ∞→ n nn n " 例 16 .lim n n n ∞→ ( .)1 22 11 2 → ?+ ≤?=≤ ? n nn nnn n nn 例 17 ).1( ,0 kia i ≤≤> 求证 }.,,, max{lim 2121 k n n k nn n aaaaaa "" =+++ ∞→ 13 例 18 设 n n n b a ∞→ lim 存在. 若 ,0lim = ∞→ n n b 则 .0lim = ∞→ n n a 例 19 设 求证: .lim ,0 aaa n n n => ∞→ .lim 21 aaaa n n n = ∞→ " Ex [1]P44 10⑴， 12；（ 提示 10⑴和 12， 见下面） [4]P81—82 82，84⑴， 108，109， 111，112. 提示：10 ⑴： 设 , 21 nn Saaa =+++ " 则有 ∑∑ , 和 = ? = ?= n k n k knk SnSka 1 1 1 n S S n SSS n Ska n n n k knn n k kn n k k +?=? ? ? ? ? ? ??= ∑∑∑ === 111 111 . 注意利用均值极限定理, ∑ = ∞→∞→ = n k k n n n S n S 1 1 limlim , 0lim = ∞→ n S n n , 即得所证. 设 , 21 nn Saaa =+++ " 有 ,a n S n → 注意利用下式: , 1 1 )1( )1( )1()1(1 11111 ? ?= ? ?? = ? ?? = ? ?? = ? ? ????? n S nn a nn San nn aSna nn nSSnS n S n S nnnnnnnnnnnn 时，上式左端趋于零，右端第二项也趋于零，∞→n 0 →? n a n . 无穷大量： 先介绍三种无穷的直观意义 无穷大量的定义： 例 20 设 ，证明： 是无穷大量. 1 || >q }{ n q 例 21 证明: ? ? ? ? ? ? + ? 5 1 2 n n 是正无穷大量. 2. 无穷大量的性质 : Th 1 设 是无穷大量, 是数列, 且 }{ n x }{ n y 0>?δ 和 NnN >?? , 时 ,|| δ≥ n y 则数列 是无穷大量. }{ nn yx 系 设 是无穷大量, }{ n x 0lim ≠= ∞→ by n n . 则数列 和 }{ nn yx ? ? ? ? ? ? n n y x 都是无穷大量. 同号无穷大的和是无穷大量, 两个无穷大量的积是无穷大量. 14 3. 无穷大量与无穷小量的关系 : Th 2 无穷大的倒数是无穷小; 非零 无穷小的倒数是无穷大. 例 22 求极限 ( )nn n +? ∞→ 5lim . Stolz 定理 : Th 3 设 ↗↗ n y ∞+ , 且 a yy xx nn nn n = ? ? ? ? ∞→ 1 1 lim (有限或为无穷), 则 a y x n n n = ∞→ lim . 例 23 设 aa n n = ∞→ lim (有限或为无穷), 试证明: a n aaa n n = +++ ∞→ " 21 lim . 例 24 求极限 k n n k kkk n ( , 21 lim 1+ ∞→ +++ " 为自然数) [1] P49 E4 例 25 设 ,lim aa n n = ∞→ 求极限 2 21 2 lim n naaa n n +++ ∞→ " . [1]P50 E5 Ex [1]P50.—51 1⑴⑷，2 ⑵（注意用双逼原理），3 ， 4⑴， 5⑵（注意用 数学归纳法），8. § 2 收敛准则 （ 4 时 ） 数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理： 回顾单调有界数列. 1. 单调有界原理 : Th 1 ( 单调有界原理 ). ( 证 ) ",2,1 ,23 ,2 11 =+== + nxxx nn 证明数列{ }收敛, 并求极限. n a 证 设,30 1 << x 30 << k x ，则有 3230 1 <+<< + kk xx . 因此, …… n nn nn nnnn x xx xx xxxx ,0 23 )1)(3( 23 1 ?> ++ +? =?+=? + ↗. 因此, 数列 单调递增有上界. 由单调有界原理, 收敛, 设 , }{ n x }{ n x ax n n = ∞→ lim 对 nn xx 23 1 += + 两端取极限, 得 aa 23+= ,解得 ,3=a 即 . 3lim = ∞→ n n x 15 例 2 设 . , 3 , 2 , 1 , 1 1 ,0 11 "= + +=> + n x x xx n n n 证明数列{ } 收敛, 并求 极限. n a 解 时, 2≥n .21 << n x nn nn nn nn xx xx xx xx ?? ++ ? =? + ? ? + 1 1 1 1 , )1)(1( 与 1? ? nn xx 同号, 单调.…… }{ n x? 例 3 . 2 1 .0 ,0 11 ? ? ? ? ? ? ? ? +=>> + n nn x a xxxa 求 ( 计算.lim n n x ∞→ a 的逐次逼近 法, 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式, 有 ? ? ? ? ? ? ? ? += + n nn x a xx 2 1 1 }{ . n n n xa x a x ?=?≥ 有下界; 注意到对 有 ,n? ,ax n ≥ 有 n nn n x a a x a x x .1 ) ( 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? +≤ ? ? ? ? ? ? ? ? += + ↘···, .lim ax n n = ∞→ 例 4 设 ). 2 ( , 1 3 1 2 1 1 ≥++++= α ααα n a n " 证明数列{ }收敛. n a 三个重要常数 : 例 5 n nL n D 180 sin= ，证明数列 收敛. 记该数列的极限为 }{ n L π . [1]P55 E5. 例 6 n n n x ? ? ? ? ? ? += 1 1 , 证明数列 收敛. 记该数列的极限为 . [1]P56 E6 }{ n x e 例 7 ,ln 1 3 1 2 1 1 n n b n ?++++= " .证明数列 收敛. 称该数列的极限为 }{ n b Euler 常数 . "90 664 215 577.0 , =cc [1]P59 E9 和 E10 留为阅读，并注意以后更一般地解法。 二 . 数列收敛的充要条件 —— Cauchy 收敛准则： 1. Cauchy 列： 2. Cauchy 收敛准则： Th 2 数列 { 收敛，} n a . , , , ,0 εε <??>??>?? nm aaNnmN 16 （ 或 数列{ 收敛，} n a . ,p , , ,0 εε <??∈?>??>?? + npn aaNnN N } Th 2 又可叙述为：收敛列就是 Cauchy 列. ( 此处“就是”理解为“等价于”). ( 简证必要性 ) 例 8 设 .sinsinsin ,10 2 n n n qqqqqqxq +++=<< " 试证明数列 { 收敛. } n x 例 9 设 . 1 3 1 2 1 1 222 n x n ++++= " 证明 是 Cauchy 列. [1] P63 E12. }{ n x 设 n x n 1 3 1 2 1 1 ++++= " . 证明 不是 Cauchy 列 . [1]P63 E 2.4 }{ n x 压缩数列的收敛性 : 称数列 是压缩数列是指: 存在}{ n x 10 << k , 使对 2≥?n , 有 |||| 11 ?+ ?≤? nnnn xxkxx . 压缩数列是收敛数列 . [1]P65 E 2.4.14. Ex [1]P67—68 1⑴⑵⑷，2 ，3 ， 4，6 . 习 题 课 （ 2 时 ） 设 axx n n n n == + ∞→∞→ 122 limlim . 证明: ax n n = ∞→ lim . 设 )(lim 21 n n aaa +++ ∞→ " 存在, 证明: 0)2( 1 lim 21 =+++ ∞→ n n naaa n " . 证 设 , 21 nn Saaa =+++ " 则有 , 和 ∑∑ = ? = ?= n k n k knk SnSka 1 1 1 n S S n SSS n Ska n n n k knn n k kn n k k +?=? ? ? ? ? ? ??= ∑∑∑ === 111 111 . 注意利用均值极限定理, ∑ = ∞→∞→ = n k k n n n S n S 1 1 limlim , 0lim = ∞→ n S n n , 即得所证. 数列 满足}{ n a ) ( lim 21 +∞<<∞?= +++ ∞→ aa n aaa n n " ，证明： 17 0lim = ∞→ n a n n . 证 设 , 21 nn Saaa =+++ " 有 ,a n S n → 注意利用下式: , 1 1 )1( )1( )1()1(1 11111 ? ?= ? ?? = ? ?? = ? ?? = ? ? ????? n S nn a nn San nn aSna nn nSSnS n S n S nnnnnnnnnnnn ∞→n 时，上式左端趋于零，右端第二项也趋于零， 0 →? n a n . 例 4 设 是无穷大量, }{ n x 0lim ≠= ∞→ by n n . 则 和}{ nn yx ? ? ? ? ? ? n n y x 都是无穷大量. 例 5 设 " , 3 , 2 , 1 , 2 1 , 2 11 = + == + n x xx n n .证明数列{ }收敛, 并求极限. n x 证 易见 .0> n x 1 1 1 1 1 4 1 )2)(2(2 1 2 1 ? ? ? ? + ?≤ ++ ? = + ? + =? nn nn nn nn nn xx xx xx xx xx }{ n x? 是压缩的. 例 6 设 是非空有上界的数集, S SS ?=αsup . 试证明在数集 中可取出严 S 格单调增加的数列 , 使 }{ n x .lim α= ∞→ n n x § 3 实数系基本定理简介 ( 6 时 ) 实数系连续性简介： 实数系：整数 、有理数 、有理数稠密但不是密接的；Hippasus 发现 2 不是有理数 ，证明 2 不是有理数 ；算术连续统假设及其破灭 . 实数系的建立 . 2. 实数系连续性的直观描述 ： 二 . 实数系基本定理： 1. 确界存在定理 ： 定义 1 最大数与最小数 . 定义 2 （ 上确界—— 最小上界 ）. 定义 （ 上确界—— 上界性与最小性 ） . 2′ 18 最大数与上确界的关系 . 例 1 证明上确界的唯一性 . 例 2 设 Esup=β . 试证明: 若 E?β , 则存在 , 使 ↗↗Ex n ?}{ n x β , )( ∞→n . Th1 ( 确界存在定理 —— 实数系连续性定理 ) 例 3 设 T= Qxx ∈ | { 并且 .证明 T 在 Q 中没有上确界. P29E2.1.3. } 2 , 0 2 <> xx 2. 单调有界原理 : 回顾数列单调性和有界性 . Th2 ( 单调有界原理 ) 3. 区间套定理 : 区间套 . Th3 ( 区间套定理 ). 4. 列紧性 : 子列 , 奇子列 , 偶子列 , 互补子列 . Th4 ( Bolzano -- Weierstrass 列紧性定理 ): 例 4 若数列 无界 . 则存在子列 , 使}{ n x }{ k n x ∞= ∞→ k n k xlim . Cauchy 收敛原理 : Cauchy 列 ( 或基本列 ). 实数系基本定理的证明： 证明线路为：确界存在定理 单调有界原理 区间套定理 列紧性定理 ? ? ? ? ? Cauchy 收敛原理 . 应用举例: 实数集的不可列性: 例 5 实数集是不可列集 . [1]P60 Th 2.4.3. 例 6 [1]P53 E2.4.4 .Fibonacci 数列与兔群增长率. [ 关于 Fibonacci 数列 , 可参 阅 ( 苏 ) 伏洛别也夫 ( Н? Н Βоробьев )著 , 高 徹译 《 斐波那契数》 ]. 19 证 （ 设 n n n a a b 1+ = ，证明数列 是压缩的 ） }{ n b 注意到 ↗和 n a n n n a a b 1+ = ， 时 ， 3≥n 21 11 1 1 11 1 1 ≥+= + ==?= ?? ? ? ++ ? ? n n n nn n n n n n n nn a a a aa a a a a a a bb , ? 2 11 1 ≤ ? nn bb . 1 111 1 11 ? ??+ +=+= + == nn n n nn n n n ba a a aa a a b . 于是 , || 2 1 1 1 1 1|| 1 1 1 1 1 ? ? ? ? + ?≤ ? =??+=? nn nn nn nn nn bb bb bb bb bb . 可见数列 是压缩的 ,因此收敛 .设}{ n b )0 ( lim >= ∞→ bb n n . 对式 1 1 1 ? += n n b b 两端 取极限 ,有 b b 1 1+= , 解得 ( 注意 ) 0>b 2 51+ =b . 因此 , 增长率的极限 2 15 1 2 51 1lim ? =? + =?= ∞→ n n bη . Ex [1]P32 1， 5，6. [1]P67—68 7 ， 10 —13. 20