Ch 17 含参变量的积分 计划课时：2 时 P 225—232 2005. 09 .26. Ch 17 含参变量的积分 ( 2 时 ) 含参积分: 以实例 和 引入. ∫ 1 0 2xydy ∫ 2 2 2 x x xydy 定义含参积分 和. ∫ = d c dyyxfxI ),()( ∫ = )( )( 2 1 ),()( xy xy dyyxfxG 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th 1 若函数在矩形域),( yxf ] , [ ] , [ dcbaD ×=上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 ) ∫ = d c dyyxfxI ),()( ] , [ ba Th 2 若函数在矩形域),( yxf ] , [ ] , [ dcbaD ×=上连续, 函数和 在上连续 , 则函数在上连续. )( 1 xy )( 2 xy ] , [ ba ∫ = )( )( 2 1 ),()( xy xy dyyxfxG ] , [ ba 2. 含参积分的可微性及其应用: Th 3 若函数及其偏导数都在矩形域),( yxf x f ] , [ ] , [ dcbaD ×=上连续, 则 函数在上可导 , 且 ∫ = d c dyyxfxI ),()( ] , [ ba ∫∫ = d c d c x dyyxfdyyxf dx d ),(),( . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) Th 4 设函数及其偏导数都在矩形域),( yxf x f ] , [ ] , [ dcbaD ×=上连续, 函 数和定义在 , 值域在上 , 且可微 , 则含参积分 )( 1 xy )( 2 xy ] , [ ba ] , [ dc 在上可微 , 且 ∫ = )( )( 2 1 ),()( xy xy dyyxfxG ] , [ ba . ( 证 ) () ())()(,)()(,),()( 1122 )( )( 2 1 xyxyxfxyxyxfdyyxfxG xy xy x ′?′+=′ ∫ 例1 计算积分 dx x x I ∫ + + = 1 0 2 1 )1ln( . 例2 设函数在点)(xf 0=x的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 || x ∫ ? ? ? = x n dttftx n x 0 1 )()( )!1( 1 )(φ 的阶导数存在 , 且 . 1?n )()( )( xfx n =φ 237