Ch 11 函数项级数、幂级数 计划课时： 1 2 时 P 156—170 2005. 03.27 . Ch 11 函数项级数、幂级数 （ 1 2 时 ） § 1 函数项级数的一致收敛性 （ 6 时 ） 一、函数列及极限函数： 对定义在区间 I 上的函数列 ，介绍 概念：收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概 念. )}({ xf n 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” ) 的“ N?ε ”定义. 例1 对定义在 ) , ( ∞+∞? 内的等比函数列 )(xf n = n x , 用“ N?ε ” 定义验证其收敛域为 ] 1 , 1 ( ? , 且 ∞→n lim )(xf n = ∞→n lim n x = ? ? ? = < . 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例 2 )(xf n = n nxsin . 用“ N?ε ”定义验证在 ) , ( ∞+∞? 内 . ∞→n lim )(xf n = 0 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) ( ∞→n . ⑴ )(xf n = xx xx nn nn ? ? + ? . )(xf n → ,sgn x R∈x . ⑵ )(xf n = 12 1 +n x . )(xf n → ,sgn x R∈x . ⑶ 设 为区间 上的全体有理数所成数列. 令 nullnull ,,,, 21 n rrr ] 1 , 0 [ , )(xf n = ? ? ? ≠∈ = .,,, ] 1 , 0 [ , 0 ,,,, , 1 21 21 n n rrrxx rrrx null null 且 )(xf n → )(xD ∈x ] 1 , 0 [ . ⑷ . , )(xf n = 22 2 2 xn xen ? )(xf n → 0 R∈x . ⑸ )(xf n = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≤≤ <≤? <≤ ? ? + . 1 2 1 , 0 , 2 1 2 1 ,42 , 2 1 0 ,4 1 1 1 x xx xx n nn nn n n 有 , )(xf n → 0 ∈x ] 1 , 0 [ , . （ 注意 .） ) ( ∞→n ∫ ≡ 1 0 1)( dxxf n 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集 D上 , )(xf n → )(xf ) ( ∞→n . 试问: 通项 的 解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例 1、例 3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明 虽然可积性得到遗传, 但 )(xf n )(xf ∞→n lim ( ) ∫∫ ∞→ ≠ 1 0 1 0 )(lim)( dxxfdxxf n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初 等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通 项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在 什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就 是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛” 的结果. ∞→n lim )(xf n 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的 Cauchy 准则 ) 函数列 在数集 D 上一致收 敛, }{ n f ? N , 0 ?>?ε , , , Nnm >? ? ε<? nm ff . ( 介绍 156 另一种形式 ε<? + npn ff .) 证 ( 利用式 )? .ffffff nmnm ?+?≤? ) 易见逐点收敛. 设)? ∞→n lim )(xf n = )(xf ,……,有 2 |)()(| ε <? xfxf nm . 令 , ∞→m ? ε ε <≤? 2 |)()(| xfxf n 对 ∈?x D 成立, 即 ,)(xf n ?→? ?→? )(xf ) ( ∞→n ， ∈x D. 系1 在 D上 , ， ? n f ?→? ?→? f ) ( ∞→n 0|)()(|suplim =? ∞→ xfxf n D n . 系2 设在数集 D 上 , )(xf n → )(xf ) ( ∞→n . 若存在数列 D , 使}{ n x ? 0 |)()(| → / ? nnn xfxf , 则函数列 在数集 D 上 非一致收敛 . )}({ xf n 应用系2 判断函数列 在数集 D 上非一致收敛时, 常选 为函 数 ― 在数集 D 上的最值点. )}({ xf n n x =)(xF n )(xf n )(xf 验证函数一致收敛性: 例4 )(xf n n nxsin = . 证明函数列 在 R 内一致收敛. )}({ xf n 例5 . 证明在 R 内 , 但不一致收敛. )(xf n 22 2 2 xn xen ? = )(xf n → 0 证 显然有 ,)(xf n → 0 |)()(| xfxf n ? = 在点)(xf n n x = n2 1 处 取得极大值 02 2 1 2 1 → / =? ? ? ? ? ? ? ne n f n , ) ( ∞→n . 由系 2 , 不一致收敛. )}({ xf n 例6 22 1 )( xn x xS n + = . 证明在 ) , ( ∞+∞? 内 , . )(xS n ?→? ?→? 0 ) ( ∞→n 157 证 易见 ∞→n lim .0)()( == xSxS n 而 nnx xn nxn x xSxS n 2 1 )(1 ||2 2 1 1 || |)()(| 222 ≤ + ?= + =? 在 ) , ( ∞+∞? 内 成立. 由系1 , ? …… 例7 对定义在区间 上的函数列 ] 1 , 0 [ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≤< =≤<? ≤≤ = . 1 1 , 0 ), , 2 , 1 ( , 1 2 1 ,22 , 2 1 0 , 2 )( 2 2 x n n n x n xnn n xxn xf n null 证明: , 但在 上不一致收敛. ∞→n lim )(xf n = 0 ] 1 , 0 [ 证 时, 只要 , 就有10 ≤< x 1? > xn )(xf n = 0. 因此, 在 上 有 ] 1 , 0 ( )(xf = ∞→n lim )(xf n = 0. 0)0( = n f , ? )0(f = ∞→n lim )0( n f = 0.于 是, 在 上有] 1 , 0 [ )(xf = ∞→n lim )(xf n = 0 . 但由于 0 2 1 |)()(|max ]1,0[ → / = ? ? ? ? ? ? =? ∈ n n fxfxf nn x , ) ( ∞→n ,因此 , 该函数 列在 上不一致收敛. ] 1 , 0 [ 例8 )(xf n = 12 sin 2 +n x . 考查函数列 在下列区间上的一致 收敛性: ⑴ )}({ xf n )0( , ] , [ >? lll ; ⑵ ) , 0 [ ∞+ . 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1． 函数项级数及其和函数： ， ∑ )(xu n , 前 n项部分和函数列 ， 收敛点，收敛域, 和函数, 余项 . )}({ xS n 例 9 定义在 ) , ( ∞+∞? 内的函数项级数( 称为几何级数 ) 158 nullnull +++++= ∑ ∞ = n n n xxxx 2 0 1 的部分和函数列为 ) 1 ( 1 1 )( ≠ ? ? = x x x xS n n , 收敛域为 ) 1 , 1 ( ? . 2． 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数 在区间 D 上一致收敛, ∑ )(xu n ? N ,0 ?>?ε , , , N∈?>? pNn ? ε |)()()(| 21 <+++ +++ xuxuxu pnnn null 对 ∈?x D 成立. 系 级数 ∑ 在区间 D 上一致收敛, , . )(xu n ? n u )(x ?→? ?→? 0 ) ( ∞→n Th3 级数 在区间 D 上一致收敛, ∑ )(xu n ? ∞→n lim = ∈ |)(|sup xR n x D ∞→n lim 0|)()(|sup =? ∈ xSxS n x D . 例10 证明级数 ∑ ∞ = ? + ? 1 2 1 ) 1( n n nx 在 R 内一致收敛 . 证 令 = n u )(x nx n + ? ? 2 1 ) 1( , 则 时 ∞→n ≤ ++ ? +? ++ =+++ + +++ | ) 1( 1 1 | |)()()(| 2 1 2 21 pnxnx xuxuxu p pnnn nullnull 0 1 1 1 1 2 → + ≤ ++ ≤ nnx 对 ∈?x R 成立. …… 例11 几何级数 在区间 ∑ ∞ =0n n x ] , [ aa? )10( << a 上一致收敛；但在 内非一致收敛. ) 1 , 1(? 证 在区间 上 , 有 ] , [ aa? 0 11 sup|)()(|sup ],[],[ → ? = ? ? =? ?? a a a x xSxS nn aa n aa , ) ( ∞→n . ? 159 ∑ 一致收敛 ; 而在区间 ) 1 , 1(? 内 , 取 ∈ + = 1n n x n ) 1 , 1(? , 有 ∞→ ? ? ? ? ? ? + = + ? ? ? ? ? ? ? + ≥ ? =? ? ?? 1 )1,1()1,1( 1 1 1 1 1 sup|)()(|sup n n n n n n n n n n n x x xSxS ? 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 ∑ n n xxu =)( ) 1 , 1(? 内非 一致收敛于零, ? ∑ 非一致收敛.) 几何级数 虽然在区间 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收 敛”. 因此 , 我们说几何级数 在区间 ∑ ∞ =0n n x ) 1 , 1(? ) 1 , 1(? ∑ ∞ =0n n x ) 1 , 1(? 内闭一致收敛 . 四、 函数项级数一致收敛判别法: 1． M - 判别法: Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数 定义在区间 D 上, 是收敛的正项级数.若当 充分大时, 对 ∑ )(xu n ∑ n M n ∈?x D 有 | , 则|)(xu nn M≤ ∑ 在 D 上一致收敛 . 证 , |)(| )( 1111 ∑∑∑∑ == + = ++ = + =≤≤ p i p i in p i inin p i in MMxuxu 然后用 Cauchy 准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 ∑ n M 是级数 的一个优级数. 于是 Th 4 可以叙述为: 若级数 在区间 D 上存在优级数 , 则级数 ∑ )(xu n ∑ )(xu n ∑ )(xu n 在区间 D 上一致收 敛 . 应用时, 常可试取 |})({|sup xuM n Dx n ∈ = .但应注意, 级数 ∑ )(xu n 160 在区间 D上不存在优级数 , ? / 级数 在区间 D上非一致收敛. ∑ )(xu n 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别. 例12 判断函数项级数 ∑ ∞ =in n nx 2 sin 和 ∑ ∞ =in n nx 2 cos 在 R 内的一致收敛性 . 例13 设 ) , 2 , 1 ( )( null=nxu n 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数 与 ] , [ ba ∑ )(au n ∑ )(bu n 都绝对收敛, 则级数 ∑ )(xu n 在区间 上绝对并一致收敛 .简证 , 留为作业. .…… ] , [ ba |)(||)(| |)(| buauxu nnn +≤ 2. Abel 判别法: Th 5 设 ⅰ> 级数 ∑ )(xu n 在区间 I 上收敛; ⅱ> 对每个 ∈x I , 数 列 单调 ; ⅲ> 函数列 { 在 上一致有界, 即)}({ xv n )}(xv n I 0 >?M , 使对 和 , 有I∈?x n? Mxv n |)(| ≤ . 则级数 ∑ )()( xvxu nn 在区 间 上一致收敛 . I 3． Dirichlet 判别法: Th 6 设 ⅰ> 级数 ∑ )(xu n 的部分和函数列 在区间 上一致有界; ⅱ> 对于每一个 ∑ = = n k kn xuxU 1 )()( I ∈x I , 数列 单调; ⅲ> 在 区间 I 上函数列 一致收敛于零. 则级数 )}({ xv n )}({ xv n ∑ )()( xvxu nn 在区 间 上一致收敛 . I 例14 判断函数项级数 ∑ + +? 1 )() 1( n nn n nx 在区间 上的一致收敛性. ] 1 , 0 [ 解 记 n n n n n x xv n xu ? ? ? ? ? ? += ? = 1)( , ) 1( )( . 则有ⅰ> 级数 ∑ )(xu n 收 敛; ⅱ> 对每个 ∈x ] 1 , 0 [ , ↗；ⅲ> )(xv n e 161 n ? x xv n n ≤ ? ? ? ? ? += 1|)(| 对 ? ∈x ] 1 , 0 [ 和 成立. 由 Abel判别法, n? ∑ 在区间 上 一致收敛. ] 1 , 0 [ 例15 设数列 单调收敛于零 . 试证明 : 级数 }{ n a ∑ nxa n cos 在区间 ] 2 , [ απα ? )0( πα << 上一致收敛. 证 在 ] 2 , [ απα ? 上有 2 1 2 sin2 1 2 1 | 2 sin|2 1 2 1 2 sin2 ) 2 1 sin( |cos| 1 +≤+≤? + = ∑ = αxx xn kx n k . 可见级数 ∑ 的部分和函数列在区间nxcos ] 2 , [ απα ? 上一致有界 . 取 , nxxu n cos)( = nn axv =)( . 就有级数 ∑ )(xu n 的部分和函数列 在区间 ] 2 , [ απα ? 上一致有界, 而函数列 对每一个 )}({ xv n ∈x ] 2 , [ απα ? 单调且一致收敛于零.由 Dirichlet 判别法,级数 在区间 ∑ nxa n cos ] 2 , [ απα ? 上一致收敛. 其实 , 在数列 单 调收敛于零的条件下, 级数 在不包含 }{ n a ∑ nxa n cos ) , 2 , 1 , 0 ( 2 null±±=kkπ 的任何区间上都一致收敛. 习 题 课 ( 2 时 ) 例 1 设 , , )(xf n → )(xf ) ( ∞→n ∈x D . 且 , .若对每个自然数 有| ― | 0> n a 0→ n a ) ( ∞→n n )(xf n )(xf ≤ n a 对 成立, 则函数列{ }在 上一致收敛于函数 . ∈?x D )(xf n D )(xf 例2 证明函数列 在区间 上非一致收敛. }{ n x ] 1 , 0 [ 例3 )(xf n = 22 1 xn nx + , ∈x ] 1 , 0 [ . 讨论函数列{ }的一致收 敛性. )(xf n 162 解 0, ∞→n lim )(xf n = ∈x ] 1 , 0 [ . | ― 0|)(xf n = )(xf n . 可求得 10 max ≤≤x )(xf n = ,0 2 1 ) 1 ( → / = n f n ) ( ∞→n . ? 函数列{ }在区间 上非一致收敛. )(xf n ] 1 , 0 [ 例4 设函数 在区间 上连续 . 定义 . 试证明，函数列{ }在区间 上一致收敛于零. )( 1 xf ] , [ ba ∫ = + x a nn dttfxf )()( 1 )(xf n ] , [ ba 证法一 由 )( , ],[)( 11 xfbaCxf ∈ 有界 . 设在区间 上 | | ] , [ ba )( 1 xf M≤ . | | ; )( 2 xf ∫∫ ?≤?≤≤= x a x a abMaxMff )()(|||| 11 | |)( 3 xf ∫∫ ?≤?≤≤= x a x a abMax M ff 22 22 )( 2 1 )( 2 |||| ; ……………………… | |)( 1 xf n+ ∫∫ ?≤?≤≤= x a nn n x a n abM n ax n M ff )( ! 1 )( ! |||| . 注意到对 ∑ → ? ?+∞<? 0 ! )( , ! || , n abM n c c nn , ) ( ∞→n . 0, ? n f ?→? ?→? ) ( ∞→n , ∈x ] , [ ba . 证法二 , 0 )()( , )()( 11 ==′=′ ++ afafxfxf nnnn , 0)()( , )()( 1111 ==′′=′′ ?+?+ afafxfxf nnnn . )()( , 1 )( 1 xfxf n n = + nullnull ],,[)( 1 baCxf ∈ 有界. 设在区间 上| |)( 1 xf ] , [ ba )( 1 xf M≤ . 把函 数 在点 展开成具 Lagrange型余项的)( 1 xf n+ a 1?n 阶 Taylor公式 , 注 意到 , 0)()()( )1( 111 ===′′=′ ? +++ afafaf n nnn null 163 就有 n n n n ax n f xf )( ! )( |)(| )( 1 1 ?= + + ξ ba ≤≤ξ , 0 ! )( )( ! |)(| 1 → ? ≤?= n abM ax n f n n ξ , ) ( ∞→n , ∈x ] , [ ba . 所以 , 0, , n f ?→? ?→? ) ( ∞→n ∈x ] , [ ba . 例5 设 . ),(],[ : babaf → 0> n ε 且 0→ n ε , ) ( ∞→n . 令 , )()( 1 xfxf = ()( ) null , )()()( 12 xffxffxf == , ( ) ( ) nullnullnullnullnullnullnull nullnull 层复合n nn xfffxffxf )(()()( 1 == ? . …… . 试证明: 若对 和 n ? ∈? yx,] , [ ba , 有 || )()( yxyfxf nnn ?≤? ε , 则函数列{ }在区间 上一致收敛 . )(xf n ] , [ ba 证 对 , 0>?ε 取 , 使 时, 有N Nn > ab n ? < ε ε . 于是对任何 自然数 p 和 , 有 ∈?x ] , [ ba ( ) |)(| |)()(| |)()(| ≤?≤?=? + xfxxffxfxfxf pnpnnpnn ε εε <? )( ab n . 由 Cauchy 收敛准则 , 函数列{ }在区间 上一致收敛 . )(xf n ] , [ ba 例6 设在数集 上函数列{ }一致收敛于函数 . 若每个 在数集 上有界 , 则函数列{ }在数集 上一致有界 . D )(xf n )(xf )(xf n D )(xf n D 证 ( 先证函数 在数集 上有界 ) 设在 上有| |)(xf D D )(xf n ≤ n M . 对 1=ε ,由函数列{ }在数集 上一致收敛,)(xf n D N ? ,当 时 , 对 ,有 NN > 0 ∈?x D 164 | |)(xf |)(| 0 xf N ? ≤ | )(xf 1 |)( 0 <? xf N , ? | |< . 即函数 在数集 上有界. )(xf +1 GMxf Def NN ===+≤ 00 1 |)(| )(xf D ( 次证{ }在数集 上一致有界 ) 时, 对)(xf n D Nn > ∈?x D,有 | |―| |)(xf n )(xf ≤| ― |<1, | |)(xf n )(xf ? )(xf n ≤ 1+G . 取 易见对}, 1 , , , , max{ 21 += GMMMM n null ∈?x D 和 n ? 有 | |)(xf n ≤ M . 即函数列{ }在数集 上一致有界 . )(xf n D 例7 设{ }为定义在区间 上的函数列, 且对每个 , 函数 在点 右连续 , 但数列{ } 发散. 试证明: 对 )(xf n ] , [ ba n )(xf n a )(af n ab?<>? δδ ( 0 ), 函数列{ }在区间)(xf n ) , ( δ+aa 内都不一致 收敛. 证 反设 0>?δ , 使{ }在区间)(xf n ) , ( δ+aa 内一致收敛. 则对 N∈?>??>? pNnN , , , 0ε , 有 2 |)()(| 1 ε <? ++ xfxf pnn 对 ∈?x ) , ( δ+aa 成立. + → ++ =? ax pnn afaf lim |)()(| 1 ε ε <≤? ++ 2 |)()(| 1 xfxf pnn . { } 为 Cauchy 列,即{ }收敛. 与已知条件矛盾. ? )(af n )(af n 五、一致收敛函数列和函数项级数的性质 （ 4 时 ） 165 （一 .） 一致收敛函数列极限函数的解析性质 : 1． 连续性 : Th 1 设在 D 上 ,且对 ,函数 在 上连续 , 在 上连续. n f ?→? ?→? )(xf ? n )(xf n D ? )(xf D 证 ( 要证 : 对 ∈? 0 x D , 在点 连续 . 即证: 对)(xf 0 x 0>?ε , 0>?δ , 当| δ<? | 0 xx 时, ? ε<? |)()(| 0 xfxf . ) |)()(||)()(||)()(| |)()(| 0000 xfxfxfxfxfxfxfxf nnnn ?+?+?≤? 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数 在点 连续, 第二项)(xf n 0 x |)()(| 0 xfxf nn ? 也可以任意小 . …… 系 设在 D上 . 若 在 上间断 ， 则函数列{ } 在 上一致收敛和所有 在 D上连续不能同时成立. )(xf n → )(xf )(xf D )(xf n D )(xf n 註 Th1 表明 : 对于各项都连续且一致收敛的函数列{ }, 有 )(xf n )(limlim)(limlim 00 xfxf n xxn n nxx →∞→∞→→ = . 即极限次序可换 . 2. 可积性: Th 2 若在区间 上函数列{ }一致收敛 , 且每个 在 上连续. 则有 ] , [ ba )(xf n )(xf n ] , [ ba ( ) ∫∫ ∞→∞→ = a a n n n n dxxfdxxf )(lim)(lim b b b b . 证 设在 上 , 由 Th1, 函数 在区间 上 连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 ] , [ ba n f ?→? ?→? )(xf )(xf ] , [ ba ∫∫ = ∞→ a a n n dxxfdxxf )()(lim 166 ∫∫∫ ?≤? b a n b a b a n ffff || , 可见只要 ab xfxf n ? <? ε |)()(| 在 上成立. ] , [ ba Th2 的条件可减弱为: 用条件“ 在 上( R )可积”代替条 件“ 在 上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上 册 P350. )(xf n ] , [ ba )(xf n ] , [ ba 关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 设{ }是定义在区间 上的函数列. 若{ }在 上收敛且一致可积 , 则其极限函数 在 上( R)可积 , 且有 . )(xf n ] , [ ba )(xf n ] , [ ba )(xf ] , [ ba ∫∫ = ∞→ aa n n fflim bb 3. 可微性: Th 3 设函数列{ }定义在区间 上, 在某个点)(xf n ] , [ ba ∈ 0 x ] , [ ba 收敛. 对 , 在 上连续可导, 且由导函数构成的函数列 { }在 上一致收敛, 则函数列{ }在区间 上收敛, 且有 n? )(xf n ] , [ ba )(xf n ′ ] , [ ba )(xf n ] , [ ba () )(lim)(lim xf dx d xf dx d n n n n ∞→∞→ = . 证 设 )( 0 xf n → A， . , ) ( ∞→n )(xf n ′ ?→? ?→? )(xg ) ( ∞→n . 对 , 注意到函数 连 续 和 + , 就有 ∈?x ] , [ ba )(xg )(xf n = )( 0 xf n ∫ ′ x n dttf 0 )( x ∞→n lim )(xf n = ∞→n lim )( 0 xf n + 167 168 x ∞→n lim ∫ ′ x n dttf 0 )( = （ 对第二项交换极限与积分次序） = A + ( )dttf x x n n ∫ ′ ∞→ 0 )(lim = A + . ∫ == x x dttg 0 )( 令 )(xf ( 估计 | + ― )( 0 xf n ∫ ′ x x n dttf 0 )( A ― ∫ ≤ x x dttg 0 |)( ≤ | ―)( 0 xf n A | + | , 可证得 . ( ∫ ?′ x x n dttgtf 0 |)()( )(xf n ?→? ?→? )(xf ) )(xf ′ = = ′ ? ? ? ? ? ? + ∫ x x dttgA 0 )( )(xg = ∞→n lim =′ )(xf n ∞→n lim )(xf dx d n . 即 ()= ∞→ )(lim xf dx d n n ∞→n lim )(xf dx d n . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 [1] P49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) 例2 [1] P50 E2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) （二 .） 一致收敛函数项级数和函数的解析性质 : 把上述 Th1—3 表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的 相应结果. 参阅[1] P51 Th13.11—13.13. 例3 [1] P51 E3 例4 证明函数 )(xf = ∑ ∞ = ? 1n nx ne 在区间 ) , 0 ( ∞+ 内连续. 证 ( 先 证 在区间 ∑ ∞ = ? 1n nx ne ) , 0 ( ∞+ 内闭一致收敛.)对 ，有 ，+∞<<<? ba0 nanx nene ?? ≤≤0 ∈x ] , [ ba ；又 ， 在 一致收敛. ∑ +∞< ?na ne ? ∑ ∞ = ? 1n nx ne ] , [ ba ( 次证对 ∈? 0 x ) , 0 ( ∞+ , 在点 连续 ) 对)(xf 0 x ∈? 0 x ) , 0 ( ∞+ , 由上段讨论 , 在区间 ∑ ∞ = ? 1n nx ne ] 2 , 2 [ 0 0 x x 上一致收敛; 又函数 连 续, 在区间 nx ne ? ? )(xf ] 2 , 2 [ 0 0 x x 上连续, ? 在点 连续. 由点 的任意性, 在区间 内连续. )(xf 0 x 0 x )(xf ) , 0 ( ∞+ 例4 =)(xS ∑ ∞ = ? 1 1 n n nn x , ∈x ] 1 , 1 [ ? . 计算积分 . ∫ x dttS 0 )( Ex P76—78 . § 2 幂级数 （ 计划课时：1 0 时） P 76 —94 2005. 05.08 . § 2 幂级数 幂级数的一般概念 . 型如 和 的幂级数 . 幂 级数由系数数列 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨 ∑ ∞ = ? 0 0 )( n n n xxa ∑ ∞ =0n n n xa }{ n a 169 论型如 的幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一. ∑ ∞ =0n n n xa 一、 幂级数的收敛域 : 1．收敛半径 、收敛区间和收敛域： Th 1 （Abel 第一定理） 若幂级数 ∑ n n xa 在点 0≠= xx 收敛 ， 则 对满足不等式 || || xx < 的任何 x，幂级数 收敛而且绝对收敛 ； 若在点 ∑ n n xa xx = 发散 ，则对满足不等式 || || xx > 的任何 x ，幂级数 发散. ∑ n n xa 证 ∑ n n xa 收敛, { n n xa }有界. 设| n n xa |≤ M , 有 | nn n n n n Mr x x xaxa ≤?= ||||| , 其中 1 || <= x x r . ∑ +∞< , n Mr ? ∑ . ∞+< || n n xa 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数 和 ∑ 的收敛域的结构 . ∑ n n xa ? n n xxa )( 0 定义幂级数的收敛半径 R. 收敛半径 R 的求法. Th 2（ Cauchy—Hadamard）对于幂级数 , 若 ∑ n n xa ∞→n lim ρ= n n a || , 则 ⅰ> +∞<< ρ0 时, R ρ 1 = ; ⅱ> ρ = 0 时 +∞=R ; ⅲ> ρ = ∞+ 时 0=R . 证 ∞→n lim = n n n xa || ∞→n lim |||||| xxa n n ρ= , ( 强调开方次数与 x的次 数是一致的). …… 由于? ∞→n lim , || || 1 ?= + ρ n n a a ∞→n lim ρ= n n a || , 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数 的收敛区间 : ∑ n n xa ) , ( RR? . 170 幂级数 ∑ 的收敛域 : 一般来说 , 收敛区间 ? 收敛域. 幂级数 的收敛域是区间 、 n n xa ∑ n n xa ) , ( RR? ] , ( RR? 、 ) , [ RR? 或 之一. ] , [ RR? 例 1 求幂级数 ∑ 2 n x n 的收敛域 . ( ] 1 , 1 [ ? ) 例 2 求幂级数 nullnull ++++ n xx x n 2 2 的收敛域 . ( ) 1 , 1 [ ? ) 例 3 求下列幂级数的收敛域: ⑴ ∑ ∞ =0 ! n n n x ; ⑵ ∑ . ∞ =0 ! n n xn 2. 复合幂级数 : 令 ∑ )(xa n n ? )(xt ?= , 则化为幂级数 ∑ n n ta .设 该幂级数的收敛区间为 ) , ( RR? ，则级数 的收敛区间由不 等式 ∑ )(xa n n ? RxR )( <<? ? 确定.可相应考虑收敛域.特称幂级数 为正整数)为 缺项幂级数 . 其中 . 应注意 为 第 项的系数 . 并应注意缺项幂级数 ∑ 并不是复合幂级数 , 该级数中, 为第 项的系数 . ∑ kxa kn n ( k xx =)(? n a kn k n n xa n a k n 例4 求幂级数 null++++ 7 4 5 3 3 2 3 4 3 3 3 2 3 1 xxxx 的收敛域 . 解 null++++ 7 4 5 3 3 2 3 4 3 3 3 2 3 1 xxxx ∑ ∞ = + + = 0 2 1 3 1 n n n x n x 是缺项幂级 数 . ∞→n lim , 3 1 || || 1 ?= + n n a a 3=R . 收敛区间为 ) 3 , 3 ( ? . 3±=x 时, 通项 . 因此 , 该幂级数的收敛域为0→ / ) 3 , 3 ( ? . 171 例 5 求级数 ∑ ∞ = ? 0 )1(2 1 n nn x 的收敛域 . 解 令 1 1 ? = x t , 所论级数成为幂级数 ∑∑ ∞ = ∞ = ? ? ? ? ? ? = 00 22 nn n n n tt .由几何级数 的敛散性结果, 当且仅当 22 <<? t 时级数 ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? 0 2 n n t 收敛. 因此当且仅 当 2 1 1 2 < ? <? x , 即 2 1 |1| >?x 时级数 ∑ ∞ = ? 0 )1(2 1 n nn x 收敛. 所以所论 级数的收敛域为 ) , 2 3 () 2 1 , ( ∞+∪∞? . 例 6 求幂级数 的收敛半径 . ∑ 2 3 nn x 解 ∞→n lim = 2 3 nn ∞→n lim 1 , 13 =?= R n . Ex P90 1--4； 二． 幂级数的一致收敛性： Th 3 （Abel 第二定理）若幂级数 ∑ n n xa 的收敛半径为 R ) 0 ( > ，则 该幂级数在区间 内闭一致收敛 . ) , ( RR? 证 ? ] , [ ba ? ) , ( RR? , 设 } || , || max{ bax = , 则对 , 有∈?x ] , [ ba || || n n n n xaxa ≤ , 级数 ∑ n n xa 绝对收敛, 由优 级数判别法 , ? 幂级数 ∑ n n xa 在 上一致收敛 . 因此 , 幂 级数 ∑ 在区间 ] , [ ba n n xa ) , ( RR? 内闭一致收敛. Th 4 设幂级数 的收敛半径为 ∑ n n xa R ) 0 ( > ,且在点 Rx = ( 或 )收敛,则幂级数Rx ?= ∑ n n xa 在区间 ( 或] , 0 [ R ] 0 , [ R? )上一 致收敛 . 172 证 n n n n n R x Raxa ? ? ? ? ? ? = . ∑ n n Ra 收敛 , 函数列 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n R x 在区间 上递减且一致有界 , 由 Abel 判别法, 幂级数] , 0 [ R ∑ n n xa 在区间 上一致收敛 .易见 , 当幂级数] , 0 [ R ∑ n n xa 的收敛域为 (] , [ RR? R ) 0> 时 , 该幂级数即在区间 ] , [ RR? 上一致收敛 . 三 . 幂级数的性质: 1. 逐项求导和积分后的级数: 设 , ∑ ∞ = =′ 1 )( n n n xa ∑ ∞ = ? 1 1 n n n xna *) ∑ ∫ ∞ = = 1 0 n x n n dtta *)* 1 1 , 1 ∑ ∞ = + + n nn x n a *) 和 **)仍为幂级数. 我们有 命题1 *) 和 **)与 ∑ n n xa 有相同的收敛半径 . ( 简证 ) 值得注意的是，*) 和 **)与 ∑ n n xa 虽有相同的收敛半径（ 因而有相 同的收敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数 ∑ ∞ =1n n n x . 2. 幂级数的运算性质 : 定义 两个幂级数 和 在点 ∑ ∞ =0n n n xa ∑ ∞ =0n n n xb 0=x 的某邻域内相等是 指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. 命题 2 ∑ ∞ =0n n n xa = ∑ ∞ =0n n n xb , ) 1 ( , +∞<≤=? nba nn .(由以下 命题 4 系2) 命题 3 设幂级数 和 的收敛半径分别为 和 , , 则 ∑ ∞ =0n n n xa ∑ ∞ =0n n n xb a R b R },min{ ba RRR = ⅰ> ∑ ∑ = n n n n xaxa λλ , λ , || a Rx < — Const ， 0≠λ . 173 ⅱ> + , ∑ ∞ =0n n n xa ∑ ∞ =0n n n xb = n nn n xba )( 0 + ∑ ∞ = Rx || < . ⅲ> ( )( ) , , . ∑ ∞ =0n n n xa ∑ ∞ =0n n n xb = n n n xc ∑ ∞ =0 ∑ = ? = n k knkn bac 0 Rx || < 3. 和函数的性质: 命题4 设在 () , ( RR? R ) 0> 内 ∑ ∞ =0n n n xa = )(xf . 则 ⅰ> 在 内连续; )(xf ) , ( RR? ⅱ> 若级数 ∑ n n Ra ( 或 ∑ ? n n Ra ) ( ) 收敛 , 则 在点 ( 或 )是左( 或右 )连续的; )(xf Rx = Rx ?= ⅲ> 对 x? ∈ ) , ( RR? , 在点)(xf x 可微且有 ; )(xf ′ = ∑ ∞ = ? 1 1 n n n xna ⅳ> 对 , 在区间 上可积, 且 x? ∈ ) , ( RR? )(xf ] , 0 [ x ∫ = x dttf 0 )( ∑ ∞ = + + 0 1 1 n nn x n a . ( 当级数 ∑ ∞ = + + 0 1 1 n nn R n a 收敛时, 无论级数 ∑ 在点 ∞ =0n n n xa Rx = 收敛与否, ∫ = R dttf 0 )( ∑ ∞ = + + 0 1 1 n nn R n a . 这是因为: 由级数 ∑ ∞ = + + 0 1 1 n nn R n a 收敛, 得函数 ∫ = x dttf 0 )( ∑ ∞ = + + 0 1 1 n nn x n a 在点 左连续, 因此有 Rx = ∫ = R dttf 0 )( ∑ ∞ = + + 0 1 1 n nn R n a . ) 系1 和函数 在区间)(xf ) , ( RR? 内任意次可导, 且有 174 , …… )(xf ′ = nullnull ++++ ?1 21 2 n n xnaxaa . null+++= + xananxf nn n 1 )( )!1(!)( 由系 1 可见, 是幂级数的和函数的必要条件是 任意次可导. )(xf )(xf 系 2 若 , 则有 ∑ ∞ =0n n n xa = )(xf nullnull , ! )0( , , !2 )0( , 1 )0( ),0( )( 210 n f a f a f afa n n = ′′ = ′ == 例 7 验证函数 ∑ ∞ = = 0 ! 2 )( n nn n x xf 满足微分方程 R∈=?′?′′ xyyy ,02 . 验证 所给幂级数的收敛域为 ) , ( ∞+∞? . =′ )(xf ∑ ∞ = ? = ? 1 1 )!1( 2 n nn n x ∑ ∞ = + = 0 1 ! 2 n nn n x ∑ ∞ = = 0 )(2 ! 2 2 n nn xf n x . ? )(4)(2)( xfxfxf =′=′′ , 代入, ? 02 =?′?′′ yyy . Ex P90 5--8 . 四、函数的幂级数展开 （ 4 时 ） （一）函数的幂级数展开 : 1． Taylor 级数 : 设函数 在点 有任意阶导数. )(xf 0 x Taylor 公式和 Maclaurin 公式 . Taylor 公式： ∑ = =+?= n k n k k xRxx k xf xf 0 0 0 )( )()( ! )( )( n n xx n xf xx xf xxxfxf )( ! )( )( !2 )( ))(()( 0 0 )( 2 0 0 000 ?++? ′′ +?′+= null + )(xR n . 175 余项 的形式: )(xR n Peano 型余项 : )(xR n ( ) n xx )( 0 ?=null , （ 只要求在点 的某邻域内 有 阶导数 ， 存在 ） 0 x 1?n )( 0 )( xf n Lagrange 型余项 : )(xR n ξ ξ ,)( )!1( )( 1 0 )1( + + ? + = n n xx n f 在 x与 之 间. 或 0 x )(xR n ( ) 0 ,)( )!1( )( 1 0 00 )1( + + ? + ?+ = n n xx n xxxf θ 1<<θ . 积分型余项: 当函数 在点 的某邻域内有)(xf 0 x 1+n 阶连续导数时, 有 )(xR n ∫ ?= + x x nn dttxtf n 0 ))(( ! 1 )1( . Cauchy 余项 : 在上述积分型余项的条件下, 有 Cauchy 余项 )(xR n () 10 ,)()1()( ! 1 1 000 )1( ≤≤???+= ++ θθθ nnn xxxxxf n . 特别地， 时，Cauchy 余项 为 0 x 0= )(xR n ξξξ ,))(( ! 1 )1( xxf n nn ?= + 在 0与 x之间. Taylor 级数 : Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限 增多时, 得 nullnull +?++? ′′ +?′+ n n xx n xf xx xf xxxfxf )( ! )( )( !2 )( ))(()( 0 0 )( 2 0 0 000 ∑ ∞ = ?= 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf , 称此级数为函数 在点 的 Taylor 级数 . 只要函数 在点 无 限次可导, 就可写出 其 Taylor 级数. 称 = 时的 Taylor 级数为 )(xf 0 x )(xf 0 x 0 x 0 176 Maclaurin 级数, 即级数 ∑ ∞ =0 )( ! )0( n n n x n f .自然会有以下问题: 对于在点 无限次可导的函数 , 在 的定义域内或在点 的某邻域内 , 函数 和其 Taylor 级数是否相等呢 ? 0 x )(xf )(xf 0 x )(xf 2． 函数与其 Taylor 级数的关系： 例 1 函数 )(xf x? = 1 1 在点 无限次可微 . 求得 0=x , )1( ! )( 1 )( + ? = n n x n xf !)0( ), 1 ( )( nfx n =≠ . 其 Taylor 级数 为 . =+++++ nullnull n xxx 2 1 ∑ ∞ =0n n x 该幂级数的收敛域为 ) 1 , 1 ( ? . 仅在区间 ) 1 , 1 ( ? 内有 = . 而在其他点并不相等, 因为级数发散.那么, 在 Taylor 级数的收敛点, 是 否必有 和其 Taylor 级数相等呢 ? 回答也是否定的 . )(xf ∑ ∞ =0n n x )(xf 例 2 函数 ? ? ? ? ? = ≠ = ? . 0 , 0 , 0 , )( 2 1 x xe xf x 在点 0=x 无限次可导且有 ( 参阅 Ch 5 习题课例 6 ）， 因此其 Taylor 级数.0)0( )( = n f 0≡ ，在 内处处收敛 . 但除了点 外, 函数 和其 Taylor 级 数并不相等. 另一方面, 由本章§1 命题 4 系 2（和函数的性质）知：在 点 的某邻域内倘有 ) , ( ∞+∞? 0=x )(xf 0 x )(xf = ∑ ∞ = ? 0 0 )( n n n xxa , 则 在点 无限次 可导且级数 必为函数 在点 的 Taylor 级数. )(xf 0 x ∑ ∞ = ? 0 0 )( n n n xxa )(xf 0 x 综上 , 我们有如下结论: ⑴ 对于在点 无限次可导的函数 , 其 Taylor 级数可能除 0 x )(xf 177 点 =x 0 x 外均发散,( 参阅 复旦大学编《数学分析》下册 P90 第 9 题 ) ; 即便在点 的某邻域内其 Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是 . 由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的 Taylor 级数. 0 x )(xf ⑵ 若幂级数 在点 的某邻域内收敛于函数 , 则该幂级数就是函数 在点 的 Taylor 级数. 于是 , 为把函数 在点 的某邻域内表示为关于 的幂级数，我们只能考虑 其 Taylor 级数 . ∑ ∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 0 x )(xf )(xf 0 x )(xf 0 x )( 0 xx? 3． 函数的 Taylor 展开式： 若在点 的某邻域内函数 的 Taylor 级数收敛且和恰为 ，则 称函数 在点 可展开成 Taylor 级数( 自然要附带展开区间. 称此时 的 Taylor 级数为函数 在点 的 Taylor 展开式或幂级数展开式. 简 称函数 在点 可展为幂级数. 当 = 0 时, 称 Taylor 展开式为 Maclaurin 展开式 . 通常多考虑的是 Maclaurin 展开式 . 0 x )(xf )(xf )(xf 0 x )(xf 0 x )(xf 0 x 0 x 4． 可展条件 : Th 1 ( 必要条件 ) 函数 在点 可展 , 在点 有任 意阶导数 . )(xf 0 x ? )(xf 0 x Th 2 ( 充要条件 ) 设函数 在点 有任意阶导数. 则 在区 间 内等于其 Taylor 级数( 即可展 ) 的充要条件 是: 对 , 有 . 其中 是 Taylor 公式中 的余项. )(xf 0 x )(xf ) 0 ( ) , ( 00 >+? rrxrx ) , ( 0 rxx ∪∈? 0)(lim = ∞→ xR n n )(xR n 证 把函数 展开为 阶 Taylor 公式, 有 )(xf n , |)(||)()(| xRxSxf nn =?? )(xf ),(lim ?= ∞→ xS n n 0)(lim = ∞→ xR n n . Th 3 ( 充分条件 ) 设函数 在点 有任意阶导数 , 且导函数所)(xf 0 x 178 成函数列 一致有界, 则函数 可展. )}({ )( xf n )(xf 证 利用 Lagrange 型余项 , 设 , 则有 Mxf n ≤|)(| )( ) ( , 0 )!1( || )( )!1( )( |)(x| 1 01 0 )1( ∞→→ + ? ?≤? + = + + + n n xx Mxx n f R n n n n ξ . 例 3 展开函数 ⅰ> 按)(xf ,32 23 ++?= xxx x 幂; ⅱ> 按 幂. ) 1 ( +x 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32 )0()0(23)0( ?=?=++?= ffxxxf , 143 2 +?=′ xxf ; 8) 1 ( , 1) 0 ( =?′=′ ff 46 ?=′′ xf , ; 10) 1 ( , 4) 0 ( ?=?′′?=′′ ff 6=′′′f , ; 6) 1 ( , 6) 0 ( =?′′′=′′′ ff 0 )()4( ==== nullnull n ff . 所以 , ⅰ> 3232 23 !3 )0( !2 )0( )0()0()( xxxx f x f xffxf +?+= ′′′ + ′′ +′+= . 可见 , x的多项式 的 Maclaurin 展开式就是其本身. )(xP n ⅱ> =+ ?′′′ ++ ?′′ ++?′+?= 32 )1( !3 )1( )1( !2 )1( )1)(1()1()( x f x f xffxf . 32 )1()1(5)1(81 +++?++?= xxx 179 Ex P91 9--15. （二）初等函数的幂级数展开式: 初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式. 为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开. 1. = x e ∑ ∞ =0 , ! n n n x ) , ( ∞+∞?∈x . ( 验 证 对 ∈?x R ， 在区间 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此 可展 ). xn exf =)( )( ] , 0 [ x ] 0 , [ x = x a ∑ ∞ = = 0 ln , ! ln n nn ax n ax a ∞+< || x . 2. =xsin ∑ ∞ = + + ? 0 12 )!12( ) 1 ( n n n n x , ) , ( ∞+∞?∈x . =xcos ∑ ∞ = ? 0 2 )!2( ) 1 ( n n n n x , ) , ( ∞+∞?∈x . 可展是因为 ? ? ? ? ? ? += a n xxf n π sin)( )( 在 ) , ( ∞+∞? 内一致有界. 3. 二项式 的展开式 : m x)1( + m为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身; m x)1( + m为不是正整数时, 可在区间 内展开为 ) 1 , 1 ( ? m x)1( + null null null + +??? ++ ? ++= n x n nmmmm x mm mx ! )1()2)(1( !2 )1( 1 2 对余项的讨论可利用 Cauchy 余项. 具体讨论参阅[1] P88. 进一步地讨 论可知 ( 参阅Г.М.Фихтенгольц 《 微积分学教程》Vol 2 第二分册.): 1?≤m 时, 收敛域为 ) 1 , 1 ( ? ; 180 01 <<? m 时, 收敛域为 ; ] 1 , 1 ( ? 0>m 时, 收敛域为 ] 1 , 1 [ ? . 利用二项式 的展开式 , 可得到很多函数的展开式 . 例如取 ,得 m x)1( + 1?=m nullnull +?+?+?= + 1 nn xxx x ) 1 (1 1 2 ， ) 1 , 1 ( ?∈x . 2 1 ?=m 时 , null+ ?? ?? ? ? ? +?= + 32 642 531 42 31 2 1 1 1 1 xxx x , . ] 1 , 1 ( ?∈x 间接展开 : 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算 , 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在 其收敛区间内闭一致收敛 , 总可保证这些运算畅通无阻. 4. nullnull +?+?+?=+ ? n xxx xx n n 1 32 ) 1 ( 32 )1ln( ∑ ∞ = ? ?= 1 1 ) 1 ( n n n n x . . ] 1 , 1 ( ?∈x 事实上 , 利用上述 x+1 1 的展开式, 两端积分 , 就有 ∫ = + =+ x t dt x 0 1 )1ln( ∑ ∫ ∞ = =? 0 0 ) 1 ( n x nn dtt ∑ ∞ = + + ? 0 1 1 ) 1 ( n n n n x ∑ ∞ = ? ?= 1 1 ) 1 ( n n n n x , . ) 1 , 1 ( ?∈x 验证知展开式在点 1=x 收敛, 因此 , 在区间 ] 1 , 1 ( ? 上该展开式成立. 5. =+?+?= null 753 753 xxx xarctgx ∑ ∞ = + + ? 0 12 , 12 ) 1 ( n n n n x . ] 1 , 1 [ ?∈x 181 由 = + 2 1 1 x ∑ ∞ = ∈? 0 2 ,) 1 ( n nn xx ) 1 , 1 ( ? . 两端积分,有 ∫∫ ∑ ∫ ∑ ∞ = ∞ = ?=? ? ? ? ? ? ?= + = xx n x nn n nn dttdtt t dt arctgx 00 0 0 2 0 2 2 )1()1( 1 = ∑ ∞ = + + ? 0 12 , 12 ) 1 ( n n n n x 验证知上述展开式在点 1±=x 收敛, 因此该展开式在区间 ] 1 , 1 [ ? 上成 立.(这里应用了习题中第 2 题的结果, 参阅[1] P65 ) 例4 展开函数 143 1 )( 2 +? = xx xf . 解 ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑∑ ∞ = ∞ = + 00 1 3 2 1 1 1 31 3 2 1 )( nn nnn xx xx xf ∑ ∞ = + <?= 0 1 3 1 || , ) 13 ( 2 1 n nn xx . 例5 展开函数 . x exxf )1()( += 解 =+= xx xeexf )( ∑ ∞ = + 0 ! n n n x ∑ ∞ = + = 0 1 ! n n n x ∑∑ ∞ = ∞ = ? + 01 )!1(! nn nn n x n x = +1 ∑ ∞ =1 ! n n n x ∑∑ ∞ = ∞ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++= + + 11 )!1( 1 ! 1 1 )!1( nn n n x nnn x ∑ ∞ = = + += 1 ! 1 1 n n x n n ∑ ∞ = ∞+< + 0 || , ! 1 n n xx n n . Ex P91 12―15 习 题 课 ( 2 时 ) 一. 求收敛区间或收敛域: 例1 求幂级数 ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? ? + 0 2 3 )21( 1 n n n x n n 的收敛区间 . 182 例2 求幂级数 ∑∑ ∞ == ? ? ? ? ? ? 11 1 n n n i x i 的收敛域. 解 设 ∑ = = n i n i a 1 1 , 注意到 +∞= ∞→ n n alim , 有 ) ( , 1 1 1 1 1 ∞→→ + += + n a n a a nn n . 时, 1±=x ,0 1 1 → / ? ? ? ? ? ? ∑ = n n i x i ? 收敛域为 ) 1 , 1 ( ? . 二. 函数展开: 例3 把函数 2 xx ee shx ? ? = 展开成 x的幂级数 . 解 = x e nullnull ++++++ !!3!2 1 32 n xxx x n , ∞+< || x , = ?x e nullnull + ? ++?+? ! ) 1( !3!2 1 32 n xxx x nn , ; ∞+< || x ? ? ? ? ? ? ? ? + + ++++=? + ? nullnull )!12(!5!3 2 1253 n xxx xee n xx ; 2 xx ee shx ? ? = = ∑ ∞ = + + 0 12 )!12( n n n x , ) , ( ∞+∞?∈x . ( 与 的展开式xsin =xsin ∑ ∞ = + + ? 0 12 )!12( ) 1 ( n n n n x 比较. ) 例4 展开函数 )(xf = x 2 cos . 解 )2cos1( 2 1 cos 2 xx += , =x2cos ∑ ∞ = =? 0 2 )!2( )2( ) 1 ( n n n n x ∑ ∞ = ? 0 2 )!2( 4 ) 1 ( n nn n n x , 183 ) , ( ∞+∞?∈x . 因此, 2 1 2 1 )!2( 4 ) 1(1 2 1 cos 0 2 2 += ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+= ∑ ∞ =n nn n n x x ∑ ∞ = ? 0 2 )!2( 4 ) 1 ( n nn n n x = +1 ∑ ∞ = ? 1 2 )!2( 4 ) 1 ( 2 1 n nn n n x ， . ) , ( ∞+∞?∈x 例5 展开函数 )(xf = 6 2 1 x x + . 解 nullnull +?++?+?= + nn xxxx x ) 1(1 1 1 32 , 1 || <x ; 因此, nullnull +?++?+?= + +26201482 6 2 ) 1( 1 nn xxxxx x x , . 1 || <x 例6 把函数 )(xf = )5ln( x+ 展开成 的幂级数. )2( ?x 解 nullnull +?+?+?=+ ? n xxx xx n n 1 32 ) 1 ( 32 )1ln( ∑ ∞ = ? ?= 1 1 ) 1 ( n n n n x , ] 1 , 1 ( ?∈x . 而 7ln 7 2 1ln)27ln()5ln( + ? ? ? ? ? ? ? +=?+=+ x xx = = ∑ ∞ = ? + ? ? 1 1 7ln 7 )2( ) 1( n n n n n x , ] 9 , 5(?∈x . 三、 函数展开式应用举例: 1． 做近似计算 : 例7 计算积分 , 精确到 . ∫ ? = 1 0 2 dxeI x 0001.0 184 解 = ? 2 x e ∑ ∞ = ? 0 2 , ! ) 1( n n n n x ) , ( ∞+∞?∈x . 因此, ∫∫ ∑ = ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∞ = ? 1 0 1 0 0 2 ! ) 1( 2 dx n x dxe n n nx ∑ ∫ ∞ = =? 0 1 0 2 ! ) 1( n n n dx n x ∑ ∞ = + ? 0 !)12( 1 ) 1( n n nn . 上式最后是 Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对 值 . 为使 1000 1 !)12( 1 < + nn ,可取 .故从第 项到第 6项这前 7 项 之和达到要求的精度.于是 7≥n 0 ∫ ? = 1 0 2 dxeI x = ? + ? ? ? + ? ? ? +?≈ 72013 1 12011 1 249 1 67 1 25 1 3 1 1 7468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01 =+?+?+?= . 2. 利用展开式求高阶导数: 原理. 例 8 设 ? ? ? ? ? = ≠ = .0 , 1 ,0 , sin )( x x x x xf 证明对 存在并求其 值. )0( , )(n fn? 解 =xsin ∑ ∞ = + + ? 0 12 )!12( ) 1 ( n n n n x , ) , ( ∞+∞?∈x . 0≠x 时, == x x xf sin )( ∑ ∞ = += + ? 0 2 1 )!12( ) 1 ( n n n n x ∑ ∞ = + ? 1 2 )!12( ) 1 ( n n n n x , 直接验证可知上式当 0=x 时也成立 . 因此在 ) , ( ∞+∞? 内有 =)(xf +1 ∑ ∞ = + ? 1 2 )!12( ) 1 ( n n n n x , ) , ( ∞+∞?∈x . 函数 作为 )(xf x的幂级数的和函数, 对 存在 , 且 )0( , )(n fn? 185 ? ? ? ? ? ? ? ? ? += = = + ? = . 12 , 0 , 2 , 1 , 0 ,2 , )!12( )!2() 1( )0( )( mn m mn m m f m n null 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? += = = + ? = . 12 , 0 , 2 , 1 , 0 ,2 , 12 ) 1( )0( )( mn m mn m f m n null 四、幂级数求和: 原理: 对某些幂级数, 有可能利用初等运算或 微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式( 特别是化为函数 x?1 1 和 的展开式 ),借以求和. x e 例9 求幂级数 ∑ ∞ =1n n n x 的和函数并求级数 ∑ ∞ = + 1 1 3 2 n n n n 和 Leibniz 级数 ∑ ∞ = + ? 1 1 ) 1( n n n 的和. 解 幂级数 ∑ ∞ =1n n n x 的 收敛域为 , 设和函数为 ,则在 内有 ) 1 , 1[? )(xS ) 1 , 1 ( ? =′ )(xS x x n n ? = ∑ ∞ = ? 1 1 1 1 , 注意到 , 则对0)0( =S ∈?x ) 1 , 1 ( ? 有 ∫∫ ??= ? =′=?= xx x t dt dttSSxSxS 00 )1ln( 1 )()0()()( . 又 在点 连续 , 于是在区间 内上式成立. 即有 )(xS 1?=x ) 1 , 1[? 186 ∑ ∞ =1n n n x )1ln( x??= , ∈x ) 1 , 1 [ ? . 取 3 2 =x , 有 ∑ ∞ = + 1 1 3 2 n n n n 2= ∑ ∞ = = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 1 3ln2 3 2 2 3 21 n n S n . 取 , 有1?=x ∑ ∞ = + ? 1 1 ) 1( n n n ?= ∑ ∞ = =??= ? 1 2ln)1( ) 1( n n S n . 例 10 求幂级数 的和函数. 并利用该幂级数的和函数求幂级数 ∑ ∞ =1n n nx ∑ ∞ = + 1 12 3 n n n nx 的和函数以及数项级数 ∑ ∞ = ? + 1 1 2 1 n n n 的和. 解 该幂级数的收敛域为 ) 1 , 1(? . 在 内设 ) 1 , 1(? =)(xf ∑ ∞ =1n n nx x= )( 1 1 xxSnx n n = ∑ ∞ = ? . 现求 . 对)(xS ∈?x ) 1 , 1 ( ? ,有 ∫ ∑∑ ∫ ∞ = ∞ = ? ? === x nn n x n x x xdtntdttS 0 11 0 1 1 )( . 由 连续 , 有 )(xS )(xS 2 0 )1( 1 1 )( xx x dttS x ? = ′ ? ? ? ? ? ? ? = ′ ? ? ? ? ? ? = ∫ . 因此, ∑ ∞ =1n n nx 2 )1( )()( x x xxSxf ? === , 1 || <x . 作代换 3 2 x t = , 有 ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = + ? = ? ?== ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 22 3 2 1 2 1 12 )3( 3 )1(33 nn n n n n n x x t t xntx x nx nx . 3 || <x . 187 ∑ ∞ = ? + 1 1 2 1 n n n ∑∑∑ ∞ = ∞ = ? ∞ = =+ ? ? ? ? ? ? ? ?= ? + ? ? ? ? ? ? =+= 11 21 1 62 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 nn n n n n n n . 例11 求幂级数 ∑ ∞ = + 0 ! 1 n n x n n 的和函数. 解法一 收敛域为 ) , ( ∞+∞? ,设和函数为 , 则有 )(xS ∫∫ ∑ ∫ ∑ ∞ = ∞ = =+=? ? ? ? ? ? + = xx n x n n n dttn n dtt n n dttS 00 0 0 0 )1( ! 1 ! 1 )( ∑ ∞ = + = 0 1 ! n x n xe n x . 因此， ∑ ∞ = + 0 ! 1 n n x n n = )(xS = , xx x exxedttS )1()()( 0 +=′= ′ ? ? ? ? ? ? ∫ ∈x ) , ( ∞+∞? . 解法二 ∑ ∞ = + 0 ! 1 n n x n n = ∑ ∞ = + 0 ! n n n nx ∑ ∞ = = 0 ! n n n x ∑ ∞ = + ? 1 )!1( n x n e n x = ∑ ∞ = +=+=+= 0 )1( ! n xxxx n exexee n x x , ∈x ) , ( ∞+∞? . 例12 求幂级数 ∑ ∞ = +? 1 11 ! 2 n nn n x 的和函数. 解 ∑ ∞ = +? 1 11 ! 2 n nn n x )1( 2 1 ! )2( 2 2 0 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∑ ∞ = x n n e x n xx . 例13 求数项级数 ∑ ∞ = + ? 0 12 ) 1 ( n n n 的和. 解 该级数为 Leibniz型级数, 因此收敛. 考虑幂级数 ∑ ∞ = + + ? 0 12 12 ) 1 ( n nn n x , 其收敛域为 . 设和函数为 , 在] 1 , 1[? )(xS ) 1 , 1(? 内有 188 ∑∑ ∞ = ∞ = + =?=?=′ 0 2 2 0 2 1 1 )() 1 ()( n n n nn x xxxS , 1 || <x . 注意到 ,对0)0( =S ∈?x ) 1 , 1 ( ? 有 )(xS = )(xS ∫∫ = + =′=? xx arctgx x dt dttSS 00 2 1 )()0( , ∈x ] 1 , 1[? . 于是, ∑ ∞ = + ? 0 12 ) 1 ( n n n = 4 1) 1 ( π == arctgS . Ex P94—95 189