Ch 15 极值与条件极值 计划课时：8 时 P 186 — 204 2005. 08. 20. Ch 15 极值与条件极值 ( 8 时 ) § 1 极值和最小二乘法 : 一、极值 1. 极值的定义 : 注意只在内点定义极值. 2． 极值的必要条件：与一元函数比较 . Th 1 设 为函数 的极值点 . 则当 和存在时 , 有 0 P )(Pf )( 0 Pf x )( 0 Pf x = . ( 证 ) )( 0 Pf y 0= 函数的驻点，不可导点，函数的可疑点。 3. 极值的充分条件 : 代数准备 : 给出二元( 实 ) 二次型 . 其矩阵为 22 2),( cybxyaxyxg ++= . ? ? ? ? ? ? ? ? cb ba ⅰ> 是正定的, 顺序主子式全 , ),( yxg ? 0 > 是半正定的,),( yxg ? 顺序主子式全 ; 0 ≥ ⅱ> 是负定的, , 其中 为 阶顺序主子式. ),( yxg ? 0||) 1( 1 >? k ij k a k ij a 1 || k 是半负定的, . ),( yxg ? 0||) 1( 1 ≥? k ij k a ⅲ> < 0 时 , 是不定的. ? ? ? ? ? ? ? ? cb ba ),( yxg 充分条件的讨论: 设函数 在点 某邻域有二阶连续偏导数 . 由 Taylor 公式 , 有 ),( yxf ),( 000 yxP )()( !2 1 )(),() , ( 2 0 2 00000 ρD+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? =?++ Pf y k x hPf y k x hyxfkyhxf + + = )( 0 Pf x h )( 0 Pf y k [])()()(2)( !2 1 22 00 2 0 ρD+++ kPfhkPfhPf yyxyxx . 令 , , , 则当 为驻点时, 有)( 0 PfA xx = )( 0 PfB xy = )( 0 PfC yy = 0 P [])(2 2 1 ),() , ( 222 0000 ρD+++=?++ CkBhkAhyxfkyhxf . 其中 22 kh +=ρ .可见式 ),() , ( 0000 yxfkyhxf ?++ 的符号由二次型 完全决定. 称该二次型的矩阵为函数 的 Hesse 矩阵 . 于是由上述代数准备, 有 22 2 CkBhkAh ++ ),( yxf ⅰ> , 为 ( 严格 ) 极小值点 ; 0 , 0 2 >?> BACA 0 P? ⅱ> , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 0 , 0 2 >?< BACA 0 P? ⅲ> 时, 不是极值点; 0 2 <? BAC 0 P ⅳ> 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 0 2 =? BAC 0 P 综上 , 有以下定理 . Th 4 设函数 在点 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则 )(Pf 0 P 0 P ⅰ> ( ) 0)( , 0)( 0 2 0 >?> PfffPf xyyyxxxx 时 , 为极小值点; 0 P ⅱ> ( ) 0)( , 0)( 0 2 0 >?< PfffPf xyyyxxxx 时 , 为极大值点; 0 P ⅲ> ( ) 0)( 0 2 <? Pfff xyyyxx 时 , 不是极值点; 0 P ⅳ> ( ) 0)( 0 2 =? Pfff xyyyxx 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 0 P 例 1—4 P189—191 . 二． 最小二乘法： 215 三．函数的最值： 例 5 求函数 ),( yxf yxyxyx 41024 22 +??+= 在域 D = 上的最值 . } 4 , 0 , 0 |),( { ≤+≥≥ yxyxyx 解 令 解得驻点为 . ? ? ? =+?= =?+= .04 44),( ,01042),( yxyxf yxyxf y x ) 2 , 1 ( 1) 2 , 1 ( ?=f . 在边界 上 , , 驻点为) 40 ( 0 ≤≤= yx yyyf 42),0( 2 +?= 1=y , ; 2)1,0( =f 在边界 上 , , 没有驻点; ) 40 ( 0 ≤≤= xy xxxf 10)0,( 2 ?= 在边界 ) 40 ( 4 ≤≤?= xxy 上 , , 16185)4 , ( 2 ?+?=? xxxxf 驻点为 , . 8.1=x 2.0)8.14 , 8.1( =?f 又 24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0( ?=?== fff . 于是 , == )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max ffffffyxf D 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{ =???= . ),(min yxf D 24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{ ?=???= . Ex P195 . § 2 条件极值 ( 1 时 ) 一、 条件极值问题 : 先提出下例: 例 要设计一个容积为 V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表 面积最小 . 分别以 x 、 y 和 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约 束条件 之下求函数 z Vxyz = xyyzxzzyxS ++= )(2),,( 的最小值 . 条件极值问题的一般陈述 . 二、 条件极值点的必要条件 : 设在约束条件 0),( =yx? 之下求函数 的极值 . 当满足约束条件的点 是函数 的条件极值点 , 且在该点函数 =z ),( yxf ),( 00 yx ),( yxf ),( yx? 满足隐函数存在 条件时, 由方程 0),( =yx? 决定隐函数 )(xgy = , 于是点 就是一元函数 0 x 216 217 )()( , xgxfz = 的极限点 , 有 0)( =′+= xgff dx dz yx . 代入 ),( ),( )( 00 00 0 yx yx xg y x ? ? ?=′ , 就有 0 ),( ),( ),(),( 00 00 0000 =? yx yx yxfyxf y x yx ? ? , ( 以下 、 、 x f y f x ? 、 y ? 均表示相应偏导数在点 的值 . ) ),( 00 yx 即 x f y ? — y f x ? 0= , 亦即 ( , ) x f y f (? y ? , x ?? ) 0= . 可见向量( , )与向量 x f y f ( y ? , x ?? )正交. 注意到向量 ( x ? , y ? )也与向 量 ( y ? , x ?? )正交, 即得向量 ( , )与向量 x f y f ( x ? , y ? )线性相关, 即存 在实数 λ , 使 ( , ) + x f y f λ ( x ? , y ? ) 0= . 亦即 ? ? ? =+ =+ . 0 , 0 yy xx f f λ? λ? 三、 Lagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数 =z ),( yxf 在约束条件 0),( =yx? 之下的条件极值点应 是方程组 的解. ? ? ? ? ? = =+ =+ . 0),( , 0),(),( , 0),(),( yx yxyxf yxyxf yy xx ? λ? λ? 倘引进所谓 Lagrange 函数 ),(),(),,( yxyxfyxL λ?λ += , ( 称其中的实数 λ 为 Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组 ? ? ? ? ? = = = . 0),,( , 0),,( , 0),,( λ λ λ λ yxL yxL yxL y x 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 . 四、 用 Lagrange 乘数法解应用问题举例 : 例 1．求容积为 V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . 例 2． 抛物面 被平面zyx =+ 22 1=++ zyx 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原 点的最长和最短距离. 例 3． 求函数 在条件 xyzzyxf =),,( )0,0,0,0( 1111 >>>>=++ rzyx rzyx 下的极小值. 并证明不等式 3 1 111 3 abc cba ≤ ? ? ? ? ? ? ++ ? , 其中 为任意 正常数 . cba , , 218