S F 01（数） Ch 3 函数极限与连续函数 计划课时： 2 6 时 P 21—39 2004． 09． 30． Ch 3 函数极限与连续函数 § 1 函数极限 （ 1 0 时 ） 一． 时函数 的极限： 0 xx → )(xf 由 考虑 时的极限引入. ? ? ? = ≠+ = .2 ,0 ,2 ,12 )( x xx xf 2→x 定义 函数极限的“ δε ? ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 1 验证 .lim 0 CC xx = → 例 2 验证 .lim 0 0 xx xx = → 例 3 验证 . [1]P71 E1 ( 取 1lim 0 = → x x e )}1ln( , )1min{ln( εεδ ??+= ) 例 4 验证 . [1]P72 E2 4lim 2 2 = → x x 例 5 验证 1 )1( lim 2 1 ? ? → x xx x . [1]P72 E3 例 6 验证 . 5 12 372 933 lim 2 23 3 = +? ?+? → xx xxx x 证 由 ,3≠x 5 12 )3( )12( )3( )3( 5 12 372 933 2 2 23 ? ?? ?+ =? +? ?+? xx xx xx xxx = = . 12 395 125 395 5 12 12 3 2 ? ?? ≤ ? ?? =? ? + x xx x xx x x 为使 ,11635615595 ≤+?≤+?=? xxx 需有 ;13 <?x 为使 ,1325562 12 >??≥+?=? xxx 需有 .23 <?x 21 于是, 倘限制 130 <?< x , 就有 5 12 372 933 2 23 ? +? ?+? xx xxx 12 395 ? ?? ≤ x xx nullnull .311 1 311 ?= ? ≤ x x 例 7 证明: 0 sinsinlim 0 xx xx = → . （ ) 2 cos 2 sin2sinsin 00 0 xxxx xx +? =? 二 . 单侧极限: 1. 定义： 单侧极限的定义及记法. 几何意义: 回顾半邻域 },0 {),( δδ <?≤= + axxa∪ = ? ),( δa∪ ). , (),( ), , (),( ], , ( 00 aaaaaaaa δδδδδ ?=+=? ?+ ∪∪ 然后介绍 )(lim 0 xf xx + → 等的几何意义. 例 8 验证 .01lim 2 1 =? ? → x x 证 考虑使 2 2 2 1 ε<? x 的 nullnull .δ 例 9 求 和 . x x sgnlim 0?→ x x sgnlim 0+→ 例 10 ,)( 1 x exf = 求 和 )00( +f )00( ?f . [1]P79 E8 2. 单侧极限与双侧极限的关系 : Th .)0()0( ,)(lim 00 0 AxfxfAxf xx =?=+?= → 类似有: .)()( ,)( AffAf =+∞=?∞?=∞ 例 11 证明极限 1 2 lim 2 1 ? ?+ → x xx x 不存在. Ex [1]P84 1⑴―⑷. 三 . 函数极限定义的扩充: [1]P80. 几种无穷大量. 22 例 12 验证极限 . 0lim = ?∞→ x x e 证 ), 1 , 0 (∈?ε 取 ε ε =<<??<?>= ?Xx eeXxX 0 , , 0 1 ln . 此即 0lim = ?∞→ x x e 例 13 验证 .2 2 2 lim 2 2 = ? + ∞→ x xx x 证 . 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 3 22 2 x x x x x x x x xx xx =≤ ? + ≤ ? + =? ? + >> …… 例 14 验证极限 ?∞= ? ?→ 1 lim 2 1 x x x . 证 对 , 为使 0>?G G x x ?< ?1 2 , 只要 Gx x 11 2 < ? ；为使 , 2 1 |1| , 2 1 |1|1|11||| <??>??≥??= xxxx 又 ,1<x 应有 2 1 10 <?< x . 于是, 对上述 , 取 0>G nullnull }, 4G 1 , 2 1 min{=δ 例 15 x 的有理分式当 ∞→x 时的极限. [1] P82 E11 四． 极限的否定： 例 16 写出“ Axf ax = → )(lim ”的否定命题的分析表述. 例 17 写出下列命题的“否定命题”的分析表述: ⑴ 是负无穷大量. }{ n a ⑵ 在点 的右极限是 )(xf 0 x A . Ex [1]P84—85 1⑸―⑻，8. 23 五. 函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出，并证明. 1. 唯一性 : Th 1 2. 局部有界性 : Th 2 3. 局部保号性 : Th 3 4. 单调性 ( 不等式性质 ): Th 4 若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域 , 使 )(lim 0 xf xx→ )(lim 0 xg xx→ 0 x ),( 0 0 δ′x∪ ),( 0 0 δ′∈? xx ∪ 都有 ),()( ?≤ xgxf )(lim 0 xf xx→ ).(lim 0 xg xx→ ≤ 证 设 = ( 现证对 )(lim 0 xf xx→ .)(lim , 0 BxgA xx = → ,0>?ε 有 .2ε+< Ba ) .2 ,)()( ),,( ,0 ,0 0 0 εεεδδε +<?+<≤<??∈?>?>? BABxgxfAxx ∪ 註 : 若在 Th 4 的条件中, 改“ )()( xgxf ≤ ”为“ )()( xgxf < ”, 未必就有 .BA< 以 举例说明. 0 ,1)( ,1)( 0 2 =≡+= xxgxxf Th 5 若 BxgAxf xxxx == →→ )(lim , )(lim 00 , 且 BA > . 则存在 0>δ , 当 δ<?< ||0 0 xx 时成立 . )()( xgxf > 证 取 nullnull , 2 0 BA? =ε 5. 迫敛性 ( 双逼原理 ): Th6 6. 四则运算性质 : ( 只证“+ ”和“ × ”) Th7 例 18 证明: 1 sin lim 0 = → x x x . [1]P75 E4 例 19 证明: e x x x = ? ? ? ? ? ? + ∞→ 1 1lim . [1]P82 E12 Ex [1]P84 2. 24 六 . 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： ;coscoslim ,sinsinlim ,lim ,lim 000 0000 xxxxxxCC xxxxxxxx ==== →→→→ . 2 lim ,0 1 lim π ±== ±∞→∞→ arctgx x xx 1 sin lim 0 = → x x x . e x x x = ? ? ? ? ? ? + ∞→ 1 1lim . （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅 [4]P37—38. 我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基 本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 20 ).1(lim 4 ? → xtgx x π ( 利用极限 2 2 4 sinsinlim 4 == → π π x x 和 . 2 2 coslim 4 = → x x π ) 例 21 ) 1 ( . 1 3 1 1 lim 3 1 ? ? ? ? ? ? ? + ? + ?→ xx x 例 22 . 1 1 lim 10 7 1 ? ? → x x x [ 利用公式 ] ).1)(1(1 21 ++++?=? ?? aaaaa nnn null 例 23 . 2 122 lim 2 2 1 ?+ ?+? → xx xx x 例 24 ⑴ ; 53 132 lim 22 + ++ +∞→ x xx x ⑵ . 53 132 lim 22 + ++ ?∞→ x xx x 例 25 . 23 )102sin( lim 25 4 x xxx x ? ?+ ∞→ 例 26 . 1 1 lim 3 1 ? ? → x x x [4]P58 E30 25 例 27 . 11 11 lim 3 0 ?+ ?+ → x x x 例 28 设极限 )( )( lim 0 xg xf xx→ 存在( 有限 ). 试证明 : 若 0)(lim 0 = → xg xx , 则 0)(lim 0 = → xf xx . 例 29 已知 . 3 16 lim 2 3 B x Ax x = ? ?+ → 求 A和 参阅[4] P69. .B 例 30 . sin lim x x x ? → π π 例 31 2 0 cos1 lim x x x ? → . 例 32 . 3sin 5sin lim 0 x x x→ 例 33 . arcsin lim 0 x x x→ 例 34 ,1lim x x x k ? ? ? ? ? ? + ∞→ 特别当 2 1 ,1 =?= kk 等. 例 35 .) 21 (lim 1 0 x x x+ → 例 36 . 12 32 lim 3 5 x x x x ? ∞→ ? ? ? ? ? ? + ? Ex [1]P84 3⑴（提示： 利用式 , 111 ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? xxx 而 ? ? ? ? ? ? x 1 有界）, 4 ⑴; P97 7⑵⑷. [4]P79—82 49，50，52，54，56，58，59，60，89，90，91， 93—96，113—116. 七. 函数极限存在的充要条件： 1． Heine 归并原则 —— 函数极限与数列极限的关系： 26 Th 8 ,)(lim 0 ?= → Axf xx 对任何 0 xx n ≠ 且 )( 0 ∞→→ nxx n ，有 . Axf n →)( )( ∞→n . （ 解释 fn Dx ∈ ，下面不再每次声明 ） ( 证 ) Heine 归并原则的意义： 整体与部分 ，连续与离散 ，证明函数极限不存在 . Th 9 存在, 对任何 )(lim 0 xf xx→ ? 0 xx n ≠ 且 )( 0 ∞→→ nxx n , 收敛. )}({ n xf 证 )? ( 证明对任何 且 )? 0 xx n → 0 xx n ≠ ， 收敛于同一极限. ) )}({ n xf 设 , 0 xx n →′ 0 xx n ≠′ ； ， 0 xx n →′′ 00 xx ≠′′ . Axf n →′)( , Bxf n →′′)( , ( ) . 现证 ∞→n BA = . 考虑数列 , 其中 } { n t ? ? ? =′′ ?=′ = . 2 , , 12 , knx knx t k k n ( 即 : } { n t null , , , , 2211 xxxx ′′′′′′ ). 易见 , 且 0 xt n → 0 xt n ≠ . 因此 收敛, … } )( { n tf ? BA = . 例 37 证明函数 x xf 1 sin)( = 在点 0=x 没有极限. [1] P78 E6 例 3 8 证明 Dirichlet 函数 在每一点都没有极限. )(xD 例 39 利用数列极限的双逼原理证明函数极限的双逼原理. 例 40 证明: ?+∞=? ,)0( 0 xf 对任何从左方收敛于 的数列 0 x )( }{ 0 xxx nn < , 有 )( , )( ∞→+∞→ nxf n . ( 作业提示 ) 2． Cauchy 收敛原理： Th10 设函数 在点 的某空心邻域 内有定义 . 则极限 f 0 x ) , ( 0 δ′x null ∪ )(lim 0 xf xx→ 存在 , ? 0>?ε ， 0>?δ ( δδ ′< ) ， 使对 ∈′′′? xx , ) , ( 0 δx null ∪ , 有 ε |)()(| <′′?′ xfxf . 27 证 设 , …… )? Axf xx = → )(lim 0 ( 证明对任何 ， ， 收敛. )? ) , (} { 0 δ′? xx n null ∪ 0 xx n → )}({ n xf 然后利用 Th 9 的充分性 ) 对任何 , ， 证明 是 Cauchy 列 . ) , (} { 0 δ′? xx n null ∪ 0 xx n → )}({ n xf Ex [1]P85 7，9 ； § 2 连续函数 ( 5 时 ) 一． 函数在一点的连续性： 1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义. 2. 函数在一点连续的定义 : 设函数 在点 某邻域有定义. )(xf 0 x 定义 用 . ( )).()(lim 0 0 xfxf xx = → 定义 用 ( )).()0()0( 000 xfxfxf =+=? 定义 用 ( ).0lim 0 =Δ →Δ y x 先定义 xΔ 和 .yΔ 定义 ( “ δε ? ”定义.) 例 1 试证明: 若 ??∈? ,RA ,0 ,0 >?> δε ?<?? , , 0 δxxx , )( ε<? Axf 则 在点 连续. )(xf 0 x 例 2 用“ δε ? ”定义验证函数 13 2 )( 2 ? + = x x xf 在点 1 0 =x 连续. 例 3 由§ 1 例 5 得，函数 在 xsin R 内每一点连续. 同理可得函数 xcos 也 28 在 R 内每一点连续. 3. 单侧连续 : 定义单侧连续, 并图解. Th ( 单、双侧连续的关系 ) 例 4 讨论函数 在点 ? ? ? ? ? <? = >+ = .0 ,2 ,0 , ,0 ,2 )( xx xA xx xf )(xf 0 0 =x 的连续或单侧连续性. 二． 区间上的连续函数： 开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续. 例 5 指数函数 在)1 , 0( )( ≠>= aaaxf x ) , ( ∞+∞? 内连续. [1] P88 E4. Ex [1]P96—97 1⑴⑵， 3，4 ， 6. 三. 连续函数的局部性质: 叙述为 Th 1 —4. 1. 局部有界性： Th 1 2. 局部保号性： Th 2 3. 四则运算性质： Th 3 註 讨论函数 )()()( xgxfxF += 在下列条件下在点 的连续性: ⅰ > 在 点 连续, 而函数 在点 不连续; ⅱ > 函数 和 都在点 不连续. 0 x )(xf 0 x )(xg 0 x )(xf )(xg 0 x 对函数 讨论上述问题. )()()( xgxfxG = 4. 复合函数连续性： Th 4 若函数 在点 连续，函数 在点 连续, 且f 0 x g 0 u )( 00 xfu = , 则复合函数 29 fg null 在点 连续. ( 证 ) 0 x 双曲函数和幂函数的连续性. [1] P94 E10,11. 註 Th 4 可简写为 30 ) () ( .)()lim()(lim)(lim 0 000 xfgxfgxfgxfg xxxxxx = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = →→→ 特别地，当函数 是压缩的时, 由 设 两端取极限, 得 . )(xf ),( 1 nn xfx = + ,xx n → )(xfx = 5. 反函数的连续性 : 简介反函数存在性. Th 5 设函数 )(xfy = 在闭区间 上连续且严格递增, ],[ ba βα == )( ,)( bfaf ,则 它的反函数 在)( 1 yfx ? = ],[ βα 上连续且严格递增. ( 简证) 反三角函数的连续性. 对数函数的连续性. 例 6 求极限 ).1sin(lim 2 1 x x ? → 例 7 求极限 : ⑴ ; sin 2lim 0 x x x ? → ⑵ . sin 2lim x x x ? ∞→ 例 8 求极限 . )1ln( lim 0 x x x + → 例 9 求极限 x e x x 1 lim 0 ? → . 例 10 , 其反函数为 . 求极限 2632)( 23 ?++= xxxxf )( 1 xfy ? = . [4]P57 E29. )(lim 1 2 xf x ? ?→ 例 11 (绝对值的连续性) 设函数 在点 连续, 则 也在点 连续. )(xf 0 x |)(| xf 0 x 反之确否 ? 关于函数 和 的连续性. )}(),(max{ xgxf )}(),(min{ xgxf Ex [1]P97 5， 7. 四 . 函数的间断点 : 1. 间断点及其类型 : 图解介绍间断点的分类. 跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点 , 其他情况 ( 即 或 中至少有一个不存在 称为第二类间断点. )0( 0 +xf )0( 0 ?xf ) 例 12 讨论函数 )1( )1( )( 2 ? ? = xx xx xf 的间断点类型. 例 13 讨论函数 x exf 1 )( = 的间断点类型. ( 参阅 [4]P79 E8 ). 例 14 讨论函数 1 1 )( 1 1 + ? = x x e e xf 的间断点类型. 例 15 讨论 Dirichlet 函数 和 Riemann 函数 的连续性. )(xD )(xR 例 16 讨论函数 xy sgn= ， ][)( xxf = ， )()( xxg = 以及 )2()( xx =φ 和 ][2]2[)( xxx +=ψ 的连续性. 例 17 讨论函数 的间断点及其类型. ? ? ? = 为无理数 为有理数 x xx xf ,0 , ,cos )( π 2. 连续开拓 : [4]P67 例 18 延拓函数 , 3sin )( x x xf = 使在点 0 0 =x 连续. 五 . 初等函数的连续区间与间断点 : Th 6 初等函数在有定义的点是连续的; 即初等函数在其定义域上连续. 初等函数的连续区间是构成其定义域的每个区间; 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 在连续区间的闭端点处函数单侧连续. 31 例 19 确定函数 |2|ln 1 )( ? + = x x xf 的连续区间和间断点. 例 20 设 βψα? =>= →→ )(lim , 0)(lim 00 xx xxxx . 试证明: . βψ α? = → )( )(lim 0 x xx x Ex [1]P97 7⑴⑸， 8⑴⑶⑷⑺⑻⑼ [4]P76—81 26，27， 28， 44，45 ，46 ， 73— 76， 80，81. § 3 无穷小量与无穷大量的阶 ( 3 时 ) 无穷小及其记法. 顺便介绍有界的记法. 一 . 无穷小的阶: 设 时 0 xx → ). 1 ()( ), 1 ()( nullnull == xgxf 参阅[4] P42. 1． 高阶（或低阶）无穷小： 2． 同阶无穷小： 若 时 0 xx → )1()( , )1()( nullnull == xgxf ,且在点 的某空心邻域 0 x 有 A xg xf ≤ )( )( , 则称 时 , 0 xx → )( )( xg xf 是 有界量 , 记为 ))(()( xgoxf = . 若存在 使,0 Aa << A xg xf a ≤≤ )( )( ，称 时, 与 是同阶无穷小量. 特别地 , 0 xx → )(xf )(xg 当 )( )( lim 0 xg xf xx→ 存在且不等于零时, 与 是同阶无穷小量. )(xf )(xg 二． 等价无穷小： Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 几组常用等价无穷小: 设 以.0→x x作为基本无穷小, 有等价关系: [4]P45—46 的五组, 再加上 时 ( 或 ∞→n ∞→x 时) 的( 或n x的) 有理分式( 分 子次数小于分母次数) 的等价无穷小 ， 以及下面的例 2 证明的等价关系. 其中有些等价 关系的证明以后陆续进行. 32 例 1 时, 无穷小 0→x 5 23 sin x 与 ( ) 3 5 xarctg 是否等价 ? 例 2 证明： 时, ～0→x 1) 1 ( ?+ α x xα . [1]P102 . 解 令 , 有1) 1 ( ?+= α xt )1ln()1ln( tx +=+α [ ]= + ? + ?+ = ?+ →→ x x x x x x xx )1ln( )1ln( 1) 1 ( lim 11) 1 ( lim 00 α ααα αα 1 )1ln( lim 0 = + = → t t x . 三 . 无穷小阶的比较 : 参阅 [4]P42— 48. 设 时 0 xx → )1()( null=xf 且 ~ ,则称 时 )(xf )0 , 0( ,)( 0 ≠>? kxxk α α 0 xx → )(xf 为 α 阶无穷小. 例 3 . 确定下列无穷小的阶: 0→x ⑴ xxf cos1)( ?= ; ⑵ xtgxxg sin)( ?= ; ⑶ xxxh ??+= 11)( ; [4]P43 E9. ⑷ xxxxk 32)( ++= . 四 . 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) 参阅 [4]P59. 例 4 . 2sin)cos1( 11 lim 2 0 xx xarctgx x ? ?+ → 例 5 2 93 lim 2 ? ? → x x x . ( )1(9)13(393 3ln)2(22 ?=?=? ?? xxx e ~9( ) , 3ln)2?x 例 6 x x x ? → 1 ln lim 1 . ( )]1(1ln[ln ?+= xx ~ ) 1?x 33 例 7 xex xex x x x 2)ln( )ln(sin lim 22 2 0 ?+ ?+ → . [4]P61 E37. 例 8 ( )nnn n ln)1ln(lim ?+ ∞→ . ( 给出用连续性和用等价代换两种解法.) 例 9 )5sin1ln( 8131 lim 3 0 x xx x + ??+ → . 解 时,0→x x31+ ～ x 2 3 , 3 81 x? ～ x 3 8 ? , )5sin1ln( x+ ～ , 于是 x5 )5sin1ln( 8131 lim 3 0 x xx x + ??+ → = +???+ = → x xx x 5 181131 lim 3 0 . 6 5 5 3 8 2 3 lim 0 = + = → x xx x 四 . 无穷大量 : 1. 定义 : 2. 性质 : 性质 1 同号无穷大的和是无穷大. 性质 2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质 3 与无界量的关系. 无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 或化为无穷小讨论, 有平行的结果. 3. 无穷小与无穷大的关系 : 无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大. Ex [1]P105—106 1 ⑴—⑸⑽，3 ⑴―⑸⑺⑻⑾； [4]P80—82 68— 72， 97— 100，103. 34 § 4 闭区间上的连续函数 ( 4 时 ) 一． 闭区间上连续函数的基本性质 : 1. 最值性 : 先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 ) 2. 介值性 : 定义介值. Th 6 ( 中间值定理 ) 连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 ) 例 1 证明: 方程 xxx cossin2 =? 在 0 到 2 π 之间有实根. 例 2 试证明: 对抛物线开口方向内的任意一点 ,存在该抛物线过点 的一条 P P 弦, 使得点 是该弦的中点. P 例 3 讨论多项式 零点的位置. [1] P108 E1 2332)( 23 +??= xxxxP 例 4 设函数 在闭区间 上连续, 且 ，则)(xf ],[ ba ],[]),([ babaf ? ],[ ba∈?ξ ， ξξ =? )( f . （ 不动点概念 ） [1] P109 E2 二 . 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中 δ 对 的依赖性 ： 0 x 例 5 考查函数 x xf 1 )( = 在区间 上的连续性. ] 1 , 0 ( 对 作限制], 1 , 0 ( 0 ∈?x ,1 2 0 ≤< x x 就有 35 . 2 2 11 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x xx x x xx xx xx xx ? = ? ≤ ? =? 对 0>?ε , 取 }. 2 , 2 min{ 0 2 0 xx εδ = 这里 δ 与 有关, 有时特记为 0 x ),( 0 xεδ . 本例中不存在可在区间 上通用的 ] 1 , 0 ( δ , 即不存在最小的( 正数 ) δ . 例 6 考查函数 x xf 1 )( = 在区间 ) , [ ∞+c 上的连续性. )0( >c 本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2 , 2 min{ 2 cc εδ = 该 δ 却与 无关, 可 记为 0 x )(εδ . 2. 一致连续性 : 定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系. 用定义验证一致连续的方法: 对 0>?ε , 确证 )0(>δ 存在. 为此 , 从不失真地放大 式 )()( xfxf ′′?′ 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 xx ′′?′ 之外, 其余部分中不含 有 和 , 然后使所得式子x′ x′′ ε< , 从中解出 .xx ′′?′ 例 7 验证函数 在xxf sin)( = ) , ( ∞+∞? 内一致连续. [1] P110 E3 例 8 验证函 x xf 1 sin)( = 在区间 )10( ) 1 , ( << cc 内一致连续. 证 nullnull ,cos 2 sin 2 1 sin 1 sin 2 21 21 21 21 21 21 21 21 c xx xx xx xx xx xx xx xx ? ≤ ? ≤ +? =? 3. 一致连续的否定 : 否定定义 . 36 例 9 证明函数 x xf 1 )( = 在区间 内非一致连续. ) 1 , 0( 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 ),1( ,1 0 <?= δε 取 }, 2 1 , min{δ=′x 与 , 2 x x ′ =′′ 便有 . 22 δ δ <≤ ′ =′′?′ x xx 但 nullnull .12 1 21 11 0 ε=>≥ ′ = ′′ ? ′ = ′′ ? ′ xxxxx 证法二 ( 用以下 Th3 的结果 ). 三 . 一致连续函数的简单性质 : 1． 把收敛列映为收敛列： Th 1 设函数 定义在区间 上 . 则 在 上一致连续, )(xf I )(xf I ? 对区间 I 上的任 何点列 和 , 只要}{ n x′ }{ n x′′ 0)(lim =′′?′ ∞→ nn n xx ，就有 ( ) 0)()(lim =′′?′ ∞→ nn n xfxf . (证) 系 设函数 定义在区间 I 上. 则 在 上一致连续, )(xf )(xf I ? 对区间 上的任 I 何点列 , 只要 收敛, 就有数列 收敛. ( 证) }{ n x }{ n x )}({ n xf 例 10 证明函数 x xf 1 )( = 在区间 内非一致连续. ( 取) 1 , 0( n x n 1 = ) 例 11 证明函数 在区间 2 )( xxf = ) , 0( ∞+ 内非一致连续. ( 取 nxnx nn =′′+=′ , 1 ). 2. 在有限区间的端点处极限存在性 : Th 2 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在 内一致连续, )(xf ),( ba )(xf ),( ba ? )0( +af 和 存在( 有限). ( 充分性证明利用以下 Th 4 ) )0( ?bf 3. 在有限区间上的有界性 : Th 3 若函数 在有限区间 内一致连续, 则 在 内有界. )(xf ),( ba )(xf ),( ba ( 给出用定义证明和用以上 Th2 证明两种证法.) 37 例 12 证明函数 x xf 1 )( = 在区间 内非一致连续. ) 1 , 0( 4. 闭区间上连续与一致连续的等价性 : Th 4 ( Cantor ) 函数 在闭区间 上连续, )(xf ],[ ba )( xf? 在 上一致连续. ],[ ba 一致连续函数更深刻的性质可参阅[3] P45—53. Ex [1]P114—115 1 ， 2，3 ， 6⑴⑵⑶，7 — 11. 提示 : 6⑵ 取 π π π nxnx nn =′′+=′ , 2 ,可证明在 R 内不一致连续. 注意式 212121 2 2 2 1 2 2 2 1 2 sinsin xxAxxxxxxxx ?≤+?=?≤≤? null , 可证明在 上一致连续. ],0[ A 6⑶ 为使 2 2 21 ε<? xx , 先证明不等式: 对 ) , 0 (, 21 ∞+∈? xx ,有 不等式 21 2 21 )( xxxx ?≤? . 10 ⑵ 证明函数 xxf =)( 在 ) , 0 ( ∞+ 内一致连续 , 但函数 却在 2 )()()( xxfxfxG == ) , 0 ( ∞+ 内非一致连续. 习 题 课 ( 2 时 ) 例 1 求极限 ]. 1 [ lim 0 x x x→ [ 注意 ? ? ? ? ? ? ?= ) 1 ( 1 ] 1 [ xx x x x = ) 1 ( ), 1 (1 xx x? 有界 . ] 例 2 求函数 xxxf sin][)( = 的间断点 例 3 求下列无穷小或无穷大的等价量: 38 ⑴ xxx sin2 544 3 ++ ; ⑵ 3 121 xx +?+ . ( ⑵解 ()( ) ()()null 3 6 3 6 121121 xxxx +?+=+?+ , 时 ； ? 0→x () 6→null 3 121 xx +?+ ～ [ ] )8114( 6 1 )1()21( 6 1 3223 xxxxx ++=??+ ～ x 3 2 ，（ . )0→x 或 11121121 33 ++??+=+?+ xxxx ～ xxx 3 2 3 1 =? ）. 例 4 设函数 在区间 上连续, 且)(xf )0( ]2 , 0[ >aa ).2()0( aff = 证明: 在区间 上至少存在某个 使 ] , 0[ a ,c ).()( acfcf += 证 若 , 取)2()( afaf = 0=c 或 ac = 即可; 若 不妨设 设),2()( afaf ≠ ).2()( afaf > )()()( axfxfxF +?= , 应用 零点定理即得所证. 例 5 设函数 在区间)(xf ) , [ ∞+a 上连续, 且 Axf x = +∞→ )(lim ( 有限 ). 试证 明 在区间 )(xf ) , [ ∞+a 上有界. 例6 设函数 在 )(xf R 内连续且 .)(lim +∞= ∞→ xf x 则 在)(xf R 内有最小值 ( 与 比较. )0(f ) 例7 设函数 在闭区间 上单调有界且能取到 和 之间的一切 值.试证明: 函数 在闭区间 上连续. )(xf ],[ ba )(af )(bf )(xf ],[ ba 例8 设函数 和 在区间 I 上一致连续. 证明函数 在区间 I 上一致连续. )(xf )(xg )()( xgxf + 例9 设函数 在区间)(xf ) , [ ∞+a 上连续, 且 Axf x = +∞→ )(lim ( 有限 ). 试证 明 在区间 )(xf ) , [ ∞+a 上一致连续. 39