Ch 14 偏导数和全微分 计划课时： 1 6 时 P 144 — 185 2005. 06. 06 . Ch 14 偏导数和全微分 ( 1 6 时 ) § 1 偏导数和全微分的概念 一、可微性与全微分： 1 ．可微性： 由一元函数引入. ))()(( 22 yx Δ+Δο 亦可写为 yx Δ+Δ βα , 时→ΔΔ ) , ( yx ) 0 , 0 ( →) , ( βα ) 0 , 0 ( . 2． 全微分 : 例 1 考查函数 在点 处的可微性 . xyyxf =),( ) , ( 00 yx 二、偏导数: 1．偏导数的定义、记法 : 2．偏导数的几何意义 : 3．求偏导数 : 例 2 , 3 , 4 . P143— 144 . 例 5 . 求偏导数. ),( yxf = )12sin()32( 2 +++ yxx 例 6 ),( yxf = 1)1ln( 2 +++ yxx . 求偏导数. 例 7 ),( yxf = 22 yx yx + + . 求偏导数, 并求 ) 1 , 2 ( ? x f . 例 8 ),( yxf = 12 23 ln)2( 22 22 2 ++ ++ ?+ xy yx xxy . 求 和 . ) , 2 ( yf y ) 1 , 2 ( y f 解 = , ) , 2 ( yf y yyyf 4)2() , 2 ( 2 =′=′ =) 1 , 2 ( y f 4) , 2 ( 1 =′ =y yf . 例 9 . 0 , 0 , 0 , ),( 22 22 22 23 ? ? ? ? ? =+ ≠+ + + = yx yx yx yx yxf ，证明函数 在点 连续 , 并求 和 . ),( yxf ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( x f ) 0 , 0 ( y f 证 = + =========== → == → ρ θθρρ ρ θρθρ )sincos( lim),(lim 232 0 sin,cos )0,0(),( yx yx yxf = )0,0(0)sincos(lim 23 0 f==+ → θθρρ ρ . 在点 连续 . ),( yxf ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( x f = 0 || lim )0,0()0,( lim 3 00 == ? →→ xx x x fxf xx , ) 0 , 0 ( y f || lim )0,0(),0( lim 2 00 yy y y fyf yy →→ = ? = 不存在 . Ex P153—154 1 — 8 . 三、 可微条件 : 1．必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微, 和 存在 , 且 ) , ( 00 yx ),( yxf ),( yxf ) , ( 00 yx ? ) , ( 00 yxf x ) , ( 00 yxf y == ),( 00),( 00 yxdfdf yx ) , ( 00 yxf x +Δx ) , ( 00 yxf y yΔ . ( 证 ) 由于 , 微分记为 dyydxx =Δ=Δ , . =),( 00 yxdf ) , ( 00 yxf x +dx ) , ( 00 yxf y dy 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 10 考查函数 ? ? ? ? ? =+ ≠+ += 0 , 0 , 0 , ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf ， 在原点的可微性. 2．充分条件 : Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续. 则函数 在点 可微. ( 证 ) ),( yxfz = x f y f ) , ( 00 yx f ) , ( 00 yx Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数 在点 可微 . ),( yxf y ) , ( 00 yx ),( yxf x ) , ( 00 yx f ) , ( 00 yx 证 fyyxxf ?Δ+Δ+ ) , ( 00 ) , ( 00 yx = [][ ]) , () , () , () , ( 00000000 yxfyxxfyxxfyyxxf ?Δ++Δ+?Δ+Δ+= 215 0 1,0 ),() , ( 0000 →<<Δ+Δ+ΔΔ+Δ+= αθαθ xxyxfyyyxxf xy [ ] =Δ+Δ+Δ+= xxyxfyyxf xy αβ ),(),( 0000 0→β yxyyxfxyxf yx Δ+Δ+Δ+Δ= βα) , () , ( 0000 . 即 在点 可微 . f ) , ( 00 yx 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例 11 ? ? ? ? ? =+ ≠+ + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin)( ),( 22 22 22 22 yx yx yx yx yxf 验证函数 在点 可微 , 但 和 在点 处不连续. ),( yxf ) 0 , 0 ( x f y f ) 0 , 0 ( 证 ).0 , 0(),( , 0 1 sin ),( 22 22 →→ + += yx yx yx yxf ρ 因此 )(),( ρο=yxf , 即 )(00)0,0(),( ρο+Δ+Δ=? yxfyxf , f 在点 可微, )0 , 0( 0)0,0( , 0)0,0( == yx ff . 但 ≠),( yx ) 0 , 0 ( 时, 有 222222 1 cos 1 sin2),( yxyx x yx xyxf x ++ ? + = , 沿方向 ,kxy = 20220 1|| limlim kx x yx x xx + = + →→ 不存在, 沿方向? ,kxy = 极限 22220 1 coslim yxyx x x ++ → 不存在 ; 又 时 , →),( yx ) 0 , 0 ( 0 1 sin2 22 → + yx x , 因此, 不存在 , 在点 处不连续. 由 关于),(lim )0,0(),( yxf x yx → x f ) 0 , 0 ( f x 和 对称 , 也在点 处不连续 . y y f ) 0 , 0 ( 四、 中值定理 : Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 若 属于该邻域 , 则存在f ) , ( 00 yx ),( yx )( 010 xxx ?+= θξ 和 )( 020 yyy ?+= θη , 10 , 10 21 <<<< θθ , 使得 ))( , ())( , (),(),( 00000 yyxfxxyfyxfyxf yx ?+?=? ηξ . 例 12 设在区域 D 内 0== yx ff . 证明在 D 内 cxf ≡)( . 五、 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六、 可微性的几何意义与应用： 216 1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. Th 5 曲面 在点 存在不平行于),( yxfz = )) , ( , , ( 0000 yxfyxP Z 轴的切平面的充要条 件是函数 在点 可微 . ),( yxf ),( 000 yxP 2. 切平面的求法 : 设函数 在点 可微 ，则曲面),( yxf ),( 000 yxP ),( yxfz = 在点 处的切平面方程为 （ 其中)) , ( , , ( 0000 yxfyxP ),( 000 yxfz = ） ))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?+?=? ， 法线方向数为 ( ) 1 , ),( , ),( 0000 ?± yxfyxf yx ， 法线方程为 1),(),( 0 00 0 00 0 ? ? = ? = ? zz yxf yy yxf xx yx . 例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程。 22 byaxz += ),,( 000 zyxM 3. 作近似计算和误差估计 : 与一元函数对照 , 原理 . 例 14 求 的近似值. 96.3 08.1 例 15 应用公式 CabS sin 2 1 = 计算某三角形面积. 现测得 50.12=a , . 若测量 的误差为 null 30 , 30.8 == Cb ba , C , 01.0± 的误差为 . 求用此公式计 算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. null 1.0± § 2 复合函数微分法 简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),( tsytsxyxfz ψφ === . 以下列三种情况介绍复合线路图: ),( , ),( , ),( tsytsxyxfz ψφ === ; , ),,( zyxfu = ),( , ),( tsytsx ψφ == , ),( tsz η= ; , ),,( zyxfu = ),,( , ),,( ztsyztsx ψφ == . 一、链导法则 : 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数 ),( , ),( tsytsx ψφ == 在点 ∈),( ts D 可微 , 函数 ),( yxfz = 在点 =),( yx (),( , ),( tsts ψφ 可微 , 则复合函数 fz = ( )),( , ),( tsts ψφ 在点 可微, 且 ),( ts ),(),(),(),(),( tsyxtsyxts s y y z s x x z s z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? , 217 ),(),(),(),(),( tsyxtsyxts t y y z t x x z t z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? . 称这一公式为 链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓 “分线加 ， 沿线乘” （ 或 “并联加 ，串联乘” ）来概括。对所谓“外三内二” 、 “外二内三” 、 “外一内二”等 复合情况，用 “并联加 ，串联乘” 的原则可写出相应的链导公式. 链导公式中内函数的可 微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱 . 对外 m 元 , 内 n 元),,,( 21 m uuuf null ),,,( 21 nik xxxu nullφ= ) , , 2 , 1( mk null= , 有 ∑ = ? ? ? ? = ? ? m k i k ki x u u f x f 1 ， . ni , , 2 , 1 null= 外 n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例 1 . 求yxveuvuz yx +==+= + 22 , , )ln( 2 x z ? ? 和 y z ? ? . 例 2 , . 求 22 uvvuz ?= yxvyxu sin , cos == x z ? ? 和 y z ? ? . 例 3 , 求() )3( 2 2 2 yx yxz + += x z ? ? 和 y z ? ? . 例 4 设函数 可微 . . 求 、 和 . ),,( wvuf ),,(),,( xyzxyxfzyxF = x F y F z F 例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ⅰ> ; ⅱ> x xy = xx xx y cossin ln)1( 2 + + = . 例 6 设函数 可微. 在极坐标变换),( yxuu = θθ sin , cos ryrx == 下 , 证明 2 22 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? y u x uu rr u θ . 例 7 设函数 可微 , . 求证 )(uf )( 22 yxyfz ?= xz y z xy x z y = ? ? + ? ? 2 . 二、复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例 8 . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出)sin( yxez xy += dz x z ? ? 和 y z ? ? . Ex P160—161 1— 10. 三、高阶偏导数 : 1． 高阶偏导数的定义、记法： 218 例 9 求二阶偏导数和, 2 yx ez + = 2 3 xy z ?? ? . 例 10 x y arctgz = . 求二阶偏导数. 2．关于混合偏导数 : [1]P167— 170. 3．求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数 : 公式 例 11 ) , ( y x xfz = . 求 2 2 x z ? ? 和 yx z ?? ? 2 . 4. 验证或化简偏微分方程 : 例 12 22 ln yxz += . 证明 2 2 x z ? ? + 2 2 y z ? ? 0= . ( Laplace 方程 ) 例 13 将方程 0= ? ? ? ? ? x u y y u x 变为极坐标形式. 解 x y arctgyxrryrx =+=?== θθθ , .sin , cos 22 . r x yx x x r = + = ? ? 22 , r y y r = ? ? , 2 r y x ?= ? ?θ , 2 r x y = ? ?θ . θ θ θ ? ? ? ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? u r y r u r x x u x r r u x u 2 , θ θ θ ? ? + ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? u r x r u r y y u y r r u y u 2 ; 因此, θθθθ ? ? = ? ?+ = ? ? + ? ? ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? ? uu r yxu r y r u r xyu r x r u r xy x u y y u x 2 22 2 2 2 2 . 方程化简为 0= ? ? θ u . 例 9 试确定 a 和 b , 利用线性变换 byxtayxs +=+= , 将方程 034 2 22 2 2 = ? ? + ?? ? + ? ? y u yx u x u 化为 0 2 = ?? ? ts u . 解 t u s u x t t u x s s u x u ? ? + ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? , t u b s u a y t t u y s s u y u ? ? + ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? . 219 2 2 x u ? ? = x? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? t u s u 2 2 s u ? ? x s ? ? + ts u ?? ? 2 x t ? ? + st u ?? ? 2 x s ? ? + 2 2 t u ? ? x t ? ? = 2 2 s u ? ? +2 ts u ?? ? 2 + 2 2 t u ? ? . yx u ?? ? 2 = y? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? t u s u = 2 2 s u ? ? y s ? ? + ts u ?? ? 2 y t ? ? + st u ?? ? 2 y s ? ? + 2 2 t u ? ? y t ? ? = = 2 2 s u a ? ? + )( ba + ts u ?? ? 2 +b 2 2 t u ? ? . 2 2 y u ? ? = y? ? == ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? null t u b s u a 2 2 2 s u a ? ? + ab2 ts u ?? ? 2 + 2 b 2 2 t u ? ? . 因此 , = ? ? + ?? ? + ? ? 2 22 2 2 34 y u yx u x u )341( 2 aa ++= 2 2 s u ? ? + ( )6442 abba +++ ts u ?? ? 2 + )341( 2 bb ++ 2 2 t u ? ? . 令 , 0341 2 =++ aa 1 , 3 1 , 0341 2 ?=?=?=++ babb 或 3 1 , 1 ?=?= ba 或 ……, 此时方程 034 2 22 2 2 = ? ? + ?? ? + ? ? y u yx u x u 化简为 0 2 = ?? ? ts u . Ex P154 9 . § 3 方向导数和梯度 一、方向导数： 1．方向导数的定义： 定义 设三元函数 在点 的某邻域f ),,( 0000 zyxP )( 0 P∪ ? 3 R 内有定义 . l 为从点 出发的射线 . 为 上且含于 内的任一点 , 以 0 P ),,( zyxP l )( 0 P∪ ρ 表示 P 与 两点间的 距离 . 若极限 0 P ρρ ρρ fPfPf l Δ = ? ++ →→ 0 0 0 lim )()( lim 220 存在 , 则称此极限为函数 在点 沿方向 l 的方向导数 , 记为f 0 P 0 P l f ? ? 或 、 . )( 0 Pf l ),,( 000 zyxf l 对二元函数 在点 , 可仿此定义方向导数 . ),( yxfz = ),( 000 yxP 易见 , x f ? ? 、 y f ? ? 和 z f ? ? 是三元函数 在点 分别沿 f 0 P X 轴正向、 Y 轴正向和 Z 轴正向 的方向导数 . 例 1 = . 求 在点 处沿 l 方向的方向导数, 其中 ),,( zyxf 32 zyx ++ f 0 P ) 1 , 1 , 1 ( ⅰ> l 为方向 ; ⅱ> 为从点 到点) 1 , 2 , 2 ( ? l ) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , 2 , 2 ( ? 的方向. 解 ⅰ> 为方向的射线为l 令 === ? = ? ? = ? 1 1 2 1 2 1 zyx )0 ( >t . 即 .) 0 ( , 1 , 12 , 12 ≥+=+?=+= ttztytx 3) 1, 1 , 1 ()( 0 == fPf , 37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()( 2332 +++=+++?++=++?+= tttttttttfPf ttttzyx 3)2()2()1()1()1( 222222 =+?+=?+?+?=ρ . 因此 , . 3 1 3 7 lim )()( lim 23 0 0 0 0 = ++ = ? = ? ? ++ →→ t tttPfPf l f t P ρ ρ ⅱ> 从点 到点 的方向 l 的方向数为) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , 2 , 2 ( ? ), 0 , 3 , 1 ( ? l 方向的射线为 . ) 0 ( , 1 , 13 , 1 ≥=+?=+= tztytx 359) 1 , 13 , 1()( 2 +?=+?+= ttttfPf , 3) 1, 1 , 1 ()( 0 == fPf ; tttzyx 10)3()1()1()1( 22222 =?+=?+?+?=ρ . 因此 , . 10 5 10 59 lim )()( lim 2 0 0 0 0 ?= ? = ? = ? ? ++ →→ t ttPfPf l f t P ρ ρ 2. 方向导数的计算 : Th 若函数 在点 可微 , 则 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在 , 且 f ),,( 0000 zyxP f 0 P l =)( 0 Pf l )( 0 Pf x αcos + )( 0 Pf y βcos + )( 0 Pf z γcos , 其中 αcos 、 βcos 和 γcos 为 l 的方向余弦. ( 证 ) 对二元函数 , ),( yxf =)( 0 Pf l )( 0 Pf x αcos + )( 0 Pf y βcos , 其中 α 和 β 是 l 的方向角. 221 註 由 =)( 0 Pf l )( 0 Pf x αcos + )( 0 Pf y βcos + )( 0 Pf z γcos = =( , , )( 0 Pf x )( 0 Pf y )( 0 Pf z ) (? αcos , βcos , γcos ), 可见 , 为向量 ( , , 在方向 l 上的投影. )( 0 Pf l )( 0 Pf x )( 0 Pf y )( 0 Pf z ) 例 2 ( 上述例 1 ) 解 ⅰ> l 的方向余弦为 αcos = 3 2 1)2(2 2 222 = +?+ , βcos = 3 2 ? , γcos = 3 1 . =1 , =)( 0 Pf x )( 0 Pf y 22 1 = =y y , =)( 0 Pf z 33 1 2 = =z z . 因此 , l f ? ? = )( 0 Pf x αcos + )( 0 Pf y βcos + )( 0 Pf z γcos = 3 1 3 1 3) 3 2 (2 3 2 =?+??+ . ⅱ> 的方向余弦为 l αcos = 10 1 )11()12()12( 12 222 = ?+??+? ? , βcos = 10 3 ? , γcos = . 0 因此 , l f ? ? = 10 5 10 3 2 10 1 1 ?=??? . 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 二 . 梯度 ( 陡度 ) : 1. 梯度的定义 : , , . =gradf ( )( 0 Pf x )( 0 Pf y )( 0 Pf z ) | = |gradf ()()() 2 0 2 0 2 0 )()()( PfPfPf zyx ++ . 易见 , 对可微函数 , 方向导数是梯度在该方向上的投影. f 2. 梯度的几何意义 : 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 |=)( 0 Pf l =?lgradf |)( 0 Pgradf θcos . 其中 θ 是 与 夹角. 可见l )( 0 Pgradf 0=θ 时 取最大值 , 在 l 的反方向取最小值 . )( 0 Pf l 3. 梯度的运算 : ⅰ> . grad =+ )( cu grad u ⅱ> (grad α u +β v ) = α grad u +β grad v . ⅲ> (u ) = + . grad v u grad v v grad u ⅳ> grad 2 u vgraduugradv u v ? = . ⅴ> (u ) = . grad f graduuf )(′ 222 证ⅳ> 2 u vuuv u v xx x ? = ? ? ? ? ? ? , 2 u vuuv u v yy y ? = ? ? ? ? ? ? . grad =??= ) , ( 1 2 vuuvvuuv uu v yyxx []=?= ) , ( ) , ( 1 2 vuvuvuuv u yxyx []=?= ) , () , ( 1 2 yxyx uuvvvu u 2 u vgraduugradv ? . Ex P183 1 — 6 . § 4 Taylor 公式 一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数 在凸区域 Df 2 R? 上连续 , 在 D 的所有内点处可微 . 则对 D 内任意 两点 int) , ( , ),( ∈++ kbhaQbaP D , 存在 ) 10 ( <<θθ , 使 kkbhafhkbhafbafkbhaf x ) , () , (),() , ( θθθθ +++++=?++ . 证 令 . 在闭凸区域上的情况: null , ) , ()( tkbthaft ++=Φ 系 若函数 在区域 D 上存在偏导数 , 且f x f ≡ y f ≡ 0 , 则 是 D 上的常值函数. f 二 . Taylor 公式 : Th 2 (Taylor 公式 ) 若函数 在点 的某邻域 内有直到f ),( 000 yxP )( 0 P∪ 1+n 阶连续偏导 数 , 则对 内任一点 ,存在相应的)( 0 P∪ ) , ( 00 kyhx ++ ) 1 , 0(∈θ , 使 =++ ) , ( 00 kyhxf ∑ = + ++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? = n i ni kyhxf y k x h n yxf y k x h i 0 00 1 00 ). , ( )!1( 1 ),( ! 1 θθ 例 1 求函数 在点 的 Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 y xyxf =),( ) 4 , 1 ( .) 08.1 ( 96.3 Ex P185 1 — 2 . 223