Ch 12 Fourier 级数 计划课时:1 2 时 P 95 —126 2005. 05.9 . Ch 12 Fourier 级数 ( 1 2 时 ) § 1 Fourier 级数 ( 6 时 ) 一、三角级数: 1.背景: ⑴ 波的分析:频谱分析 . 基频 T 1 ( ω π2 =T ) . 倍频. ⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . ⑶ n R 中用 Descates 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师 Fourier 建立了 Fourier 分析理论 的基础. 2. 三角级数的一般形式: 一般的三角级数为 .由于 ∑ ∞ = ++ 1 0 )sin( n nn xnAA ?ω nxnxnx nnn sincoscossin)sin( ??? +=+ , 设 nnnnnn bAaA a A === ?? cos , sin , 2 0 0 , 得三角级数的一般形式 ∑ ∞ = ++ 1 *)0 , sincos 2 n nn nxbnxa a 3. 三角级数的收敛性: Th1 若级数 ∑ ∞ = ++ 1 0 ) |||| ( 2 || n nn ba a 收敛, 则级数 在 R 内绝对且一致收敛. )? 证 用 M 判别法. 二、三角函数正交系统: 1. 内积和正交 : 由 R 3 中的内积与正交概念引入. 设函数 和 在区间 上 ( R)可积 . 定义内积为 f g ] , [ ba . ∫ =>< b a dxxgxfgf )()( , 当 时 , 称函数 和 在区间 上正交 . >< , gf = 0 )(xf )(xg ] , [ ba 函数的正交性与区间有关 . 例如函数 )(xf = x? 和 在区间 上并 不正交 ( 因为 2 )( xxg = ] 1 , 0 [ >< , gf = 4 1 ? ) , 但在区间 ] 1 , 1 [ ? 却是正交的 . 2. 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系. 3. 三角函数正交系统 : 三角函数系统 } , sin , cos , , 2sin , 2cos , sin , cos , 1 {""nxnxxxxx 是区间 ] , [ ππ? 上的正交系统 . 验证如下: ∫ ? =>=< π π 0cos cos , 1 kxdxkx , " , 2 , 1 , 0sin sin , 1 ==>=< ∫ ? kkxdxkx π π ; ∫ ? =>=< π π hxdxkxhxkx cossin cos ,sin 2 1 = []0)sin()sin( =?++ ∫ ? dxxhkxhk π π , " , 2 , 1 , =hk 对 且 ,有 " , 2 , 1 , =hk hk ≠ >=< sin , sin hxkx ∫ ? = π π 0 sinsin hxdxkx 和 . >=< cos , cos hxkx ∫ ? = π π 0 coscos hxdxkx 该系统不是标准正交系 , 因为 , . ∫ ? = π π π21dx ∫ ? = π π kxdx 2 sin ∫ ? = π π πkxdx 2 cos 因此 , 三角函数系统 } , sin , cos , 2sin , 2cos , sin , cos , 2 1 {"" πππππππ nxnxxxxx 是标准正交系. (与 R 中的坐标系 比较 ) 3 } , , { kji 三、以 π2 为周期函数的 Fourier 级数: 1.三角级数的系数与其和函数的关系: Th2 若在整个数轴上 )(xf = ∑ ∞ = ++ 1 0 , sincos 2 n nn nxbnxa a 且等式右端的级数一致收敛,则有如下关系式 π 1 = n a ∫ ? π π nxdxxf cos)( , ", 2 , 1 , 0=n π 1 = n b ∫ ? π π nxdxxf sin)( , ", 2 , 1=n 证 190 2.Fourier 系数和 Fourier 级数: Euler― Fourier 公式: 设函数 在区间 )(xf ] , [ ππ? 上(R )可积,称公式 π 1 = k a ∫ ? π π kxdxxf cos)( , ", 2 , 1 , 0=k π 1 = k b ∫ ? π π kxdxxf sin)( , ", 2 , 1=k 为 Euler― Fourier 公式 . 称由 Euler― Fourier 公式得到的 和 为函数 的 Fourier 系数 . 并称以 Fourier 系数 和 为系数的三角级数 n a n b )(xf n a n b ∑ ∞ = ++ 1 0 , sincos 2 n nn nxbnxa a 为函数 的 Fourier 级数 , 记为 )(xf ~)(xf ∑ ∞ = ++ 1 0 . sincos 2 n nn nxbnxa a 例 1 )(xf x= , ∈x ] , [ ππ? . 求函数 的 Fourier 级数. )(xf 解 是)(xf ] , [ ππ? 上的奇函数, ? = k a 0 ; = k b π 1 ∫∫ == ? ππ π π 0 sin 2 sin kxdxxkxdxx k kxdx kk kxx k 2) 1 ( cos 1cos2 1 0 0 ? ? = ? ? ? ? ? ? +?= ∫ π π π . 因此, ~ )(xf ∑ ∞ = ? ? 1 1 sin ) 1 (2 n n n nx . 例2 设函数 满足条件 )(xf )()( xfxf ?=?π ( 称其为反周期函数 ). 问这种函数在区间 ) , ( ππ? 内的 Fourier 系数具有什么特性. 解 π 1 = n a ∫ ? π π nxdxxf cos)( ? ? ? ? ? ? += ∫∫ ? π π π 0 0 1 . 而 . ∫∫∫ ??=??==== ? ?= ππ π π πππ 00 0 )cos()()cos()(cos)( dxnxnxfdxnnxxfntdttf xt 因此, []dxnxnxnxfa n ∫ ??= π π π 0 cos)cos()( 1 . kn 2= 时, 02cos)22cos( =?? kxkxkπ , ? = k a 2 0 ; 同理得 . = k b 2 0 191 Ex P118-119 1, 2 . 四、收敛定理 : 1. 按段光滑函数 : . 定义 若 的导函数 在区间 上连续 , 则称函数 在区间 上光滑. 若函数 在区间 上至多有有限个第一类间断点, 且 仅在区间 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 是区间 上的按段光滑函数. )(xf )(xf ′ ] , [ ba )(xf ] , [ ba )(xf ] , [ ba )(xf ′ ] , [ ba )(xf ] , [ ba 按段光滑函数的性质 : 设函数 在区间 上按段光滑, 则 )(xf ] , [ ba ⑴ 在区间 上可积; )(xf ] , [ ba ⑵ 对 , 都存在 , 且有 ∈? x ] , [ ba )0( ±xf )0( )0()( lim 0 +′= +?+ + → xf t xftxf t , )0( )0()( lim 0 ?′= ? ??? + → xf t xftxf t . ( 用 Lagrange 中值定理证明 ) ⑶ 在区间 上可积 . )(xf ′ ] , [ ba 2.收敛定理 : Th3 设函数 是以 )(xf π2 为周期的周期函数且在区间 ] , [ ππ? 上按段光滑 , 则 在 ? ∈x ] , [ ππ? , 的 Fourier 级数)(xf ∑ ∞ = ++ 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 收敛于 在点)(xf x 的左、右极限的算术平均值 , 即 = ?++ 2 )0()0( xfxf ∑ ∞ = ++ 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , 其中 和 为函数 的 Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 ) n a n b )(xf 系 若 是以 )(xf π2 为周期的连续函数 , 在 ] , [ ππ? 上按段光滑, 且 则 的 Fourier 级数在 内收敛于 . )(xf ) , ( ∞+∞? )(xf 4. 函数的周期延拓 : 五、展开举例 : 例 3 把函数 ∈= xxxf , )(] , [ ππ? 展开为 Fourier 级数 . 192 解 参阅例 1 , 有 ? ? ? ±= <<? =? ∑ ∞ = ? . , 0 , , )( sin ) 1 (2 1 1 π ππ x xxf n nx n n 例4 展开函数 ∈= xxxf , ||)(] , [ ππ? . 解 ; 0= n b ∫ == π π π 0 0 2 xdxa . ∫∫ ?== πππ πππ 000 sin 2 sin 2 cos 2 | nxdx n nxx n nxdxxa n = == | 0 2 cos 2 π π nx n ? ? ? ? ? ? =? . , 0 , , 4 )1(cos 2 2 2 为偶数 为奇数 n n nn n ππ π 函数 在 )(xf ] , [ ππ? 上连续且按段光滑, 又 )()( ππ ff =? , 因此有 ∑ ∞ = ? ? ?= 1 2 , )12( )12cos(4 2 || k k xk x π π ∈x ] , [ ππ? . ( 倘令 π=x , 就有 ∑ ∞ = ? += 1 2 )12( 14 2 k kπ π π , ? ∑ ∞ = = ? 1 2 2 . 8)12( 1 k k π ) 例 5 设 ? ? ? <<? ≤≤ = . 0 , 0 , 0 , )( x xx xf π π 求函数 的 Fourier 级数展开式. [1] P88 E1. )(xf 例 6 . 2 , , , 0 , 0 , )( 2 2 ? ? ? ? ? ≤<? = << = ππ π π xx x xx xf 把函数 展开成 Fourier 级数 . [1]P89 E2 )(xf 例 7 在区间 ) , ( ππ? 内把函数 展开成 Fourier 级数. 2 )( xxf = 解法一 ( 直接展开 ) ; 0= n b ∫ == π π π 0 22 0 3 22 dxxa ; ∫∫ ∫ ? ? ? ? ? ? ? ?=== π π πππ πππ 000 2 22 sin 2sin2 cos 2 cos 1 | nxdxx nn nxx nxdxxnxdxxa n ? ? ? ? ? ? ?= ∫ ππ π 00 cos 1 cos 2 | nxdx n nx n x n 2 4) 1 () 1 (4 nnn nn ? = ? = π π . ", 2 , 1=n 函数 在区间 )(xf ) , ( ππ? 内连续且按段光滑, 因此有 193 ∑ ∞ = ?+= 1 2 2 2 cos ) 1 ( 4 3 n n n nx x π , ∈x ) , ( ππ? . 由于 )()( ππ ff =? , ? 该展开式在 ] , [ ππ? 上成立. ( 在该展开式中, 取 ,π=x 得 ∑ ∞ = ??+= 1 2 2 2 1 ) 1()1( 4 3 n nn n π π , ? ∑ ∞ = = 1 2 2 6 1 n n π ; 取 , 0=x ? ∑ ∞ = + = ? 1 2 2 1 12 ) 1( n n n π . ) 解法二 ( 间接展开: 对例 3 中 的展开式作积分运算 ) 由例 3 , 在区间 )( xxf = ) , ( ππ? 内有 ∑ ∞ = ? ?= 1 1 sin ) 1( 2 n n n nx x . 对该式两端积分, 由 Fourier 级数可逐项 积分, 有 ∫ ∑ ∫ ∞ = ? =?== x n x n ntdt n tdt x 0 1 0 1 2 sin 1 ) 1( 2 2 ∑∑∑ ∞ = ∞ = +∞ = ?+ ? =? ? = 11 22 1 1 2 cos ) 1( 2 ) 1( 2)1(cos ) 1( 2 nn n n n n n nx n nx n . 为求得 ∑ ∞ = + ? 1 2 1 ) 1( n n n , 上式两端在 ] , [ ππ? 上积分, 有 ∫ ∑ ∫∫ ∑ ? ∞ = ?? ∞ = + = ? + ? == π π π π π π π 11 22 123 cos ) 1( 2 ) 1( 2 23 nn nn nxdx n dx n dx x ∑ ∞ = + ? = 1 2 1 ) 1( 4 n n n π , ? . 12 ) 1( 1 2 2 1 ∑ ∞ = + = ? n n n π 因此 , ∑ ∞ = ?+= 1 2 2 2 cos ) 1( 4 3 n n n nx x π , ∈x ) , ( ππ? . Ex P119 3--13. 六、以 为周期的函数的 Fourier 级数 : l 2 设函数 以 为周期 , 在区间 上 ( R )可积 . 作代换)(xf l 2 ] , [ ll? π tl x = , 则函数 194 ) ()( π lt ftF = 以 π2 为周期. 由 π tl x = 是线性函数, 在区间)(tF ] , [ ππ? 上( R ) 可积 . 函数 的 Fourier 系数为 . )(tF ∫ ? = π π π ntdttFa n cos)( 1 , ", 2 , 1 , 0=n ∫ ? = π π π ntdttFb n sin)( 1 , ", 2 , 1 =n ~ )(tF ∑ ∞ = ++ 1 0 . sincos 2 n nn ntbnta a 还原为自变量 x , 注意到 l x txf tl ftF , )() ()( π π === , 就有 ~)()( tFxf = ∑ ∞ = ++ 1 0 . sincos 2 n nn l xn b l xn a a ππ 其中 ∫ ? = π π π ntdttFa n cos)( 1 ∫ ? = ==== l l l x t dx l xn xf l π π cos)( 1 , ", 2 , 1 , 0=n = n b ∫ ? l l dx l xn xf l π sin)( 1 , ", 2 , 1 =n 当函数 在区间 上按段光滑时, 可展开为 Fourier 级数 . )(xf ] , [ ll? )(xf 註 三角函数系 } , sin , cos , , sin , cos , 1 {"" l xn l xn l x l x ππππ 是区间 ] , [ ll? 上 的正交函数系统 . 例 8 把函数 展开成 Fourier 级数 . ? ? ? <≤ <<? = 50 , 3 , 05 , 0 )( x x xf 七 . 正弦级数和余弦级数 : 1.区间 ] , [ ππ? 上偶函数和奇函数的 Fourier 级数 : 2.奇展开和偶展开: 例 9 设 |, sin|)( xxf = ππ ≤≤? x . 求 的 Fourier 级数展开式. [1] P97 E2 f 例 10 把定义在 ] , 0 [ π 上的函数 ? ? ? ? ? ? ? ≤< = << = . , 0 , , 2 1 , 0 , 1 )( πxh hx hx xf ( 其中之一 ) 0 π<< h 展开成正弦级数. [1] P98 E3 例 11 把函数 在 内展开成: ⅰ> 正弦级数; ⅱ> 余弦级数. xxf =)( ) 2 , 0 ( 195 Ex P119 3--13 . 八、收敛定理的证明 Dini 定理 设以 π 2 为周期的函数 在区间 f ] , [ ππ? 上按段光滑, 则在每一点 ∈x ] , [ ππ? , 的 Fourier 级数收敛于 在点f f x 的左、右极限的算术平均值, 即 nxbnxa axfxf n n n sincos 22 )0()0( 1 0 ++= ?++ ∑ ∞ = , 其中 和 为 的 Fourier 系数. n a n b f 证明思路 : 设 ~ )(xf ∑ ∞ = ++ 1 0 . sincos 2 n nn nxbnxa a 对每个 ∈x ] , [ ππ? , 我们 要证明 )( →xS n 2 )0()0( ?++ xfxf . 即证明 0 2 )0()0( lim = ? ? ? ? ? ? ? ?++ ∞→ n n S xfxf . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 Riemann—Lebesgue 定理证明相应积分的极 限为零. 施证方案 : 1. 写出 )(xS n = ∑ = ++ n k kk kxbkxa a 1 0 sincos 2 的简缩形式. 称这一简缩形式为 的积分形式, 或称为 Dirichlet 积分 , 即 )(xS n ∫ ? + += π π π dt t t n txfxS n 2 sin2 2 12 sin )( 1 )( . 利用该表示式, 式 2 )0()0( ?++ xfxf )(xS n ? 可化为 2 )0()0( ?++ xfxf )(xS n ? = = 2 )0()0( ?++ xfxf ∫ ? + +? π π π dt t t n txf 2 sin2 2 12 sin )( 1 = = 2 )0( +xf ∫ + +? π π 0 2 sin2 2 12 sin )( 1 dt t t n txf + 196 2 )0( ?xf ∫ ? + +? 0 2 sin2 2 12 sin )( 1 π π dt t t n txf , 于是把问题归结为证明 [ ∞→n lim 2 )0( +xf ∫ + +? π π 0 2 sin2 2 12 sin )( 1 dt t t n txf ] 0= , 和 [ ∞→n lim 2 )0( ?xf ∫ ? + +? 0 2 sin2 2 12 sin )( 1 π π dt t t n txf ] 0= . 这两式的证明是相同的, 只证第一式. 2. 为证上述第一式, 先利用三角公式 2 sin2 2 12 sin cos2coscos 2 1 ? ? ??? + =++++ n n" 建立所谓 Dirichlet 积分 ∫ = + π π 0 1 2 sin 2 12 sin 1 dt t t n , 利用该式把 2 )0( +xf 表示为 积分, 即把 2 )0( +xf 表示为 Dirichlet 积分 2 )0( +xf = ∫ + + π π 0 2 sin2 2 12 sin )0( 1 dt t t n xf . 于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为 [ ∞→n lim 2 )0( +xf ∫ + +? π π 0 2 sin2 2 12 sin )( 1 dt t t n txf ]= ∞→ = n lim [] ∫ + +?+ π π 0 2 sin2 2 12 sin )()0( 1 dt t t n txfxf . 3. 利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明 Bessel 不等式( [1] P101 预备定理 1 ), 再建立 Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以 上最后的式子化为 ∞→n lim [] ∫ + +?+ π π 0 2 sin2 2 12 sin )()0( 1 dt t t n txfxf . 197 4. 把上式化为应用 Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令 ] , 0( , 2 sin 2 )0()( )( π? ∈ ? ? ? ? ? ? +?+ ?= t t t t xftxf t , 则 ∞→n lim [] ∫ + +?+ π π 0 2 sin2 2 12 sin )()0( 1 dt t t n txfxf ∫ ? ? ? ? ? ? += → π ? π 00 2 1 sin)( 1 lim tdtnt n . 为使最后这一极限等于零, 由 Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数 )(t? 在区间 ] , 0 [ π 上可积. 因此希望 )00( +? 存在. 由函数 在区间 f ] , [ ππ? 上按段光滑, 可以验证 )00( +? 存在. 预备定理及其推论 : 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间f ] , [ ππ? 上可积, 则有 Bessel 不等式 ∑ ∫ ∞ = ? ≤++ 1 222 2 0 )( 1 ) ( 2 n nn dxxfba a π π π , 其中 和 为函数 的 Fourier 系数. n a n b f 证 P104 . 系 1 ( Riemann— Lebesgue 定理 ) 若函数 在区间 f ] , [ ππ? 上可积, 则有 , ∫ ?∞→ = π π 0cos)(lim nxdxxf n . ∫ ?∞→ = π π 0sin)(lim nxdxxf n 证 P100 . 系 2 若函数 在区间 f ] , [ ππ? 上可积, 则有 ∫ =+ ∞→ π 0 0) 2 1 sin()(lim xdxnxf n , ∫ ?∞→ =+ 0 0) 2 1 sin()(lim π xdxnxf n . 证 预备定理 2 若 是以 )(xf π 2 为周期的周期函数, 且在区间 ] , [ ππ? 上可积, 则函 数 的 Fourier 级数部分和 有积分表示式 )(xf )(xS n 198 ∫ ? + += π π π dt t t n txfxS n 2 sin2 2 12 sin )( 1 )( . 当 时, 被积函数中的不定式由极限 0=t 2 1 2 sin2 ) 2 1 sin( lim 0 += + → n t tn t 来确定. 证 P102—104. Dirichlet 积分: ∫ = + π π 0 1 2 sin 2 12 sin 1 dt t t n . 证 由三角公式 2 sin2 2 12 sin cos2coscos 2 1 ? ? ??? + =++++ n n", ? ∫ = + π π 0 2 sin 2 12 sin 1 dt t t n = ( ∫∫ ?? = + π π π π ππ 1 2 sin2 2 12 sin 1 dt t t n ??? ncos2coscos 2 1 ++++")dt 1= . 附註 1. Parseval 等式 ( 或称 Ляпинов 等式 ) 设可积函数 的 Fourier 级数 在区间 )(xf ] , [ ππ? 上一致收敛于 , 则成立 Parseval 等式 )(xf ∫ ? = π π π dxxf )( 1 2 ∑ ∞ = ++ 1 22 2 0 ) ( 2 n nn ba a . 证法一 注意到此时函数 在区间 )(xf ] , [ ππ? 可积 , 由 Bessel 不等式, 有 ∫ ? ≥ π π π dxxf )( 1 2 ∑ ∞ = ++ 1 22 2 0 ) ( 2 n nn ba a . 现证对 0 >?ε , 有 )( 1 2 ∫ ? ≤? π π ε π dxxf ∑ ∞ = ++ 1 22 2 0 ) ( 2 n nn ba a . 事实上, 令 )(xS n = ∑ = ++ n k kk kxbkxa a 1 0 , )sincos( 2 由 一致收敛于 ,)(xS n )(xf 199 对 NnN , , 0 ≥?>?ε 对 x ? ∈ ] , [ ππ? , 有 2 |)()(| ε <? xSxf n , 因此 , [] ∫∫ ∫ ∑ ?? ? = +??=?≥ π π π π π π π πε n k kkn ba a dxxfdxxSxfdx 1 22 2 02 2 )( 2 )()()( 2 . 即当 时有 Nn ≥ )( 1 2 ∫ ? ≤? π π ε π dxxf ∑ = ++ n k kk ba a 1 22 2 0 )( 2 . 令 , ∞→n ? )( 1 2 ∫ ? ≤? π π ε π dxxf ∑ ∞ = ++ 1 22 2 0 ) ( 2 n nn ba a . 由 0 >ε 的任意 性, 有 )( 1 2 ∫ ? ≤ π π π dxxf ∑ ∞ = ++ 1 22 2 0 ) ( 2 n nn ba a . 综上即得所证 . 证法二 由 一致收敛于 , )(xS n )(xf ? 0|)()(|suplim ],[ =? ? ∞→ xSxf n n ππ . 而 () ∫∫ ∑ ?? = ? ? ? ? ? ? ++?=? π π π π ππ n k kkn ba a dxxfdxxSxf 1 22 2 02 2 )( 2 )( 1 )()( 1 . 因此, ∫ ? ?≤ π π π dxxf )( 1 0 2 ? ? ? ? ? ? ++ ∑ = n k kk ba a 1 22 2 0 )( 2 ≤ ( ) ∫ ? ? π π π 2 |)()(|sup 1 xSxf n = . ()) ( , 0|)()(|sup 2 2 ∞→→?= nxSxf n 由双逼原理, 即得所证等式 . 证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有 ∫ ? ><= π π ππ )( , )( 1 )( 1 2 xfxfdxxf = >< ∞→∞→ )(lim , )(lim 1 xSxS n n n n π = ∫ ?∞→∞→ ==><= π π ππ dxxSxSxS n n nn n )( 1 lim )( , )( lim 1 2 = ∞→n lim ? ? ? ? ? ? ++ ∑ = n k kk ba a 1 22 2 0 )( 2 = ∑ ∞ = ++ 1 22 2 0 ) ( 2 n nn ba a . Parseval 等式还可用公式 ∫ ∑ ? ∞ = ++= π π βα α π 1 00 )( 2 )()( 1 n nnnn ba a dxxgxf ( 其中 、 与 n a n b n α 、 n β 分别是函数 和 的 Fourier 系数( 参阅吉林大学邹承 祖等编 《数学分析习题课讲义》上册 P427 )证明;也可用所谓卷积函数证明( 参 阅数学分析教案 90—3 —12 P335 ) )(xf )(xg 200 Parseval 等式的意义: 设在幺正系 } , sin , cos , , sin , cos , 2 1 {"" πππππ nxnxxx *) 下函数 的 Fourier 系数为 和 ,可见 )(xf n A n B ∫ ? >==< π π ππ dxxfxfA )( 2 1 2 1 , )( 0 , 2 )( 1 2 2 0 2 2 0 a dxxfA π π π π π = ? ? ? ? ? ? = ∫ ? ; ∫ ? =>==< π π π ππ nn anxdxxf nx xfA cos)( 1cos , )( , ; 22 nn aA π= 同理有 ; 其中 和 为函数 的通常 Fourier 系数. 于是 , Parseval 等式即成为 22 nn bB π= n a n b )(xf () ∫ ∑∑ ? ∞ = ∞ = ++=++= π π ππ π 11 222 0 22 2 02 ) ( 2 )( nn nnnn BAAba a dxxf . 注意到 ∫ ? =><= π π 2 2 )( )( , )( )( xfxfxfdxxf , 就有 () ∑ ∞ = ++= 1 222 0 2 )( n nn BAAxf , 这是勾股定理的推广, 即在坐标系 *) 中的勾股定理. 因此, 可称 Parseval 等式是 无穷维 空间中的勾股定理 . ( 与三维空间中的勾股定理做比较 ) . 2. Fourier 级数与三角级数 : Fourier 级数与三角级数的区别: Fourier 级数是三角 级数,但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的 Fourier 级数. 一个三角级数是 Fourier 级数 ( 即是某个可积函数的 Fourier 级数 ) 的必要条件为: 若三角级数 nxbnxa a n n n sincos 2 1 0 ++ ∑ ∞ = 为 Fourier级数, 则数项级数 ∑ ∞ =1n n n b 收敛.( 参阅复旦 大学编《数学分析》下册 P116— 117 ). 比如正弦级数 ∑ ∞ =2 ln sin n n nx 是收敛的三角级数( 利 用 Dirichlet 判别法), 由级数 ∑ ∞ =2 ln 1 n nn 发散, 正弦级数 ∑ ∞ =2 ln sin n n nx 不是 Fourier 级数. 例 证明: 当 2 1 0 ≤<α 时, 三角级数 ∑ ∞ =1 sin n n nx α 在 R 内收敛 , 但其和函数 在区间 )(xf ] , [ ππ? 上不是( R )可积的 . )(xf证 由 Dirichlet 判别法, 可得该级数在 ) , ( ∞+∞? 内收敛. 反设和函数 201 在区间在 ] , [ ππ? 上( R )可积, 则该三角级数是函数 的 Fourier 级数 . 由于 也在 )(xf )( 2 xf ] , [ ππ? 上( R )可积 , 则有 Bessel 不等式 ∫ ∑ ? ∞ = ≤ π π α π dxxf n n )( 1 1 2 1 2 . 即有上式左端的正项级数收敛 . 但由 ∑ ∞ = ?≤< 1 2 1 , 120 n n α α +∞= , 矛盾. 可见 , 函数 在区间在)(xf ] , [ ππ? 上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是 Fourier 级数 .一个三角级数是否为 Fourier 级数 , 与所用积分有关. 在某种积分 意义下不是 Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是 Fourier 级数. 近代或现代 有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为 Fourier 级 数. 最新的一个研究结果是: 在所谓 SCP 积分( Symmetric Cesaro Pe rron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是 Fourier 级数. 202