Ch 12 Fourier 级数
计划课时:1 2 时
P 95 —126
2005. 05.9 .
Ch 12 Fourier 级数 ( 1 2 时 )
§ 1 Fourier 级数 ( 6 时 )
一、三角级数:
1.背景:
⑴ 波的分析:频谱分析 . 基频
T
1
(
ω
π2
=T ) . 倍频.
⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .
⑶
n
R 中用 Descates 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:
调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师 Fourier 建立了 Fourier 分析理论
的基础.
2. 三角级数的一般形式: 一般的三角级数为 .由于
∑
∞
=
++
1
0
)sin(
n
nn
xnAA ?ω
nxnxnx
nnn
sincoscossin)sin( ??? +=+ ,
设
nnnnnn
bAaA
a
A === ?? cos , sin ,
2
0
0
, 得三角级数的一般形式
∑
∞
=
++
1
*)0
, sincos
2
n
nn
nxbnxa
a
3. 三角级数的收敛性:
Th1 若级数
∑
∞
=
++
1
0
) |||| (
2
||
n
nn
ba
a
收敛, 则级数 在 R 内绝对且一致收敛.
)?
证 用 M 判别法.
二、三角函数正交系统:
1. 内积和正交 : 由 R
3
中的内积与正交概念引入. 设函数 和 在区间 上
( R)可积 . 定义内积为
f g ] , [ ba
.
∫
=><
b
a
dxxgxfgf )()( ,
当 时 , 称函数 和 在区间 上正交 . >< , gf = 0 )(xf )(xg ] , [ ba
函数的正交性与区间有关 . 例如函数 )(xf = x? 和 在区间 上并
不正交 ( 因为
2
)( xxg = ] 1 , 0 [
>< , gf =
4
1
? ) , 但在区间 ] 1 , 1 [ ? 却是正交的 .
2. 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系.
3. 三角函数正交系统 : 三角函数系统
} , sin , cos , , 2sin , 2cos , sin , cos , 1 { "