Ch 16 隐函数存在定理、函数相关 计划课时： 6 时 P 205 — 224 2005. 09. 20. Ch 16 隐函数存在定理、函数相关 ( 6 时 ) § 1 隐函数存在定理 ( 2 时 ) 一、隐函数概念： 隐函数是表达函数的又一种方法. 1．隐函数及其几何意义 : 以 为例作介绍. 0),( =yxF 2． 隐函数的两个问题 : ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二、隐函数存在条件的直观意义: 三、隐函数定理 : Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数 在以 为内点的某一区域 D),( yxF ),( 000 yxP 2 R? 上连续 ; ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ),( 00 yxF 0= ⅲ> 在 D 内存在连续的偏导数 ; ),( yxF y ⅳ> . ),( 00 yxF y 0= / 则在点 的某邻域 ( ) D 内 , 方程 0 P ∪ 0 P ? 0),( =yxF 唯一地确定一个定义在某区 间 ) , ( 00 αα +? xx 内的隐函数 , 使得 )(xfy = ⑴ , )( 00 yxf = ∈x ) , ( 00 αα +? xx 时 ( )∈)( , xfx ∪ ( )且 0 P ()0)( , ≡xfxF . ⑵ 函数 在区间 )(xf ) , ( 00 αα +? xx 内连续 . ( 证 ) 四、 隐函数可微性定理: Th 2 设函数 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在 D 内 存在且连续 . 则隐函数 ),( yxF ),( yxF x )(xfy = 在区间 ) , ( 00 αα +? xx 内可导 , 且 ),( ),( )( yxF yxF xf y x ?=′ . ( 证 ) 例 1 验证方程 0sin 2 1 ),( =??= yxyyxF 在点 满足隐函数存在唯一 性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . ) 0 , 0 ( 例2 22 2 1 xyz ?= . 其中 为由方程 所确定的隐 函数 . 求 )(xfy = 03 33 =?+ axyyx dx dz . 例 3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 )(xfy = 在点 的某邻域内有连续的 导函数 , 且 , . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并 求反函数的导数. 0 x )(xf ′ 00 )( yxf = 0)( 0 ≠′ xf 五 . 元隐函数 : n 例4 . 验证在点 存在 是 的隐函数 , 并求偏导数 . 0),,( 323 =?++= zyxxyzzyxF ) 0 , 0 , 0 ( z ),( yx Ex P 214—215 §２ 隐函数组 ( 2 时 ) 一、隐函数组： 从四个未知数两个方程的方程组 ? ? ? =++++ =++++ . 0 , 0 22222 11111 eydxcvbua eydxcvbua 入手介绍隐函数组 ，一般形式为 * ) ? ? ? = = . 0),,,( , 0),,,( vuyxG vuyxF 二、 隐函数组定理 : 分析从上述线性方程组中解出 和 的条件入手 , 对方程组* 在一定条件下拟 线性化 , 分析可解出 和 v的条件 , 得出以下定理 . u v ) u Th 1 ( 隐函数组定理 ) P212—213 Th 3 、 Th 4. 关于 Jacobi . §3 反函数组和坐标变换 : 1． 反函数组存在定理 : Th 2 (反函数组定理 ) 2． 坐标变换 : 两个重要的坐标变换. 例 2 , 3 231 Ex P 224 § 4 几何应用 ( 1 时 ) 一、平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为 0),( =yxF . 有 y x F F xf ?=′ )( . 切线方程为 ),( 00 yxF x +? )( 0 xx ),( 00 yxF y 0)( 0 =? yy , 法线方程为 ),( 00 yxF y ?? )( 0 xx ),( 00 yxF x 0)( 0 =? yy . 例 1 求 Descartes 叶形线 在点 处的切线和法线 09)(2 33 =?+ xyyx ) 1 , 2 ( 二、空间曲线的切线与法平面 : 1． 曲线由参数式给出 : βαχ ≤≤=== ttzztyytxL , )( , )( , )( : . 切线的方向数与方向余弦. 切线方程为 )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy t xx ′ ? = ′ ? = ′ ? χ . 法平面方程为 0))(())(())(( 000000 =?′+?′+?′ zztzyytyxxtχ . 2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线 L 的方程为 点 在 ? ? ? = = . 0),,( , 0),,( zyxG zyxF ),,( 0000 zyxP L 上. 推导切线公式. 切线方程为 000 ),( ),( ),( ),( ),( ),( 000 PPP yx GF zz xz GF yy zy GF xx ? ? ? = ? ? ? = ? ? ? . 法平面方程为 0)( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( 000 000 =? ? ? +? ? ? +? ? ? zz yx GF yy xz GF xx zy GF PPP . 三、曲面的切平面与法线 : 设曲面 Σ的方程为 , 点 在0),,( =zyxF ),,( 0000 zyxP Σ上. 推导切面公式. 切平面方程为 0))(())(())(( 000000 =?+?+? zzPFyyPFxxPF zyx . 法定义域线方程为 )()()( 0 0 0 0 0 0 PF zz PF yy PF xx zyx ? = ? = ? . 232