Ch 18 含参量广义积分 计划课时： 6 时 P 233—244 2005. 10 .29. Ch 18 含参量广义积分 (6 时 ) § 1 含参无穷积分 一 . 含参无穷积分: 1． 含参无穷积分 : 函数 定义在),( yxf ) , [] , [ ∞+× cba 上 ( 可以是 无穷区间 ). 以 为例介绍含参无穷积分表示的函数 . ] , [ ba ∫ +∞ = c dyyxfxI ),()( )(xI 2. 含参无穷积分的一致收敛性 : 逐点收敛 ( 或称点态收敛 ) 的定义 : , ∈?x ] , [ ba cM >?>? , 0ε , 使 ε< ∫ +∞ M dyyxf ),( . 引出一致收敛问题 . 定义 ( 一致收敛性 ) 设函数 定义在 ),( yxf ) , [] , [ ∞+× cba 上 . 若对 cM >?>? , 0ε , 使 ε< ∫ +∞ M dyyxf ),( 对 ∈?x ] , [ ba 成立 , 则称含参无 穷积分 在 ( 关于 ∫ +∞ c dyyxf ),( ] , [ ba x )一致收敛. Th 1 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分 在 上一致收 敛 , ∫ +∞ = c dyyxfxI ),()( ] , [ ba ? 21 , , 0 , 0 AAM ?>?>?ε , ?> M ε< ∫ 2 1 ),( A A dyyxf 对 成立 . ∈?x ] , [ ba 例 1 证明含参量非正常积分 ∫ +∞ 0 sin dy y xy 在 ) , [ ∞+δ 上一致收敛 , 其中 0>δ . 但在区间 内非一致收敛 ) , 0( ∞+ 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系 : Th 2 积分 在 上一致收敛, ∫ +∞ = c dyyxfxI ),()( ] , [ ba ? 对任一数列 }{ n A )( 1 cA = , ↗ , 函数项级数 在 上一致收敛. n A ∞+ ∑ ∫ ∑ ∞ = ∞ = + = 11 1 )(),( n A A n n n n xudyyxf ] , [ ba 二 . 含参无穷积分一致收敛判别法 : 1. Weierstrass M 判别法 : 设有函数 , 使在)( yg ) , [] , [ ∞+× cba 上有 . 若积分 , 则积分 在 一致收敛. )(|),(| ygyxf ≤ ∞+< ∫ +∞ )( c dyyg ∫ +∞ c dyyxf ),( ] , [ ba 例 2 证明含参无穷积分 ∫ ∞+ + 0 2 1 cos dx x xy 在 +∞<<∞? y 内一致收敛. 2. Dirichlet 判别法和 Abel 判别法 : 三 . 一致收敛积分的解析性质 : 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质. 1. 连续性 : 积分号下取极限定理. Th 3 设函数 在),( yxf ) , [] , [ ∞+× cba 上连续 . 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上连续. ( 化 为级数进行证明或直接证明 ) ∫ +∞ = c dyyxfxI ),()( ] , [ ba )(xI ] , [ ba 系 在 Th 3 的条件下 , 对 , 有 ∈? 0 x ] , [ ba ∫∫ ∫ ∞+∞+∞+ →→ ? ? ? ? ? ? == cc cxxxx dyyxfdyyxfdyyxf .),(lim),(),(lim 00 0 2. 可微性 : 积分号下求导定理. Th 4 设函数 和 在 上连续. 若积分 在 上收敛, 积分 在 一致收敛. 则函数 在 上可微, 且 . f x f ) , [] , [ ∞+× cba ∫ +∞ = c dyyxfxI ),()( ] , [ ba ∫ +∞ c x dyyxf ),( ] , [ ba )(xI ] , [ ba ∫ +∞ =′ c x dyyxfxI ),()( 3. 可积性 : 积分换序定理. Th 5 设函数 在 上连续. 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上可积 , 且有 ),( yxf ) , [] , [ ∞+× cba ∫ +∞ = c dyyxfxI ),()( ] , [ ba )(xI ] , [ ba . ∫∫ ∫ ∫ +∞ +∞ = b ac c b a dyyxfdydyyxfdx ),(),( 关于在 上的积分换序问题. ) , [) , [ ∞+×∞+ ca 例 3 计算积分 ∫ ∞+ ? >> ? = 0 ) , 0 ( , sinsin abpdx x axbx eI px 247 四、 含参瑕积分简介 : Ex P244—24 5. § 2 Euler 积分 ( 4 时 ) 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 )(sΓ 和 . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数. ),( qpB 一 . Gamma 函数 —— Euler 第二型积分： )(sΓ 1. Gamma 函数 : 考虑无穷限含参积分 , ∫ +∞ ?? 0 1 dxex xs ) 0 ( >s 当 时 , 点 还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . 1 0 << s 0=x ∫∫ +∞ + 1 1 0 ∫ 1 0 : 时为正常积分 . 时 , .利用非负函数积的 Cauchy 判别法, 注意到 1 ≥s 1 0 << s 0 1 > ?? xs ex , 11 , 1) (lim 11 0 ?<?= ??? +→ sexx xss x 1 0 << s 时积分 收敛 . ( 易见 时, 仍用 Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 时积 分 收敛 . ∫ 1 0 0=s 0 >s ∫ 1 0 ∫ +∞ 1 : 对) ( , 0 112 +∞→→=? ?+?? xexexx xsxs ∈?s R 成立,. 因此积 分 对 R 收敛. ∫ +∞ 1 ∈?s 综上 , 时积分 收敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分 . Euler 第二型积分定义了 0 >s ∫ +∞ ?? 0 1 dxex xs ) , 0 ( ∞+∈s 内的一个函数 , 称该函数为 Gamma 函数, 记为 , 即 )(sΓ = , . )(sΓ ∫ +∞ ?? 0 1 dxex xs ) 0 ( >s ?Γ 函数是一个很有用的特殊函数 . 2. 函数的连续性和可导性 : ?Γ )(sΓ 在区间 内非一致收敛 . 这是因为) , 0 ( ∞+ 0=s 时积分发散. 这里利用了 下面的结果: 若含参广义积分在 内收敛, 但在点] , ( bay∈ ay = 发散, 则积分 在 内非一致收敛 .( 证明参阅: 复旦教案] , ( ba 17490 ?? 和 18(合 ) P368 E1.) 但 在区间 内闭一致收敛 . 即在任何)(sΓ ) , 0 ( ∞+ ?],[ ba ) , 0 ( ∞+ 上 , )(sΓ 248 一致收敛 . 因为 时 , 对积分 , 有 , 而积分 收敛. 对积分 , , 而积分 收敛 . 由 M—判法, 它们都一致收敛, 积分 在区间 上一致收敛 . ba <<0 ∫ 1 0 xaxs exex ???? ≤ 11 ∫ ?? 1 0 1 dxex xa ∫ +∞ 1 xbxs exex ???? ≤ 11 ∫ +∞ ?? 1 1 dxex xb ? ∫ +∞ ?? 0 1 dxex xs ],[ ba 作类似地讨论, 可得积分 也在区间dxex s xs )( 1 0 ′ ?? +∞ ∫ ) , 0 ( ∞+ 内闭一致收敛. 于是可得如下结论: )(sΓ 的连续性: 在区间 内连续 . )(sΓ ) , 0 ( ∞+ )(sΓ 的可导性: 在区间 内可导 , 且 )(sΓ ) , 0 ( ∞+ ∫∫ ∞+∞+ ???? = ? ? =Γ′ 00 11 ln)()( dxxexdxex s s xsxs . 同理可得: 在区间 内任意阶可导, 且 )(sΓ ) , 0 ( ∞+ . ∫ +∞ ?? =Γ 0 1)( ) ln ()( dxxexs nxsn 3. 凸性与极值 : 0) ln ()( 2 0 1 >=Γ′′ ∫ +∞ ?? dxxexs xs , ? )(sΓ 在区间 ) , 0 ( ∞+ 内严格下凸. 1)2()1( =Γ=Γ ( 参下段 ), ? 在区间)(sΓ ) , 0 ( ∞+ 内唯一的极限小 值点 ( 亦为最小值点 ) 介于 1 与 2 之间 . 4. 的递推公式 )(sΓ ?Γ 函数表 : 的递推公式 : . )(sΓ ) 0 ( ),()1( >Γ=+Γ ssss 证 ∫∫ +∞ +∞ ?? =′?==+Γ 00 )()1( dxexdxexs xsxs ∫∫ +∞ +∞ ????∞+? Γ==+?= 00 11 0 )(ssdxexsdxexsex xsxsxs . ∫∫ +∞ +∞ ??? ===Γ 00 11 1)1( dxedxex xx . 于是, 利用递推公式得: , 1)1(1)11()2( =Γ=+Γ=Γ , ! 212)2(2)12()3( =?=Γ=+Γ=Γ , …………, , ! 3! 23)3(3)13()4( =?=Γ=+Γ=Γ 一般地有 ! )1()1()()1( nnnnnnn ==?Γ?=Γ=+Γ". 可见 , 在 + Z 上 , 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 )(sΓ )1(! +Γ= ss , 易见 249 对 ,该定义是有意义的. 因此, 可视1?>s )1( +Γ s 为 ) , 1 ( ∞+? 内实数的阶乘 . 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 ) , 1 ( ∞+? 内的所有实数上, 于是, 自然就有 1)1()10(!0 =Γ=+Γ= , 可见在初等数学中规定 1!0 = 是很合理的. ?Γ 函数表 : 很多繁杂的积分计算问题可化为 ?Γ 函数来处理. 人们仿三角函数 表、对数表等函数表, 制订了 函数表供查. 由?Γ ?Γ 函数的递推公式可见, 有 了 函数在 内的值, 即可对?Γ 10 << s 0>?s , 求得 )(sΓ 的值. 通常把 内 函数的某些近似值制成表, 称这样的表为00.200.1 ≤≤ s ?Γ ?Γ 函数表 ( 如 北京矿业学院编《数学手册》1973 年版 P308— 309. 也有在 00.10 ≤< s 内编制 的 函数表.) ?Γ 5. 函数的延拓 : 时 , ?Γ 0 >s ),()1( sss Γ=+Γ ? . )1( )( s s s +Γ =Γ 该式 右端在 时也有意义 . 用其作为01 <<? s 01 <<? s 时 )(sΓ 的定义, 即把 )(sΓ 延拓到了 ) , 0 () 0 , 1( ∞+∪? 内 . 12 ?<<? s 时 , 依式 s s s )1( )( +Γ =Γ , 利 用延拓后的 , 又可把)(sΓ )(sΓ 延拓到 ∪?? ) 1 , 2 () , 0 () 0 , 1( ∞+∪? 内 .依 此 , 可把 延拓到 内除去)(sΓ ) , ( ∞+∞? ) , 2 , 1 , 0 ( "=?= nnx 的所有点. 经 过如此延拓后的 的图象如[1] P347 图表 21— 4. )(sΓ 例 1 求 , , . ( 查表得) 85.4 (Γ ) 85.0 (Γ ) 15.2 ( ?Γ ) 85.1 (Γ 94561.0= .) 解 ) 85.4 (Γ =Γ××=Γ×=Γ= )85.1(85.185.285.3)85.2(85.285.3)85.3(85.3 19506.1994561.085.185.285.3 =×××= . )85.0(85.0) 85.1 ( Γ=Γ ? 11248.1 85.0 94561.0 85.0 )85.1( ) 85.0 ( == Γ =Γ . = ? Γ × = ? ?Γ ? ? = ? ?Γ =?Γ 15.0 )85.0( 15.115.2 1 15.1 )15.0( 15.2 1 15.2 )15.1( ) 15.2 ( 54967.2 15.015.115.2 94561.0 ?= ×× ?= . 6. 函数的其他形式和一个特殊值 : ?Γ 某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 ?Γ 函数 . 倘能如此, 可查 ?Γ 函数表求得该积分的值. 常见变形有 : ⅰ> 令 , 有 = ,因此, )0( >= pptx )(sΓ ∫ +∞ ?? 0 1 dxex xs ∫ +∞ ?? = 0 1 dtetp ptss 250 , . ∫ +∞ ??? Γ= 0 1 )(spdxex spxs ) 0 , 0 ( >> sp ⅱ> 令 ? . , 2 tx = ∫ +∞ ?? =Γ 0 12 2 2)( dtets ts 注意到结果 ∫ ∞+ ? = 0 2 2 π dxe x , 得 的一个特殊值 )(sΓ 2 2 1 = ? ? ? ? ? ? Γ 772454.1 2 2 0 2 ≈=?= ∫ ∞+ ? π π dte t . ⅲ> 令 )0( ln >?= λλ tx , 得 )(sΓ ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 0 1 1 1 ln dtt t s s λ λ . 取 1=λ , 得 )(sΓ ∫∫ ? ? ?= ? ? ? ? ? ? = 1 0 1 0 1 1 )ln( 1 ln dttdt t s s . 例 2 计算积分 , 其中 . ∫ +∞ ? 0 2 2 dxex xn + ∈Zn 解 I ∫ ∞+ + ? ? = ? =Γ ? ?=+Γ===== 0 1 2 1 2 !)!12( ) 2 1 ( 2 !)!12( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 π nn t n xt nn ndtet . 二 . Beta 函数 ——Euler 第一型积分： ),( qpB 1． Beta 函数及其连续性： 称( 含有两个参数的 ) 含参积分 为 Euler 第 一型积分. 当 ∫ ?? ? 1 0 11 )1( dxxx qp ) 0 , 0 ( >> qp p 和 中至少有一个小于 1 时 , 该积分为瑕积分. 下证对 , 该积分收敛. 由于 q 0 , 0 >> qp 1 , <qp 时点 0=x 和 1=x 均为瑕点. 故把 积分 分成 ∫ 1 0 ∫ 2 1 0 和 ∫ 1 2 1 考虑. ∫ 2 1 0 : 时为正常积分; 1≥p 10 << p 时 , 点 0=x 为瑕点. 由被积函数 非负, 和 ) 0 ( , 1)1( 111 +??? →→? xxxx qpp 11 <? p , ( 由 Cauchy 判法) 积分? ∫ 2 1 0 收敛 . ( 易见 0=p 时积分 ∫ 2 1 0 发散 ). ∫ 1 2 1 : 时为正常积分; 时, 点1≥q 10 << p 1=x 为瑕点. 由被积函数非负, 和 ) 1 ( , 1)1()1( 111 ???? →→?? xxxx pqq 11 <? q , 251 ( 由 Cauchy 判法) 积分? ∫ 1 2 1 收敛 . ( 易见 0=q 时积分 ∫ 1 2 1 发散 ). 综上, 时积分 收敛. 设 0 , 0 >> qp ∫ 1 0 D }0 , 0 |),( { +∞<<+∞<<= qpqp , 于是, 积分 定义了 D 内的一个二元函数. 称该函数为 Beta 函数, 记为 , 即 ∫ 1 0 ),( qpB = ),( qpB ∫ ?? ? 1 0 11 )1( dxxx qp ) 0 , 0 ( >> qp 不难验证, ?B 函数在 D 内闭一致收敛. 又被积函数在 D 内连续, 因此 , ?B 函 数是 D 内的二元连续函数. 2. ?B 函数的对称性 : . ),( qpB ),( pqB= 证 = ),( qpB ∫ ?? ? 1 0 11 )1( dxxx qp ∫ =??===== ?? ?= 0 1 11 1 )1( dttt qp tx . ∫ =?= ?? 1 0 11 ),()1( pqBdttt pq 由于 ?B 函数的两个变元是对称的 , 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有. 3. 递推公式 : ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( qpB qp q qpB + ++ =++ . 证 ∫∫ =? + =?=++ + 1 0 1 0 1 )()1( 1 1 )1() 1 , 1( pqqp xdx p dxxxqpB dxxx p q dxxx p q xx p qpqppq ∫∫ ?+?++ ? + =? + +? + = 1 0 11 1 0 111 0 1 )1( 1 )1( 1 )1( 1 1 ) * 而 ∫∫ =???=? ??+ 1 0 1 1 0 11 )1)](1([)1( dxxxxxdxxx qppqp , ∫∫ ++?+=???= ? 1 0 1 0 1 )1 , 1() , 1()1()1( qpBqpBdxxxdxxx qpqp 代入 式, 有 ) * ) 1 , 1 ( 1 ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( ++ + ?+ + =++ qpB p q qpB p q qpB , 解得 ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( qpB qp q qpB + ++ =++ . 252 由对称性, 又有 ) 1 , ( 1 ) 1 , 1 ( + ++ =++ qpB qp p qpB . 4. ?B 函数的其他形式 : ⅰ> 令 , 有 α xy = ∫∫ =?=? ?1 0 1 0 1 1 )1( 1 )1( dyyyydxxx α β α γ βαγ α ∫ ? ? ? ? ? ? + + =?= ?+ ? + 1 0 11 1 1 1 , 11 )1( 1 β α γ αα β α γ Bdyyy , 因此得 ∫ ? ? ? ? ? ? + + =? 1 0 1 , 11 )1( β α γ α βαγ Bdxxx , 1 , 0 1 ?>> + β α γ . ⅱ> 令 xy cos= , 可得 ∫ ? ? ? ? ? ? ++ = 2 0 2 1 , 2 1 2 1 cossin π βα βα Bxdxx , 1 , 1 ?>?> βα . 特别地 , ∫ ? ? ? ? ? ? + = 2 0 2 1 , 2 1 2 1 sin π n Bxdx n , . + ∈Zn ⅲ> 令 t t x + = 1 , 有 = =),( qpB ∫ ?? ? 1 0 11 )1( dxxx qp ∫ ∞+ + ? + 0 1 )1( dt t t qp p , 即 ∫ ∞+ + ? = + 0 1 ),( )1( qpBdt t t qp p , ) 0 , 0 ( >> qp ⅳ> 令 ab a ab x t ? ? ? = , 可得 . ∫ ?+?? ?=?? b a nmnm nmBabdxxbax ),,()()()( 111 0 , 0 >> nm ⅴ> ∫ + = + ? + ?? 1 0 11 ),( )1( 1 )( )1( nmB aa dx xa xx nnnm nm , 0 , 0 ; 1 , 0 >>?≠ nma . 三. 函数和?Γ ?B 函数的关系 : ?Γ 函数和 ?B 函数之间有关系式 )( )()( ),( qp qp qpB +Γ ΓΓ = , ) 0 , 0 ( >> qp 以下只就 p 和 取正整数值的情况给予证明. q p 和 取正实数值时 , 证明用到 函数的变形和二重无穷积分的换序. q ?Γ 证 反复应用 ?B 函数的递推公式, 有 )1 , ( 1 1 2 2 1 1 )1,( 1 1 ),( mB mnm n nm n nmB nm n nmB + ?? ?+ ? ? ?+ ? =? ?+ ? =", 而 ∫ ?== ? 1 0 1 , 1 )1 , ( m dxxmB m 253 = ? ? ?? + ?? ?+ ? ? ?+ ? = )!1( )!1(1 1 1 2 2 1 1 ),( m m mmnm n nm n nmB" )( )()( )!1( )!1()!1( mn mn nm mn +Γ ΓΓ = ?+ ?? = . 特别地, 且 或0 , 0 >> qp 1=+ qp 2=+ qp 时, 由于 1)2()1( =Γ=Γ , 就有 )()(),( qpqpB ΓΓ= . 余元公式—— 函数与三角函数的关系： 对?Γ 10 << p ，有 π π p pp sin )1()( =?ΓΓ . 该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第 3 分册, 或参阅 余家荣编《复变函数》 P118—119 例 1（ 利用留数理论证明 ） . 利用余元公式, 只 要编制出 2 1 0 ≤< s 时 的函数表, 再利用三角函数表, 即可对)(sΓ 0>?s , 查表 求得 的近似值. )(sΓ 四、利用 Euler 积分计算积分 : 例 3 利用余元公式计算 ? ? ? ? ? ? Γ 2 1 . 解 π π π == ? ? ? ? ? ? ?Γ ? ? ? ? ? ? Γ= ? ? ? ? ? ? Γ 2 sin 2 1 1 2 1 2 1 2 , ? π= ? ? ? ? ? ? Γ 2 1 . 例 4 求积分 ∫ ∞+ + 0 6 1 x dx . 解 令 , 有 6 xt = I ∫∫ ∞+ ∞+ + ?? = ? ? ? ? ? ? = + = + = 0 0 6 5 6 1 1 6 1 6 5 6 5 , 6 1 6 1 )1( 6 1 16 1 Bdt t t dt t t 3 6 sin 6 1 6 1 1 6 1 6 1 π π π =?= ? ? ? ? ? ? ?Γ ? ? ? ? ? ? Γ= . 例 5 计算积分 ∫ ? 1 0 4 4 1 x dx . 254 解 , 2 1 1 1 lim 4 4 4 1 = ? ? ? → x x x 1 4 1 <=p , ? 该积分收敛 . ( 亦可不进行判 敛 , 把该积分化为 ?B 函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . ) I ∫∫∫ =?==== ?? = ?? = ?? = 1 0 4 1 4 31 0 4 43 41 0 4 43 3 )1( 4 1 1 )( 4 1 1 4 dttt xx xd xx dxx xt == ? ? ? ? ? ? Γ ? ? ? ? ? ? Γ= ? ? ? ? ? ? =?= ∫ ?? 4 sin 4 1 4 3 4 1 4 1 4 3 , 4 1 4 1 )1( 4 1 1 0 1 4 3 1 4 1 π π Bdttt 4 2π . 例 6 , 求积分 xxxf 67 cossin)( = , ∫∫∫ V dxdydzzfyfxf )()()( 其中 V : xzxyx ≤≤≤≤≤≤ 0 , 0 , 2 0 π . 解 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =? ? ? ? ? ? == V xx x dxdttfxfdzzfdyyfdxxf 2 000 2 0 2 0 )()()()()( π π ∫∫ ∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? = 2 0 0 3 2 0 2 0 3 0 2 0 )( 3 1 )( 3 1 )()( π π π xxx dxxfdttfdttfddttf . 而 ∫∫ = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ++ == 2 0 2 0 67 2 7 , 4 2 1 2 16 , 2 17 2 1 cossin)( π π BBxdxxdxxf 563 3 )5.0(5.05.15.25.35.45.55.6 )5.0(5.05.15.2 !3 2 1 ) 2 15 ( ) 2 7 ()4( 2 1 . = Γ××××××× Γ×××× ?= Γ ΓΓ ?= . 因此, 3 3 . )563( 9 563 3 3 1 = ? ? ? ? ? ? = ∫∫∫ V . 255