S F 01 ( 数 ) C h 0 数学分析课程简介 C h 1 实数集与函数 计划课时： Ch 0 2 时 Ch 1 4时 P 1—9 2004． 09． 3. Ch 0 数学分析课程简介 ( 2 时 ) 一 . 数学分析 (mathematical analysis)简介: 1. 背景 : 从切线、面积、计算 、实数定义等问题引入. D 32sin 2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算： 3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值 函数. 主要研究微分(differential) 和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算 从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析 基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus) 的区别. . 二． 数学分析的形成过程： 1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想. 2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期 ,是微积分思想的发展、成果的积累时期 : 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期 : 参阅《数学分 析选讲》讲稿(1997.8.10.) 第三讲 P72. 4． 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期： 参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲 P72—75. 1 三 . 数学分析课的特点 : 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头三章有一定的难度, 倘能努力学 懂前三章( 或前三章的 0 0 80 ), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般 是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很 强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训 练是数学分析课基本的, 也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是 数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习 , 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充 课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了 课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四 . 课堂讲授方法 : 1. 关于教材 : 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课 程主要从以下教科书中取材: [1] 华东师范大学数学系编， 《数学分析》第三版，高等教育出版社，2001； [2] 陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社，1978； [3] 吴良森等，《数学分析习题精解》，科学出版社，2002； [4] 费定晖等编演，吉米多维奇《数学分析习题集》题解，山东科学技术出版社， 1999； [5] 常庚哲等，《数学分析》，江苏教育出版社，1998 ； 2 本课程主要在[1] 、 [3]、 [4]中取材. 在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处. 本课程 为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1] 中相当一 部分内容，且不囿于[1] 的逻辑系统和章节设置. 相应的内容作为选修课将在学完数学分 析课之后开设. 因此, 课堂笔记就显得十分重要 2. 内容多 , 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很 多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是 同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 3. 讲解的重点 : 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条 件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些 精细概念之间的本质差别. 在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般 不会做特别具体的证明叙述. [1] 中叙述性的或简单应用性的内容多留为自学阅读. 五 . 要求、辅导及考试： 1. 学习方法 : 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要 做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记 . 一般课堂教学与课外复习的时间比 例应为 1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191，2000.9.30. 第二版: 本科节段如何培养高素质创新人材 —— 伯利克大学的启示. 注: 伯利克大学乃美国 加州大学伯利克分校.) 对将来可能从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰 富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对 3 未来的教学工作是很有用的. 2. 作业 : 作业以[1] 的练习题中大部分习题和[4] 中的计算题为主要内容. 大体上 每两周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情 况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩. 作业要按数学排版格式书写恭整. 要求活页作业, 最好用西北师大稿纸. 要有作业封面, 尺寸为 cm5.275.19 × . 作业布置方式: [1] P…, [4]P… 3. 辅导 : 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席. 4. 考试 : 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和 所布置作业的内容, 包括 [1]和 [4]中的典型例题. 考试题为标准化试题. Ch 1 实数集与函数 ( 4 时 ) § 1 实数集与不等式 （2 时） 一． 实数集 R ： 回顾中学中关于实数集的定义. 实数集及其几何表示. 1. 四则运算封闭性 : 2. 三歧性 ( 即有序性 ): 3. Archimedes 性 : . , ,0 ,, bnanabba >?∈?>>∈? NR 4. 稠密性 : 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 5. 有理数的可列性 : 介绍可列个可列集的并集是可列集. 6. 两实数相等的充要条件 : . ,0 , εε <?>??= baba 4 7. 区间和邻域 : 二 . 几个重要不等式 : 1. 绝对值不等式 : 定义 { }. , max aaa ?= 2. 三角不等式 : 采用[1] P 21 的证明 ( Th1.2.1. ): 利用式 |||||||| baabba ≤≤? , 有 , 222222 ||||||2|| 2||||||2|| bbaabababbaa ++≤++≤+? ? () |||| ( 2 ≤? ba 22 ) |||| () baba +≤+ ， ? |||| || |||| bababa +≤+≤? . 3. 其他不等式 : ⑴ ,2 22 abba ≥+ .1 sin ≤x . sin xx ≤ ⑵ 均值不等式 : 对 记 ,,,, 21 + ∈? R n aaa " , 1 )( 1 21 ∑ = = +++ = n i i n i a nn aaa aM " (算术平均值) ,)( 1 1 21 n n i i n ni aaaaaG ? ? ? ? ? ? ? ? == ∏ = " (几何平均值) . 111 1 111 )( 1121 ∑∑ == == +++ = n i i n i in i a n anaaa n aH " (调和平均值) 有平均值不等式: ),( )( )( iii aMaGaH ≤≤ 等号当且仅当 n aaa === " 21 时成立. ⑶ Bernoulli 不等式 : ( 在中学已用数学归纳法证明过 ) ,1?>?x 有不等式 . ,1)1( N∈+≥+ nnxx n 当 且 1?>x 0≠x , 且 时, 有严格不等式 N∈n 2≥n .1)1( nxx n +>+ (现采用《数学教学研究》1991. № 1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明) 5 证 由 且 01 >+ x >+++++=?++?≠+ 111)1(1)1( ,01 " nn xnxx ).1( )1( xnxn n n +=+> .1)1( nxx n +>+? ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对 ,0>?h 由二项展开式 , !3 )2)(1( !2 )1( 1)1( 32 nn hh nnn h nn nhh ++ ?? + ? ++=+ " 有 上式右端任何一项. >+ n h)1( 三 . 有界数集与无界数集 : 1. 有界数集 : 定义( 上、下有界, 有界) ， 闭区间、 为有限数） 、邻域 baba ,( ),( 等都是有界数集， 集合 {}) , ( ,sin ∞+∞?∈== xxyyE 也是有界数集. 2. 无界数集 : 定义 , ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( ∞+∞?∞+∞? 等都是无界数集, 集合 ? ? ? ? ? ? ∈== ) 1 , 0 ( , 1 x x yyE 也是无界数集. Ex P 9 — 10 1， 3， 4，5 ， 7 . § 2 初等函数 ( 2 时 ) 一 . 函数 : 1. 映射与函数 : 映射 , 单射 , 满射, 双射( 一 一对应), 逆映射等. 2. 定义域 : 定义域和存在域. 3. 函数的表示法 : 4. 反函数 : 一 一 对应, 反函数存在定理. 6 例 1 ? ? ? ? ? ? ? ==? =≠∈ = . , 2 , 1 , 1 , 1 , , 2 , 1 , 1 ] 1 , 0 [ , )( " " n n x n n n xxx xf 且 函数 在区间 上是否单调 ? 是否为一 一 对应 ? 是否存在反函数 ? )(xf ] 1 , 0 [ 5. 函数的代数运算 : 二 . 分段函数: 以函数 和 ? ? ? ? ? > = <? = 1 , ,1 ,2 ,1 ,1 )( 2 xx x xx xf ? ? ? ? ? > ≤? = 1 , ,1 ,2 )( 2 xx xx xg 为例 介绍概念. 例 2 [1]P16 E9 简介 , 留给学生阅读 . 例 3 求 ? ? ? >? ≤ = .1 ,1 ,1 , )( xx xx xf ).2( ),1( ),0( fff 例 4 设 求 (答案为 8) [] ? ? ? <+ ≥? = .10 ,)5( ,10 ,3 )( xxff xx xf ).5(f 三 . 函数的复合 : 例 5 .1)( ,)( 2 xxguuufy ?==== 求 ( ) [)()( xgfxgf ]=D 并求 定义域. 例 6 ⑴ ._______________)( ,1)1( 2 =++=? xfxxxf ⑵ . 11 2 2 x x x xf += ? ? ? ? ? ? + 则 ) ( )( =xf A. B. C. D. , 2 x ,1 2 +x ,2 2 ?x .2 2 +x [4]P407 E62. 四 . 初等函数 : 7 1. 基本初等函数 : 2. 初等函数 : 3. 初等函数的几个特例 : 设函数 和 都是初等函数, 则 )(xf )(xg ⑴ )( xf 是初等函数, 因为 ().)( )( 2 xfxf = ⑵ { })( , )(max)( xgxfx =Φ 和 { })( , )(min)( xgxfx =φ 都是初等函数, 因为 { })( , )(max)( xgxfx =Φ [])()()()( 2 1 xgxfxgxf ?++= , { })( , )(min)( xgxfx =φ )()()()( 2 1 xgxfxgxf ??+= . ⑶ 幂指函数 ( )( 0)( )( )( >xfxf xg )是初等函数,因为 ( ) () . )( )(ln)()(ln )( )( xfxgxf xg eexf xg == 五. 有界函数: 有界函数概念. 例 7 验证函数 32 5 )( 2 + = x x xf 在 R 内有界. 解法一 由 ,62322)3()2(32 222 xxxx =?≥+=+ 当 时, 有 0≠x .3 62 5 62 5 32 5 32 5 )( 22 ≤=≤ + = + = x x x x x x xf 30 )0( ≤=f , ∴ 对 ,R∈?x 总有 ,3 )( ≤xf 即 在 )(xf R 内有界. 解法二 令 , 32 5 2 ? + = x x y 关于 x的二次方程 有实数根. 0352 2 =+? yxyx 22 245 y?=Δ∴ .2 ,4 24 25 ,0 2 ≤?≤≤?≥ yy 解法三 令 ? ? ? ? ? ? ?∈= 2 , 2 , 2 3 ππ ttgtx 对应 ). , ( ∞+∞?∈x 于是 8 . 62 5 2sin 62 5 )( ,2sin 62 5 sec 1 cos sin 6 5 12 3 3 5 3 2 3 2 2 3 5 32 5 )( 2222 ≤=?= == + = + ? ? ? ? ? ? ? ? = + = txft tt t ttg tgt tgt tgt x x xf 关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1] P22—25， [4]P19—24. 六 . 几个特殊函数 : 例 8 符号函数 xsgn . 例 9 整数部分函数 并求].[xy = ] [ ], [ ], 71826.2 [ ππ ? . 例 10 非负小数部分函数 . 并求 和)(xy = ) 993.17 ( ) 75.48 ( ? . 例 11 Dirichlet 函数 和 Riemann 函数 . Dirichlet 函数和 Riemann 函数 的周期性. )(xD )(xR Ex P 23 — 24 全部 。 [4]P34—36 50， 54， 55，56 ，67 ， 68， 71， 81. 9