Ch 10 广义积分 计划课时： 8 时 P 44— 61 2005． 03． 13. Ch 10 广义积分（ 8 时 ） 问题的提出: 广义积分亦称为 Cauchy—Riemann 积分, 或 C— R 积分. §1. 无穷限广义积分: 1． 概念和几何意义： 定义 ， . ∫ = A a AF )( ∫ +∞ ?+∞= a aFFf )()( 几何意义 : 例 1 ⑴ 讨论积分 ∫ +∞ + 0 2 1 x dx , ∫ ∞? + 0 2 1 x dx , ∫ +∞ ∞? + 2 1 x dx 的敛散性 . ⑵ 计算积分 ∫ +∞ ++ 0 2 52xx dx . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ∫ +∞ 1 p x dx ; ⑵ ∫ +∞ 2 )(ln p xx dx . 例 3 讨论积分 的敛散性 . ∫ +∞ a xdxcos 2. 无穷积分的性质 : ⑴ 在区间 )(xf ) , [ ∞+a 上可积 , — Const , 则函数 k 在区 间 上可积 , 且 . k )(xf ) , [ ∞+a ∫ +∞ = a kdxxkf )( ∫ +∞ a dxxf )( ⑵ 和 在区间 )(xf )(xg ) , [ ∞+a 上可积 , ? )(xf ± )(xg 在区 间 上可积 , 且 . ) , [ ∞+a ∫ +∞ =± a gf )( ∫ +∞ ± a f ∫ +∞ a g ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)( +∞→→ ABAF ) Th 积分 收敛 ∫ +∞ a dxxf )( εε <?>′′′??>?? ∫ ′′ ′ A A dxxfAAAA )( ,, , , 0 . ⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 ?收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法 : 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 ↗. 非负函数无穷积分 敛散性记法. )(AF ⑴ 比较判敛法 : 设在区间 ) , [ ∞+a 上函数 和 非负且 ，又对任何 )(xf )(xg )(xf ≤ )(xg A> , 和 在区间 上可积. 则 a )(xf )(xg ] , [ Aa < , ? < ； ∫ +∞ a g ∞+ ∫ +∞ a f ∞+ ∫ +∞ a f = ∞+ , ? ∫ +∞ a g = ∞+ . 例4 判断积分 ∫ +∞ + + 0 2 2 5 )1sin( dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 上函数 ) , [ ∞+a 0 , 0 ≥> fg , c g f x = +∞→ lim . 则 ⅰ> 0 < < c ∞+ , ? 与 共敛散 : ∫ +∞ a f ∫ +∞ a g 101 ⅱ> c , ? < =0 ∫ +∞ a g ∞+ 时, < ∫ +∞ a f ∞+ ； ⅲ> c , = ∞+ ? ∫ +∞ a g = ∞+ 时, ∫ +∞ a f = ∞+ . ( 证 ) ⑵ Cauchy 判敛法: ( 以 ∫ +∞ 1 p x dx 为比较对象, 即取 )(xg = p x 1 .以下 > 0 ) 设对任何a A> , , 0a )(xf ∈ ],[ AaC ≤ )(xf ≤ p x 1 且 p 1> , < ；若? ∫ +∞ a f ∞+ )(xf ≥ p x 1 且 p 1≤ , ? ∫ +∞ a f = ∞+ . Cauchy 判敛法的极限形式 : 设 是在任何有限区间 上可积 的正值函数.且 . 则 )(xf ] , [ Aa λ= +∞→ )(lim xfx p x ⅰ> ,0 , 1 ?+∞<≤> λp ∫ +∞ a f < ∞+ ； ⅱ> ?+∞≤<≤ , 0 , 1 λp ∫ +∞ a f = ∞+ . ( 证 ) 例5 讨论以下无穷积分的敛散性 : ⅰ> ⅱ> ∫ +∞ ? > 0 );0( , α α dxex x ∫ +∞ + 0 5 2 . 1 dx x x ⑶ 其他判敛法 : Abel 判敛法 : 若 在区间 )(xf ) , [ ∞+a 上可积 , 单调有界 , 则 积分 收敛. )(xg ∫ +∞ a dxxgxf )()( Dirichlet 判敛法 : 设 在区间 ∫ = A a fAF )( ) , [ ∞+a 上有界 ， 在 上单调，且当 )(xg ) , [ ∞+a +∞→x 时， . 则积分 收敛. )(xg 0→ ∫ +∞ a dxxgxf )()( 102 例6 讨论无穷积分 ∫ +∞ 1 sin dx x x p 与 ∫ +∞ 1 cos dx x x p ) 0 ( >p 的敛散性. 例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . ∫ +∞ 1 2 sin dxx ∫ +∞ 1 2 cos dxx ∫ +∞ 1 4 sin dxxx 例8 ( 乘积不可积的例 ) 设 )(xf x xsin = , ∈x ) , 1 [ ∞+ . 由例 6 的结果,积分 收敛 . 但积分 ∫ +∞ 1 )( dxxf ∫ +∞ 1 )()( dxxfxf ∫ +∞ = 1 2 sin dx x x 却发 散.( 参阅例 6 ) Ex P55—56 . §2. 无界函数的广义积分 : 先介绍函数的瑕点. 1. 瑕积分的定义: 以点 b 为瑕点给出定义. 然后就点 为瑕点、点 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. a ),( bac∈ 例9 判断积分 ∫ ? 1 0 2 1 x dx 的敛散性 . 例 10 讨论瑕积分 ∫ > 1 0 ) 0 ( q x dx q 的敛散性,并讨论积分 ∫ +∞ 0 p x dx 的敛散性. 2. 瑕积分与无穷积分的关系 : 设函数 连续 , b 为瑕点. 有 )(xf ∫∫ ∞+ ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ?===== b a ab xb t dt tt bfdxxf 1 2 1 11 )( , 把瑕积分化成了无穷积分 ; 设 , 有 0>a ∫∫∫ ∞+ = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?==== a a a x t t dt t g t dt t gdxxg 0 1 1 0 22 1 11 )( ，把无穷积分化 103 成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行 的理论和结果 . 例 11 证明瑕积分 ∫ 1 0 1 sin 1 dx xx α 当 2<α 时收敛. 证 ∫∫ ∞+ ? = ==== 1 2 1 1 0 sin dt t t t x α , 由例 6 , 该积分当 2<α 时收敛. 3． 瑕积分判敛法: Th ( 比较原则 ) . 系 1 ( Cauchy 判别法 ). 系 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ). 例12 判别下列瑕积分的敛散性 : ⑴ ∫ 1 0 , ln dx x x ( 注意被积函数非正 ). ⑵ ∫ 2 1 ln dx x x . 例13 讨论非正常积分 ∫ +∞ ? + 0 1 1 dx x x α 的敛散性. 三. C— R 积分与 R 积分的差异: 1. R , 在 上)(xf ∈ ],[ ba ? ],[ ba )(xf = )1(0 ; 但 在区间 上可积 , )(xf ) , [ ∞+a ? / 在区间 )(xf ) , [ ∞+a 上有界 . 例如函数 ? ? ? ≠≥ = = . 1 , 0 , , )( nxx nxn xf 但 2. R ,?| |∈R ,但反之不确. R 积分是绝对型积 分. | |在区间 )(xf ∈ ],[ ba )(xf ],[ ba )(xf ) , [ +∞a 上可积 , ? 在区间 )(xf ) , [ ∞+a 上 可积 ,但反之不确. C— R 积分是非绝对型积分. 104 3. , R , )(xf )(xg ∈ ],[ ba ? )(xf )(xg ∈R ; 但 和 在区间 ],[ ba )(xf )(xg ) , [ ∞+a 上可积 , ? / 在区间 )(xf )(xg ) , [ ∞+a 上 可积. 可见, 在区间)(xf ) , [ ∞+a 上可积 , ? / 在区间 上可积. )( 2 xf ) , [ ∞+a Ex P61 1―9. 105