Ch 21 曲线积分与曲面积分的计算 计划课时：12 时 P 296—334 2005. 11.15 . Ch 21 曲线积分与曲面积分的计算 ( 12 时 ) § 1 第一型曲线积分的计算 (1 时 ) Th21.1 设有光滑曲线 )( , )( : tytxL ψ? == , ],[ βα∈t . 是定义在),( yxf L 上 的连续函数 . 则 () dtttttfdsyxf L ∫∫ ′+′= β α ψ?ψ? )()()( , )(),( 22 . 若曲线方程为 L : ],[ , )( baxxy ∈=ψ , 则 () ∫∫ ′+= L b a dxxxxfdsyxf )(1)( , ),( 2 ψψ . L 的方程为 )(yx ?= 时有类似的公式. 例 1 设 L 是半圆周 , taytax sin , cos == π≤≤t0 . . ∫ + L dsyx )( 22 例 2 设 L 是曲线 上从点 到点 的一段. 计算第一型曲线分 . xy 4 2 = ) 0 , 0 (O ) 2 , 1 (A ∫ L yds 空间曲线 L 上的第一型曲线积分 : 设空间曲线 )( , )( , )( : tztytxL χψ? === , ],[ βα∈t . 函数 )( , )( , )( ttt χψ? 连续可导, 则对 L 上的连续函数 , 有 ),,( zyxf () ∫∫ ′+′+′= L dtttttttfdszyxf β α χψ?χψ? )()()()( , )( , )(),,( 222 . 例 2 计算积分 , 其中 ∫ L dsx 2 L 是球面 被平面 2222 azyx =++ 0=++ zyx 截得的圆周. 解 由对称性知 , , ∫ = L dsx 2 ∫ = L dsy 2 ∫ L dsz 2 ? = ∫ L dsx 2 ∫∫ ==++ LL ads a dszyx 3 2 222 3 2 3 )( 3 1 π . ( 注意 L 是大圆 ) Ex P299 1、 3、5 、 7. § 2 第一型曲面积分的计算 (2 时 ) Th21.2 设有光滑曲面 DyxyxzzS ∈= ),( , ),( : . 为 上的连续函数, 则 ),,( zyxf S () ∫∫ ∫∫ ++= S D yx dxdyzzyxzyxfdSzyxf 22 1),(,,),,( . 例 4 计算积分 ∫∫ S z dS , 其中 是球面 被平面 所截的顶部 . S 2222 azyx =++ hz = )0( ah << Ex P308. 263 § 3 第二型曲线积分 ( 3 时 ) 一 第二型曲线积分的定义 : 1． 力场 (),( , ),(),( yxQyxPyxF = 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功 : 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得 ),( dydxFW AB ?= ∫ ∩ , 即 dsFW L ?= ∫ . 2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量 : 解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有 流速场 ),( yxv (),( , ),( yxQyxP= . 求在单位时间内通过曲线 AB 从左侧到右侧的 流量 E . 设曲线 AB 上点 处的切向量为 1?i M )sin , (cos αατ = , ( α 是切向量方向与 X 轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) . 在弧段 上的流量 ∩ ? ii MM 1 dsnvdE ) , (= . )cos , (sin) 2 sin( , ) 2 cos( αα π α π α ?= ? ? ? ? ? ? ??=n , 因此 , ( ) =??= ||)cos , (sin),( , ),( dsyxQyxPdE αα ||cos),(||sin),( dsyxQdsyxP ???= αα . 由 dxdsdydsdydxds =?=??= ||cos , ||sin ), , ( αα , 得 . dxyxQdyyxPdE ),(),( ?= 于是通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 . ∫∫ ?= AB AB dxyxQdyyxPdE ),(),( 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有力场 (),( , ),(),( yxQyxPyxF = 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功为 . ∫ += AB QdyPdxW 流速场 ),( yxv (),( , ),( yxQyxP= 在单位时间内通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 . ∫ ?= AB QdxPdyE 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 , 因此 , 定积分是第二型曲线积分中当曲线为 X 轴上的线段时的特例. ∫∫ ?= BAAB 可类似地考虑空间力场 ()),,( , ),,( , ),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyxF = 沿空间曲线 264 AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 . ∫ ++ AB dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( 4. 第二型曲线积分的性质 : 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积 分相比, 除多了一层方向性的考虑外 , 其余与以前的积累问题是一样的 , 还是用 Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有( R )积分的共性 , 如线性、关 于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是 由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段 方向与向量方向之间的夹角有关. 二 . 第二型曲线积分的计算 : 曲线的自然方向 : 设曲线 L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向 . 设 L 为光滑或按段光滑曲线 , L : βαψ? ≤≤== ttytx , )( , )( . A())( , )( αψα? , B())( , )( βψβ? ; 函数 和 在 L 上连续, 则沿 L 的自 然方向 ( 即从点 A 到点 B 的方向) 有 ),( yxP ),( yxQ ()()[] ∫∫ ′+′=+ L dttttQtttPdyyxQdxyxP β α ψψ??ψ? )()( , )()()( , )(),(),( . (证略) 例 1 计算积分 , L 的两个端点为 A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点 A 到点 B 或闭合, 路径为 ∫ ?+ L dyxyxydx )( ⅰ> 直线段 AB ⅱ> 抛物线 ; 1)1(2 2 +?= xy ⅲ> A( 1, 1 ) D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 . → → → 例 2 计算积分 , 这里 L : ∫ + L ydxxdy ⅰ> 沿抛物线 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); 2 2xy = ⅱ> 沿直线 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); xy 2= ⅲ> 沿折线闭合路径 O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). → → → 例 3 计算第二型曲线积分 I = , 其中 L 是螺旋线 ∫ +?+ L dzxdyyxxydx 2 )( btztaytax === , sin , cos , 从 0=t 到 π=t 的一段 . 例 4 求在力场 ) , , ( zyxxyF ++? 作用下, ⅰ> 质点由点 A 沿螺旋线到点 B) 0 , 0 , ( a ) 2 , 0 , ( ba π 所作的功, 其中 L 1 : btztaytax === , sin , cos , ) 20 ( π≤≤t . 265 ⅱ> 质点由点 A 沿直线 L 到点 B) 0 , 0 , ( a 2 ) 2 , 0 , ( ba π 所作的功 § 4 第二型曲面积分 ( 3 时 ) 一 . 曲面的侧 : 1． 单侧曲面与双侧曲面 : 2. 双侧曲面的定向 : 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 )cos , cos , (cos γβα±=n , 则上侧法线方向对应第三个分量 , 即选“ +”号时，应有0> 0cos >γ ，亦即法线方向 与 Z 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧. 二 . 第二型曲面积分: 1. 稳流场的流量 : 以磁场为例. 2. 第二型曲面积分的定义 : 闭合曲面上的积分及记法. 3. 第二型曲面积分的性质 : 线性 , 关于积分曲面块的可加性. 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系 : 设 n为曲面 的指定法向, 则 S ∫∫ =++ S dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,( [ ] ∫∫ ++ S dSznzyxRynzyxQxnzyxP ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,( . 三 . 第二型曲面积分的计算 : Th21.5 设 是定义在光滑曲面 ),,( zyxR ∈= ),( , ),( : yxyxzzS D xy 上的连续函数, 以 的上侧为正侧( 即S 0),cos( >zn ), 则有 . () ∫∫ ∫∫ = S D xy dxdyyxzyxRdxdyzyxR ),(,,),,( 类似地, 对光滑曲面 ∈= ),( , ),( : zyzyxxS D , 在其前侧上的积分 yz . () ∫∫ ∫∫ = S D yz dydzzyzyxPdydzzyxP , , ),(),,( 对光滑曲面 D zx , 在其右侧上的积分 ∈= ),( , ),( : xzxzyyS . () ∫∫ ∫∫ = S D yz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ , ),( , ),,( 计算积分 时, 通常分开来计算三个积分 ∫∫ ++ S RdxdyQdzdxPdydz 266 , , . ∫∫ S Pdydz ∫∫ S Qdzdx ∫∫ S Rdxdy 为此, 分别把曲面 投影到 YZ平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行计算. 投 影域的侧由曲面 的定向决定. S S 例 1 计算积分 , 其中 是球面 在 ∫∫ S xyzdxdy S 1 222 =++ zyx 0 , 0 ≥≥ yx 部分取外侧. 例 2 计算积分 ∫∫ Σ ++?++ dxdyxzdzdxzydydzyx )3()()( ， 为球面 取外侧. Σ 2222 Rzyx =++ 解 对积分 ∫∫ Σ + dydzyx )( , 分别用 和 前 Σ 后 Σ 记前半球面和后半球面的外侧, 则有 : 前 Σ , 222 zyRx ??= ; 222 : RzyD yz ≤+ : 后 Σ , 222 zyRx ???= . 222 : RzyD yz ≤+ 因此, ∫∫ Σ + dydzyx )( = + = ∫∫ Σ 前 ∫∫ Σ 后 ( ) ∫∫ ?+??= yz D dydzyzyR 222 ( ) ∫∫ =+??? yz D dydzyzyR 222 =?===========??= ∫∫ ∫ ∫ ≤+ == 222 2 00 22 sin ,cos 222 82 Rzy R rzry rdrrRddydzzyR π θθ θ () 3 0 2 3 22 3 4 3 2 2 1 4 RrR Rr r ππ = ? ? ? ? ? ? ???= = = . 对积分 dxdzzy ∫∫ Σ ? )( , 分别用 和 记右半球面和左半球面的外侧, 则有 右 Σ 左 Σ : 右 Σ , 222 xzRy ??= ; 222 : RzxD zx ≤+ : 左 Σ , 222 xzRy ???= . 222 : RzxD zx ≤+ 因此, =? ∫∫ Σ dydzzy )( ∫∫ Σ 右 + = ∫∫ Σ 左 ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ????????= zx zx DD dzdxzxzRdzdxzxzR 222222 ∫∫ ≤+ =??= 222 3222 3 4 2 Rzx RdzdxxzR π . 对积分 dxdyxz ∫∫ Σ + )3( , 分别用 和 记上半球面和下半球面的外侧, 则有 上 Σ 下 Σ 267 : 上 Σ , 222 yxRz ??= ; 222 : RyxD xy ≤+ : 下 Σ , 222 yxRx ???= . 222 : RyxD xy ≤+ 因此, dxdyxz ∫∫ Σ + )3( = + = ∫∫ Σ 上 ∫∫ Σ 下 ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ =+????+??= xy xy DD dxdyxyxRdxdyxyxR 33 222222 ∫∫ ≤+ =??= 222 3222 3 4 2 Ryx RdxdyyxR π . 综上, ∫∫ Σ ++?++ dxdyxzdzdxzydydzyx )3()()( = 33 4 3 4 3 RR ππ =× . Ex P334. 268