Ch 8 定积分的应用和近似计算 计划课时： 8 时 P 306— 336 2005． 02． 20. Ch 8 定积分的应用和近似计算 （ 8 时 ） § 1 平面图形的面积 （ 2 时 ） 一、直角坐标系下平面图形的面积 ： 1． 简单图形： ?X 型和 型平面图形 . ?Y 2．简单图形的面积 : 给出 ?X 型和 型平面图形的面积公式. 对由曲线 和 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征 简化计算. ( 参阅[4] P232— 240 E86—93 ) ?Y 0),( =yxF 0),( =yxG 例 1 求由曲线 围成的平面图形的面积. 2 , 0 , 1 ==?= xyxxy 例 2 求由抛物线 与直线 xy = 2 032 =?? yx 所围平面图形的面积. 3．参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间 上的曲边梯形的曲边由方程 ],[ ba battyytx ==≤≤== )( , )( , , )( , )( βχαχβαχ 给出 . 又设 0)( >′ tχ , 就有 )(tχ ↗↗, 于是存在反函数 . 由此得曲边的显式方程 )( 1 xt ? = χ . ],[ , )]([)( 1 baxxyty ∈= ? χ , ∫∫ ′== ? b a dtttydxxyS β α χχ )(| )( || )]([ | 1 亦即 . ∫∫ == β α β α χ )(| )( || | tdtydxyS 具体计算时常利用图形的几何特征 . 例 3 求由摆线 0)( ) cos1 ( , ) sin ( >?=?= atayttax 的一拱与 X 轴所围平面图 形的面积. ( 3 ) 2 aπ 二、极坐标下平面图形的面积 : 推导由曲线 )(θrr = 和射线 , βθαθ == ) ( βα < 所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法 ，并用微元法推导公式 . 半径为 r , 顶角为 θΔ 的扇形面积为 θΔ 2 2 1 r . ) ∫ = β α θθ drA )( 2 1 2 . 例 4 求由双纽线 所围平面图形的面积 . θ2cos 22 ar = 解 ? ? ? ? ? ? ?∈?≥ 4 , 4 , 02cos ππ θθ 或 ? ? ? ? ? ? ππ 4 5 , 4 3 . ( 可见图形夹在过极点 , 倾角为 4 π ± 的两条直线之间 ) . 以 θ? 代 θ 方程不变 , 图形关于? X 轴对称 ; 以 θπ ? 代 θ , 方程不变, 图形关于 Y 轴对称。因此 ? ∫ =?= 4 0 22 2cos 2 1 4 π θθ adaA . Ex P310 1— 3 § 2 曲线的弧长 ( 1 时 ) 一 . 弧长的定义 : 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用折线总长的极限定 义弧长 . 可求长曲线 . 二 . 弧长计算公式 : 光滑曲线的弧长. 设 :L )(tx χ= ， ， )(tyy = ,βα ≤≤ t 又 ( ) ( ))( , )(B , )( , )( ββχααχ yyA ， )(tχ 和 在区间 )(ty ],[ βα 上连续可导且 . 则0)()( 22 ≠′+′ tytχ L 上以 A和 B 为端点的弧段的 弧长为 dttyts ∫ ′+′= β α χ 22 )]([)]([ . 为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对 ,有 + ∈? Rcba ,, || | | 2222 cbcaba ?≤+?+ , ( Ch 1 §1 Ex 第 5 题 (P4) . 其几何意义是: 在以点 和 为顶点的三角形中, 两边之差不超过第三边 . 事实上， ),( , ),( caba )0,0( ) || || || |||| |||| | | 2222 2222 22 2222 cb cb cb cb cb caba cb caba ?= + ? ≤ + ? ≤ +++ ? =+?+ . 为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用 Lagrange 中值定理, 然后对式 )()( *22 ii y ξξχ ′+′ 插项进行估计 . 参阅 [1] P347. 如果曲线方程为极坐标形式 )( ], , [ , )( θβαθθ rrr ∈= 连续可导, 则可写出其参数方 程 θθθθ sin)( ,cos)( ryrx == . 于是 129 θθθθθθχ β α β α drrdys ∫∫ ′+=′+′= )()()]([)]([ 2222 . 例 1 — 3 P314— 315 . Ex P316. § 2 体积 （ 2 时 ） 一、已知幂势立体的体积 : 设立体之幂为 ],[ , )( baxxA ∈ . 推导出该立体之体积 . ∫ = b a dxxAV )( 祖暅原理 : 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子 , 齐梁时人 , 大约在 五世纪下半叶到六世纪初 ) 例 1 求由两个圆柱面 和 所围立体体积。 ( 222 ayx =+ 222 azx =+ 3 3 16 a ) 例 2 计算由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x 所围立体 ( 椭球 ) 的体积。 ( abcπ 3 4 ) 二、旋转体的体积 : 定义旋转体并推导出体积公式. . ∫ = b a dxxfV )( 2 π 例 3 推导高为 , 底面半径为h r 的正圆锥体体积公式. 例 4 求由曲线 和 所围平面图形绕0 2 =? yx 0=? yx X 轴旋转所得立体体积. 例 5 求由圆 绕25)20( 22 ≤?+ yx X 轴一周所得旋转体体积. ( 1000 ) 2 π 例 6 ,0 , : == ? xeyD x X 轴正半轴 . 绕D X 轴旋转 . 求所得旋转体体积. Ex P319 1— 6， § 4 旋转曲面的面积 ( 1 时 ) 用微元法推出旋转曲面的面积公式 : 130 曲线方程为 时，],[ , )( baxxfy ∈= ∫ ′+=? b a dxxfxf )(1)(2S 2 π""； 曲线方程为 ],[ , )( , )( βαχ ∈== ttyytx 时， ∫ ′+′=? β α χπ dttytxy )()()(2S 22 ". 例 1 P322. Ex P322 1，2. § 5 质心 ( 1 时 ) 用微元法推出质心坐标公式 : 例 1 P324 Ex P325 1，2 ， 3， 4. § 6 平均值、功 ( 2 时 ) 用微元法推导出公式 : 例 1 P327 例 2 P328 Ex P330 1—8 § 7 定积分的近似计算 ( 省略 ) 131