Ch 9 数项级数
计划课时：14 时
P 1—43
2005. 03. 08.
Ch 9 数项级数 （ 1 4 时 ）
§ 1 预备知识：上极限和下极限（ 2 时）
§ 2 级数的收敛性及基本性质 （ 3 时 ）
一、概念 ：
1． 级数 ： 级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念
( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为
n n
∑ n
u .
2． 级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学
学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 .
例 1 讨论几何级数 的敛散性.
∑
∞
=0n
n
q
解 时 , 1|| <q ) ( ,
1
1
1
1
0
∞→
?
→
?
?
==
∑
=
n
qq
q
qS
nn
k
k
n
. 级数收敛 ;
时, 级数发散 ; 1|| >q , "=
n
S
时, , 1=q +∞→+= 1nS
n
) ( ∞→n , 级数发散 ;
时, 1?=q ()
n
n
S )1(1
2
1
?+= , ) ( ∞→n , 级数发散 .
综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为
∑
∞
=0n
n
q 1|| <q
q?1
1
( 从 0 开始 ). n
例 2 讨论级数
∑
∞
=
+
1
)1(
1
n
nn
的敛散性. 解 用链锁消去法求 .
n
S
例 3 讨论级数
∑
∞
=1
2
n
n
n
的敛散性.
解 设
∑
=
?
+
?
++++==
n
k
nnk
n
nnk
S
1
132
22
1
2
3
2
2
2
1
2
" ,
=
n
S
2
1
1432
22
1
2
3
2
2
2
1
+
+
?
++++
nn
nn
" ,
132
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
+
?++++=?=
nn
nnn
n
SSS " =
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
→?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
+n
n
n
, ) ( ∞→n .
, . 因此 , 该级数收敛. ?
n
S → 2 ) ( ∞→n
例 4 讨论级数
∑
∞
=
?
1
35
2
n
n
n
的敛散性.
134
解
5
2
,
5
2
5
2
35
2
?>?=>
?
nS
n
n
n
n
n
→ ∞+ , ) ( ∞→n . 级数发散.
3． 级数与数列的关系 :
∑ n
u 对应部分和数列{ },
∑
收敛
n
S
n
u ? { }收敛; 对每个数列{ },
对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是, 数列{ } 收敛
n
S
n
x
∑
∞
=
?
?+
2
11
)(
n
nn
xxx
n
S
n
x
n
x ?
级数 收敛. 可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .
∑
∞
=
?
?+
2
11
)(
n
nn
xxx
4. 级数与无穷积分的关系 :
∫
∑
∫
+∞
∞
=
+
==
1
1
1
)(
n
n
n
fdxxf
∑
∞
=1n
n
u , 其中 . 无穷积分可化为级数 ; 对每
个级数, 定义函数
∫
+
=
1n
n
n
fu
" , 2 , 1 , 1 , )( =+<≤= nnxnuxf
n
, 易见有
= . 即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以
互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 .
∑
∞
=1n
n
u
∫
+∞
1
)( dxxf
二、级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ： 把部分和数列{ } 收敛的
Cauchy 准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的 Cauchy 准则 .
n
S
Th ( Cauchy 准则 )
∑
收敛
n
u ? NnN >??>? , , 0ε 和 ∈?p N,
? ε | |
21
<+++
+++ pnnn
uuu " .
由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影
响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为
或 .
k
∑
∞
+= 1kn
n
u
∑
∞
=
+
1n
kn
u
系 ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛
∑ n
u ? 0lim =
∞→
n
n
u .
例 5 证明 级数 2?p
∑
∞
=1
2
1
n
n
收敛 .
证 显然满足收敛的必要条件 . 令
2
1
n
u
n
= , 则当 时有 2≥n
∑∑
==
+++
<
+
?=
+?+
<
+
=+++
p
k
p
k
pnnn
npnnknknkn
uuu
11
2
21
,
111
))(1(
1
)(
1
| | " "
135
应用 Cauchy 准则时，应设法把式 |
∑
|不失真地放大成只含 而不含
=
+
p
k
kn
u
1
n p 的式子，
令其小于 ε ，确定 . N
例 6 判断级数
∑
∞
=1
1
sin
n
n
n 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先
验证是否满足收敛的必要条件 )
0→
/
n
u
例 7 ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数0→
n
u
∑
∞
=1
1
n
n
发散 .
证法一 ( 用 Cauchy 准则的否定进行验证 )
证法二 证明{ }发散. 利用 Ch 10 习题课例 2 已证明的不等式 (
n
S
n
n
n ln1
1
2
1
1 )1ln( +<+++<+ " . 即得 +∞→
n
S ， ) ( ∞→n . )
三． 收敛级数的基本性质： （ 均给出证明 ）
性质 1 收敛， — Const
∑ n
u a ?
∑ n
au 收敛且有
∑ n
au = a
∑ n
u
( 收敛级数满足分配律 )
性质 2 和 收敛 ，
∑ n
u
∑ n
v ? )(
nn
vu ±
∑
收敛, 且有
= . )(
nn
vu ±
∑ ∑ n
u ±
∑ n
v
问题 :
∑
、 、
n
u
∑ n
v )(
nn
vu ±
∑
三者之间敛散性的关系.
性质 3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 , 且和不变 .
( 收敛数列满足结合律 )
∑ n
u
例 8 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的
结果说明什么问题 ?
∑
∞
=
+
?
1
1
) 1 (
n
n
Ex P11—12 1 — 4.
§ 3 正项级数 （ 3 时 ）
一 . 正项级数判敛的一般原则 :
1．正项级数 : ↗; 任意加括号不影响敛散性.
nn
Su , 0>
2．基本定理 :
136
Th 1 设 . 则级数0≥
n
u
∑ n
u 收敛 ? )1(0=
n
S . 且当
∑ n
u 发散时,
有 , +∞→
n
S ) ( ∞→n . ( 证 )
正项级数敛散性的记法 .
3． 正项级数判敛的比较原则 :
Th 2 设 和 是两个正项级数 , 且
∑ n
u
∑ n
v NnN >? , 时有
nn
vu ≤ , 则
ⅰ> < ,
∑
<
∑ n
v ∞+ ?
n
u ∞+ ;
ⅱ> = , ?
∑
=
∑ n
u ∞+
n
v ∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )
例 1 考查级数
∑
∞
=
+?
1
2
1
1
n
nn
的敛散性 .
解 有 " " ,
2
1
1
, 01
2
22
2
nnn
n
n
<
+?
?>+?
例 2 设 )
1
( 0
π
><< qqp . 判断级数
∑
∞
=
+
1
1
1
sin
n
nn
q
p 的敛散性 .
系 1 ( 比较原则的极限形式 ) 设
∑
和 是两个正项级数且
n
u
∑ n
v l
v
u
n
n
n
=
∞→
lim ,则
ⅰ> 时 , 和
∑
共敛散 ; ∞+<< 0 l
∑ n
u
n
v
ⅱ> 时 , < , ? 0=l
∑ n
v ∞+
∑ n
u < ∞+ ;
ⅲ> 时 , = , ? +∞=l
∑ n
v ∞+
∑ n
u = ∞+ . ( 证 )
系 2 设 和 是两个正项级数 , 若 = ， 特别地 ，若
～ , ， 则
∑ n
u
∑ n
v
n
u )(0
n
v
n
u
n
v ) ( ∞→n
∑ n
u < ∞+ ?
∑ n
v = ∞+ .
例 3 判断下列级数的敛散性:
⑴
∑
∞
=
?
1
2
1
n
n
n
; (
n
n
?2
1
～
n
2
1
) ; ⑵
∑
∞
=1
1
sin
n
n
;
⑶
∑
∞
=
+
1
2
)
1
1 ln(
n
n
.
二、正项级数判敛法:
1． 检比法： 亦称为 D’alembert 判别法 . 用几何级数作为比较对象 , 有下列所
谓检比法 .
137
Th 3 设
∑
为正项级数 , 且 及
n
u
0
N?
0
, ) 10 ( Nnqq ><< 时
ⅰ> 若 1
1
<≤
+
q
u
u
n
n
,
∑
<?
n
u ∞+ ;
ⅱ> 若 1
1
≥
+
n
n
u
u
, ? = .
∑ n
u ∞+
证 ⅰ> 不妨设 时就有1≥n 1
1
<≤
+
q
u
u
n
n
成立 , 有
" " , , , ,
12
3
1
2
q
u
u
q
u
u
q
u
u
n
n
≤≤≤
?
依次相乘 , ?
1
1
?
≤
nn
q
u
u
, 即
. 由 , 得
1
1
?
≤
n
n
quu 10 << q
∑
<
n
q ∞+ , ?
∑ n
u < ∞+ .
ⅱ> 可见 往后递增 , }{
n
u ? , 0→
/
n
u ) ( ∞→n .
系 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且
∑ n
u q
u
u
n
n
n
=
+
∞→
1
lim . 则
ⅰ> <1 , ? <q
∑ n
u ∞+ ; ⅱ> >1或 =q q ∞+ , ?
∑ n
u = ∞+ .
註 倘用检比法判得
∑
= , 则有
n
u ∞+ , 0→
/
n
u ) ( ∞→n . 检比法适用于
和 有相同因子的级数, 特别是 中含有因子 者.
n
u
1+n
u
n
u !n
例 4 判断级数
( )
()
"
"
"
" +
?+??
?+??
++
??
??
+
?
?
+
)1(41951
)1(32852
951
852
51
52
1
2
n
n
的敛散性.
解 1
4
3
41
32
limlim
1
<=
+
+
=
∞→
+
∞→
n
n
u
u
n
n
n
n
, ?
∑
+∞< .
例 5 讨论级数
∑
的敛散性. >
?
)0(
1
xnx
n
解 ) ( ,
1)1(
1
1
∞→→
+
?
+
=
?
+
nx
n
n
x
nx
xn
u
u
n
n
n
n
. 因此, 当 10 << x 时 ,
; 时,
∑
; 时, 级数成为
∑
+∞< 1>x +∞= 1=x
∑
n , 发散.
例 6 判断级数
∑
+
n
n
n
n!2
1
的敛散性 .
注意 对正项级数 ，若仅有
∑ n
u 1
1
<
+
n
n
u
u
，其敛散性不能确定 . 例如对级数
∑
n
1
和
∑
2
1
n
, 均有 1
1
<
+
n
n
u
u
，但前者发散, 后者收敛 .
138
2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.
Th 4 设
∑
为正项级数 , 且 及 , 当 时 ,
n
u
0
N? 0>l
0
Nn >
ⅰ> 若 1 <≤ lu
n
n
, ? <
∑ n
u ∞+ ;
ⅱ> 若 1 ≥
n
n
u ,
∑
= . ( 此时有?
n
u ∞+ , 0→
/
n
u ) ( ∞→n .)
系 ( 检根法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且
∑ n
u lu
n
n
n
=
∞→
lim . 则
1 <l ,
∑
<?
n
u ∞+ ; , ? 1 >l
∑ n
u = ∞+ . ( 证 )
检根法适用于通项中含有与 有关的指数者 . 检根法优于检比法. ( 参阅[1] P15 ) n
例 7 研究级数
∑
?+
n
n
2
) 1 (3
的敛散性 .
解 1
2
1
2
)1(3
limlim <=
?+
=
∞→∞→
n
n
n
n
n
n
u , ?
∑
+∞< .
例 8 判断级数
∑
?
?
?
?
?
? +
2
1
n
n
n
和
∑
?
?
?
?
?
?
+
2
1
n
n
n
的敛散性 .
解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .
3． 积分判别法 ：
Th 5 设在区间 上函数 且↘ . 则正项级数) , 1 [ ∞+ 0)( ≥xf
∑
)(nf 与积分
共敛散.
∫
+∞
)( dxxf
1
证 对 且 ] , 1[ , 1 ARfA ∈>?
∫
?
=?≤≤
n
n
nnfdxxfnf
1
, 3 , 2 , )1()()( "
?
∫
∑∑∑
=
?
==
=?≤≤
m
m
n
m
n
m
n
nfnfdxxfnf
1
2
1
12
, )()1()()( " " .
例 9 讨论 级数?p
∑
∞
=1
1
n
p
n
的敛散性.
解 考虑函数 >= p
x
xf
p
,
1
)( 0 时 在区间 )(xf ) , 1 [ ∞+ 上非负递减 . 积分
当 时收敛 , 时发散. ? 级数
∫
+∞
1
)( dxxf 1>p 10 ≤< p
∑
∞
=1
1
n
p
n
当 时 1>p
139
收敛 , 时发散. 10 ≤< p 0≤p 时 , 0
1
→
/
p
n
, 级数发散. 综上 , ?p 级数
∑
∞
=1
1
n
p
n
当且仅当 时收敛 . 1>p
例 10 讨论下列级数的敛散性:
⑴
∑
∞
=2
) ln (
1
n
p
nn
; ⑵
∑
∞
=3
) lnln ( ) ln (
1
n
p
nnn
.
Ex P19—20 1―8.
习 题 课 ( 2 时 )
一． 直接比较判敛：
对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式:
⑴
nnn
nn
aha
ha
11
, 0 , 0 ≤
+
?≥> .
⑵ 对 , 有
n
a? || |sin| , 1 |cos| , 1 |sin|
nnnn
aaaa ≤≤≤ .
⑶ )(
2
1
||
22
nnnn
baba +≤ ; 特别地 , 有
)
1
(
2
1
2
2
n
a
n
a
n
n
+≤ , )(
2
1
22
nana
nn
+≤ .
⑷ 时 , 有 . 0>
n
a
22
)1( 1
nn
aa +≤+
⑸ . nn <+ )1ln(
⑹ n充分大时 , 有 . ?∞+<≥
∑
, , 0
nn
aa
nn
aa ≤
2
例1 判断级数
∑
∞
=
++
1
22
)53(sin
1
n
n
nn
的敛散性.
解 时, 3≥n
nnn
nnn 2
1
1
)53(sin
1
22
≤≤
++
, ( 或
2
1
n
≤ ). ……
例 2 判断级数
∑
∞
=
+
1
2
n
n
n
na
a
的敛散性 , 其中 . 0>a
解 时 , 有 10 ≤< a ,
1
22
?≤
+ nna
a
n
n
∑
+∞< ;
时 , 1>a ?∞→≠→
+
) ( , 01
2
n
na
a
n
n
∑
+∞= .
例 3 设数列 有界 . 证明
∑
. }{
n
na +∞<
2
n
a
140
证 设 ?≤?≤ , , ||
2
2
2
n
M
aMna
nn
∑
+∞<
2
n
a .
例 4 设 且数列0≥
n
a }{
n
an 有正下界 . 证明级数
∑
+∞=
n
a .
证 设 " " , , 0
n
h
ahan
nn
≥?>≥ .
例 5 . 若0≥
n
a
∑
+∞=
n
a
n
, 则
∑
. +∞=
2
n
a
证
∑
+∞=+?+≤ )
1
( , )
1
(
2
1
2
2
2
2
n
a
n
a
n
a
nn
n
;
又
∑
?+∞< ,
1
2
n
∑
+∞=
2
n
a .
例 6 设 . 若级数
∑
和 收敛 , 则级数
nnn
bca ≤≤
n
a
∑ n
b
∑ n
c 收敛.
例 7 设 . 证明 0 , 0 ≥≥
nn
ba
⑴ , ,
∑
+∞<
n
a
∑
+∞<
n
b ?
∑
+∞<
nn
ba ;
⑵ 和 之一或两者均发散时,
∑ n
a
∑ n
b
∑ nn
ba 仍可能收敛 ;
⑶ , , ?
∑
+∞<
2
n
a
∑
+∞<
2
n
b
∑
+∞<||
nn
ba .
证 ⑴ 充分大时 , . n
nnn
aba ≤≤0
⑵ 取
n
ba
nn
1
== .
⑶ ()
22
2
1
||
nnnn
baba +≤ .
二 . 利用同阶或等价无穷小判敛 :
例 8 判断下列级数的敛散性:
⑴
∑
n
1
sin ; ⑵
∑
∞
=1
3
1
sin
n n
; ⑶
∑
∞
=
?
1
24
3
n
nn
n
;
⑷
∑
∞
=
?
4
3
3
2
n
n
n
n
; ⑸ () ) 1 ( , 1
1
>?
∑
∞
=
aa
n
n
.
例 9 判断下列级数的敛散性:
⑴
∑
∞
=
++
+?
1
23
2
32
1
n
nn
nn
; ⑵
∑
∞
=
+
++
1
4
2
21
32
n
n
nn
.
註 设正项级数 的通项 为 的有理分式 . 当 为 的假分式时 ,
∑ n
u
n
u n
n
u n
141
由于 , ; 若 为 的真分式 , 倘用检比法 , 必有
n
u 0→
/
?
∑
+∞=
n
u n
1
1
→
+
n
n
u
u
. 有效的方法是利用等价无穷小判别法.
例 10 设函数 在点 )(xf 0
0
=x 有连续的二阶导数, 且 0)0( =f . 试证明:
⑴ 若 , 则级数 0)0( ≠′f
∑
∞
=1
)
1
(
n
n
f 发散.
⑵ 若 , 则级数 0)0( =′f
∑
∞
=1
)
1
(
n
n
f 收敛.
（ 2002 年西北师大硕士研究生入学试题 ）
解 把函数 在点 展开成带二阶 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式,
有
)(xf 0
0
=x
22
2
)(
)0(
!2
)(
)0()0()( x
f
xfx
f
xffxf
ξξ ′′
+′=
′′
+′+= , ξ 介于 与0 x 之间.
.
1
2
)(1
)0()
1
(
2
n
f
n
f
n
f
ξ′′
+′=
⑴ 若 ,则当 n充分大时0)0( ≠′f )
1
(
n
f 不变号, 可认为
∑
∞
=1
)
1
(
n
n
f 是同号级数.
有 )
1
(
n
f ∽
n
f
1
)0(′ ,
∑
∞
=
?+∞=
1
,
1
n
n
∑
∞
=1
)
1
(
n
n
f 发散.
⑵ 若 注意到,0)0( =′f )(xf ′′ 在点 连续, 0
0
=x )(xf ′′ 在点 0
0
=x 的某邻域内
有界, 设 Mxf 2)( ≤′′ , 有 | )
1
(
n
f |=
22
11
2
)(
n
M
n
f
?≤?
′′ ξ
.
∑∑
∞
=
∞
=
+∞<?+∞<
11
2
)
1
( ,
1
nn
n
f
n
, ?
∑
∞
=1
)
1
(
n
n
f 收敛.
如例 10 所示 ，当 时 ，常用 Maclaurin 公式确定0)0( =f )
1
(
n
f 的等价无穷小.
例 11 判断级数
∑
∞
=
?
?
?
?
?
?
+
+
1
1
1
)1(
2
n
n
n
n
nk
的敛散性 , 其中 且0>k ek ≠ .
解 " " . ) ( , ∞→→ n
e
k
u
n
n
三． 利用级数判敛求极限 ：
原理 : 常用判定级数 收敛的方法证明
∑ n
x 0lim =
∞→
n
n
x 或 . 0lim
1
=
∑
=
+
∞→
p
i
in
n
x
142
例 12 证明 0
3
lim
5
=
∞→
n
n
n
.
例 13 证明 0
2
2
2
2
2
1
lim
221
=
?
?
?
?
?
?
++
+
+
+
++
∞→
nnn
n
nnn
" .
例 14 设 ↘ . 若
n
u ) ( , 0 ∞→n
∑ n
u +∞< , ? 0lim =
∞→
n
n
nu .
证 对 KkK >??>? , , 0ε , 由
∑ n
u +∞< , 有
2
2212
ε
<+++≤
++ kkkk
uuuku " , 即 ε<≤
k
ku
2
20 ;
2
)1(
1222112
ε
<++++≤+
++++ kkkkk
uuuuuk " ,
即 )22()12(
12
+≤+
+
kuk
k
ε<
+12k
u .
于是 , 时总有 Kn 2> ε<≤
n
nu0 . 此即 0lim =
∞→
n
n
nu .
§ 4 任意项级数 ( 4 时 )
一 . 交错级数 : 交错级数 , Leibniz 型级数 .
Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛 , 且余和的符号与余和首项相同 , 并有
.
1
||
+
≤
nn
ur
证 ( 证明部分和序列 的两个子列 和 收敛于同一极限 . 为
此先证明 递增有界. )
} {
n
S } {
2n
S } {
12 +n
S
} {
2n
S
)()()()(
22122124321)1(2 ++?+
?+?++?+?=
nnnnn
uuuuuuuuS "
≥
nnn
Suuuuuu
22124321
)()()( =?++?+?
?
" , ↗; ?
n
S
2
又
1212223212
)()( uuuuuuuS
nnnn
≤??????=
??
" , 即数列 有界.
由单调有界原理, 数列 收敛 . 设
} {
2n
S
} {
2n
S )( ,
2
∞→→ nsS
n
.
)( ,
12212
∞→→+=
++
nsuSS
nnn
. ? sS
n
n
=
∞→
lim .
由证明数列 有界性可见 , . 余和 亦
为型级数, 余和 与 同号, 且
} {
2n
S
∑
∞
=
+
≤?≤
1
1
1
) 1 (0
n
n
n
uu
∑
∞
=
+
+
?
nm
m
m
u
1
2
)1(
?
n
r
1+n
u
1
||
+
≤
nn
ur .
143
例 1 判别级数
∑
∞
=
>?
1
)0( ) 1 (
n
n
n
x
n
x
的敛散性.
解 时 , 由 Leibniz 判别法, 10 ≤< x ?
∑
收敛; 时 , 通项 ,
发散.
1>x 0→
/
∑
二 . 绝对收敛级数及其性质 :
1． 绝对收敛和条件收敛 : 以 Leibniz 级数为例, 先说明 收敛 ?
/
绝对收敛.
Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ,
∑
∞+< ||
n
a ?
∑ n
a 收敛.
证 ( 用 Cauchy 准则 ).
一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.
例 2 判断例 1 中的级数绝对或条件收敛性 .
2. 绝对收敛级数可重排性 :
⑴ 同号项级数 ： 对级数 ，令
∑
∞
=1n
n
u
?
?
?
≤
>
=
+
=
. 0 , 0
, 0 ,
2
||
n
nn
nn
n
u
uu
uu
v
?
?
?
≥
<?
=
?
=
. 0 , 0
, 0 ,
2
||
n
nn
nn
n
u
uu
uu
w
则有 ⅰ> 和 均为正项级数 , 且有
∑ n
v
∑ n
w || 0
nn
uv ≤≤ 和 || 0
nn
uw ≤≤ ;
ⅱ> , .
nnn
wvu +=||
nnn
wvu ?=
⑵ 同号项级数的性质:
Th 3 ⅰ> 若 ， 则
∑∑
||
n
u +∞<
n
v +∞< ，
∑ n
w +∞< .
ⅱ> 若 条件收敛 , 则
∑ n
u
∑ n
v +∞= ,
∑ n
w +∞= .
证 ⅰ> 由 和 , ⅰ> 成立 . || 0
nn
uv ≤≤ || 0
nn
uw ≤≤
ⅱ> 反设不真 , 即
∑
和
∑
中至少有一个收敛 , 不妨设
n
v
n
w
∑ n
v +∞< .
由 = , = 以及
n
u
n
v
n
w?
n
w
n
v
n
u?
∑ n
v +∞< 和
∑ n
u 收敛 ,
.而 , ?
∑ n
w +∞<
nnn
wvu +=|| ?
∑
||
n
u +∞< ,
与 条件收敛矛盾 .
∑ n
u
⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.
144
Th 4 设 是 的一个更序 . 若
∑
′
n
u
∑ n
u
∑
||
n
u +∞< , 则 ||
∑
′
n
u +∞< , 且
= .
∑
′
n
u
∑ n
u
证 ⅰ> 若 ，则 和
∑
是正项级数 , 且它们的部分和可以互相控制.
于是 , ,
n
u 0≥
∑
′
n
u
n
u
∑ n
u +∞< ?
∑
′
n
u +∞< , 且和相等 .
ⅱ> 对于一般的 , =
n
u
∑ n
u
∑ n
v
∑
?
n
w , ?
∑
′
n
u =
∑
′
n
v
∑
′?
n
w .
正项级数 和 分别是正项级数
∑
′
n
v
∑
′
n
w
∑ n
v 和
∑ n
w 的更序 . 由
, 据 Th 1 , 和 收敛 . 由上述ⅰ>所证 , 有
, , 且有 =
∑
||
n
u +∞<
∑ n
v
∑ n
w
∑
′
n
v +∞<
∑
′
n
w +∞<
∑ n
v
∑
′
n
v ,
∑ n
w
∑ n
u =
∑
′
n
w ,
= . ?
∑ n
u
∑
′
n
u
由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律 . 是否只有绝对收敛级数才满足加法
交换律呢 ? 回答是肯定的 .
Th 5 ( Riemann ) 若级数
∑ n
u 条件收敛 , 则对任意实数 ( 甚至是s ∞± ) ,
存在级数 的更序 , 使得
∑
= .
∑ n
u
∑
′
n
u ′
n
u s
证 以 Leibniz 级数
∑
∞
=
+
?
1
1
1
) 1 (
n
n
n
为样本 , 对照给出该定理的证明 .
关于无穷和的交换律 , 有如下结果:
ⅰ> 若仅交换了级数 的有限项 ,
∑ n
u
∑ n
u 的敛散性及和都不变 .
ⅱ> 设 是的一个更序 . 若 , 使 在
∑
′
n
u N∈?K
n
u
∑
′
n
u 中的项数不超过
,则 和 共敛散 , 且收敛时和相等 . Kn+
∑
′
n
u
∑ n
u
三 . 级数乘积简介:
1. 级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy 积.
2．级数乘积的 Cauchy 定理 :
Th 6 ( Cauchy ) 设
∑
, ||
n
u +∞< ||
∑ n
v +∞< , 并设
∑ n
u =U ,
∑ n
v =V .
则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛 , 且乘积级数的和为 UV . ( 证略 )
145
例 3 几何级数
1 || ,1
1
1
2
<+++++=
?
rrrr
r
n
" "
是绝对收敛的. 将 按 Cauchy 乘积排列 , 得到 (
2
∑
n
r )
"
" " +++++++++++=
+
+ 个1
222
2
)()()(1
)1(
1
n
nnn
rrrrrrrr
r
. " " ++++++=
n
rnrr )1(321
2
Ex P29— 30 1—8 .
四 . 型如 的级数判敛法：
∑ nn
ba
1．Abel 判别法：
引理 1 （分部求和公式，或称 Abel 变换）设 和 （
i
a
i
b mi ≤≤1 ）为两组实数.
记 . 则 . ) (1 ,
1
mkbB
k
i
ik
≤≤=
∑
=
∑∑
=
?
=
+
+?=
m
i
m
i
mmiiiii
BaBaaba
1
1
1
1
)(
证 注意到 , 有
1?
?=
iii
BBb
∑∑
==
?
=+?=
m
i
m
i
iiiii
baBBaba
12
111
)(
)()()(
123312211 ?
?++?+?+=
mmm
BBaBBaBBaBa "
mmmmm
BaBaaBaaBaa +?++?+?=
?? 11232121
)()()( "
. ) )( ( . )(
1
1
1
1
1
1 ∑∑
?
=
+
?
=
+
??=+?=
m
i
iiimmmm
m
i
iii
BaaBaBaBaa
分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上 ,
∫∫∫
=
?
?
?
?
?
?
?
?
=
b
a
b
a
x
a
dttgdxfdxxgxf )()()()(
∫∫∫
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
=
b
a
x
a
b
a
x
a
xdfdttgdttgxf )()()()(
∫∫∫
?
?
?
?
?
?
?=
b
a
b
a
x
a
xdfdttgdttgbf )()()()( .
可见 Abel 变换式中的 相当于上式中的 , 而差
i
B
∫
x
a
dttg )(
ii
aa ?
+1
相当于 ,
和式相当于积分.
)(xdf
引理 2 ( Abel ) 设 、 和 如引理 1 .若 单调 , 又对
i
a
i
b
i
B
i
a mi ≤≤1 ,有 MB
i
≤|| ，
146
则 . ||
1
∑
=
m
i
ii
ba ) ||2|| (
1 m
aaM +≤
证 不妨设 ↘.
i
a
||
1
∑
=
m
i
ii
ba
∑
?
=
+
≤+?≤
1
1
1
||||||
m
i
mmiii
BaBaa
) ||2|| ( ||)(
1
1
1
1 m
m
i
mii
aaMaaaM +≤
?
?
?
?
?
?
+?≤
∑
?
=
+
.
系 设 ↘, ( ). 和 如 . 有
i
a , 0≥
i
a mi ≤≤1
i
b
i
B ||
1
∑
=
m
i
ii
ba
1
Ma≤ .
( 参引理 2 证明 )
Th 7 (Abel 判别法 ) 设 ⅰ> 级数 收敛，ⅱ> 数列 单调有界 . 则级
数 收敛 .
∑ n
b }{
n
a
∑ nn
ba
证 ( 用 Cauchy 收敛准则 , 利用 Abel 引理估计尾项 )
设 , 由 收敛 , 对Ka
n
≤||
∑ n
b ? NnN >?>? , , 0ε 时 , 对 N∈?p , 有
ε | |
21
<+++
+++ pnnn
bbb " . 于是当 时对Nn > p? 有
()εε Kaaba
pnn
pn
nk
kk
3 ||2||
1
1
≤+≤
++
+
+=
∑
.
由 Cauchy 收敛准则 , ?
∑ nn
ba 收敛.
2. Dirichlet 判别法 :
Th 8 ( Dirichlet) 设 ⅰ> 级数
∑
的部分和有界, ⅱ> 数列 单调趋于零 .
则级数 收敛 .
n
b }{
n
a
∑ nn
ba
证 设 , 则
∑
=
=
n
i
nn
bB
1
MB
n
|| ≤ , 对 ? pn , ? , 有
MBBbbb
npnpnnn
2 ||||
21
≤?=+++
++++
" .
不妨设 ↘0 , 对
n
a ? εε <?>??>? || , , , 0
n
aNnN . 此时就有
147
εMaaMba
Pnn
pn
nk
kk
6|)|2|(|2
1
1
<+≤
++
+
+=
∑
.
由 Cauchy收敛准则 ,
∑
收敛. 取 ↘0 ,
nn
ba
n
a
∑ n
b
∑
+
?=
1
) 1(
n
, 由 Dirichlet
判别法 , 得交错级数 收敛 . 可见 Leibniz 判别法是 Dirichlet 判别法
的特例.
∑
+
?
n
n
a
1
) 1(
由 Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法 . 事实上 , 由数列 单调有界 ,
收敛 , 设 . 考虑级数
}{
n
a
? }{
n
a ) ( , ∞→→ naa
n ∑∑
+?
nnn
babaa )( ,
单调趋于零 , 有界, 级数 收敛 , 又级数aa
n
?
n
B ?
∑
?
nn
baa )(
∑ n
ba 收
敛, 级数 收敛. ?
∑∑
+?
nnn
babaa )(
例4 设 ↘0. 证明级数 和
n
a
∑
nxa
n
sin
∑
nxa
n
cos 对 )2 , 0( π∈?x 收敛.
证 ++
?
?
?
?
?
?
?+=?
?
?
?
?
?
+
∑
=
"
2
sin
2
3
sin
2
sincos
2
1
2
sin2
1
x
x
x
kx
x
n
k
xnxnxn )
2
1
sin()
2
1
sin()
2
1
sin( +=
?
?
?
?
?
?
??++ ，
) 2 , 0 ( π∈x 时 ， 0
2
sin ≠
x
， ?
∑
=
+
=+
n
k
x
xn
kx
1
2
sin2
)
2
1
sin(
cos
2
1
.
可见 ) 2 , 0 ( π∈x 时, 级数 的部分和有界 . 由 Dirichlet 判别法推得级数
收敛 . 同理可得级数数 收敛 .
∑
kxcos
∑
nxa
n
cos
∑
nxa
n
sin
Ex P37 1—3.
习 题 课 ( 2 时 )
例1 判断级数
∑
∞
=1
sin
n nn
nx
的敛散性 .
解 注意到
2
3
1sin
nnn
nx
≤ , 所论级数绝对收敛 , 故收敛. ( 用 D-判法亦可). ?
148
例2 考查级数
∑
∞
=
+
>
?
1
1
) 0 (
) 1(
n
s
n
s
n
的绝对及条件收敛性 .
解 时为 Leibniz 型级数, ……, 条件收敛 ; 时 , 绝对收敛 . 10 ≤< s 1>s
例3 若 . 交错级数 是否必收敛 ? ) ( , 0 , 0 ∞→→> nuu
nn ∑
∞
=
+
?
1
1
) 1(
n
n
n
u
解 未必. 考查交错级数
" " +?++?+?+?
222
11
3
1
3
1
2
1
2
1
11
nn
.
这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数) ( , 0 ∞→→ nu
n
∑
∞
=
?
?
?
?
?
?
?
1
2
11
n
nn
收敛 . 而
∑
∞
=
?
?
?
?
?
?
?
1
2
11
n
nn
+∞= .
由该例可见 , 在 Leibniz 判别法中 , 条件 单调是不可少的.
n
u
例 4 判断级数
" " +
+
?
?
++
+
?
?
+
+
?
? 1
1
1
1
13
1
13
1
12
1
12
1
nn
的敛散性.
解 从首项开始,顺次把两项括在一起, 注意到
1
2
1
1
1
1
?
=
+
?
?
n
nn
, 以及级
数
∑
n
2
+∞= , 所论级数发散. ?
例5 设级数
∑
收敛. 证明级数 收敛.
n
na
∑ n
a
证
n
naa
nn
1
?= . 由Abel或 Dirichlet 判法, ?
∑ n
a 收敛.
例6 πkx ≠ , 判断级数
∑
∞
=1
2
sin
n
n
nx
的敛散性.
解
n
nx
nn
nx
n
nx
2
2cos
2
1
2
2cos1sin
2
?=
?
= .
∑
n2
1
+∞= , 现证 级数
∑
∞
=1
2
2cos
n
n
nx
收敛 : 因 πkx ≠ 时
|sin|
1
)2(cos2cos
11
x
xkkx
n
k
n
k
≤=
∑∑
==
,
又
n2
1
↘ 0, 由 Dirichlet 判法, 级数 ?
∑
∞
=1
2
2cos
n
n
nx
收敛. 故本题所论级数发散.
例 7 判断级数 ) (
sin
1
πkx
n
nx
n
≠
∑
∞
=
的绝对收敛性.
解 由 Dirichlet 判法 , 得级数收敛. 但
149
n
nx
nn
nx
n
nx
2
2cos
2
1sinsin
2
?=≥ . 仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.
例8 设级数 绝对收敛, 收敛. 证明级数
∑ ?
? )(
1nn
aa
∑ n
b
∑ nn
ba 收敛.
证 先证数列 收敛 . 事实上, 收敛 , 收敛.令
, 则数列 收敛 ,故有界 . 设
}{
n
a
∑
=
?
?=?
n
i
nii
aaaa
1
01
)( }{
n
a
∑
=
=
n
i
in
bB
1
}{
n
B MB
n
|| ≤ , 于是由 Abel 变换, 有
∑∑
==
??
??==
n
i
n
i
iiinniin
BaaBabaS
12
11
)( , ( 或 = ) )(
1
1
1∑
?
=
+
??
n
i
iiinn
BaaBa
而
∑∑??
?≤?
n
i
n
i
iiiii
aaMBaa
22
11
|| || || +∞< , 收
敛. 又数列 和 收敛, 数列 收敛 , 部分和数列 收
敛.
?
∑
∞
=
??
?
2
11
)(
n
iii
Baa
}{
n
a }{
n
B ? }{
nn
Ba ? }{
n
S
例9 设数列 收敛 , 级数 收敛. 证明级数}{
n
na
∑
∞
=
?
?
1
1
)(
n
nn
aan
∑ n
a 收敛 .
证 注意到 ,
∑∑
==
?
?=?
n
k
n
k
knkk
anaaak
10
1
)( ?
收敛 .
∑∑
==
?
??==
n
k
n
k
kknkn
aaknaaS
01
1
)(
例10 设 ↘ , .证明级数
n
a 0 ) ( ∞→n
∑
∞
=
+
+++
?
1
211
) 1(
n
nn
n
aaa "
收敛.
证法一 由 ↘ ,
n
a 0 ?
n
aaa
n
+++ "
21
↘ 0, ) ( ∞→n . 因此, 所论级
数是 Leibniz 型级数, 故收敛.
证法二 2) 1(
1
1
≤?
∑
=
+
n
k
k
,
n
aaa
n
+++ "
21
↘ ,0 ) ( ∞→n . 由 Dirichlet
判法, 收敛. ?
∑
150
