第二部分 单变量积分学 Ch 6 不定积分 计划课时： 12 时 P 85—100 2004． 12． 12. Ch 6 不定积分 （ 12 时 ） § 1 不定积分的概念及运算法则 （ 2时 ） 引入： 微分问题的反问题，运算的反运算. 一、 不定积分的定义 : 1．原函数： 例 1 填空: 2 1 1 ) ( x+ =′ ; ( xcos2) ?=′ ; 2 ) ( x dx d = ; xe dx d x sin) ( ?= ; ; xdxd =) ( arctgx=′) ( . ? ? ? ? ? ? =′+? .])1ln( 2 1 [ 2 arctgxxxarctgx 定义 . 注意 是)(xf )(xf ′ 的一个原函数. 原函数问题的基本内容： 存在性，个数，求法. 原函数的个数 : Th 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对)(xF )(xf I c? — Const， 都是 cxF +)( )(xf 在区间 I 上的原函数；若 也是 在区间 I 上的原函数， 则必有 )(xG )(xf cxFxG += )()( . ( 证 ) 可见，若 有原函数 ，则 的全体原函数所成集合为 { │ Ｒ}. )(xf )(xF )(xf cxF +)( ∈c 原函数的存在性 : 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ). 可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 在区间 I 上有原函数, 则 在区间 上有介值性. )(xf )(xf I 例 2 已知 为 )(xF )(xf x2= 的一个原函数, =5 . 求 . )2(F )(xF 2．不定积分—— 原函数族： : 定义, 不定积分的记法, 几何意义. 例 3 ∫ += + carctgx x dx 2 1 ; ∫ += cxdxx 32 3 1 . 3．不定积分的基本性质 : 以下设 和 有原函数. )(xf )(xg ⑴ () ∫∫ == ′ dxxfdxxfdxfdxxf )()( ),( )( . (先积后导, 形式不变). ⑵ . (先导后积, 多个常数) ∫∫ +=+=′ cxfxdfcxfdxxf )()( ,)()( ⑶ 0≠α 时 ， ∫ ∫ = .)()( dxxfdxxf αα ⑷ ∫ ∫ ∫ ±=± .)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对 R , ∈? βα , 有 ∫∫∫ +=+ .)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf βαβα ( 当 0== βα 时,上式右端应理解为任意常数. ) 例 4 ∫ ++=? cxxdxxf 3 3 1 )12( . 求 . ( =2 ). ) 1 (f ) 1 (f 二 . 不定积分基本公式 : 基本积分表. P237—238 公式 1—17. 例 5 ∫ .3 xx dx . 三．利用初等化简计算不定积分: 参阅[4]P181. 例 6 . 求 nn nn axaxaxaxP ++++= ? ? 1 1 10 )(" ∫ dxxP )( . 例 7 ∫∫ ? ? ? ? ? ? + +?= + + .) 1 2 1( 1 1 2 2 2 4 dx x xdx x x . 85 例 8 ∫ + 2 2 1 x dxx . 例 9 ∫ + + dx xx x )1( )1( 2 2 . 例 10 ⑴ ; ⑵ ∫ ∫ ? ? dx xx 2 )1010( +? .2 132 dxe xx 例 11 ∫∫? ? ? ? ? ? ? ? = ? ="dx x x dx x x 2 2 2 sin sin21 sin 2cos . 例 12 ∫ θθ θ 22 sincos d . Ex P241 1，2 ， § 2 不定积分的计算（ 换元积分法与分部积分法 ）（ 1 0 时 ） 一 . 第一类换元法 ——凑微法： 由 ,2cos2sin10)2(sin2sin52sin2sin52sin 4445 xdxxdxxxxxdxd =′== ? ∫∫∫ =′= xxddxxxxdxx 2sin2sin5)2(sin2sin52cos2sin10 444 xu 2sin= ===== ∫ +=+= .2sin5 554 cxcuduu 引出凑微公式. Th 若 ∫ += ,)()( cxFdxxf )(xφ 连续可导, 则 ∫ +=′ .)]([)()]([ ctFdtttf φφφ 该定理即为： 若函数 能分解为 )(tg ),()]([)( ttftg φφ ′= 就有 ∫ ∫ ∫ =′= )()]([)()]([)( tdtfdtttfdttg φφφφ 86 )(tx φ= ==== . ∫ +=+= ctFcxFdxxf )]([)()( φ 例 1 . 0 , 1 ,)( ≠?≠+ ∫ amdxbax m 例 2 . ∫ ? dxx)35(sec 2 例 3 ∫∫ =+="dxxxxdxx )5cos(cos 2 1 2cos3cos 常见微分凑法：[4]P183 —190. 凑法 1 .)( 1 )()( 1 )( duuf a baxdbaxf a dxbaxf =++=+ 例4 ∫∫ +?==?= .)2sin 2 1 ( 2 1 )cos1( 2 1 sin 2 cxxdxxxdx" 例5 ∫ +== + . 2 2 2 2 2 c x arctg x dx " 例6 ∫∫ + + == ++ = ++ . 2 1 2 2 )1(232 22 c x arctg x dx xx dx " 例7 ∫∫ ∫ = ? ? ? ? ? ? + ? ? = ?+ = ?+ dx xxxx dx xx dx 3 1 1 1 4 1 )1)(3(32 2 . 3 1 ln 4 1 c x x + + ? ==" 由例 4— 7 可见，常可用初等化简把被积函数化为 )( baxf + 型，然后用凑法 1. 例8 ⑴ ∫ + 2 1 x xdx . ⑵ ∫∫ == + = + " 10 510 10 14 4 )( 5 1 4 x xdx x dxx c x arctgx + ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 2 2 5 1 5 5 . 凑法 2 duuf k xdxf k dxxfx kkkk )( 1 )()( 1 )( 1 == ? . 特别地, 有 duufxdxfxdxxf )( 2 1 )()( 2 1 )( 222 == 和 ()xdxfdx x xf 2 )( = . 87 例9 . ∫ dxxx 2 sin 例 10 ∫ . sin dx x x 例 11 ∫ = ? )1( xx dx () ∫ += ? cx x xd arcsin2 1 2 2 . 例 12 ∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? + ?==== + = + = + = du uuxx xd xx xdx xx dx xu 1 11 2 1 )1( )( 2 1 )1()1( 2 22 2 222 = c x x c u u + + =+ + 1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 2 . 凑法 3 ;)(sin)(sincos)(sin duufxdxfxdxxf == ;)(cos)(cossin)(cos duufxdxfxdxxf ?=?= .)()(sec)( 2 duufdtgxtgxfxdxtgxf == 例 13 ⑴ ⑵ ∫ .cossin 3 xdxx ∫ .sin 3 xdx 例 14 ∫ + ? + == . sin1 sin1 ln 2 1 sec c x x xdx" [1]P247 E6 例 15 ( ) ∫ ∫ =+="dtgxxtgxdx 2 26 1sec . 例 16 ( ) ∫ ∫ ∫ =?== .secsec1secsecsecsec 2 2 22435 "xdxxdxtgxdxxtg 凑法 4 . .)()()( duufdeefdxeef xxxx == 例17 ∫ ? ? . 2 t e dt 凑法 5 .)(ln)(ln)(ln duufxdxf x dx xf == 例18 ∫ + . )ln21( xx dx 88 凑法 6 ;)(arcsin)(arcsin 1 )(arcsin 2 duufxdxfdx x xf == ? duufdarctgxarctgxfdx x arctgxf )()( 1 )( 2 == + . 例19 ∫∫ ∫ = + ===== + = + = dt t arctgt xd x xarctg dx xx xarctg xt 2 1 2 1 2 )1( ∫ +=+== cxarctgcarctgttgtarctgtdarc 22 )()(2 . 其他凑法举例 : 例20 cee ee eed dx ee ee xx xx xx xx xx ++= + + = + ? ? ? ? ? ? ∫∫ )ln( )( . 例21 ∫∫ == + " 22 )ln( )ln( )ln( 1ln xx xxd dx xx x 例22 ∫ = + + = + + = dx tgxx xtgxx dx tgxx tgxxx xdx sec secsec sec )(secsec sec 2 ∫ ++= + + = ctgxx tgxx tgxxd |sec|ln sec )(sec . 例 23 ∫ ? + dx xx xx 5 cossin sincos . 例 24 ∫ + + dx xx xx cossin sin5cos . 例 25 ∫∫ ∫ = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + + = + + " 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 x x x xd dx x x x dx x x 例 26 ∫ ++ ? dx xx x 22 5 2 . Ex [1]P253— 254 1⑴—(24)； [4] 254—256 74—81. 89 二、 第二类换元法 —— 拆微法： P244 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即 ∫ tdt 2 cos ∫ ∫ ?====? = tdtdxx tx sinsin11 2 sin 2 = tdt ∫ 2 cos = = ∫ ++=+ ,2sin 4 1 2 1 )2cos1( 2 1 cttdtt 引出拆微原理. Th2 设 )(tx ?= 是单调的可微函数, 并且 ;0)( ≠′ t? 又 )()]([ ttf ?? ′ 具有原函数. 则有 换元公式 (证) 参 P245. ∫∫ ? = ′= .])()]([[)( )( 1 xt dtttfdxxf ? ?? 常用代换有所谓无理代换, 三角代换 , 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等. 我们着 重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换 : P245. ⑴ 正弦代换 : 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 22 xa ? )0( >a 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是 : 令 , 则 )0( ,sin >= atax ,cos 22 taxa =? ,costdtadx = .arcsin a x t = 例27 ∫ ? , 22 xa dx 解法一 直接积分; 解法二 用弦换. ).0( >a 例28 ∫∫ +=+======= ? = cxctdt tt tt xx dx tx arcsin22 cossin cossin 2 )1( 2 sin . 例29 ∫∫∫ =?= =====?=====??=?+ utxt dttdxxdxxx sin3 2 1 22 3)1(322 ∫ +?+ ? ? ? ==++== cxx xx cuuudu 22 22 2 1 3 1 arcsin 2 3 2sin 4 3 2 3 cos3". ⑵ 正切代换 : 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 22 xa + )0( >a 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 即 令 ,1sec 22 =? ttgt ,sec1 22 tttg =+ ,atgtx = . 此时有 tdtadx 2 sec= ,sec 22 taxa =+ . a x arctgt = 变量还原时 , 90 常用所谓辅助三角形法. 例30 ∫ + 2 2 x dx . 解 令 ,2tgtx = 有 tdtdx 2 sec2= . 利用例 22 的结果, 并用辅助三角形, 有 = ∫ = tdtI sec c xx ctgtt ′++ + =′++ 22 2 lnsecln 2 = ( ) .2ln ,2ln 2 ?′=+++ cccxx 例 31 .0 , )( 222 > + ∫ a ax dx [1]P249—250 E11 ⑶正割代换 : 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 22 ax ? 的根式施 )0( >a 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 令,1sec 22 ttgt =? ,sectax = 有 , 22 atgtax =? .sec tgtdttxdx ?= 变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例 32 ∫ ? , 22 ax dx ).0( >a 解 ∫ ? 22 ax dx tax sec= ===== ∫∫ =′++== ctgtttdt atgt ttgtdta seclnsec sec ,lnln 22 22 caxxc a ax a x +?+=′+ ? += ||ln acc ?′= . 例33 ∫ ?1 22 xx dx . 解法一 ∫∫ +?=+== ? ? ===== = .1 1 sincos sec sec 2 2 sec cx x cttdtdt tgtt tgtt I tx 解法二 （ 凑微 ）参阅[1]P250 E12. 2． 无理代换 : [4]P192. 91 若被积函数是 k nnn xxx , , , 21 "的有理式时 , 设 为n )1( kin i ≤≤ 的最小公倍数, 作代换 n xt = , 有 . 可化被积函数为 的有理函数. dtntdxtx nn 1 , ? == t 例 34 ∫ dx x e x . 例 35 ∫∫∫ == ? ++?= ? ===== ? = " t dt dtt t dtt xx dx xt 1 6)1(6 1 6 2 32 6 ∫ cxxx + ? ? ? ? ? ? ?++?= 636 1ln 2 1 6 . 若被积函数中只有一种根式 n bax+ 或 , n ecx bax + + 可试作代换 n baxt += 或 .n ecx bax t + + = . 从中解出 x来. 例 36 ∫ ++ 3 21 x dx . 例 37 ∫ + . 11 dx x x x 例 38 ∫ . sin dx x x (给出两种解法) 例 39 ∫∫ ∫ =?+======?=? ?= tdtttxdxxdxxx xt 2)1( 2 1 )( 1 2 1 1 2 1 22223 2 ∫ +?+?=++=+= cxxc tt dttt 2 3 2 2 5 2 35 24 )1( 3 1 )1( 5 1 35 )( . 本题还可用割换计算, 但较繁 . 3． 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 1 22 =? xshxch ashtx = , 可去掉型如 22 xa + 的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式 , 如 : achtdtdx = 92 .22 ),12( 2 1 ),12( 2 1 22 shtchttshtchtshtchtch =?=+= ).1ln( 21 ++= ? xxxsh 例40 ∫∫∫ ==?=====+ = tdtchaachtdtachtdxxa ashtx 2222 =′++=?= ∫ ct a tsh a dttch a 2 2 4 )12( 2 222 cxax a xa x +++++= )ln( 22 22 2 22 . 本题可用切换计算, 但归结为积分 ∫ tdt 3 sec , 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例 3. 例41 ∫ + . 2 2 x dx ( 例 30 曾用切换计算过该题. 现用曲换计算 ). 解 ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ++=′+======== = 1 2 2 ln 2 2 2 2 xx ctdtdt cht cht I shtx c′+ 2ln .)2ln( 2 ?′=+++= cccxx . 例42 ∫ ? 22 ax dx . ( 例 32 曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ). 解 =′+?+=′+====== ∫∫ = c a x a x ctdtdt asht asht I achtx 1 ln 2 2 .||ln .|| ln 22 acccaxx ?′=+?+= 4． 倒代换 : 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换 . 1 , 1 2 dt t dx t x ?== 例43 ∫∫ ∫ >= = ===== + ==== + = + 0 1 2242 2 24 2 1)( 2 1 2 t u xu uuu du xxx xd xxx dx 93 ∫∫ + + ?=+ ? ? ? ? ? ? +?=++?= + ?= + ? c x x c x ct t dt ttt dt t || 11 1)1( 1 2 1 111 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 . 5． 万能代换 : 万能代换常用于三角函数有理式的积分( 参 [1]P261). 令 2 x tgt = ， 就有 2 2 1 2 2 sec 2 2 2 cos 2 sin2sin t t x x tg xx x + === ， , 1 1 cos 2 2 t t x + ? = 2 1 2 t t tgx ? = ， , 1 2 2 t dt dx + = .2arctgtx = 例44 ∫ + x dx cos1 . 解法一 ( 用万能代换 ) ∫∫ +=+== + ? + + ===== = c x tgctdtdt t t t I x tgt 2 1 1 1 1 2 2 2 22 . 解法二 ( 用初等化简 ) c x tg x d x x dx I +=== ∫∫ 2 ) 2 ( 2 sec 2 cos 2 1 2 2 . 解法三 ( 用初等化简, 并凑微 ) ∫∫∫ =?= ? ? = x xd xdxdx x x I 2 2 2 sin sin csc cos1 cos1 . 2 csc sin 1 c x tgcctgxxc x ctgx +=+?=++?= 例 45 . cossin1 ∫ ++ θθ θd [2]P198E35 解 ∫∫ ++= + = + ? + ? + + + ===== = ct t dt dt t t t t t I x tgt |1|ln 11 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 = c x tg ++= |1 2 |ln . 代换法是一种很灵活的方法, 参阅 [4]P204 例 49. Ex P264 1， 2。 94 三 . 分部积分法 : 导出分部积分公式. 介绍使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取 求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函 数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂 × X? ”型的积分, 使 用分部积分法可使“幂”降次, 或对“ X ”求导以使其成为代数函数. 例 46 (幂对搭配) ∫ .ln xdxx 例 47 (幂三搭配) ∫ .cos xdxx 例 48 (幂指搭配) ∫ .dxxe x 例 49 (幂指搭配) ∫ . 2 dxex x 例 50 ∫ .dxe x 例 51 (幂反搭配) ∫ .xarctgxdx 例 52 ∫ .arccos xdx 2．建立所求积分的方程求积分 : 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一 求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关 于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例 53 ∫ .sin xdxe x 例 54 求 和 ∫ = bxdxeI ax cos 1 ). 0 ( ,sin 2 ≠= ∫ abxdxeI ax 解 ? ? ? ? ? ? ? ?= += .sin 1 ,cos 1 12 21 I a b bxe a I I a b bxe a I ax ax 解得 . cossin , cossin 22 2 22 1 ce ba bxbbxa I ce ba bxabxb I ax ax + + ? = + + + = 例55 ∫ >+ ). 0 ( , 22 adxxa 解 ∫ + ??+= dx xa x xxaxI 22 22 = = ∫∫ + + + + ?+ dx xa a dx xa xa xax 22 2 22 22 22 = 95 ,)ln( 1 22222 cxaxaIxax ++++?+= （参阅例 41） 解得 .)ln( 22 22 2 22 cxax a xa x I +++++= 例56 ∫ ∫ ∫ +== xdxxxxxdxdx 22 sinsincossincoscos = ， ∫ ?+= xdxxxx 2 cossincos 解得 ∫ ++= cx x xdx 2sin 4 1 2 cos 2 . 例 57 ∫∫∫∫ ?==?= xtgxdxtgxxtgxxdtgxxdxxxdx secsecsecsecsecsec 23 = ∫ ∫ ∫ =+?=?? xdxxdxxtgxxdxxxtgx secsecsecsec)1(secsec 32 = ∫ ?++ xdxtgxxxtgx 3 sec|sec|lnsec , 解得 ∫ =xdx 3 sec ctgxxxtgx +++ |sec|ln 2 1 sec 2 1 . Ex P265 3. 四 有理函数和可化为有理函数的积分简介 ( 2 时 ) （一） 有理函数的积分 : 1. 代数知识: P251 例 58 P252 E15 2. 部分分式的积分 : [1]P252 例 59 P252 E16. 例 60 P253 E17. 例 61 P257 E18. 例 62 P257 E19. 例 62 P257 E20 （二） 三角函数有理式的积分: [1]P261 万能代换. 例 63— 65 [1]P261— 262 E4—5. （三）某些无理函数的积分 : 留为阅读. （四） 一些不能用初等函数有限表达的积分 : [1]P267.以及 96 , 2 ∫ ? dxe x ∫ . sin dx x x ∫ , ln x dx ∫ + 4 1 x dx 等. Ex [1]p263-4 4， 5 习 题 课 ( 2 时 ) 一 . 积分举例 : 例 1 ∫ + + ? dx e e x x 1 )1ln( . [4]P204 E48. 例 2 dxearctge xx ∫ ? + 1 1 . [4]P203 E47. 例 3 .)12( 100 dxxx ∫ ? 例 4 已知 ∫ +?= ,1)( 2 cxxdxxf 求 ∫ ′ .)( dxxfx 例 5 求 ,)( x xexf = ∫ .)( 2 dxxxf 例 6 设 且具有连续导函数. 计算积分 0)( >xf ∫ ′ .)(ln)()( dxxfxfxf 例 7 , 求积分 ∫ += cedxxf x )( [ ] . 1 )1ln( 2 2 dx x xxf ∫ + + 97 二. 含有二次三项式的积分: 例 8 ∫∫∫ ++ ? ++ + = ++ ? 1 2 5 1 12 2 1 1 2 222 xx dx dx xx x dx xx x = ∫∫ ++ + ? ++ ++ = 2 2 2 ) 2 1 ( 4 3 ) 2 1 ( 2 5 1 )1( 2 1 x xd xx xxd = cxxxxx +++++?++= )1 2 1 ln( 2 5 1 22 . 例 9 =+?+ ∫ dxxxx 52)1( 2 = dxxxxdxx ∫∫ +?++?+? 4)1(2)52(52 2 1 222 = cxxxxxxxx ++?+?++??++?= )521ln(452)1()52( 3 1 22 2 3 2 . Ex [1]P254—255 3 ， 4，5 ； [4]P257 90， 91. 98