微积分学的研究对象是函数．函数概念
是数学中的一个基本而重要的概念．直到公
元 1837年，德国数学家 P.G.L.狄利克雷
（ Dirichlet,1805-1859)才提出现今通用的
函数定义，使函数关系更加明确，从而推动
了数学的发展和应用．
背 景
1.1 函数
1.1.1 函数的概念
1.1.2 初等函数
1.1.3 分段函数
1.1.1 函数的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
我们知道，一天的气温随着时间的
时间之间的变化关系呢？
变化而变化．如何准 确地表示气温与
案例 1 [气温与时间的关系 ]
案例 2 [圆面积公式 ]
圆的面积 A与半径 r的函数关系为
2rA ??
二,概念和公式的引出
函数
函数常用的表示法有三种：解析法、列表法和图形法．
设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集。
如果对于每一个数 x D?, 变量 y 按照 一定的法则
总有确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记
作 y = f (x),其中 x 为自变量,y为因变量。
(1)解析法
如函数 的定义域为,
29
1
x
y
?
? ? ?33D x x? ? ? ?
值域为 1{}
3W y y? ? ? ? ?
y = f (x)
因变量
法则
自变量
解析法的优点是便于数学上的分析和计算．
(2) 列表法
列表法的优点是直观、精确．
内气温（单位,oC）的变化规律．
时刻 t 10:00
气温 T
10:20 10:40 11:00 11:20 11:40 12:00
18 18 18.5 19 20 21 23
下表列出了在上午 10:00到中午 12:00每隔
20min测得的气温数据，由此可以观察出这段时间
(3) 图形法
通过心电图的比较，医生可以诊断出该人
健康人的心电图 病人的心电图
图形法的优点是直观、通俗、容易比较
是否患有心脏病．
三,进一步的练习
练习 1 [自由落体运动方程 ]
在自由落体运动中，物体下落的距离随下落
时间的变化而变化，下落距离 s与时间 t之间的
其中 g 为重力加速度．
2
2
1 gts ?
函数关系为,
练习 2 [波形函数 ]
在电子科学中，有大量波形函数，如下图为
周期为 T的一锯齿形波的图象．此函数在一个
同期上可用解析法表示为
)0(,)( TttThtf ???
练习 3 [股票曲线 ]
股票在某天的价格随时间的变化关系常用图形
表示，如下图所示为某一股票在某天的走势图。
从股票曲线，我们可以看出这只股票
在当天的价格和成交量波动情况。
练习 4 [物理实验 ]
设某一物理现象的数学关系为 )(ty ??,
用实验测得 ti时刻 的值，见下表所示)(
it?
t 0 1t 2t
mt
)(t? 0? 1? 2? m?
……
……
1.1.2 初等 函数
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [生产利润 ]
元，如果每件玩具卖 48元，那么公司生产 x件玩具
某一玩具公司生产 x件玩具将花费 )4(54 0 0 ?? xx
获得的净利润是多少？
解 经过简单的分析，可以得到该公司生产 x件玩具
获得的净利润 y为
?y )4(54 0 048 ?? xxx －
利润 =销售
收入 -成本
基本初等函数为以下五类函数：
?xy ? ?,是常数
二,概念和公式的引出
基本初等函数
(1) 幂函数
(2) 指数函数
(3) 对数函数
xay ? 01aa??，(a是常数且 )
xy alo g? 01aa??，(a是常数且 )
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
(4) 三角函数
2
?? ?? kxxy tan? kZ? ),( ?????y，,,
xy co t? ?kx ? kZ? ),( ?????y，,,
，xy sin? ),( ?????x ]1,1[??y，
xy c o s? ),( ?????x ]1,1[??y，,
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
xy a r c s in? ]1,1[??x ]2,2[
????y
xy a rc c os? ]1,1[??x ],0[ ??y
xy a rc t a n? ),( ?????x )2,2( ????y
xy c o ta rc? ),( ?????x ),0( ??y
(5) 反三角函数
若 y是 u的函数 y=f (u),u是 x的函数复合函数
因变量
外部函数
内部函数
[ ( ) ]y f x??
，当 x在? ?xu ?? ? ?xu ?? 的定义域或其一部分取
值时,)(x? 的值均在 ()y f u? 的定义域内，从而
得到一个以 x为自变量,y为因变量的函数，这个
复合函数, u称为 中间变量,记作
函数称为由函数 ()y f u? ? ?xu ?? 复合而成的和
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及
有限次的 复合所构成并且可以用一个式子表示的
xy ?而 不是初等函数。
初等函数
函数，称为 初等函数,
如 2)2ln ( s in xxy ?? xey x c o sa r c t a n ?? 等都是初等函数，，
某工厂生产计算机的日生产能力为 0到 100台，工
厂维持生产的日固定费用为 4万元，生产一台计算
机的直接费用 (含材料费和劳务费 )是 4250元．试建
立该厂日生产台计算机的总费用函数，并指出其
定义域．
三、进一步练习
练习 1 [生产费用 ]
解 设该厂日生产 x台计算机的总费用为 y（单位：
元），则 y为日固定费用和生产 x台计算机所需
总费用之和，即
( ) 4 0 0 0 0 4 2 5 0F x x??
由于该厂每天最多能生产 100台计算机，
所以定义域为
0 1 0 0x??x{ }
一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为,每
天的基本租金 200元，另外每公里收费为 15元 /km。
(1) 试建立每天的租车费与行车路程公里之间
(2)若某人某天付了 400元租车费，问他开了
练习 2 [汽车租赁 ]
的函数关系；
多少公里?
解 (1) 设每天租车费为 x,则 y为每天的基本租金
2 0 0 1 5yx??
(2)把 400代入（ 1）中的函数得,
x400=200+15,
200和当天开车 x公里所收费用 15x之和,即
13.3x ? (km)
1.1.3 分段 函数
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [矩形波的函数表示 ]
如图为一个矩形波在一个周期内的图形，
?
?
?
??
????
?
?
x
x
Axf 0
00)(
用解析式表示为,
二,概念和公式的引出
分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式
表示的函数称为 分段函数,
三、进一步练习
练习 1 [绝对值函数 ]
?
?
?
??
?
??
0
0
xx
xx
xy
?
?
?
?
?
?
?
??
??
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
练习 2 [符号函数 ]
练习 3 [特征函数 ]
练习 4 [单位阶跃函数 ]
1()
0A
xAyx
xA?
????
? ??
()ut ?
?
?
?
?
?
00
01
t
t
其中是 A数集，此函数常用于计数统计．
单位阶跃函数是电学中一个常用函数，
研究
它可表示为
额（表中仅保留了原表中前 2级的税率）．
级 数 全 月 应 纳 税 所 得 额 税 率 (％ )
1 不超过 500元部分 5
2 超过 500元至 2000元部分 10
纳税金额之间的函数关系。
练习 5 [个人所得税 ]
我国于 1993年 10月 31日发布的, 中华人民共和国
个人所得税法, 规定月收入超过 800元为应纳税所得
个人所得税一般在工资中直接扣发．若某单位
所有人的月收入都不超过 2800元，请建立月收入与
解 设某人月收入为 x元，应交纳所得税为 y元．
%10)1 3 0 0(%5)8001 3 0 0( ?????? xy
%10)1 3 0 0(25 ???? x
当 0?y8000 ?? x 时，
%5)8 0 0( ??? xy1300800 ?? x当 时，
1 3 0 0 2 8 0 0x??当 时，
0,0 8 0 0
0,0 5 ( 8 0 0 ),8 0 0 1 3 0 0
0,1 ( 1 3 0 0 ) 2 5,1 3 0 0 2 8 0 0
x
yx x
x x
? ??
?
? ? ?? ??
? ? ? ?
???
依此类推，函数关系为
求值,所交税为
80255 5 01.01 8 5 0 ?????xy （元）
25)1 3 0 0(1.0 ??? xy
若某人工资为 1850元，则应使用公式
是数学中的一个基本而重要的概念．直到公
元 1837年，德国数学家 P.G.L.狄利克雷
（ Dirichlet,1805-1859)才提出现今通用的
函数定义，使函数关系更加明确，从而推动
了数学的发展和应用．
背 景
1.1 函数
1.1.1 函数的概念
1.1.2 初等函数
1.1.3 分段函数
1.1.1 函数的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
我们知道，一天的气温随着时间的
时间之间的变化关系呢？
变化而变化．如何准 确地表示气温与
案例 1 [气温与时间的关系 ]
案例 2 [圆面积公式 ]
圆的面积 A与半径 r的函数关系为
2rA ??
二,概念和公式的引出
函数
函数常用的表示法有三种：解析法、列表法和图形法．
设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集。
如果对于每一个数 x D?, 变量 y 按照 一定的法则
总有确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记
作 y = f (x),其中 x 为自变量,y为因变量。
(1)解析法
如函数 的定义域为,
29
1
x
y
?
? ? ?33D x x? ? ? ?
值域为 1{}
3W y y? ? ? ? ?
y = f (x)
因变量
法则
自变量
解析法的优点是便于数学上的分析和计算．
(2) 列表法
列表法的优点是直观、精确．
内气温（单位,oC）的变化规律．
时刻 t 10:00
气温 T
10:20 10:40 11:00 11:20 11:40 12:00
18 18 18.5 19 20 21 23
下表列出了在上午 10:00到中午 12:00每隔
20min测得的气温数据，由此可以观察出这段时间
(3) 图形法
通过心电图的比较，医生可以诊断出该人
健康人的心电图 病人的心电图
图形法的优点是直观、通俗、容易比较
是否患有心脏病．
三,进一步的练习
练习 1 [自由落体运动方程 ]
在自由落体运动中，物体下落的距离随下落
时间的变化而变化，下落距离 s与时间 t之间的
其中 g 为重力加速度．
2
2
1 gts ?
函数关系为,
练习 2 [波形函数 ]
在电子科学中，有大量波形函数，如下图为
周期为 T的一锯齿形波的图象．此函数在一个
同期上可用解析法表示为
)0(,)( TttThtf ???
练习 3 [股票曲线 ]
股票在某天的价格随时间的变化关系常用图形
表示，如下图所示为某一股票在某天的走势图。
从股票曲线，我们可以看出这只股票
在当天的价格和成交量波动情况。
练习 4 [物理实验 ]
设某一物理现象的数学关系为 )(ty ??,
用实验测得 ti时刻 的值，见下表所示)(
it?
t 0 1t 2t
mt
)(t? 0? 1? 2? m?
……
……
1.1.2 初等 函数
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [生产利润 ]
元，如果每件玩具卖 48元，那么公司生产 x件玩具
某一玩具公司生产 x件玩具将花费 )4(54 0 0 ?? xx
获得的净利润是多少？
解 经过简单的分析，可以得到该公司生产 x件玩具
获得的净利润 y为
?y )4(54 0 048 ?? xxx －
利润 =销售
收入 -成本
基本初等函数为以下五类函数：
?xy ? ?,是常数
二,概念和公式的引出
基本初等函数
(1) 幂函数
(2) 指数函数
(3) 对数函数
xay ? 01aa??，(a是常数且 )
xy alo g? 01aa??，(a是常数且 )
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
(4) 三角函数
2
?? ?? kxxy tan? kZ? ),( ?????y，,,
xy co t? ?kx ? kZ? ),( ?????y，,,
，xy sin? ),( ?????x ]1,1[??y，
xy c o s? ),( ?????x ]1,1[??y，,
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
xy a r c s in? ]1,1[??x ]2,2[
????y
xy a rc c os? ]1,1[??x ],0[ ??y
xy a rc t a n? ),( ?????x )2,2( ????y
xy c o ta rc? ),( ?????x ),0( ??y
(5) 反三角函数
若 y是 u的函数 y=f (u),u是 x的函数复合函数
因变量
外部函数
内部函数
[ ( ) ]y f x??
，当 x在? ?xu ?? ? ?xu ?? 的定义域或其一部分取
值时,)(x? 的值均在 ()y f u? 的定义域内，从而
得到一个以 x为自变量,y为因变量的函数，这个
复合函数, u称为 中间变量,记作
函数称为由函数 ()y f u? ? ?xu ?? 复合而成的和
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及
有限次的 复合所构成并且可以用一个式子表示的
xy ?而 不是初等函数。
初等函数
函数，称为 初等函数,
如 2)2ln ( s in xxy ?? xey x c o sa r c t a n ?? 等都是初等函数，，
某工厂生产计算机的日生产能力为 0到 100台，工
厂维持生产的日固定费用为 4万元，生产一台计算
机的直接费用 (含材料费和劳务费 )是 4250元．试建
立该厂日生产台计算机的总费用函数，并指出其
定义域．
三、进一步练习
练习 1 [生产费用 ]
解 设该厂日生产 x台计算机的总费用为 y（单位：
元），则 y为日固定费用和生产 x台计算机所需
总费用之和，即
( ) 4 0 0 0 0 4 2 5 0F x x??
由于该厂每天最多能生产 100台计算机，
所以定义域为
0 1 0 0x??x{ }
一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为,每
天的基本租金 200元，另外每公里收费为 15元 /km。
(1) 试建立每天的租车费与行车路程公里之间
(2)若某人某天付了 400元租车费，问他开了
练习 2 [汽车租赁 ]
的函数关系；
多少公里?
解 (1) 设每天租车费为 x,则 y为每天的基本租金
2 0 0 1 5yx??
(2)把 400代入（ 1）中的函数得,
x400=200+15,
200和当天开车 x公里所收费用 15x之和,即
13.3x ? (km)
1.1.3 分段 函数
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [矩形波的函数表示 ]
如图为一个矩形波在一个周期内的图形，
?
?
?
??
????
?
?
x
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00)(
用解析式表示为,
二,概念和公式的引出
分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式
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三、进一步练习
练习 1 [绝对值函数 ]
?
?
?
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0
0
xx
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练习 2 [符号函数 ]
练习 3 [特征函数 ]
练习 4 [单位阶跃函数 ]
1()
0A
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00
01
t
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其中是 A数集，此函数常用于计数统计．
单位阶跃函数是电学中一个常用函数，
研究
它可表示为
额（表中仅保留了原表中前 2级的税率）．
级 数 全 月 应 纳 税 所 得 额 税 率 (％ )
1 不超过 500元部分 5
2 超过 500元至 2000元部分 10
纳税金额之间的函数关系。
练习 5 [个人所得税 ]
我国于 1993年 10月 31日发布的, 中华人民共和国
个人所得税法, 规定月收入超过 800元为应纳税所得
个人所得税一般在工资中直接扣发．若某单位
所有人的月收入都不超过 2800元，请建立月收入与
解 设某人月收入为 x元，应交纳所得税为 y元．
%10)1 3 0 0(%5)8001 3 0 0( ?????? xy
%10)1 3 0 0(25 ???? x
当 0?y8000 ?? x 时，
%5)8 0 0( ??? xy1300800 ?? x当 时，
1 3 0 0 2 8 0 0x??当 时，
0,0 8 0 0
0,0 5 ( 8 0 0 ),8 0 0 1 3 0 0
0,1 ( 1 3 0 0 ) 2 5,1 3 0 0 2 8 0 0
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yx x
x x
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依此类推，函数关系为
求值,所交税为
80255 5 01.01 8 5 0 ?????xy （元）
25)1 3 0 0(1.0 ??? xy
若某人工资为 1850元，则应使用公式
