本章讨论函数的导数与微分．历史上，
导数概念产生于以下两个实际问题的研
究．第一：求曲线的切线问题；第二：求非
均速运动的速度．作曲线的切线问题 —— 是
微分学的基本问题．这一概念打开了通向数
学知识与真理的巨大宝库之门。
背 景
17世纪后期出现了一个崭新的数学分
支 — 数学分析（微积分），它在数学领域中
占据着主导地位。这种新数学的特点是：非
常成功地运用了无限过程的运算，即极限运
算。而其中的微分和积分这两个过程则构成
了微分学与积分学的核心。
在数学的发展中，费马、伽利略、开普
勒都对微积分的诞生作出过贡献，微积分的
系统发展归功于两位伟大的科学先驱 ----牛
顿和莱布尼兹。这一系统成功地发现：过去
一直分别研究的 微分 和 积分 实际上是两个 互
逆的运算 。
恩格斯（ F.Engles,德,1820-1895）指出：
,在一切理论成就中，未必再有什么像 17世
纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神
的最高胜利了,”
Newton
1642— 1727
英国物理学
家和数学家,
他在物理学上
最主要的成就
是发现了万有
引力定律,数学
上, 他与德国
莱布尼兹创建
了, 微积分学
”
费尔马阿基米德
Archimedes
前 287— 前 212
古希腊数学家
和物理学家, 在
数学上, 他利用
穷竭法解决了许
多复杂的曲线或
曲面围成的平面
图形或立方体的
求积问题,
牛 顿
Pierre de Fermat
1601— 1665
法国数学家,
律师, 业余研究
数学, 解析几何
的创始人, 有著
名的, 费尔马大
定理,, 1638年
发现求极值的方
法, 是微积分学
的先驱,
第二章 一元微分学及其应用第一节 导数 — 瞬时变化率
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
思考与探索：
假设你准备用 10万元进行投资，现有 A,B两
个投资项目，经过市场分析，获悉其预期收益是
固定的：项目 A在 2个月内的收益为 0.6万元，项
目 B在 3个月内的收益为 0.8万元，问：
你会选择哪个项目投资？
研究某个变量相对于另一个变量变化
导数研究的问题
的快慢程度,
变化率问题
汽车行驶的瞬时速度呢?
例如：小 王驱车到 80km外的一个小镇，共用了 2个
一、案例 [汽车的行驶速度 ]
若物体作匀速直线运动，则其速度为常量
Δt
Δsv ?
单位时间通过
的路程
小时，
40280 ??? ΔtΔsv (km/h)为汽车行驶的平均
速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在
不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算
设 S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的
下面讨论物体在任一 时刻 t0 的 瞬时速度 。
)(tSS ?
路程,则 S是 t的一个函数
一般地：
t? 很小时,速度的变化不大，可以以匀速代替。
t? 内的 平均速度 为
],[ 00 ttt ?? ? ? ? ?00 tSttSS ?????
sO ? ?
0ts ? ?tts ??0
? ? ? ?
t
tSttS
t
Sv
?
????
?
?? 00
t? 越小,平均速度 v 就越接近于时刻 0t 的瞬时速度
? ?0tv v
t 0lim??? t
S
t ?
??
?? 0
lim ? ? ? ?t tSttSt ? ???? ?? 000lim
瞬时速度的精确值。
? ?0tv令 0??t 取极限，得到 瞬时速度 。
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到
]10,0[,21 2 ?? tgts
一小球做自由落体运动，研究
其运动方程为
2?t考察小球在 s 时的
瞬时速度 )2(v,
…
t
sv
?
??
t?
t [1.5,2] [1.99,2] [1.9999,2]
0.5 0.01 0.0001
…
17.150 19.551 19.600
?
2
?
0
19.6
?
?
[2,2.001]
0.001
19.605
[2,2.01]
0.01
19.649 22.050
0.5
[2,2.5]
其变化情况见下表,
从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，
( 2 ) 1 9, 6 m /s,v ?
t? v很小时,平均速度 很接近某一确定的值当时间段
s时的瞬时速度为2?t19.6 (m/s),即小球在
对于函数 y=f(x)，
? ?y f x x f x? ? ?( ) ( )0 0
为函数的 绝对改变量,
为函数在区间上的平均变化率，而
x
xfxxf
x
y
?
????
?
? )()(
x
xfxxf
x
y
xx ?
????
?
?
????
)()(limlim 00
00
为函数在某 x0点的 瞬时变化率,
若函数在点 x0处的增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ?????
与引起这个增量的自变量增量 比值当x? 0??x
导数
00
00
( ) ( )l im l im
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??? ?00| xfy xx ??? ?
二,概念和公式的引出
此极限为函数 y=f (x)在点 x0处的 导数 (瞬时变化率 ），
时的极限 x xfxxfxy
xx ?
????
?
?
????
)()(limlim 00
00
存在，则称
记作,
0),( 0 xxyxf ???
0d
d
xxx
y
? 0d
)(d
xxx
xf
?
或者,即
如果
x
y
x ?
?
?? 0lim
存在，则称 0x? ?xfy ? 在 处 可导
0x在 处 不可导如果 x
y
x ?
?
?? 0lim
不存在，则称 ? ?xfy ?
说明一：可导与不可导
如果函数 f (x)在区间 (a,b)内每一点都有导数，函数 f (x)
1x ? ?1xf?
2x ? ?2xf?
? ?
x? ? ?xf?
在区间 (a,b)内有一 导函数,即 ? ? ? ? ? ?
x
xfxxfxf
x ?
????
?? 0lim'
y?,xydd xxfd )(d也可记作,
说明二：导函数
? ?ba,在区间 上
区别,0()fx? 是一常数。
? ?xf? 是一函数。
联系,函数 ()fx 在点 x0 处的导数 0()fx? 就是导函数
? ?xf? 在 0xx? 处的值，即
注,通常，导函数也简称为导数．
0()fx? ? ? 0xxfx ???
导数与导函数的区别与联系
)(tss ? 0t若物体的运动方程为,则物体在时刻
)(')( 00 tstv ?
00
00
( ) ( )l im l im
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??
? ?0xf?
? ?0tv t
S
t ?
??
?? 0lim
? ? ? ?
t
tSttS
t ?
????
??
00
0lim
的瞬时速度 为路程关于时间的变化率，即? ?0tv
说明三：速度、加速度的表示法
00
00
( ) ( )l im l im
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??? ?0xf?
的加速度为
加速度是速度 v(t)关于时间的变化率，物体在时刻 t0
? ? ? ?00 tvta ??
? ?0ta tvt ??? ?? 0lim ? ? ? ?t tvttvt ? ???? ?? 000lim
三,进一步的练习
? ?xfy ? 在点 0x 处的求曲线
沿曲线无限接近 P点时，
当曲线 y = f(x)的割线 PQ上点 Q
割线 PQ的极限位置就是曲线
在 P点的切线．
切线的斜率,
练习 1 [切线斜率 ]
曲线在 P(x0,y0)点处的切线的
斜率就是割线的斜率当
时的极限0??x
割线 PQ的斜率为
x
y
?
?
x
xfxxf
?
???? )()( 00??tg
x
xfxxf
x ?
????
??
)()(l i m 00
0 x
ytgk
x ?
???
?? 0
l i m?
函数 ? ?xf 在点 0x 处的导数
? ?0xf? 就是函数所表示的
曲线在点 ? ?00,yx 处切线
的 斜率,
)(' 0xfk ?
说明四：导函数的几何意义
? ? 00 ??? xfk
? ? ????? 0xf
2
???
平行于 x轴的切线 垂直于 x轴的切线
?tgk ?
0?x
x轴切线
例 1.指出右图中的函数图形在
,,,a b c d 点是否连续，是否可导？
例 2,对于右图所示的函数曲线，请标出斜率为正
的点．
练习 2 [电流强度 ]
求时刻 0t 的电流强度 ? ?.0tI
? ? ? ?00 tQtI ??
? ??0tI ? ? ? ?t tQttQ ? ??? 00???tQ0lim??t 0lim??t
通过该导线横截面的电量为 则 Q为 t 的函数 ? ?.tQQ ?,Q
0t设有非稳恒电流通过导线,从某一时刻开始到时刻
练习 3 [冷却速度 ]
当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会
? ?00 )( tTtv ??
? ??0tv ? ? ? ?t tTttT ? ??? 00???tT0lim??t 0lim??t
的函数关系为不断冷却。若物体的温度 T与时间 t
请表示出物体在时刻 0t 的冷却速度？T=T(t)
练习 4 [非均匀杆的线密度 ]
设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意
? ?0xml ??
上的质量 m是 x的点的坐标为于是分布在区间 [0,x]
).( xmm ? 均匀细棒来说，单位长度细棒的质量函数
叫做这细棒的 线密度 。如果细棒是不均匀的，如何
对于0x 线密度,l确定细棒在点
练习 5 [铜矿开采费 ]
从一个铜矿中开采 Tt铜矿的花费为 C=f(T)元，
意味着什么？
解 因为
1t铜矿需要花费 100元。
又因为 C的单位为元,T的单位为 t,所以
( 2 0 0 0 ) 1 0 0f ? ?
2000
d( 2 0 0 0 ) 1 0 0
d T
Cf
T ?? ??
( 2 0 0 0 ) 1 0 0f ? ?
表明当有 2000t铜矿从矿中被开 采 出来时，再开采
总 结 1、导数的概念
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??0xxy ??
2、导数的几何意义
所表示的曲线在点 ? ?00,yx 处切线斜率
)(' 0xfk ?
3、导数的概念的应用
电流强度, 冷却速度等
函数 ? ?xf 在点 0x 处的导数 ? ?0xf? 就是函数
此例中，先以割线代替切线，算出割线的
斜率，然后通过取极限，从割线过渡到切线，
求得切线的斜率。巧妙地将非均匀变化与均匀
平均变化率
x
y
?
? 瞬时变化率
x
y
x ?
?
?? 0lim
变化联系起来，局部以均匀代替非均匀。
分析：
x
y
x ?
?
?? 0lim
(3) ? ? ? ?
x
xfxxf
x ?
????
??
00
0lim
一般地,,0x(1) xx ??0 ? ? ? ?00 xfxxfy ?????
(2)
x
y
?
?
导数概念产生于以下两个实际问题的研
究．第一：求曲线的切线问题；第二：求非
均速运动的速度．作曲线的切线问题 —— 是
微分学的基本问题．这一概念打开了通向数
学知识与真理的巨大宝库之门。
背 景
17世纪后期出现了一个崭新的数学分
支 — 数学分析（微积分），它在数学领域中
占据着主导地位。这种新数学的特点是：非
常成功地运用了无限过程的运算，即极限运
算。而其中的微分和积分这两个过程则构成
了微分学与积分学的核心。
在数学的发展中，费马、伽利略、开普
勒都对微积分的诞生作出过贡献，微积分的
系统发展归功于两位伟大的科学先驱 ----牛
顿和莱布尼兹。这一系统成功地发现：过去
一直分别研究的 微分 和 积分 实际上是两个 互
逆的运算 。
恩格斯（ F.Engles,德,1820-1895）指出：
,在一切理论成就中，未必再有什么像 17世
纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神
的最高胜利了,”
Newton
1642— 1727
英国物理学
家和数学家,
他在物理学上
最主要的成就
是发现了万有
引力定律,数学
上, 他与德国
莱布尼兹创建
了, 微积分学
”
费尔马阿基米德
Archimedes
前 287— 前 212
古希腊数学家
和物理学家, 在
数学上, 他利用
穷竭法解决了许
多复杂的曲线或
曲面围成的平面
图形或立方体的
求积问题,
牛 顿
Pierre de Fermat
1601— 1665
法国数学家,
律师, 业余研究
数学, 解析几何
的创始人, 有著
名的, 费尔马大
定理,, 1638年
发现求极值的方
法, 是微积分学
的先驱,
第二章 一元微分学及其应用第一节 导数 — 瞬时变化率
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
思考与探索：
假设你准备用 10万元进行投资，现有 A,B两
个投资项目，经过市场分析，获悉其预期收益是
固定的：项目 A在 2个月内的收益为 0.6万元，项
目 B在 3个月内的收益为 0.8万元，问：
你会选择哪个项目投资？
研究某个变量相对于另一个变量变化
导数研究的问题
的快慢程度,
变化率问题
汽车行驶的瞬时速度呢?
例如：小 王驱车到 80km外的一个小镇，共用了 2个
一、案例 [汽车的行驶速度 ]
若物体作匀速直线运动，则其速度为常量
Δt
Δsv ?
单位时间通过
的路程
小时，
40280 ??? ΔtΔsv (km/h)为汽车行驶的平均
速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在
不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算
设 S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的
下面讨论物体在任一 时刻 t0 的 瞬时速度 。
)(tSS ?
路程,则 S是 t的一个函数
一般地：
t? 很小时,速度的变化不大，可以以匀速代替。
t? 内的 平均速度 为
],[ 00 ttt ?? ? ? ? ?00 tSttSS ?????
sO ? ?
0ts ? ?tts ??0
? ? ? ?
t
tSttS
t
Sv
?
????
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?? 00
t? 越小,平均速度 v 就越接近于时刻 0t 的瞬时速度
? ?0tv v
t 0lim??? t
S
t ?
??
?? 0
lim ? ? ? ?t tSttSt ? ???? ?? 000lim
瞬时速度的精确值。
? ?0tv令 0??t 取极限，得到 瞬时速度 。
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到
]10,0[,21 2 ?? tgts
一小球做自由落体运动，研究
其运动方程为
2?t考察小球在 s 时的
瞬时速度 )2(v,
…
t
sv
?
??
t?
t [1.5,2] [1.99,2] [1.9999,2]
0.5 0.01 0.0001
…
17.150 19.551 19.600
?
2
?
0
19.6
?
?
[2,2.001]
0.001
19.605
[2,2.01]
0.01
19.649 22.050
0.5
[2,2.5]
其变化情况见下表,
从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，
( 2 ) 1 9, 6 m /s,v ?
t? v很小时,平均速度 很接近某一确定的值当时间段
s时的瞬时速度为2?t19.6 (m/s),即小球在
对于函数 y=f(x)，
? ?y f x x f x? ? ?( ) ( )0 0
为函数的 绝对改变量,
为函数在区间上的平均变化率，而
x
xfxxf
x
y
?
????
?
? )()(
x
xfxxf
x
y
xx ?
????
?
?
????
)()(limlim 00
00
为函数在某 x0点的 瞬时变化率,
若函数在点 x0处的增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ?????
与引起这个增量的自变量增量 比值当x? 0??x
导数
00
00
( ) ( )l im l im
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??? ?00| xfy xx ??? ?
二,概念和公式的引出
此极限为函数 y=f (x)在点 x0处的 导数 (瞬时变化率 ），
时的极限 x xfxxfxy
xx ?
????
?
?
????
)()(limlim 00
00
存在，则称
记作,
0),( 0 xxyxf ???
0d
d
xxx
y
? 0d
)(d
xxx
xf
?
或者,即
如果
x
y
x ?
?
?? 0lim
存在，则称 0x? ?xfy ? 在 处 可导
0x在 处 不可导如果 x
y
x ?
?
?? 0lim
不存在，则称 ? ?xfy ?
说明一：可导与不可导
如果函数 f (x)在区间 (a,b)内每一点都有导数，函数 f (x)
1x ? ?1xf?
2x ? ?2xf?
? ?
x? ? ?xf?
在区间 (a,b)内有一 导函数,即 ? ? ? ? ? ?
x
xfxxfxf
x ?
????
?? 0lim'
y?,xydd xxfd )(d也可记作,
说明二：导函数
? ?ba,在区间 上
区别,0()fx? 是一常数。
? ?xf? 是一函数。
联系,函数 ()fx 在点 x0 处的导数 0()fx? 就是导函数
? ?xf? 在 0xx? 处的值，即
注,通常，导函数也简称为导数．
0()fx? ? ? 0xxfx ???
导数与导函数的区别与联系
)(tss ? 0t若物体的运动方程为,则物体在时刻
)(')( 00 tstv ?
00
00
( ) ( )l im l im
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??
? ?0xf?
? ?0tv t
S
t ?
??
?? 0lim
? ? ? ?
t
tSttS
t ?
????
??
00
0lim
的瞬时速度 为路程关于时间的变化率，即? ?0tv
说明三：速度、加速度的表示法
00
00
( ) ( )l im l im
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??? ?0xf?
的加速度为
加速度是速度 v(t)关于时间的变化率，物体在时刻 t0
? ? ? ?00 tvta ??
? ?0ta tvt ??? ?? 0lim ? ? ? ?t tvttvt ? ???? ?? 000lim
三,进一步的练习
? ?xfy ? 在点 0x 处的求曲线
沿曲线无限接近 P点时，
当曲线 y = f(x)的割线 PQ上点 Q
割线 PQ的极限位置就是曲线
在 P点的切线．
切线的斜率,
练习 1 [切线斜率 ]
曲线在 P(x0,y0)点处的切线的
斜率就是割线的斜率当
时的极限0??x
割线 PQ的斜率为
x
y
?
?
x
xfxxf
?
???? )()( 00??tg
x
xfxxf
x ?
????
??
)()(l i m 00
0 x
ytgk
x ?
???
?? 0
l i m?
函数 ? ?xf 在点 0x 处的导数
? ?0xf? 就是函数所表示的
曲线在点 ? ?00,yx 处切线
的 斜率,
)(' 0xfk ?
说明四：导函数的几何意义
? ? 00 ??? xfk
? ? ????? 0xf
2
???
平行于 x轴的切线 垂直于 x轴的切线
?tgk ?
0?x
x轴切线
例 1.指出右图中的函数图形在
,,,a b c d 点是否连续，是否可导？
例 2,对于右图所示的函数曲线，请标出斜率为正
的点．
练习 2 [电流强度 ]
求时刻 0t 的电流强度 ? ?.0tI
? ? ? ?00 tQtI ??
? ??0tI ? ? ? ?t tQttQ ? ??? 00???tQ0lim??t 0lim??t
通过该导线横截面的电量为 则 Q为 t 的函数 ? ?.tQQ ?,Q
0t设有非稳恒电流通过导线,从某一时刻开始到时刻
练习 3 [冷却速度 ]
当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会
? ?00 )( tTtv ??
? ??0tv ? ? ? ?t tTttT ? ??? 00???tT0lim??t 0lim??t
的函数关系为不断冷却。若物体的温度 T与时间 t
请表示出物体在时刻 0t 的冷却速度？T=T(t)
练习 4 [非均匀杆的线密度 ]
设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意
? ?0xml ??
上的质量 m是 x的点的坐标为于是分布在区间 [0,x]
).( xmm ? 均匀细棒来说，单位长度细棒的质量函数
叫做这细棒的 线密度 。如果细棒是不均匀的，如何
对于0x 线密度,l确定细棒在点
练习 5 [铜矿开采费 ]
从一个铜矿中开采 Tt铜矿的花费为 C=f(T)元，
意味着什么？
解 因为
1t铜矿需要花费 100元。
又因为 C的单位为元,T的单位为 t,所以
( 2 0 0 0 ) 1 0 0f ? ?
2000
d( 2 0 0 0 ) 1 0 0
d T
Cf
T ?? ??
( 2 0 0 0 ) 1 0 0f ? ?
表明当有 2000t铜矿从矿中被开 采 出来时，再开采
总 结 1、导数的概念
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??0xxy ??
2、导数的几何意义
所表示的曲线在点 ? ?00,yx 处切线斜率
)(' 0xfk ?
3、导数的概念的应用
电流强度, 冷却速度等
函数 ? ?xf 在点 0x 处的导数 ? ?0xf? 就是函数
此例中，先以割线代替切线，算出割线的
斜率，然后通过取极限，从割线过渡到切线，
求得切线的斜率。巧妙地将非均匀变化与均匀
平均变化率
x
y
?
? 瞬时变化率
x
y
x ?
?
?? 0lim
变化联系起来，局部以均匀代替非均匀。
分析：
x
y
x ?
?
?? 0lim
(3) ? ? ? ?
x
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x ?
????
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00
0lim
一般地,,0x(1) xx ??0 ? ? ? ?00 xfxxfy ?????
(2)
x
y
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