第二节 导数的运算
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [气球体积关于半径的变化率 ]
现将一气体注入某一球状气球，假定气体的
解 气球的体积 V与半径 r之间的函数关系为
3
3
4 rV ??
气球的体积关于半径的变化率为
r
V
r
V
r ?
??
?? 0
limdd
半径的增加率是多少？
压力不变．问当半径为 2cm时，气球的体积关于
其中
所以
24 r??
半径为 2cm时气球的体积关于半径的变化率为
3344()
33V r r r??? ? ? ? ?
334 [ ( ) ]
3 r r r?? ? ? ?
2 2 34 ( 3 3 )
3 r r r r r?? ? ? ? ? ?
r
V
r
V
r ?
??
?? 0
limdd
2 2 3
0
4 ( 3 3 )
3l im
r
r r r r r
r
?
??
? ? ? ? ?
?
?
2
2
d 4 2 1 6 5 0,3
d r
V
r ??? ? ? ? ?
(cm)
二,概念和公式的引出
? ?c ? ? 0 ? ?s i n c o sx x? ? ? ?c o s s i nx x? ? ?
? ? xx 2s e ct a n ?? ? ? xx 2c s cc o t ???
? ? xxx t a ns e cs e c ??
? ? xxx c o tc s cc s c ???
? ? 1??? ?? ?xx
? ?a a ax x? ? ln
? ?e ex x? ?
? ? axxa ln1lo g ??
? ? xx 1ln ??
? ?ar cs i n x x? ? ?11 2? ? 21 1a r cc o s xx ????
? ? 21 1a r c t a n xx ??? ? ? 21 1c o ta r c xx ????
1、基本初等函数的求导公式
2,函数的和、差、积、商的求导法则
设 u=u(x),v=v(x)都是的可导函数，则
? ?u v u v? ? ? ? ? ?
? ? uccu ??? (c为常数 )
? ?uv u v u v? ? ? ? ?
0?v（其中u
v
u v u v
v
?
??
?
??
?
? ? ? ?2
）
3、复合函数的求导法则
{ [ ( ) ] } [ ( ) ] ( )f x f x x? ? ?? ? ??
此法则又称为复合函数求导的链式法则．
可导，则y f u u x? ?( ) ( ),? )]([ xfy ??设
d d d
d d d
y y u
x u x??
或复合函数的导数为
三、进一步练习
练习 1 [电流 ]电路中某点处的电流 i是通过该点处的
(1)求其电流函数 i(t)？
(2)t=3时的电流是多少？
(3) 什么时候电流为 28？
电量 q关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为
tttq ?? 3)( 。
解 d()
d
qit
t?
(1) (? 3 )tt?? 3 ()tt????（)
231t??
(2) 2
3( 3 1 ) tt ??(3)i ?
23 3 1 2 8? ? ? ?
(3) 解方程 23 1 2 8t ?? 3t ??)(ti 得
( ) 2 8it ?即当 3t ?
练习 2 [速度 ]已知某物体做直线运动，路程 (单位,m)
与时间 t(单位,s)的关系为 2( 1 ) ( 1 )s t t? ? ?，求物体在
解 物体运动的速度为
d
d
sv
t??
2[ ( 1 ) ( 1 ) ]tt ??? 22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t t t t??? ? ? ? ? ?
23 2 1tt? ? ?
乘积的求导
法则
3t? s时的速度？
33
d
dtt
sv
t???
2 3( 3 2 1 ) ttt ?? ? ? 3 9 2 3 1? ? ? ? ?34?
R为的电路中的电压由下式给出：
3
256
?
??
R
RV
解 电压 V关于可变电阻 R的变化率为：
2
6 2 5 6 3
33
R R RV
RR
? ? ?????
??
（ ）- （6 2 5 ）（）
（）23R? ?
-7
（）
商的求导
法则
?? 7R在 时电压关于可变电阻 R的变化率为：
7 2
7 0,0 7
10RV ?? ? ? ? ?
练习 3 [电压的变化率 ] 一个电阻为 ?3,可变电阻
时电压关于可变电阻 R的变化率．?? 7R求在
练习 4 [制冷效果 ] 某电器厂在对冰箱制冷后断电
问冰箱温度 T关于时间 t的变化率是多少？
解 冰箱温度 T关于时间 t的变化率为
d
d
T
t ?
2( 2 0 )
0,0 5 1
t
t ???
2( ) ( 2 0 )
0,0 5 1
t
t ?????
2
2 ( 0, 0 5 1 ) 2 0, 0 5 0
( 0, 0 5 1 )
tt
t
? ? ???
?
2
2
( 0,0 5 1)t? ?
20105.0 2 ??? ttT测试其制冷效果,t小时后冰箱的温度为
练习 5 [并联电阻 ]
当电流通过两个并联电阻 r1,r2时，总电阻由下式
给出：
12
1 1 1
R r r??
求 R关于 r1的变化率，假定 r2是常量,
解 由 知,因为 r2是常数，所以
12
1 1 1
R r r??
12
12
rrR
rr? ?
1
d
d
R
r ?
12
1 1 2
d ()
d
rr
r r r?
2
2 1 2 1 2 2
22
1 2 1 2
)r r r r r r
r r r r
????
??
（
（ ） （ ）
1 2 1 2 12
12
d ( ) d其中 1
dd
r r r ru u v u v r
v v r r
? ?? ???? ? ? ?
????
练习 6 [放射物的衰减 ]
放射性元素碳 -14（ 1g） 的衰减由下式给出：
teQ 0 0 01 2 1.0??
其中 Q是 t年后碳 -14存余的数量 (单位,g)．
问碳 -14的衰减速度（单位,g/年 ）是多少？
解 碳 -14的衰减速度 v为
d
d
Qv
t?? 0,0 0 0 1 2 1()te ? ?
0, 0 0 0 1 2 10, 0 0 0 1 2 1 te ??? (g/年 )
复合函数的
求导法则
0, 0 0 0 1 2 1 ( 0, 0 0 0 1 2 1 )tet? ???
案例 7 [电阻中电流与电压的关系 ]
解
d
d
cuiC
t? [ s i n ( ) ]mC U t?? ??? [ c o s ( ) ( ) ]mC U t t? ? ? ? ?? ? ?
)2s in ( ???? ??? tCU m )s in ( ?? ?? tI m
因为
其中 mm ICU ?? 是电流的峰值（最大值），称振幅，相位
2
??? ?? 由 )s in ( ?? ?? tUu mc
?i )
2s in (
???? ??tCU
m )s in ( ?? ?? tI m
复合函数的
求导法则
求电流 i.
)s in ( ?? ?? tUu mc在电容器两端加正弦电流电压
[ c o s ( ) ]mC U t? ? ???
从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：
（ 1）电流 i与电压 U是同频率的正弦波；
2
?（ 2）电流 i比电压 Uc相位提前
（ 3）电压峰值与电流峰值之比为
?? CUC
U
I
U
m
m
m
m 1??
电工中称 ?C1 为容抗（容性电抗）,