3.4 定积分的进一步应用
3.4.1 平面图形的面积
3.4.2 立体的体积
3.4.3 平面曲线的弧长
3.4.4 变力沿直线所作的功
3.4.5 压力
3.4.6 引力
3.4.7 函数的平均值
3.4.1 平面图形的面积
一,不规则图形的面积
二,进一步练习
一般地，求由区间 [a,b]上的连续曲线 y=f(x),y=g(x)
一、不规则图形的面积
))()(( xfxg ? 以及直线 x=a,x=b围成的平面图形的面积，
如图所示，用微元法分析如下．
(1) 任意一个小区间 [,d ]x x x?
（其中 x,d [,]x x a b?? ）上的
窄条为面积 dS可以用底宽为 dx，
高度 )()( xgxf ? 的窄条矩形的
面积来近似计算，即面积微元为
xxgxfS d)]()([d ??
(2) 以 xxgxf d)]()([ ? 为被积表达式，在区间 ],[ ba
上积分，得该平面图形的面积
? ?? ba xxgxfS d)]()([
练习 1 [窗户面积 ]
二,进一步的练习
某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，
下方为直线，如图所示，求此弓形的面积．
建立直角坐标系如图所示．解
设此抛物线方程为 22 pxy ??,
因它过点 ( 0,8,0,6 4 )?,
所以
2
1?p
即抛物线方程为 2xy ??
此图形的面积实际上为由曲线 2xy ?? 与直线
0.6 4y ?? 所围成图形的面积，面积微元为
2d - ( - 0, 6 4 ) dS x x??????
面积为
0, 8 2
0, 8 [ - ( - 0, 6 4 ) ] dS x x????
3 0, 8
0, 8
2( 0,6 4 )
3 xx ?? ? ?
0.683? (m２ )
所以窗户的面积为 0.683m2．
练习 2 [游泳池的表面面积 ]
一个工程师正用 CAD（ computer-assisted desigen计
算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是
22 )10(
8 0 0
?? x
xy由曲线 xxy 45.0,2 ?? 以及 x=8围成
的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积．
解 解联立方程组
22
2
800
( 10 )
0,5 4
xy
x
y x x
? ?
? ?
?
? ???
得两条曲线的左交点 (0,0)，右交点的横坐标
2
22
800d [ ( 0, 5 4 ) ] d
( 1 0 )
xA x x x
x? ? ??
此游泳池的表面面积为
8 2
220
800[ ( 0, 5 4 ) ] d
( 1 0 )
xA x x x
x? ? ???
8
220
800 d
( 1 0 )
x x
x? ??
8 2
0 (0, 5 4 )dx x x???
8 2
220
400 d ( 1 0 )
( 1 0 ) xx????
8
32
0
1( 2 )
6 xx??
8
02
400
10x?? ?
8
32
0
1( 2 )
6 xx?? = 77.26（ m
２ ）
大于 8．于是，面积微元为
3.4.2 立体的体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积
二、旋转体的体积
三,进一步练习
设一立体位于平面 x=a,x=b（ a<b)如图所示,任意
一个垂直于 x轴的平面截此物体所得的截面面积为
一,平行截面面积为已知的立体的体积
A(x),A(x)是 [a,b]上的连续函数．该立体介于区间
之间的薄片的体积微元 dV.],[],[ badxxx ??
可用底面积 A(x),高为 dx
的柱形薄片的体积近似计算，
xxAV d)(d ?
从而体积微元为
将其在区间 [a,b]上积分，得到该立体的体积
?? ba xxAV d)(
二 旋转体的体积
(1) 平面图形绕 x轴旋转所成的立体的体积
由连续曲线 y=f (x)、直线 x=a、
x=b以及 x轴所围成的曲边梯形
绕 x轴旋转一周而成的旋转体，
如图所示．
它被任意一个垂直于 x轴的平面所截，得到的截面为
? ?2)()( xfxA ??以 f(x)为半径的圆，其面积为
故所求旋转体的体积为
2
( )d
b
aV f x x?? ?
(2) 绕 y轴旋转所成的立体的体积
y=d以及 y轴所围成的曲边梯形
绕 y轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
2
( ) d
d
cV y y??? ?
)( yx ??,直线 y=c、由连续曲线
练习 1 [喇叭体积 ]
三,进一步的练习
的图形绕 x轴旋转所成的旋转体，如图所示．
一喇叭可视为由曲线 直线 x=1以及 x轴所围成2yx?,
求此旋转体的体积．
解 在 [0,1]上任取一点 x，此旋转体的体积微元可近似
2)]([ xfy ??地视为以 f (x)为半径的圆为底（即以面积为
的圆为底）的柱体，从而体积微元为
22d ( ) dV x x??
所求旋转体的体积 V为
1 4
0 dV x x?? ?
1
5
0
1
5
x? ??? ??
??
?51?
练习 2 [机器底座的体积 ]
某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一
38 xy ??, 以及 x轴,y轴围成，象限的图形由 2?y
底座由此图形绕 y轴旋转一周而成，如图所示．
试求此底座的体积．
解
以及 y轴围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周所成的
所求体积为
此图形实为由曲线 3 8 yx ?? 与直线 y=2,y=0
旋转体．体积微元为
2
3d ( 8 ) dV y y???
? ?? 2 0 3
2 d)8( yyV ? 5
23
0
3 ( 8 )
5 y???
?
55
333 ( 8 6 )
5 ?? ? ?
?313.7
975.22?
3.4.3 平面曲线的弧长
一,弧长的计算
二,进一步练习
曲线 y=f(x)相应于 [a,b]上的任一微小区间
一、弧长的计算
的长度 ds来近似代替，
所以弧长微元 (即弧微分 )为
所求弧长为
的一小段弧的长度],[ dxxx ? s?,可以用 该
曲线在点（ x,f(x)）处的切线上相应的一小段
2 2 2d s ( d ) ( d ) 1 ( ) dx y f x x?? ? ? ?
2
1 ( ) d
b
as f x x????
练习 1[运动路程 ]
二,进一步的练习
（ t的单位,s； s的单位,m）．求它从时刻 t=0s到
解
已知一物体的运动规律为 c o s
s in
t
t
x e t
y e t
?
?
? ?
? ?
?
时刻 t=1s所移动的距离．
物体的运动规律由参数方程给出，随着时间 t的变
化，物体运动的轨迹是一条曲线．此问题事实上
是求该曲线从 t=0s到 t=1s的一段弧长．
由参数方程下弧长的计算公式，得
1 22
0 ( ) ( ) ds x y t?????
1 22
0 ( c o s s i n ) ( s i n c o s ) d
t t t te t e t e t e t t? ? ? ? ? ?? ? ? ??
12
01d
tet??? ? 12
01 ( )
te???
21 ( 1 ) 5, 6 6 5 ( m )e?? ? ? ?
练习 2 [悬链线长度 ]
悬链线，它表示的是一悬挂在空中的线缆的形状，
下图所示的函数为 )(
2
1 xx eey ???,这一函数称作
求此悬链线位于 x=-1和 x=1之间的长度．
由式弧长的计算公式，得解
1 2
1
11 ( ) d
4
xxl e e x?
?? ? ??
利用对称性，得
1 2
0
12 1 ( ) d
4
xxl e e x?? ? ??
1 2
0 ( ) d
xxe e x????
1
0 ( )d
xxe e x????
10()xxee ???
1( ) (1 1 )ee ?? ? ? ?
1ee???
3.4.4 变力沿直线所做的功
一、功的计算
二,进一步练习
由物理学知道, 物体受常力 F作用沿力的方向移动
一、功的计算
如果作直线运动的物体在运动过程中所受的力是变化
SFW ??
一段距离 S，则力 F对物体所作的功为
的，设物体所受的力与移动的位移 x之间满足 y=F(x)，
求此力将物体从 x=a移到 x=b所作的功．
变力在一微小段 ]d,[ xxx ? 上所作的功可视为常力
所以，总功为
所作的功，功的微元为 d ( ) dW F x x?,
( )dbaW F x x? ?
练习 1 [克服阻力所作的功 ]
二,进一步的练习
解
克服阻力所作的功,
一物体按规律 作直线运动，媒质的阻力3ctx ?
与速度的平方成正比，计算物体由 x=0 到 x=a 时,
由于媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例系数
为 k，于是媒质的阻力为
2 2 4( ) 9dxF k k c t
dt??
在 ],[ dxxx ? 上克服阻力所作的功 (功的微元 )为
2 2 4 3 3 6d ( ) d 9 d ( ) 2 7 ddxW k x k c t c t k c t t
dt? ? ?
当物体从 x=0 移动到 x=a 时,时间 t从 t=0到 13at
c
???
????
克服阻力所作的功为
1
3() 36
0
2 7 d
a
cW k c t t???
1
3()36
0
2 7 d
a
ck c t t?
1
3()
37
0
12 7 ( )
7
a
ck c t??
27
3327
7 k c a
3.4.5 压力
一、压力的计算
二,进一步练习
由物理学知道，在液体深为 h处的压强为 p=r h，这
里 r是液体的比重．如果有一面积为 A的平板水平地
放置在某液体深为 h处，平板一侧所受的液体的压力
为
一、压力的计算
P= p× A
如果平板铅直放置在水中，如
图所示，此时应如何计算平板
一侧所受的水的压力呢？
练习 1 [水闸门所受的压力 ]
二,进一步的练习
一矩形水闸门，宽 20m，高 16m，水面与闸门顶齐，
解
在 上闸门所受压力为]d,[ xxx ?
d 2 0 d 2 0 dd F p A r x x r x x? ? ? ?
求闸门上所受的总压力．
如图选取 x轴，
闸门上所受的总压力为
1 6 1 6
002 0 d 2 0 dF r x x r x x????
2 1 6
0
12 0 ( ) 2 5 6 0
2r x r??
当 1 0 0 0 9,8r ?? N / m3时，力
2 5 6 0 9 8 0 0F ??
7 2, 5 0 8 8 1 0?? (N)
3.4.6 引力
一、引力的计算
二,进一步练习
由物理学知道，质量分别为 m1,m2，相距为 r的两
一、引力的计算
2
21
r
mmkF ?
质点间的引力为
其中 k为引力系数，引力的方向沿着质点的连线方向．
练习 1[棒对质点的引力 ]
二、进一步的练习
设有一长度为 l，质量为 M的均匀细直棒，另有一
质量为 m的质点与细直棒在同一直线上，它到细直
棒的近端距离为 a．试计算该棒对质点的引力．
建立直角坐标系如图所示．解
使棒位于 x轴上，取 x为积
分变量，它的变化区间为
[0,l]
设 ]d,[ xxx ? 为 [0,l]上的任一小区间．把细直棒上
相应于 ]d,[ xxx ? 的一段近似地看成质点，其质量为
xlM d,于是引力微元为
2
d
d
()
Mk m x
lF
xa
??
?
?
该棒对质点的引力为
20 d()
l
Mm
lF k x
xa
?
?
?? xaxl
k m M l d
)(
1
0 2? ?
?
0
1 lkmM
l x a
????
????? )( ala
k m M
??
3.4.7 函数的平均值
一、案例
二、概念和公式的引出
三,进一步练习
设 C(t)(单位：度 /天 )为某城市第 t天的耗电量,t=0
一、案例 [耗电量 ]
365
0 ( )dC t t?
对应于 2001年 1月 1日，则 表示该城市前
365天的总耗电量,而
=前 365的日平均耗电量．
365
0
1 ( ) d
365 C t t?
=前 365天的总耗电量 /总天数
函数的平均值
二,概念和公式的引出
数 ? ??
??
b
a xxfaby d
1
表示连续曲线 y=f(x)在区间 [a,b]上的平均高度，
也就是函数 y=f(x)在区间 [a,b]
上的平均值，如图所示．
练习 1 [平均销售量 ]
三,进一步的练习
一家快餐连锁店在广告后第 t天的销售的快餐数量
解
求该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量．
为
该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量 S
0, 1( ) 2 0 1 0 tS t e ???
由下式给出：
7 0.1
0
1 ( 2 0 1 0 ) d
7
tet????S
77 0, 1
00
1 [ 2 0 d 1 0 d ]
7
tt e t?????
7 0, 1
0
1002 0 d ( 0,1 )
7
tet?? ? ??
0, 1 7
0
1002 0 ( )
7
te ???
1 2,8 0 8?
练习 3 [交流电的有效值 ]
电源的引线端的电压 u由关于时间 t（单位,s）的
表示最大电压的常数．其在 1s内电压的平均值是
不用平均电压，他们运用均方根电压，其定义为
0( ) c o s ( 1 2 0 )u t U t??
函数为 （单位：伏）,U0是
11
000( )d c o s ( 1 2 0 )d 0U u t t U t t?? ? ???
，但工程师们
2Uu? 的平均值,即 2
0
1 ( )dTU u t t
T? ?
．
求 U 为
0U 的函数．
解
注：在电常中定义交流电流 i(t)和电压 u(t)的有效值为
2
0
1 ( )dTU u t t
T? ?
1 22
00 c o s ( 1 2 0 )dU t t?? ?
1
0 0
1 c o s ( 2 4 0 ) d
2
tUt ??? ? 1
0 0
1 c o s ( 2 4 0 )[ ] d
22
tUt ????
1
0 0
1 1 1 c o s ( 2 4 0 )d ( 2 4 0 )
2 2 2 4 0U t t???? ? ? ?
1
00
11 [ s i n ( 2 4 0 ) ]
2 4 8 0Ut ????
0
2
U?
2
0
1 ( )dTU u t t
T? ?
2
0
1 ( )dTI i t t
T? ?
(T为周期 )
3.4.1 平面图形的面积
3.4.2 立体的体积
3.4.3 平面曲线的弧长
3.4.4 变力沿直线所作的功
3.4.5 压力
3.4.6 引力
3.4.7 函数的平均值
3.4.1 平面图形的面积
一,不规则图形的面积
二,进一步练习
一般地，求由区间 [a,b]上的连续曲线 y=f(x),y=g(x)
一、不规则图形的面积
))()(( xfxg ? 以及直线 x=a,x=b围成的平面图形的面积，
如图所示，用微元法分析如下．
(1) 任意一个小区间 [,d ]x x x?
（其中 x,d [,]x x a b?? ）上的
窄条为面积 dS可以用底宽为 dx，
高度 )()( xgxf ? 的窄条矩形的
面积来近似计算，即面积微元为
xxgxfS d)]()([d ??
(2) 以 xxgxf d)]()([ ? 为被积表达式，在区间 ],[ ba
上积分，得该平面图形的面积
? ?? ba xxgxfS d)]()([
练习 1 [窗户面积 ]
二,进一步的练习
某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，
下方为直线，如图所示，求此弓形的面积．
建立直角坐标系如图所示．解
设此抛物线方程为 22 pxy ??,
因它过点 ( 0,8,0,6 4 )?,
所以
2
1?p
即抛物线方程为 2xy ??
此图形的面积实际上为由曲线 2xy ?? 与直线
0.6 4y ?? 所围成图形的面积，面积微元为
2d - ( - 0, 6 4 ) dS x x??????
面积为
0, 8 2
0, 8 [ - ( - 0, 6 4 ) ] dS x x????
3 0, 8
0, 8
2( 0,6 4 )
3 xx ?? ? ?
0.683? (m２ )
所以窗户的面积为 0.683m2．
练习 2 [游泳池的表面面积 ]
一个工程师正用 CAD（ computer-assisted desigen计
算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是
22 )10(
8 0 0
?? x
xy由曲线 xxy 45.0,2 ?? 以及 x=8围成
的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积．
解 解联立方程组
22
2
800
( 10 )
0,5 4
xy
x
y x x
? ?
? ?
?
? ???
得两条曲线的左交点 (0,0)，右交点的横坐标
2
22
800d [ ( 0, 5 4 ) ] d
( 1 0 )
xA x x x
x? ? ??
此游泳池的表面面积为
8 2
220
800[ ( 0, 5 4 ) ] d
( 1 0 )
xA x x x
x? ? ???
8
220
800 d
( 1 0 )
x x
x? ??
8 2
0 (0, 5 4 )dx x x???
8 2
220
400 d ( 1 0 )
( 1 0 ) xx????
8
32
0
1( 2 )
6 xx??
8
02
400
10x?? ?
8
32
0
1( 2 )
6 xx?? = 77.26（ m
２ ）
大于 8．于是，面积微元为
3.4.2 立体的体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积
二、旋转体的体积
三,进一步练习
设一立体位于平面 x=a,x=b（ a<b)如图所示,任意
一个垂直于 x轴的平面截此物体所得的截面面积为
一,平行截面面积为已知的立体的体积
A(x),A(x)是 [a,b]上的连续函数．该立体介于区间
之间的薄片的体积微元 dV.],[],[ badxxx ??
可用底面积 A(x),高为 dx
的柱形薄片的体积近似计算，
xxAV d)(d ?
从而体积微元为
将其在区间 [a,b]上积分，得到该立体的体积
?? ba xxAV d)(
二 旋转体的体积
(1) 平面图形绕 x轴旋转所成的立体的体积
由连续曲线 y=f (x)、直线 x=a、
x=b以及 x轴所围成的曲边梯形
绕 x轴旋转一周而成的旋转体，
如图所示．
它被任意一个垂直于 x轴的平面所截，得到的截面为
? ?2)()( xfxA ??以 f(x)为半径的圆，其面积为
故所求旋转体的体积为
2
( )d
b
aV f x x?? ?
(2) 绕 y轴旋转所成的立体的体积
y=d以及 y轴所围成的曲边梯形
绕 y轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
2
( ) d
d
cV y y??? ?
)( yx ??,直线 y=c、由连续曲线
练习 1 [喇叭体积 ]
三,进一步的练习
的图形绕 x轴旋转所成的旋转体，如图所示．
一喇叭可视为由曲线 直线 x=1以及 x轴所围成2yx?,
求此旋转体的体积．
解 在 [0,1]上任取一点 x，此旋转体的体积微元可近似
2)]([ xfy ??地视为以 f (x)为半径的圆为底（即以面积为
的圆为底）的柱体，从而体积微元为
22d ( ) dV x x??
所求旋转体的体积 V为
1 4
0 dV x x?? ?
1
5
0
1
5
x? ??? ??
??
?51?
练习 2 [机器底座的体积 ]
某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一
38 xy ??, 以及 x轴,y轴围成，象限的图形由 2?y
底座由此图形绕 y轴旋转一周而成，如图所示．
试求此底座的体积．
解
以及 y轴围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周所成的
所求体积为
此图形实为由曲线 3 8 yx ?? 与直线 y=2,y=0
旋转体．体积微元为
2
3d ( 8 ) dV y y???
? ?? 2 0 3
2 d)8( yyV ? 5
23
0
3 ( 8 )
5 y???
?
55
333 ( 8 6 )
5 ?? ? ?
?313.7
975.22?
3.4.3 平面曲线的弧长
一,弧长的计算
二,进一步练习
曲线 y=f(x)相应于 [a,b]上的任一微小区间
一、弧长的计算
的长度 ds来近似代替，
所以弧长微元 (即弧微分 )为
所求弧长为
的一小段弧的长度],[ dxxx ? s?,可以用 该
曲线在点（ x,f(x)）处的切线上相应的一小段
2 2 2d s ( d ) ( d ) 1 ( ) dx y f x x?? ? ? ?
2
1 ( ) d
b
as f x x????
练习 1[运动路程 ]
二,进一步的练习
（ t的单位,s； s的单位,m）．求它从时刻 t=0s到
解
已知一物体的运动规律为 c o s
s in
t
t
x e t
y e t
?
?
? ?
? ?
?
时刻 t=1s所移动的距离．
物体的运动规律由参数方程给出，随着时间 t的变
化，物体运动的轨迹是一条曲线．此问题事实上
是求该曲线从 t=0s到 t=1s的一段弧长．
由参数方程下弧长的计算公式，得
1 22
0 ( ) ( ) ds x y t?????
1 22
0 ( c o s s i n ) ( s i n c o s ) d
t t t te t e t e t e t t? ? ? ? ? ?? ? ? ??
12
01d
tet??? ? 12
01 ( )
te???
21 ( 1 ) 5, 6 6 5 ( m )e?? ? ? ?
练习 2 [悬链线长度 ]
悬链线，它表示的是一悬挂在空中的线缆的形状，
下图所示的函数为 )(
2
1 xx eey ???,这一函数称作
求此悬链线位于 x=-1和 x=1之间的长度．
由式弧长的计算公式，得解
1 2
1
11 ( ) d
4
xxl e e x?
?? ? ??
利用对称性，得
1 2
0
12 1 ( ) d
4
xxl e e x?? ? ??
1 2
0 ( ) d
xxe e x????
1
0 ( )d
xxe e x????
10()xxee ???
1( ) (1 1 )ee ?? ? ? ?
1ee???
3.4.4 变力沿直线所做的功
一、功的计算
二,进一步练习
由物理学知道, 物体受常力 F作用沿力的方向移动
一、功的计算
如果作直线运动的物体在运动过程中所受的力是变化
SFW ??
一段距离 S，则力 F对物体所作的功为
的，设物体所受的力与移动的位移 x之间满足 y=F(x)，
求此力将物体从 x=a移到 x=b所作的功．
变力在一微小段 ]d,[ xxx ? 上所作的功可视为常力
所以，总功为
所作的功，功的微元为 d ( ) dW F x x?,
( )dbaW F x x? ?
练习 1 [克服阻力所作的功 ]
二,进一步的练习
解
克服阻力所作的功,
一物体按规律 作直线运动，媒质的阻力3ctx ?
与速度的平方成正比，计算物体由 x=0 到 x=a 时,
由于媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例系数
为 k，于是媒质的阻力为
2 2 4( ) 9dxF k k c t
dt??
在 ],[ dxxx ? 上克服阻力所作的功 (功的微元 )为
2 2 4 3 3 6d ( ) d 9 d ( ) 2 7 ddxW k x k c t c t k c t t
dt? ? ?
当物体从 x=0 移动到 x=a 时,时间 t从 t=0到 13at
c
???
????
克服阻力所作的功为
1
3() 36
0
2 7 d
a
cW k c t t???
1
3()36
0
2 7 d
a
ck c t t?
1
3()
37
0
12 7 ( )
7
a
ck c t??
27
3327
7 k c a
3.4.5 压力
一、压力的计算
二,进一步练习
由物理学知道，在液体深为 h处的压强为 p=r h，这
里 r是液体的比重．如果有一面积为 A的平板水平地
放置在某液体深为 h处，平板一侧所受的液体的压力
为
一、压力的计算
P= p× A
如果平板铅直放置在水中，如
图所示，此时应如何计算平板
一侧所受的水的压力呢？
练习 1 [水闸门所受的压力 ]
二,进一步的练习
一矩形水闸门，宽 20m，高 16m，水面与闸门顶齐，
解
在 上闸门所受压力为]d,[ xxx ?
d 2 0 d 2 0 dd F p A r x x r x x? ? ? ?
求闸门上所受的总压力．
如图选取 x轴，
闸门上所受的总压力为
1 6 1 6
002 0 d 2 0 dF r x x r x x????
2 1 6
0
12 0 ( ) 2 5 6 0
2r x r??
当 1 0 0 0 9,8r ?? N / m3时，力
2 5 6 0 9 8 0 0F ??
7 2, 5 0 8 8 1 0?? (N)
3.4.6 引力
一、引力的计算
二,进一步练习
由物理学知道，质量分别为 m1,m2，相距为 r的两
一、引力的计算
2
21
r
mmkF ?
质点间的引力为
其中 k为引力系数，引力的方向沿着质点的连线方向．
练习 1[棒对质点的引力 ]
二、进一步的练习
设有一长度为 l，质量为 M的均匀细直棒，另有一
质量为 m的质点与细直棒在同一直线上，它到细直
棒的近端距离为 a．试计算该棒对质点的引力．
建立直角坐标系如图所示．解
使棒位于 x轴上，取 x为积
分变量，它的变化区间为
[0,l]
设 ]d,[ xxx ? 为 [0,l]上的任一小区间．把细直棒上
相应于 ]d,[ xxx ? 的一段近似地看成质点，其质量为
xlM d,于是引力微元为
2
d
d
()
Mk m x
lF
xa
??
?
?
该棒对质点的引力为
20 d()
l
Mm
lF k x
xa
?
?
?? xaxl
k m M l d
)(
1
0 2? ?
?
0
1 lkmM
l x a
????
????? )( ala
k m M
??
3.4.7 函数的平均值
一、案例
二、概念和公式的引出
三,进一步练习
设 C(t)(单位：度 /天 )为某城市第 t天的耗电量,t=0
一、案例 [耗电量 ]
365
0 ( )dC t t?
对应于 2001年 1月 1日，则 表示该城市前
365天的总耗电量,而
=前 365的日平均耗电量．
365
0
1 ( ) d
365 C t t?
=前 365天的总耗电量 /总天数
函数的平均值
二,概念和公式的引出
数 ? ??
??
b
a xxfaby d
1
表示连续曲线 y=f(x)在区间 [a,b]上的平均高度，
也就是函数 y=f(x)在区间 [a,b]
上的平均值，如图所示．
练习 1 [平均销售量 ]
三,进一步的练习
一家快餐连锁店在广告后第 t天的销售的快餐数量
解
求该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量．
为
该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量 S
0, 1( ) 2 0 1 0 tS t e ???
由下式给出：
7 0.1
0
1 ( 2 0 1 0 ) d
7
tet????S
77 0, 1
00
1 [ 2 0 d 1 0 d ]
7
tt e t?????
7 0, 1
0
1002 0 d ( 0,1 )
7
tet?? ? ??
0, 1 7
0
1002 0 ( )
7
te ???
1 2,8 0 8?
练习 3 [交流电的有效值 ]
电源的引线端的电压 u由关于时间 t（单位,s）的
表示最大电压的常数．其在 1s内电压的平均值是
不用平均电压，他们运用均方根电压，其定义为
0( ) c o s ( 1 2 0 )u t U t??
函数为 （单位：伏）,U0是
11
000( )d c o s ( 1 2 0 )d 0U u t t U t t?? ? ???
，但工程师们
2Uu? 的平均值,即 2
0
1 ( )dTU u t t
T? ?
．
求 U 为
0U 的函数．
解
注：在电常中定义交流电流 i(t)和电压 u(t)的有效值为
2
0
1 ( )dTU u t t
T? ?
1 22
00 c o s ( 1 2 0 )dU t t?? ?
1
0 0
1 c o s ( 2 4 0 ) d
2
tUt ??? ? 1
0 0
1 c o s ( 2 4 0 )[ ] d
22
tUt ????
1
0 0
1 1 1 c o s ( 2 4 0 )d ( 2 4 0 )
2 2 2 4 0U t t???? ? ? ?
1
00
11 [ s i n ( 2 4 0 ) ]
2 4 8 0Ut ????
0
2
U?
2
0
1 ( )dTU u t t
T? ?
2
0
1 ( )dTI i t t
T? ?
(T为周期 )
