本章将学习矩阵的基本知识以及利用矩阵求解线
性方程组。它属于线性代数的一部分，是进行网络
设计、电路分析的强有力的数学工具，也是利用计
算机进行数据处理与分析的数学基础，它不仅在经
济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的
最优化的科技应用软件 —— MATLAB就是以矩阵作
为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展
起来的被广泛应用的软件包。
内容简介
6.1 矩阵的概念与运算
6.1.1 矩阵的概念
6.1.2 矩阵的运算
6.1.1 矩阵的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
在物资调运中，某物资（如煤）有两个产地
（分别用 1,2表示），三个销售地,（分别用
1,2,3表示）,调运方案见下表：
1 2 3
1
2
销售地数量
产地
17 25 20
26 32 23
案例 1 [物资调运方案 ]
其中第 i(i=1,2)行第 j(j=1,2,3)列的数表示从第 i
解 这个调运方案可以简写成一个 2行 3列的数表
个产地运往第 j个销售地的运量。
三元线性方程组
将其未知量的系数与常数项
按照顺序组成一个矩形表
在实际问题的研究中，常用这种表达式表达各种某种状态或数量关系
案例 2 [线性方程 ]
由 m× n个数 aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成
m行 n列的数表
称为 m行 n列矩阵，简称为 m× n矩阵 。其中 aij表示矩阵
第 i行第 j列的 元素, i称为 aij的 行标, j称为 aij的 列标 。
二,概念和公式的引出
矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
或
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
通常用大写黑体字母 A,B,C,…,或 (aij),(bij),…
表示矩阵，有时为了标明矩阵的行数 m与列数 n，常记
作 Am× n或 (aij) m× n,
下面介绍几种特殊的矩阵,
(1) 方阵,当矩阵 A的行数与列数相等，即 m=n时，
矩阵 A称为 n阶方阵，记作 A或 An,A的左上角到右下
角称为主对角线，其元素 a11,a22,…,ann称为主对角线
元素（简称主对角元）．
如矩阵 31
24
????
???
就是一个 2阶方阵，其中元素 3,-4是主
对角元素．
(2) 零矩阵,元素都是零的矩阵，记作 0．
(3)行矩阵,只有一行的矩阵 ? ?
1 1 1 2 1 na a a
列矩阵,只有一列的矩阵
11
21
1m
a
a
a
??
??
??
??
??
??
(4)对角矩阵,除主对角元外，其他元素均为零的
方阵．为了方便，采用如下记号：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nna
a
a
A
?
22
11
(未注明的元素均为零 )．
如 30
04
??
????? 是一个对角矩阵．
(5) 单位矩阵,主对角线上的元素都是 1，其它元
素都是零的方阵，记作 I或 In，即
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
??
??
?
??
??
??
如 10
01
??
????
是一个 2阶单位矩阵．
(6) 上 （ 下 ） 三角矩阵,主对角线以下（上）的元
素全为零的方阵，即
形如 为 上三角矩阵 ；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???
?
?
00
0
222
11211
形如 为 下三角矩阵 ；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
aaa
aa
a
?
???
?
?
21
2221
11
0
00
三,进一步的练习
练习 1 [药品库存 ]
某仓库中维生素 C和维生素 E的库存量见下表
131518维生素 E
161922维生素 C
300片 /瓶200片 /瓶100片 /瓶数量
品种
它可用矩阵表示为
???
?
???
??
131518
161922A
练习 2 [产值表 ]
某企业生产 5种产品，各种产品的季度产值（单位：
万元）见下表
产品
季度
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
一 78 5 8 7 5 7 8 6 4
二 9 0 7 0 8 5 8 4 7 6
三 9 5 7 5 9 0 9 0 8 0
四 8 9 70 8 2 8 0 7 6
这个季度产值可排成一个 4行 5列的产值矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7680827089
8090907595
7684857090
6478755878
它具体描述了这家企业各种产品在各季度的产值，
同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长及年
产量等情况．
练习 3 [线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 ]
n元线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
?????????
?
?
2211
22222121
11212111
n元线性方程组的系数可以组成一个 m行 n列矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
21
22221
11211
（ 6.1.1）
称 A为线性方程组（ 6.1.1）的系数矩阵．由线性方
程组（ 6.1.1）的系数与常数项也可以组成一个行列
矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
?
????
?
?
21
222221
111211
组的系数矩阵和增广矩阵将用于研究线性方程组的
解．因此矩阵不仅广泛地应用于处理各种实际问题，
而且成为求解线性方程组的重要工具．
称 A 为线性方程组（ 6.1.1）的增广矩阵．线性方程
6.1.2 矩阵的运算
6.1.2.1 矩阵的相等
6.1.2.2 矩阵的加法
6.1.2.3 矩阵的数乘
6.1.2.4 矩阵与矩阵的相乘
6.1.2.5 矩阵的转置
6.1.2.1 矩阵的相等
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [受力分析 ]
作用在一静止物体上的力如图所示，我们将物体所
受的力沿水平方向和铅直方向进行分解，可以得到
如下关系：
水平方向：
垂直方向：
120, 9 8 0, 8 8 8, 0FF??
120, 2 2 0, 4 7 3, 5FF??
以上的等式能否用矩阵表示
呢？由矩阵的定义不难看出，
我们可以用矩阵表示为
12
12
0, 9 8 0, 8 8 8, 0
0, 2 2 0, 4 7 3, 5
FF
FF
??? ???
?? ??? ????
如果 A=(aij) m× n与 B=(bij) m× n都是 m行 n列
二,概念和公式的引出
矩阵相等
的矩阵，并且它们对应的元素相等，即
aij = bij（ i=1,2,…,m,j=1,2,…,n）
则称矩阵 A与矩阵 B相等,记作 A=B．
三,进一步的练习
练习 1 [矢量的合成与分解 ]
如图所示，已知两个速度 v1,v2的方向，其合速度为
v=71.8，显然，这两个速度在水平方向和铅直方向
的分解速度之和应该等于合速度在水平方向和铅直
方向的分解速度，即
0 0 0
12
0 0 0
12
c o s 3 5 c o s 5 1 7 1, 8 c o s 7 5
s in 3 5 s in 5 1 7 1, 8 s in 7 5
vv
vv
??
??
它可以用矩阵表示为
00 0
12
00 0
12
c o s 3 5 c o s 5 1 7 1, 8 c o s 7 5
s in 3 5 s in 5 1 7 1, 8 s in 7 5
vv
vv
?? ??? ?
?? ???
????
通过求解此矩阵，可以得到 v1,v2的大小．
练习 2 [线性方程组的矩阵表示 ]
n元线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
?????????
?
?
2211
22222121
11212111
可用矩阵相等表示为
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
6.1.2.2 矩阵的加法
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [药品库存总量 ]
如某药业公司有 A,B两个仓库，三种包装规格的维
生素 C和维生素 E的库存量分别如下：
A仓库两种药品的库存量为
100片 /瓶 200片 /瓶 300片 /瓶
维生素 C
维生素 E 4 1 3 1 2 83 6 2 9 3 2
用矩阵表示为
???
?
???
??
322936
283141A
同样,B仓库两种药品的库存量用矩阵表示为
该公司维生素 C和维生素 E的总库存量可以用矩阵表示为
上式右边的新矩阵是由矩阵 A与矩阵 B对应元素相加得到的,
???
?
???
??
112429
183526B
4 1 2 6 3 1 3 5 2 8 1 8
3 6 2 9 2 9 2 4 3 2 1 1
? ? ???
??? ? ???
???
?
???
??
435365
466667
两个 m× n矩阵 A=(aij ),B=( bij)的对应
二,概念和公式的引出
矩阵的加法
元素相加得到的新的 m× n矩阵
矩阵 C称为 矩阵 A与 B的和,记作 C=A+B．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
C
?
???
?
?
2211
2222222121
1112121111
矩阵的加法满足下列运算规律 （其中 A, B,C都是
m× n矩阵）
ABBA ???（ 1）
AA ?? 0（ 2）
)()( CBACBA ?????（ 3）
0)( ??? AA（ 4）
三,进一步的练习
练习 1 [调运方案 ]
设某种物资由 3个产地运往 4个销地，两次调运
方案分别见表 1和表 2．
第 1次调运方案（单位,t）表 1
销地
产地
S1 S2 S3 S4
甲 3 7 5 2
乙 0 2 1 4
丙 1 3 0 6
第 2次调运方案（单位,t）表 2
产地
销地
S1 S2 S3 S4
甲 1 0 1 2
乙 3 2 4 3
丙 0 1 5 2
若分别用 A,B两个矩阵表示各次调运量
3 7 5 2
0 2 1 4
3 0 61
??
??
??
??
A＝ B＝
01 1 2
3324
0512
??
??
??
??
则两次从各产地调运该物资到各销地的运量之和为
3 1 7 0 5 1 22
0 3 4 32 2 1 4
1 0 3 1 0 5 6 2
??? ? ? ?
??
????
? ? ? ???
A+B＝
7644
3 5 74
5814
??
??
?
??
??
练习 2 [库存清单 ]
矩阵 S给出了某家具商店二月份各种沙发、椅子
和餐桌的订货量，从生产车间运到商店的家具
有三种款式：古式、普通、现代，矩阵 T给出了
一月末仓库中家具数量的清单：
(1)矩阵 S中 10代表什么意思？
古式 普通 现代
2 0 1
1 0 2 4
2 4 6
S
??
???
??
??
沙发
椅子
餐桌
1 2 1 0 1 5
4 0 1 5 1 7
1 7 4 2 1 8
T
??
???
??
??
沙发
椅子
餐桌
古式 普通 现代
(2)计算 T-S，并解释其实际意义？
解 (1) S中的 10表示二月份古式椅子的订货量为 10张；
TS?
1 0 1 0 1 4
3 0 1 3 1 3
1 5 3 8 1 2
??
???
??
??
一月末库存量 —
二月销售量
(2)
它表示二月末仓库中各种家具的库存量．
6.1.2.3 矩阵的数乘
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [运输费用 ]
现将甲、乙两地的产品运销到三个不同的地区，已
知甲、乙两地到三个销地的距离为
???
?
???
??
1 1 3351 4 2
957088A
若每吨货物的运费为 2.4元 /km，那么甲、乙两地到
三个销地之间每吨货物的运费为
???
?
???
?
???
???
4.21 1 34.2354.21 4 2
4.2954.2704.288
???
?
???
??
2.271848.340
2281682.211
上式右边的新矩阵是由一个数乘以矩阵的所有元素得到的,
运费 =路程 ×
每公里的运费
数 k乘以矩阵 A=(aij )的每一个元素得到的
二,概念和公式的引出
矩阵的数乘
新矩阵
矩阵 C称为 矩阵 A与数 k的乘积,记作 C=kA．
? ? ?? ? nmijcC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
kakaka
kakaka
kakaka
?
???
?
?
21
22221
11211
数与矩阵的乘法满足下列运算规律 （ 其中 A, B 都是
m× n矩阵, k,l是实数 ）
kBkABAk ??? )(（ 1）
lAkAAlk ??? )(（ 2）
)()( lAkAkl ?（ 3）
三,进一步的练习
练习 1 [房屋开发计划 ]
一房屋开发商在开发一小区时设计了 A,B,C、
D共 4种不同类型的房屋．每种类型的车库又有
三种设计：没有车库，一个车库，两个车
库．各种户型的数量如下：
A B C D
无车库
一间车库
两间车库
8 6 0 0
5 4 3 0
0 3 5 6
如果开发商另有两个与之同样的开发计划，请用矩阵
的运算给出开发商将开发的各种户型的总量．
解 房屋开发商正要开发的一个小区的户型可用矩阵
表示为 8 6 0 0
5 4 3 0
0 3 5 6
A
??
???
??
??
因为该开发商还有两个与之一样的开发计划，所以该
开发商将开发的各种房屋的总量可用矩阵表示为
8 6 0 0
3 3 5 4 3 0
0 3 5 6
BA
??
????
??
??
2 4 1 8 0 0
1 5 1 2 9 0
0 9 1 5 1 8
??
???
??
??
练习 2 [库存量 ]
若甲仓库的三类商品 4种型号
的库存件数用矩阵 A表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3252
7843
5121
A
乙仓库的三类商品 4种型号
的库存件数用矩阵 B表示为 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4534
3312
1253
B
已知甲仓库每件商品的保管费为 3（元 /件），乙仓
库每件商品的保管费为 2（元 /件），求甲、乙两仓
库同类且同一种型号商品的保管费之和．
解 甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和
由矩阵 F表示为
BAF 23 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3252
7843
5121
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4534
3312
1253
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
96156
2124129
15363
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
81068
6624
24106
9 1 6 7 1 7
1 3 1 4 3 0 2 7
1 4 2 1 1 6 1 7
??
???
??
6.1.2.4 矩阵的相等与矩阵的相等
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [奶粉销售 ]
设有两家连锁超市出售三种奶粉，某日销量（单位：
包）见表 1，每种奶粉的单价和利润见表 2
货类
超市 奶粉 Ⅰ 奶粉 Ⅱ 奶粉 Ⅲ
甲 5 8 10
乙 7 5 6
表 1
奶粉 Ⅰ 数量 × 单价 +
奶粉 II数量 × 单价 +
奶粉 III数量 × 单价
单位：元 单价 利润
奶粉 Ⅰ 15 3
奶粉 Ⅱ 12
奶粉 Ⅲ 20 4
2
表 2
求各超市出售奶粉的总收入和总利润．
解 先列表分析：
单位：元 总收入（元） 总利润 (元 )
超市甲 5× 15+8× 12+10× 20 5× 3+8× 2+10× 4
超市乙 7× 15+5× 12+6× 20 7× 3+5× 2＋ 6× 4
解 设 5 8 1 0
7 5 6A
???
????
15 3
12 2
20 4
B
??
???
??
??
??
C为各超市出售奶粉的总收入和总利润，则
5 1 5 8 1 2 1 0 2 0 5 3 8 2 1 0 4 3 7 1 7 1
7 1 5 5 1 2 6 2 0 7 3 5 2 6 4 2 8 5 5 5C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
矩阵 C中第 1行第 1列的元素等于矩阵 A的第 1行元素与
矩阵 B的第 1列对应元素相乘之和，一般地，矩阵 C中
第 i行第 j列的元素等于矩阵 A的第 i行元素与矩阵 B的第
j列元素对应乘积之和．
设矩阵 A=(aij )m× l的列数与矩阵
二,概念和公式的引出
矩阵与矩阵的相乘
B=(bij )l× n的行数相同, 则由元素
构成的 m× n矩阵
ljiljijiij bababac ???? ?2211
），，，，，，，（ njmi ?? 2121 ??
nmijcC ?? )(
称为 矩阵 A与 B的乘积,记作 C=AB．
由矩阵与矩阵相乘的定义可知：
(1) 矩阵 A的列数必须等于矩阵 B的行数，矩阵 A与矩阵
B才能相乘；
(2) 矩阵 C的行数等于矩阵 A的行数，矩阵 C的列数等
于矩阵 B的列数；
(3) 矩阵 C中第 i行第 j列的元素等于矩阵 A的第 i行元素
与矩阵 B的第 j列元素对应乘积之和，即
ljiljijiij bababac ???? ?2211
矩阵乘法满足以下运算规律：
(1) 结合律
(2) 数乘结合律
(3) 分配律
)()( BCACAB ?
)()()( kBABkAABk ??
BCACCBA ??? )(
CABAACB ??? )(
三,进一步的练习
练习 1 [商场税收 ]
若用矩阵表示某商场的两个分场两类商品的营业
额；用矩阵表示两种商品的国税率、地税率，即
设
???
?
???
??
2221
1211
aa
aa
A 二一 ??
?
?
???
??
2221
1211
bb
bbB
家电
服装
求各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额？
家电 服装 国税率 地税率
分析：一分场向国家财政上交的国税额
= 一分场家电应上交的国税额 +一分场服装应上交
的国税额
= 一分场家电的营业额家电的国税率 +一分场服装
的营业额服装的国税率，
解
同理，得各分场应该向国家财政和地方财政上交
的税额为
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2
2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2
a b a b a b a b
C A B
a b a b a b a b
????
?? ??
??二
一
国税 地税
练习 2 [电子运动 ]
在研究电子的运动时，常用到矩阵 0
0y
iS
i
????
????
这里 1i ??,试验证,2
ySI?
解
2 0
0y
iS
i
????
????
0
0
i
i
???
????
10
01 I
????
????
0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0
0 0 ( ) 0 0
i i i i
i i i i
? ? ? ? ? ? ? ? ???
??? ? ? ? ? ? ???
?
6.1.2.5 矩阵的转置
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [汽车销售利润 ]
某一汽车销售公司有甲、乙两个销售部，矩阵 S给
出了两个汽车销售部的三种汽车销量，矩阵 P给出
了三种车的销售利润,
甲 乙
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2016
1724
1518
S
大型
中型
小型 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
900
650
400
P
大型
中型
小型
下面分析这两个销售部的利润．这里 P是 3行 1列矩
阵,S是 3行 2列矩阵，显然 PS不成立（因为 P的列数
不等于 S的行数）．但若将 P的行与列互换，变成矩
阵 C=(400 650 900)，这样 C是 1× 3矩阵,S是 3× 2
矩阵,CS有意义，其乘积矩阵为 CS=(37200 35050)，
它表示两个汽车销售部的销售利润．
这里矩阵 C是将矩阵 P的行与列进行了互换,
把 m× n矩阵 A的行与列互换得到的
二,概念和公式的引出
矩阵的转置
，则
n× m矩阵，称为矩阵 A的 转置矩阵,记作 A’或 AT．
如果
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
21
22221
11211 1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
m
m
n n m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
? ?
??
??
矩阵转置满足以下运算规律：
(1) (2)
(3) (4)
()AA??? ()A B A B? ? ?? ? ?
()k A k A??? ()A B B A? ? ??
三,进一步的练习
练习 1 [生产安排 ]
一工厂生产三种型号的机器零件，每天的产量由
矩阵 A给出，生产各种型号单位产品所需要的材
料和工作时间由矩阵 B给出，请用矩阵的运算给
出该厂生产所有机器零件所需要的总材料和总工
作时间．
40
50
80
X
AY
Z
??
???
??
??
??
型
型
型 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
23
25
14
B
X
Y
Z
型
型
型
材料 工作时间
解 该厂生产所有机器零件所需要的总材料和总工作
时间为
??BA ? ?4 0 5 0 8 0
41
52
32
??
??
??
??
??
? ?1 6 0 2 5 0 2 4 0 4 0 1 0 0 1 6 0? ? ? ? ?
? ?6 5 0 3 0 0?
性方程组。它属于线性代数的一部分，是进行网络
设计、电路分析的强有力的数学工具，也是利用计
算机进行数据处理与分析的数学基础，它不仅在经
济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的
最优化的科技应用软件 —— MATLAB就是以矩阵作
为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展
起来的被广泛应用的软件包。
内容简介
6.1 矩阵的概念与运算
6.1.1 矩阵的概念
6.1.2 矩阵的运算
6.1.1 矩阵的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
在物资调运中，某物资（如煤）有两个产地
（分别用 1,2表示），三个销售地,（分别用
1,2,3表示）,调运方案见下表：
1 2 3
1
2
销售地数量
产地
17 25 20
26 32 23
案例 1 [物资调运方案 ]
其中第 i(i=1,2)行第 j(j=1,2,3)列的数表示从第 i
解 这个调运方案可以简写成一个 2行 3列的数表
个产地运往第 j个销售地的运量。
三元线性方程组
将其未知量的系数与常数项
按照顺序组成一个矩形表
在实际问题的研究中，常用这种表达式表达各种某种状态或数量关系
案例 2 [线性方程 ]
由 m× n个数 aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成
m行 n列的数表
称为 m行 n列矩阵，简称为 m× n矩阵 。其中 aij表示矩阵
第 i行第 j列的 元素, i称为 aij的 行标, j称为 aij的 列标 。
二,概念和公式的引出
矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
或
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
通常用大写黑体字母 A,B,C,…,或 (aij),(bij),…
表示矩阵，有时为了标明矩阵的行数 m与列数 n，常记
作 Am× n或 (aij) m× n,
下面介绍几种特殊的矩阵,
(1) 方阵,当矩阵 A的行数与列数相等，即 m=n时，
矩阵 A称为 n阶方阵，记作 A或 An,A的左上角到右下
角称为主对角线，其元素 a11,a22,…,ann称为主对角线
元素（简称主对角元）．
如矩阵 31
24
????
???
就是一个 2阶方阵，其中元素 3,-4是主
对角元素．
(2) 零矩阵,元素都是零的矩阵，记作 0．
(3)行矩阵,只有一行的矩阵 ? ?
1 1 1 2 1 na a a
列矩阵,只有一列的矩阵
11
21
1m
a
a
a
??
??
??
??
??
??
(4)对角矩阵,除主对角元外，其他元素均为零的
方阵．为了方便，采用如下记号：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nna
a
a
A
?
22
11
(未注明的元素均为零 )．
如 30
04
??
????? 是一个对角矩阵．
(5) 单位矩阵,主对角线上的元素都是 1，其它元
素都是零的方阵，记作 I或 In，即
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
??
??
?
??
??
??
如 10
01
??
????
是一个 2阶单位矩阵．
(6) 上 （ 下 ） 三角矩阵,主对角线以下（上）的元
素全为零的方阵，即
形如 为 上三角矩阵 ；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???
?
?
00
0
222
11211
形如 为 下三角矩阵 ；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
aaa
aa
a
?
???
?
?
21
2221
11
0
00
三,进一步的练习
练习 1 [药品库存 ]
某仓库中维生素 C和维生素 E的库存量见下表
131518维生素 E
161922维生素 C
300片 /瓶200片 /瓶100片 /瓶数量
品种
它可用矩阵表示为
???
?
???
??
131518
161922A
练习 2 [产值表 ]
某企业生产 5种产品，各种产品的季度产值（单位：
万元）见下表
产品
季度
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
一 78 5 8 7 5 7 8 6 4
二 9 0 7 0 8 5 8 4 7 6
三 9 5 7 5 9 0 9 0 8 0
四 8 9 70 8 2 8 0 7 6
这个季度产值可排成一个 4行 5列的产值矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7680827089
8090907595
7684857090
6478755878
它具体描述了这家企业各种产品在各季度的产值，
同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长及年
产量等情况．
练习 3 [线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 ]
n元线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
?????????
?
?
2211
22222121
11212111
n元线性方程组的系数可以组成一个 m行 n列矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
21
22221
11211
（ 6.1.1）
称 A为线性方程组（ 6.1.1）的系数矩阵．由线性方
程组（ 6.1.1）的系数与常数项也可以组成一个行列
矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
?
????
?
?
21
222221
111211
组的系数矩阵和增广矩阵将用于研究线性方程组的
解．因此矩阵不仅广泛地应用于处理各种实际问题，
而且成为求解线性方程组的重要工具．
称 A 为线性方程组（ 6.1.1）的增广矩阵．线性方程
6.1.2 矩阵的运算
6.1.2.1 矩阵的相等
6.1.2.2 矩阵的加法
6.1.2.3 矩阵的数乘
6.1.2.4 矩阵与矩阵的相乘
6.1.2.5 矩阵的转置
6.1.2.1 矩阵的相等
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [受力分析 ]
作用在一静止物体上的力如图所示，我们将物体所
受的力沿水平方向和铅直方向进行分解，可以得到
如下关系：
水平方向：
垂直方向：
120, 9 8 0, 8 8 8, 0FF??
120, 2 2 0, 4 7 3, 5FF??
以上的等式能否用矩阵表示
呢？由矩阵的定义不难看出，
我们可以用矩阵表示为
12
12
0, 9 8 0, 8 8 8, 0
0, 2 2 0, 4 7 3, 5
FF
FF
??? ???
?? ??? ????
如果 A=(aij) m× n与 B=(bij) m× n都是 m行 n列
二,概念和公式的引出
矩阵相等
的矩阵，并且它们对应的元素相等，即
aij = bij（ i=1,2,…,m,j=1,2,…,n）
则称矩阵 A与矩阵 B相等,记作 A=B．
三,进一步的练习
练习 1 [矢量的合成与分解 ]
如图所示，已知两个速度 v1,v2的方向，其合速度为
v=71.8，显然，这两个速度在水平方向和铅直方向
的分解速度之和应该等于合速度在水平方向和铅直
方向的分解速度，即
0 0 0
12
0 0 0
12
c o s 3 5 c o s 5 1 7 1, 8 c o s 7 5
s in 3 5 s in 5 1 7 1, 8 s in 7 5
vv
vv
??
??
它可以用矩阵表示为
00 0
12
00 0
12
c o s 3 5 c o s 5 1 7 1, 8 c o s 7 5
s in 3 5 s in 5 1 7 1, 8 s in 7 5
vv
vv
?? ??? ?
?? ???
????
通过求解此矩阵，可以得到 v1,v2的大小．
练习 2 [线性方程组的矩阵表示 ]
n元线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
?????????
?
?
2211
22222121
11212111
可用矩阵相等表示为
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
6.1.2.2 矩阵的加法
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [药品库存总量 ]
如某药业公司有 A,B两个仓库，三种包装规格的维
生素 C和维生素 E的库存量分别如下：
A仓库两种药品的库存量为
100片 /瓶 200片 /瓶 300片 /瓶
维生素 C
维生素 E 4 1 3 1 2 83 6 2 9 3 2
用矩阵表示为
???
?
???
??
322936
283141A
同样,B仓库两种药品的库存量用矩阵表示为
该公司维生素 C和维生素 E的总库存量可以用矩阵表示为
上式右边的新矩阵是由矩阵 A与矩阵 B对应元素相加得到的,
???
?
???
??
112429
183526B
4 1 2 6 3 1 3 5 2 8 1 8
3 6 2 9 2 9 2 4 3 2 1 1
? ? ???
??? ? ???
???
?
???
??
435365
466667
两个 m× n矩阵 A=(aij ),B=( bij)的对应
二,概念和公式的引出
矩阵的加法
元素相加得到的新的 m× n矩阵
矩阵 C称为 矩阵 A与 B的和,记作 C=A+B．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
C
?
???
?
?
2211
2222222121
1112121111
矩阵的加法满足下列运算规律 （其中 A, B,C都是
m× n矩阵）
ABBA ???（ 1）
AA ?? 0（ 2）
)()( CBACBA ?????（ 3）
0)( ??? AA（ 4）
三,进一步的练习
练习 1 [调运方案 ]
设某种物资由 3个产地运往 4个销地，两次调运
方案分别见表 1和表 2．
第 1次调运方案（单位,t）表 1
销地
产地
S1 S2 S3 S4
甲 3 7 5 2
乙 0 2 1 4
丙 1 3 0 6
第 2次调运方案（单位,t）表 2
产地
销地
S1 S2 S3 S4
甲 1 0 1 2
乙 3 2 4 3
丙 0 1 5 2
若分别用 A,B两个矩阵表示各次调运量
3 7 5 2
0 2 1 4
3 0 61
??
??
??
??
A＝ B＝
01 1 2
3324
0512
??
??
??
??
则两次从各产地调运该物资到各销地的运量之和为
3 1 7 0 5 1 22
0 3 4 32 2 1 4
1 0 3 1 0 5 6 2
??? ? ? ?
??
????
? ? ? ???
A+B＝
7644
3 5 74
5814
??
??
?
??
??
练习 2 [库存清单 ]
矩阵 S给出了某家具商店二月份各种沙发、椅子
和餐桌的订货量，从生产车间运到商店的家具
有三种款式：古式、普通、现代，矩阵 T给出了
一月末仓库中家具数量的清单：
(1)矩阵 S中 10代表什么意思？
古式 普通 现代
2 0 1
1 0 2 4
2 4 6
S
??
???
??
??
沙发
椅子
餐桌
1 2 1 0 1 5
4 0 1 5 1 7
1 7 4 2 1 8
T
??
???
??
??
沙发
椅子
餐桌
古式 普通 现代
(2)计算 T-S，并解释其实际意义？
解 (1) S中的 10表示二月份古式椅子的订货量为 10张；
TS?
1 0 1 0 1 4
3 0 1 3 1 3
1 5 3 8 1 2
??
???
??
??
一月末库存量 —
二月销售量
(2)
它表示二月末仓库中各种家具的库存量．
6.1.2.3 矩阵的数乘
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [运输费用 ]
现将甲、乙两地的产品运销到三个不同的地区，已
知甲、乙两地到三个销地的距离为
???
?
???
??
1 1 3351 4 2
957088A
若每吨货物的运费为 2.4元 /km，那么甲、乙两地到
三个销地之间每吨货物的运费为
???
?
???
?
???
???
4.21 1 34.2354.21 4 2
4.2954.2704.288
???
?
???
??
2.271848.340
2281682.211
上式右边的新矩阵是由一个数乘以矩阵的所有元素得到的,
运费 =路程 ×
每公里的运费
数 k乘以矩阵 A=(aij )的每一个元素得到的
二,概念和公式的引出
矩阵的数乘
新矩阵
矩阵 C称为 矩阵 A与数 k的乘积,记作 C=kA．
? ? ?? ? nmijcC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
kakaka
kakaka
kakaka
?
???
?
?
21
22221
11211
数与矩阵的乘法满足下列运算规律 （ 其中 A, B 都是
m× n矩阵, k,l是实数 ）
kBkABAk ??? )(（ 1）
lAkAAlk ??? )(（ 2）
)()( lAkAkl ?（ 3）
三,进一步的练习
练习 1 [房屋开发计划 ]
一房屋开发商在开发一小区时设计了 A,B,C、
D共 4种不同类型的房屋．每种类型的车库又有
三种设计：没有车库，一个车库，两个车
库．各种户型的数量如下：
A B C D
无车库
一间车库
两间车库
8 6 0 0
5 4 3 0
0 3 5 6
如果开发商另有两个与之同样的开发计划，请用矩阵
的运算给出开发商将开发的各种户型的总量．
解 房屋开发商正要开发的一个小区的户型可用矩阵
表示为 8 6 0 0
5 4 3 0
0 3 5 6
A
??
???
??
??
因为该开发商还有两个与之一样的开发计划，所以该
开发商将开发的各种房屋的总量可用矩阵表示为
8 6 0 0
3 3 5 4 3 0
0 3 5 6
BA
??
????
??
??
2 4 1 8 0 0
1 5 1 2 9 0
0 9 1 5 1 8
??
???
??
??
练习 2 [库存量 ]
若甲仓库的三类商品 4种型号
的库存件数用矩阵 A表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3252
7843
5121
A
乙仓库的三类商品 4种型号
的库存件数用矩阵 B表示为 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4534
3312
1253
B
已知甲仓库每件商品的保管费为 3（元 /件），乙仓
库每件商品的保管费为 2（元 /件），求甲、乙两仓
库同类且同一种型号商品的保管费之和．
解 甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和
由矩阵 F表示为
BAF 23 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3252
7843
5121
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4534
3312
1253
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
96156
2124129
15363
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
81068
6624
24106
9 1 6 7 1 7
1 3 1 4 3 0 2 7
1 4 2 1 1 6 1 7
??
???
??
6.1.2.4 矩阵的相等与矩阵的相等
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [奶粉销售 ]
设有两家连锁超市出售三种奶粉，某日销量（单位：
包）见表 1，每种奶粉的单价和利润见表 2
货类
超市 奶粉 Ⅰ 奶粉 Ⅱ 奶粉 Ⅲ
甲 5 8 10
乙 7 5 6
表 1
奶粉 Ⅰ 数量 × 单价 +
奶粉 II数量 × 单价 +
奶粉 III数量 × 单价
单位：元 单价 利润
奶粉 Ⅰ 15 3
奶粉 Ⅱ 12
奶粉 Ⅲ 20 4
2
表 2
求各超市出售奶粉的总收入和总利润．
解 先列表分析：
单位：元 总收入（元） 总利润 (元 )
超市甲 5× 15+8× 12+10× 20 5× 3+8× 2+10× 4
超市乙 7× 15+5× 12+6× 20 7× 3+5× 2＋ 6× 4
解 设 5 8 1 0
7 5 6A
???
????
15 3
12 2
20 4
B
??
???
??
??
??
C为各超市出售奶粉的总收入和总利润，则
5 1 5 8 1 2 1 0 2 0 5 3 8 2 1 0 4 3 7 1 7 1
7 1 5 5 1 2 6 2 0 7 3 5 2 6 4 2 8 5 5 5C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
矩阵 C中第 1行第 1列的元素等于矩阵 A的第 1行元素与
矩阵 B的第 1列对应元素相乘之和，一般地，矩阵 C中
第 i行第 j列的元素等于矩阵 A的第 i行元素与矩阵 B的第
j列元素对应乘积之和．
设矩阵 A=(aij )m× l的列数与矩阵
二,概念和公式的引出
矩阵与矩阵的相乘
B=(bij )l× n的行数相同, 则由元素
构成的 m× n矩阵
ljiljijiij bababac ???? ?2211
），，，，，，，（ njmi ?? 2121 ??
nmijcC ?? )(
称为 矩阵 A与 B的乘积,记作 C=AB．
由矩阵与矩阵相乘的定义可知：
(1) 矩阵 A的列数必须等于矩阵 B的行数，矩阵 A与矩阵
B才能相乘；
(2) 矩阵 C的行数等于矩阵 A的行数，矩阵 C的列数等
于矩阵 B的列数；
(3) 矩阵 C中第 i行第 j列的元素等于矩阵 A的第 i行元素
与矩阵 B的第 j列元素对应乘积之和，即
ljiljijiij bababac ???? ?2211
矩阵乘法满足以下运算规律：
(1) 结合律
(2) 数乘结合律
(3) 分配律
)()( BCACAB ?
)()()( kBABkAABk ??
BCACCBA ??? )(
CABAACB ??? )(
三,进一步的练习
练习 1 [商场税收 ]
若用矩阵表示某商场的两个分场两类商品的营业
额；用矩阵表示两种商品的国税率、地税率，即
设
???
?
???
??
2221
1211
aa
aa
A 二一 ??
?
?
???
??
2221
1211
bb
bbB
家电
服装
求各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额？
家电 服装 国税率 地税率
分析：一分场向国家财政上交的国税额
= 一分场家电应上交的国税额 +一分场服装应上交
的国税额
= 一分场家电的营业额家电的国税率 +一分场服装
的营业额服装的国税率，
解
同理，得各分场应该向国家财政和地方财政上交
的税额为
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2
2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2
a b a b a b a b
C A B
a b a b a b a b
????
?? ??
??二
一
国税 地税
练习 2 [电子运动 ]
在研究电子的运动时，常用到矩阵 0
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这里 1i ??,试验证,2
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解
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6.1.2.5 矩阵的转置
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [汽车销售利润 ]
某一汽车销售公司有甲、乙两个销售部，矩阵 S给
出了两个汽车销售部的三种汽车销量，矩阵 P给出
了三种车的销售利润,
甲 乙
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2016
1724
1518
S
大型
中型
小型 ?
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900
650
400
P
大型
中型
小型
下面分析这两个销售部的利润．这里 P是 3行 1列矩
阵,S是 3行 2列矩阵，显然 PS不成立（因为 P的列数
不等于 S的行数）．但若将 P的行与列互换，变成矩
阵 C=(400 650 900)，这样 C是 1× 3矩阵,S是 3× 2
矩阵,CS有意义，其乘积矩阵为 CS=(37200 35050)，
它表示两个汽车销售部的销售利润．
这里矩阵 C是将矩阵 P的行与列进行了互换,
把 m× n矩阵 A的行与列互换得到的
二,概念和公式的引出
矩阵的转置
，则
n× m矩阵，称为矩阵 A的 转置矩阵,记作 A’或 AT．
如果
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n
n
aaa
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21
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11211 1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
m
m
n n m n
a a a
a a a
A
a a a
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矩阵转置满足以下运算规律：
(1) (2)
(3) (4)
()AA??? ()A B A B? ? ?? ? ?
()k A k A??? ()A B B A? ? ??
三,进一步的练习
练习 1 [生产安排 ]
一工厂生产三种型号的机器零件，每天的产量由
矩阵 A给出，生产各种型号单位产品所需要的材
料和工作时间由矩阵 B给出，请用矩阵的运算给
出该厂生产所有机器零件所需要的总材料和总工
作时间．
40
50
80
X
AY
Z
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型
型
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23
25
14
B
X
Y
Z
型
型
型
材料 工作时间
解 该厂生产所有机器零件所需要的总材料和总工作
时间为
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41
52
32
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