6.3 用初等变换求解线性方程组
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [产品数量 ]
一工厂有 1000h用于生产、维修和检
验．各工序的工作时间分别为 P,M,I，且
满足,P+M+I=1000,P=I-100,P+I=M+100，
求各工序所用时间分别为多少？
该方程组的增广矩阵为
解 由题意得
1000
100
100
P M I
PI
P M I
? ? ??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
1 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
A
??
??? ? ?
???
??
下面将求解该方程组转化为对增广矩阵化简
1 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
A
??
??? ? ?
???
12
1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 0
rr?
????
??????
???
21
31
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 0 0
rr
rr
?
?
????
??????
???
32
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0 0
0 4 1 3 0 0
rr?
????
??????
??
它的任一行的第一个非零元素所在的列中, 这
个非零元素下方的元素全为零, 这样的矩阵称
为 阶梯形矩阵,
上式最后一个矩阵
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0 0
0 0 4 1 3 0 0
????
??
??
的特点是：
下面用初等行变换继续化简矩阵,
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0 0
0 0 4 1 3 0 0
????
??
??
??
3
1
4
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0 0
0 0 1 3 2 5
r?
????
??????
??
??
13
232
1 0 0 2 2 5
0 1 0 4 5 0
0 0 1 3 2 5
rr
rr
?
??
??
??????
??
??
最后一个矩阵的特点是：每行的第一个非零元素为 1，
它所在列的其它元素全为 0,这样的矩阵称为 行简化
矩阵,写出它所对应的方程组的解为
2 2 5,4 5 0,3 2 5P M I? ? ?
对给定的 m× n矩阵, 在矩阵经过初等
变换得到的阶梯矩阵中, 非零元素的行数 r,称为
二,概念和公式的引出
矩阵的秩
矩阵的 秩,记作 R（ A） = r,
线性方程组有解的判定定理
线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
有解的充分必要条件是 ? ? ? ?ARAR ?
(1)当 ? ? ? ? nARAR ?? 时，方程组有唯一解；
(2)当 ? ? ? ? nARAR ?? 时，方程组有无穷多组解．
(3)当 ? ? ? ?
ARAR ? 时，线性方程组无解．
称为线性方程组 (6.2.1)的 增广矩阵,即)( BAA ?
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
b
b
b
B
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A
?
?
???
?
?
2
1
21
22221
11211
特别地，对于齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
21
22221
11211
?
?
???
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
显然,)()( ARAR ?,总有解（至少有零解）．
齐次线性方程组（ 6.3.2）总有解，
齐次线性方程组有解的判定定理
(1)当 ? ? ? ?
nARAR ?? 时，方程组有零解；
(2)当 ? ? ? ? nARAR ?? 时，则方程组有无穷多组非零解．
（有 n-r个自由变量）．
综上所述，线性方程组解的情况用可用下表表示．
一般地，求解线性方程组可以按以下步骤进行：
(1)施行初等行变换将 ? ? ? ?ARAR 与A 化成阶梯形矩阵，根据
是否相等，判断出方程组是否有解；
(2)如果有解，用初等行变换将阶梯形矩阵进一步简化为
行简化矩阵，写出方程组的解．
( ) ( )R A R A n??
( ) ( )R A R A n??
( ) ( )R A R A?
方程组
秩的关系
非齐次线性
方程组
齐次线性方程
组
有无穷多组
解
有无穷多组非
零解
只有唯一组
解
只有零解
无解 ////
三,进一步的练习
练习 1 [打印行数 ]
有三台打印机同时工作，一分钟共打印 1580行字，
如果第一台打印机工作 2分钟，第二台打印机工作
3分钟，共打印 2740行字，如果第一台打印机工作
1分钟，第二台打印机工作 2分钟，第三台打印机
工作 3分钟，共可打印 3280行字．问：每台打印机
每分钟可打印多少行字？
解 设第 i台打印机一分钟打印 xi行字（ i=1,2,3），
由题意得
1 2 3
23
1 2 3
1580
2 3 2 7 4 0
2 3 3 2 8 0
x x x
xx
x x x
? ? ??
?
???
? ? ? ?
?
该方程组的增广矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3280321
2740320
1580111
A
将该方程组的求解转化为对增广矩阵化简
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3280321
2740320
1580111
A 31
1 1 1 1 5 8 0
0 2 3 2 7 4 0
0 1 2 1 7 0 0
rr?
??
??????
????
23
1 1 1 1 5 8 0
0 1 2 1 7 0 0
0 2 3 2 7 4 0
rr?
??
??????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ?? ??
660100
1700210
1580111
23 2 rr
232
1 1 0 9 2 0
0 1 0 3 8 0
0 0 1 6 6 0
rr??
??
??????
????
12
1 0 0 5 4 0
0 1 0 3 8 0
0 0 1 6 6 0
rr?
??
??????
????
3
1 0 0 5 4 0
0 1 0 3 8 0
0 0 1 6 6 0
r?
??
?????
????
因此，三台打印机每分钟可打
印的行数分别为 540行,380行，
660行．
练习 2 [T衫销售量 ] 一百货商店出售四种型号的 T衫：
小号、中号、大号和加大号．四种型号的 T衫的售价
分别为,22(元 ),24(元 ),26(元 ),30(元 )．若
商店某周共售出了 13件 T衫，毛收入为 320元．并已知
的销售收入 (毛收入 )也为小号和加大号销售收入
(毛收入 )的总和．问各种型号的 T衫各售出多少件？
大号的销售量为小号和加大号销售量的总和，大号
解：
设该 T衫小号、中号、大号和加大号的销售量分别
1 1 1 1 1 3
2 2 2 4 2 6 3 0 3 2 0
1 0 1 1 0
2 2 0 2 6 3 0 0
A
??
??
?
?
??
???
23
1 1 1 1 1 3
0 1 2 0 1 3
0 2 4 8 3 4
0 2 2 4 8 8 2 8 6
rr?
??
??? ? ?
????
??
? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
??
??
????
????
413
413
4321
4321
302226
3 2 030262422
13
xxx
xxx
xxxx
xxxx
为 xi(i=1,2,3,4),由题意得
21
31
41
22
22
1 1 1 1 1 3
0 2 4 8 3 4
0 1 2 0 1 3
0 2 2 4 8 8 2 8 6
rr
rr
rr
??
?
??
??
??
?????
? ? ?
??
? ? ???
32
42
2
22
1 1 1 1 1 3
0 1 2 0 1 3
0 0 0 8 8
0 0 4 8 0
rr
rr
??
??
??
??? ? ?
?????
??
???
因此小号、中号、大号和加大号 T衫的销售量分别为
34
1 1 1 1 1 3
0 1 2 0 1 3
0 0 4 8 0
0 0 0 8 8
rr?
??
??? ? ?
????
???
??
2
3
4
1
4
1
8
1 1 1 1 13
0 1 2 0 13
0 0 1 2 0
0 0 0 1 1
r
r
r
?
?
??
??
????
???
??
34
14
2
1 1 1 0 12
0 1 2 0 13
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
rr
rr
?
?
??
??
????
??
??
12
1 0 0 0 1
0 1 0 0 9
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
rr?
??
??
????
??
??
??
1件,9件,2件和 1件．
23
13
2
1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 9
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
rr
rr
?
?
??
??
????
??
??
练习 3 [电路分析 ]
0???? DCBA IIII
求各个部分的电流强度 (单位,A)．
在如下图所示的电路中应用基尔霍夫 (kerchhoff)
定律，得到如下的方程，
1ABII? ? ?
2 2 2CDII? ? ?
26BCII??
解 题中的电路方程可表示为增广矩阵
01 1 1 1
001 1 1
00 2 2 2
0 0 612
??
??
??
????
? ? ?
21
01 1 1 1
0 2 1 1 1
00 2 2 2
0 0 612
rr
??
??
? ? ? ??
?? ??
? ? ?
24rr?
01 1 1 1
0 0 612
00 2 2 2
0 2 1 1 1
??
??
?
????
? ? ? ? ? ?
42
12
0 3 611
2 0 0 612
00 2 2 2
0 0 5 1 1 1
rr
rr
?? ?
???
?
??? ??
?? ? ?
3
0 3 611
1 0 0 612
2 00 1 1 1
0 0 5 1 1 1
r
?? ?
??
?
?
?? ??
?? ? ?
43
23
13
0 0 314
5
001 2 4
2
00 1 1 1
3
0 0 0 6 6
rr
rr
rr
?? ?
? ??
?
?
?? ??
?
???
所以各个部分的电流强度为 IA=1,IB=2,IC=-2,ID=1．
4
0 0 314
1 001 2 4
6 00 1 1 1
000 11
r
?? ?
??
?
??
?? ??
? ? ?
14
24
34
00011
4
0 0 012
2
0 0 012
000 11
rr
rr
rr
??
? ??
?
?? ?
?
? ? ?