5.3 拉普拉斯变换
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [自动控制 ]
在自动控制系统的分析和综合中，线性定
1
0 1 11
d d d( ) ( ) ( ) ( )
d d d
nn
nna y t a y t a y t a y tt t t
?
??? ? ? ? ?
1
0 1 11
d d d( ) ( ) ( ) ( )
d d d
mm
mmb x t b x t b x t b x tt t t
?
??? ? ? ?
如何求解此微分方程呢？
常系统由下面的 n阶微分方程描述
二,概念和公式的引出
拉氏变换 设函数 f (t)的定义域为,若反常积分）?,0[
0 ( ) d
ptf t e t?? ?? 对于 p在某一范围内的值收敛,则此积分
0( ) ( ) d
ptF p f t e t?? ?? ?
函数 F(p)称为 f (t)的 拉氏变换 (或称为 f (t)的 象函数,
函数 f (t)称为 F(p)的 原函数,以上公式简称为拉氏变
换式，用记号 L[f (t)]表示，即
就确定了 p的函数,记作
)]([)( tfLpF ?
(2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一
个新的函数,是一种积分变换,一般地在科学技术中遇
到的函数,它的拉氏变换总是存在的,故以后不再对其
存在性进行讨论．
假定 t<0时,f (t) =0;
说明：
(1)定义中,只要求在 0?t 上 f (t)有定义,为了方便,
三,进一步的练习
练习 1 [一次函数 ]
求一次函数 f (t) =at (a为常数 )的拉氏变换,
解 当 p>0时，有
0[ ] ( ) d
ptL a t a t e t?? ?? ?
02
pta e
p
? ? ???
2
a
p?
0 d ( )
pta te
p
?? ??? ?
0 0 d
p t p ta t ae e t
pp
??? ? ? ?? ? ? ?
练习 2 [指数函数 ]
解
这个积分当 p>a时收敛，此时
求 ),0()( 为常数atetf at ?? 的拉氏变换 。
0[ ] d
a t a t p tL e e e t?? ????
apeL
at
??
1][ )( ap ?
()
0
1 p a te
pa
? ? ? ???
?
练习 3 [三角函数 ]
求函数 f (t) =coswt的拉氏变换 。
解
0[ c o s ] c o s d
ptL w t w t e t?? ????
当 p>0时，有
?? ?
?? 022 |)c o ss i n(
1 wtpwtwe
wp
pt
22 wp
p
??
类似地
22)][ s in ( wp
wwtL
??
)0( ?p
在许多问题中,常会遇到只有在极短时间作
用的量,如电路中的脉冲电动势作用后所产
生的脉冲电流,要确定某瞬间 (t=0)进入一
无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的
强度,为此,引入了一个新的函数来表示,这个
函数叫 狄拉克函数,
表示上述电路中的电量,
单位电量的脉冲电路上的电流,用 ()t?
狄拉克函数 设
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
t
t
t
t
0
0
1
00
)(
当 0?? 时,)(lim)(
0 tt ?? ?? ??
称为 狄 拉克函数,
简称为 －? 函数,在工程技术中常称为 单位
脉冲函数,即
?
?
?
??
??
0
00)(
t
tt?
如图所示,
因为
00
1( ) d l im d 1t t t?
?? ?
??
?? ?????
,故狄拉克函数有如下性质,
设 g(t)是 ),( ??? 上的一个连续函数，则有
狄拉克函数的性质
? ???? ? )0()()( gdtttg ?
练习 4 [狄拉克函数的拉氏变换 ]
求狄拉克函数的拉氏变换．
解
0[ ( ) ] ( ) d
ptL t t e t?? ?? ?? ?
即 1)]([ ?tL ?
( ) dptt e t??? ???? ?
0 1pe ????
一、案例 [单位阶跃函数 ]
已知单位阶跃函数
?
?
?
?
??
01
00)(
t
ttu
的拉氏变换为
ptuL
1)]([ ?,如何求函数
?
?
?
?
???
?
??
t
ttu
1
0)(
的拉氏变换？
二,概念和公式的引出
性质 1(线性性质 ) 若 a1,a2为常数，设
)()]([)()]([ 2211 pFtfLpFtfL ??,
关于原函数导数的拉氏变换．
)()()]()([ 22112211 pFapFatfatfaL ???则
性质 2(微分性质 )
)()]([ pFtfL ?设 则,)0()()]([ fppFtfL ???
此性质可推广到 n阶导数,特别是当各阶导数初值为
0)0()0()0( )1( ????? ?nfff ?时，有
关于象原函数积分的拉氏变换,
)()]([ )( pFptfL nn ? （ n为自然数,p>0）
性质 3(积分性质 )
性质 4(平移性质 )
设 )()]([ pFtfL ? 则
p
pFdssfL t )(])([
0
??
设 )()]([ pFtfL ? 则
)()]([ apFtfeL at ??
性质 5(延滞性质 )
性质 6(象函数的相似性质 )
设 )()]([ pFtfL ? 则
)()]([ pFeatfL ap???
设 )()]([ pFtfL ? 则
)(1)]([ apFaatfL ? 0?a
性质 7(初值定理 ) 设 )()]([ pFtfL ? 且 f(t)连续
可导，则
0l i m l i m ( )()tp p F pft? ? ??
或 l i m ( )( 0 )
p p F pf ???
性质 8（终值 定理 ） 设 )()]([ pFtfL ? 则
0l i m l i m ( )( ) ( )tp Fpf t f?? ????
三,进一步的练习
练习 1 [幂函数 ]
求函数 f (t) =t n的拉氏变换 （ n为自然数）
解 因为
0)0()0()0( )1( ????? ?nfff ?
由性质 2的推广有：
)]([)()]([ tfLppFptfL nnn ??
因为,代如上式,得!)()( ntf n ?
又 ]1[!]![ LnnL ?
)]([]![ tfLpnL n? （ 1）
其中
pL
1]1[ ? （ 2）
联立解（ 1）、（ 2）式,得
1
!]1[!)]([
??? nn p
n
p
LntfL
练习 2
解 由性质 4,可得
求 ][ atn etL （ n为自然数）
1)(
!][
??? n
atn
ap
netL )( ap ?
练习 3 [单位阶跃函数 ]
解
求函数
?
?
?
?
???
?
??
t
ttu
1
0)( 的拉氏变换．
ptuL
1)]([ ?因为,由性质 5有
petuL
p 1)]([ ?? ??? )0( ?p
练习 4 [三角函数 ]
解
0s i n ( ) c o s ( )d
ta t a a x x? ?因为
利用性质 3（积分性质）求函数 attf s in)( ?
的拉氏变换．
22)][ c o s ( ap
patL
??
而 )0( ?p
所以
0[ s i n ( ) ] [ c o s ( )d ]
tL a t a L a x x? ?
22
a
pa? ?