6.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
6.2.1 矩阵的初等变换
6.2.2 逆矩阵的概念及用初等行变换
求解逆矩阵
6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程
6.2.1 矩阵的初等变换
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [投资组合 ]
某人用 60万元投资 A,B两个项目，其
中项目 A的收益率为 7％，项目 B的收益率为
12％，最终总收益为 5.6万元．问他在 A,B
项目上各投资了多少万元？
下面用高斯消元法求解此方程组, 我们把方程消元
的过程列在下表的左栏, 系数及常数项对应的矩阵
(增广矩阵 )变换过程列在下表的右栏,
解 设他在 A,B项目上各投资了 x1,x2万元, 根据
题意, 建立如下的线性方程组
12
12
0, 0 7 0, 1 2 5, 6
60
xx
xx
???
? ??
?
方程组消元的过程
12
12
0, 0 7 0, 1 2 5, 6 (1)
60 ( 2 )
xx
xx
????
???
增广矩阵变换的过程
0, 0 7 0, 1 2 5, 6
6011
????
??
(1),(2)互换
12
12
60 (1)
0, 0 7 0, 1 2 5, 6 ( 2 )
xx
xx
???
? ???
第一行与第二行互换
6011
0, 0 7 0, 1 2 5, 6
????
??
100× (2)
12
12
60 ( 1 )
7 1 2 5 6 0 ( 2 )
xx
xx
????
???
100乘以第二行
6011
7 5 6 012
????
??
(2)-(1)× 7
12
2
60 (1)
5 1 4 0 ( 2 )
xx
x
????
??
第一行的 -7倍加到第二行
6011
0 5 1 4 0
????
??
1/5× (2)
12
2
60 (1)
28 ( 2 )
xx
x
???
? ??
1/5乘以第二行
6011
0 281
????
??
(1)- (2)
1
2
32
28
x
x
??
? ?
?
第二行的 -1倍加到第一行
0 3 21
0 2 81
????
??
从这个案例的求解过程还可以看出：求解线性方
程组的过程实际上是对方程组接连地进行了以下
三种运算：
(1)将两个方程的位置互换；
(2)将一个方程乘以一个非零的常数；
(3)将一个方程的 k倍加到另一个方程上,
对应的增广矩阵经过了相应的三种变换,
(1)互换矩阵的两行；
(2)用一个非零数乘矩阵的某一行；
(3)将矩阵的某一行乘以数 k后加到另一行,
矩阵的如下三种变换
(3)将矩阵的某一行乘以数 k后，加到另一行，常用
ji rr ?
(1)互换矩阵的两行，常用 表示第 i行与第 j行
二,概念和公式的引出
矩阵的初等变换
互换；
(2)用一个非零数乘矩阵的某一行，常用
irk?
表示用数 k乘以第 i行；
krrj ? 表示第 i行的 k倍加到第 j行．
称为 矩阵的初等行变换,
krrj ?
把定义中的“行”换成“列” (所用记号把,r”换成
,c”，即得 矩阵的初等列变换,
矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为 矩阵的
初等变换,
6.2.2逆矩阵的概念及
用初等行变换求解逆矩阵
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [汽车销售量 ]
某一汽车销售公司有两个销售部，矩阵 S给
一 二
1 8 1 5
2 4 1 7S
???
????
大
小
月末盘点时统计得到两个销售部的利润，用矩阵表示为
W=(37200 35050),设两种车的销售利润为矩阵 P=(a,b)
则有 PS=W，问公司如何从 PS=W中得到两种车的销售
出了两个汽车销售部的两种汽车的销量
利润 P?
要解决这一问题, 需要引入类似于数的除法的
分析
0?a作用．一个数 的倒数 1?a 可用
111 ?? ?? aaaa
来表示．
运算．从矩阵的角度来看，单位矩阵 E类似于数 1的
对于 n阶方阵 A,如果存在一个 n阶方阵 B,使
二,概念和公式的引出
逆矩阵
则称方阵 A是 可逆的 （简称 A可逆 ），并称 B是 A的 逆
A B B A I??
BA ??1矩阵,记作
即
11A A A A I????
满足如下规律：
设 A,B均为 n阶可逆矩阵，数 0??,方阵的逆的运算
(1) 1?A 可逆，且 AA ??? 11 )(
(2) A? 可逆，且 11 1)( ?? ? AA
??
AB可逆，且 111)( ??? ? ABAB(3)
可逆，且 )()( 11 ??? ?? AA(4) A?
在给定的 n阶方阵的右边放一个 n阶单位矩阵 I形成
初等行变换求逆矩阵
一个 n× 2n的矩阵 )( IA?,然后对矩阵
)( IA?
实施初等行变换，直到将原矩阵 A所在部分变成单位
矩阵 I，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得
1?A到的矩阵就是 A的逆矩阵,即
)()( 1???? ?? AIIA ?? 初等行变换
三,进一步的练习
练习 1 [用电度数 ]
我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，
鼓励夜间用电．某地白天 (AM8,00— PM11,00)
与夜间 (PM11,00— AM8,00)的电费标准为 P，
若某宿舍两户人某月的用电情况如下：
白天 夜间
???
?
???
?
174132
150120
一
二
所交电费 F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算
表示当地的电费？
解
可以得到当地的电费标准为 FAP ?? ?1
下面用初等变换求 1?A
令
???
?
???
??
1 7 41 3 2
1 5 01 2 0A,因为 FAP ??,
等式两边同时左乘以矩阵 1?A,
1 2 0 1 5 0 1 0
1 3 2 1 7 4 0 1
????
??
1
14 5 01
3030
1 3 2 1 7 4 0 1
r
??
??
??
21
1
4 5 0
3033
11
0 9 1
10
rr
??
??
?
???
??
2
1
4 5 0
1 30
11 19
01
90 9
r
??
??
???
??
12
5 8 5
40
9 0 95
1 1 1
01
9 0 9
rr
?? ?
??
?
???
??
1
58 5
10
1 36 0 36
11 14
01
90 9
r
?? ?
??
???
??
29 5
180 36
11 1
90 9
???
??
?
???
??
即 1?A
所以
1P A F? ??
29 5
180 36
11 1
90 9
??
???
? ??
???
??
9 0,2 9
1 0 1,4 1
??
????
0, 4 6 2 0
0, 2 3 2 3
???
????
即白天的电费标准为 0.462元 /度，
夜间电费标准为 0.2323元 /度,
练习 2 [转动矩阵 ]
机器人手臂的转动常用矩阵表示．其中的元素为转
动角的三角函数值．求下面转动矩阵 R的逆阵．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
8.00.06.0
0.00.10.0
6.00.08.0
R
解 因为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
1008.00.06.0
0100.00.10.0
0016.00.08.0
?
?
?
1
3
5
5
4 0 3 5 0 0
0 1 0 0 1 0
3 0 4 0 0 5
r
r
?
?
???
??????
??
13
1 0 7 5 0 5
0 1 0 0 1 0
3 0 4 0 0 5
rr?
????
??????
??
3
1
25
1 0 7 5 0 5
0 1 0 0 1 0
34
0 0 1 0
55
r?
??
??
????
???
??
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
5
4
0
5
3
010
5
3
0
5
4
1A
313
1 0 7 5 0 5
0 1 0 0 1 0
0 0 2 5 1 5 0 2 0
rr??
????
??????
???
137
43
1 0 0 0
55
0 1 0 0 1 0
34
0 0 1 0
55
rr? ??????
??
?
??
6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [辑毒船的速度 ]
一艘载有毒品的船以 63km/h的速度离
开港口，由于得到举报,24min后一辑毒船
以 75km/h的速度从港口出发追赶毒品走私
船，问当辑毒船追上载有毒品的船时，它
们各行驶了多长时间？
设当辑毒船追上载有毒品的船时, 载有毒品的
船和辑毒船各行驶了 x1,x2 h,由题意知, 它们
满足
解
12
12
63 75
24
60
xx
xx
??
?
?
???
?
即 12
12
6 3 7 5 0
0, 4
xx
xx
???
? ??
?
记 6 3 7 5
11A
????
????? 1
2
xX
x
???
????
0
0.4B
??? ??
??
方程两边同时左乘 1?A,得
BAX 1??
由初等行变换, 可以得到 A的逆矩阵为
1 1 7 51
1 6 312A
? ???? ??
???
所以
1X A B?? 1 7 5 0 3 0 2, 511
1 6 3 0, 4 2 5, 2 2, 11 2 1 2
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
一般地, 对于矩阵方程 AX=B,若矩阵 A可逆, 则
二,概念和公式的引出
对于矩阵方程 XA=B，若 A可逆，则
BAX 1??
1?? BAX
若 A,B均可逆，则矩阵方程 AXB=C的解为
11 ??? BCAX
三,进一步的练习
练习 1 [配料 ]
某工厂检验室有甲、乙两种不同的化学原料，甲
种原料分别含锌与镁 10%与 20%，乙种原料分别
含锌与镁 10%与 30%，现在要用这两种原料分别
配制 A,B两种试剂,A试剂需含锌、镁各 2g,5g，
B试剂需含锌、镁各 1g,2g．问配制 A,B两种试
剂分别需要甲、乙两种化学原料各多少 g？
设配制 A试剂需要甲, 乙两种化学原料分别为 x,
y g；配制 B试剂需要甲, 乙两种化学原料分别为
s,t g,根据题意, 得如下矩阵方程
解
0,1 0,1
0,2 0,3
xs
yt
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
设
???
?
???
??
3.02.0
1.01.0A
???
?
???
??
ty
sxX
???
?
???
??
25
12B
则 BAX 1??
下面用初等行变换求 1?A
21
52
???
????
0, 1 0, 1 1 0
0, 2 0, 3 0 1
??
????
212 1 1 1 0 0
0 1 2 0 1 0
rr? ??
? ???
??
即
???
?
???
?
?
???
1020
10301A
所以
???
?
???
??
ty
sxX
???
?
???
?
???
?
???
?
?
??
25
12
1020
1030
???
?
???
??
010
1010
即配制 A试剂分别需要甲、乙两种化学原料各 10g，
配制 B试剂需要甲、乙两种化学原料各 10g,0g．
1
2
10
10
1 1 1 0 0
2 3 0 1 0
r
r
???
????
12 1 0 3 0 1 0
0 1 2 0 1 0
rr? ???
? ???
??
6.2.1 矩阵的初等变换
6.2.2 逆矩阵的概念及用初等行变换
求解逆矩阵
6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程
6.2.1 矩阵的初等变换
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [投资组合 ]
某人用 60万元投资 A,B两个项目，其
中项目 A的收益率为 7％，项目 B的收益率为
12％，最终总收益为 5.6万元．问他在 A,B
项目上各投资了多少万元？
下面用高斯消元法求解此方程组, 我们把方程消元
的过程列在下表的左栏, 系数及常数项对应的矩阵
(增广矩阵 )变换过程列在下表的右栏,
解 设他在 A,B项目上各投资了 x1,x2万元, 根据
题意, 建立如下的线性方程组
12
12
0, 0 7 0, 1 2 5, 6
60
xx
xx
???
? ??
?
方程组消元的过程
12
12
0, 0 7 0, 1 2 5, 6 (1)
60 ( 2 )
xx
xx
????
???
增广矩阵变换的过程
0, 0 7 0, 1 2 5, 6
6011
????
??
(1),(2)互换
12
12
60 (1)
0, 0 7 0, 1 2 5, 6 ( 2 )
xx
xx
???
? ???
第一行与第二行互换
6011
0, 0 7 0, 1 2 5, 6
????
??
100× (2)
12
12
60 ( 1 )
7 1 2 5 6 0 ( 2 )
xx
xx
????
???
100乘以第二行
6011
7 5 6 012
????
??
(2)-(1)× 7
12
2
60 (1)
5 1 4 0 ( 2 )
xx
x
????
??
第一行的 -7倍加到第二行
6011
0 5 1 4 0
????
??
1/5× (2)
12
2
60 (1)
28 ( 2 )
xx
x
???
? ??
1/5乘以第二行
6011
0 281
????
??
(1)- (2)
1
2
32
28
x
x
??
? ?
?
第二行的 -1倍加到第一行
0 3 21
0 2 81
????
??
从这个案例的求解过程还可以看出：求解线性方
程组的过程实际上是对方程组接连地进行了以下
三种运算：
(1)将两个方程的位置互换；
(2)将一个方程乘以一个非零的常数；
(3)将一个方程的 k倍加到另一个方程上,
对应的增广矩阵经过了相应的三种变换,
(1)互换矩阵的两行；
(2)用一个非零数乘矩阵的某一行；
(3)将矩阵的某一行乘以数 k后加到另一行,
矩阵的如下三种变换
(3)将矩阵的某一行乘以数 k后，加到另一行，常用
ji rr ?
(1)互换矩阵的两行，常用 表示第 i行与第 j行
二,概念和公式的引出
矩阵的初等变换
互换；
(2)用一个非零数乘矩阵的某一行，常用
irk?
表示用数 k乘以第 i行；
krrj ? 表示第 i行的 k倍加到第 j行．
称为 矩阵的初等行变换,
krrj ?
把定义中的“行”换成“列” (所用记号把,r”换成
,c”，即得 矩阵的初等列变换,
矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为 矩阵的
初等变换,
6.2.2逆矩阵的概念及
用初等行变换求解逆矩阵
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [汽车销售量 ]
某一汽车销售公司有两个销售部，矩阵 S给
一 二
1 8 1 5
2 4 1 7S
???
????
大
小
月末盘点时统计得到两个销售部的利润，用矩阵表示为
W=(37200 35050),设两种车的销售利润为矩阵 P=(a,b)
则有 PS=W，问公司如何从 PS=W中得到两种车的销售
出了两个汽车销售部的两种汽车的销量
利润 P?
要解决这一问题, 需要引入类似于数的除法的
分析
0?a作用．一个数 的倒数 1?a 可用
111 ?? ?? aaaa
来表示．
运算．从矩阵的角度来看，单位矩阵 E类似于数 1的
对于 n阶方阵 A,如果存在一个 n阶方阵 B,使
二,概念和公式的引出
逆矩阵
则称方阵 A是 可逆的 （简称 A可逆 ），并称 B是 A的 逆
A B B A I??
BA ??1矩阵,记作
即
11A A A A I????
满足如下规律：
设 A,B均为 n阶可逆矩阵，数 0??,方阵的逆的运算
(1) 1?A 可逆，且 AA ??? 11 )(
(2) A? 可逆，且 11 1)( ?? ? AA
??
AB可逆，且 111)( ??? ? ABAB(3)
可逆，且 )()( 11 ??? ?? AA(4) A?
在给定的 n阶方阵的右边放一个 n阶单位矩阵 I形成
初等行变换求逆矩阵
一个 n× 2n的矩阵 )( IA?,然后对矩阵
)( IA?
实施初等行变换，直到将原矩阵 A所在部分变成单位
矩阵 I，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得
1?A到的矩阵就是 A的逆矩阵,即
)()( 1???? ?? AIIA ?? 初等行变换
三,进一步的练习
练习 1 [用电度数 ]
我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，
鼓励夜间用电．某地白天 (AM8,00— PM11,00)
与夜间 (PM11,00— AM8,00)的电费标准为 P，
若某宿舍两户人某月的用电情况如下：
白天 夜间
???
?
???
?
174132
150120
一
二
所交电费 F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算
表示当地的电费？
解
可以得到当地的电费标准为 FAP ?? ?1
下面用初等变换求 1?A
令
???
?
???
??
1 7 41 3 2
1 5 01 2 0A,因为 FAP ??,
等式两边同时左乘以矩阵 1?A,
1 2 0 1 5 0 1 0
1 3 2 1 7 4 0 1
????
??
1
14 5 01
3030
1 3 2 1 7 4 0 1
r
??
??
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21
1
4 5 0
3033
11
0 9 1
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???
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1
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1 30
11 19
01
90 9
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12
5 8 5
40
9 0 95
1 1 1
01
9 0 9
rr
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1
58 5
10
1 36 0 36
11 14
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29 5
180 36
11 1
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即 1?A
所以
1P A F? ??
29 5
180 36
11 1
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9 0,2 9
1 0 1,4 1
??
????
0, 4 6 2 0
0, 2 3 2 3
???
????
即白天的电费标准为 0.462元 /度，
夜间电费标准为 0.2323元 /度,
练习 2 [转动矩阵 ]
机器人手臂的转动常用矩阵表示．其中的元素为转
动角的三角函数值．求下面转动矩阵 R的逆阵．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
8.00.06.0
0.00.10.0
6.00.08.0
R
解 因为
?
?
?
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1008.00.06.0
0100.00.10.0
0016.00.08.0
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1
3
5
5
4 0 3 5 0 0
0 1 0 0 1 0
3 0 4 0 0 5
r
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13
1 0 7 5 0 5
0 1 0 0 1 0
3 0 4 0 0 5
rr?
????
??????
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3
1
25
1 0 7 5 0 5
0 1 0 0 1 0
34
0 0 1 0
55
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????
???
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所以
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1A
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1 0 7 5 0 5
0 1 0 0 1 0
0 0 2 5 1 5 0 2 0
rr??
????
??????
???
137
43
1 0 0 0
55
0 1 0 0 1 0
34
0 0 1 0
55
rr? ??????
??
?
??
6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [辑毒船的速度 ]
一艘载有毒品的船以 63km/h的速度离
开港口，由于得到举报,24min后一辑毒船
以 75km/h的速度从港口出发追赶毒品走私
船，问当辑毒船追上载有毒品的船时，它
们各行驶了多长时间？
设当辑毒船追上载有毒品的船时, 载有毒品的
船和辑毒船各行驶了 x1,x2 h,由题意知, 它们
满足
解
12
12
63 75
24
60
xx
xx
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即 12
12
6 3 7 5 0
0, 4
xx
xx
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记 6 3 7 5
11A
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????? 1
2
xX
x
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0
0.4B
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方程两边同时左乘 1?A,得
BAX 1??
由初等行变换, 可以得到 A的逆矩阵为
1 1 7 51
1 6 312A
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???
所以
1X A B?? 1 7 5 0 3 0 2, 511
1 6 3 0, 4 2 5, 2 2, 11 2 1 2
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? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
一般地, 对于矩阵方程 AX=B,若矩阵 A可逆, 则
二,概念和公式的引出
对于矩阵方程 XA=B，若 A可逆，则
BAX 1??
1?? BAX
若 A,B均可逆，则矩阵方程 AXB=C的解为
11 ??? BCAX
三,进一步的练习
练习 1 [配料 ]
某工厂检验室有甲、乙两种不同的化学原料，甲
种原料分别含锌与镁 10%与 20%，乙种原料分别
含锌与镁 10%与 30%，现在要用这两种原料分别
配制 A,B两种试剂,A试剂需含锌、镁各 2g,5g，
B试剂需含锌、镁各 1g,2g．问配制 A,B两种试
剂分别需要甲、乙两种化学原料各多少 g？
设配制 A试剂需要甲, 乙两种化学原料分别为 x,
y g；配制 B试剂需要甲, 乙两种化学原料分别为
s,t g,根据题意, 得如下矩阵方程
解
0,1 0,1
0,2 0,3
xs
yt
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设
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3.02.0
1.01.0A
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???
??
ty
sxX
???
?
???
??
25
12B
则 BAX 1??
下面用初等行变换求 1?A
21
52
???
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0, 1 0, 1 1 0
0, 2 0, 3 0 1
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212 1 1 1 0 0
0 1 2 0 1 0
rr? ??
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即
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1020
10301A
所以
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ty
sxX
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???
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25
12
1020
1030
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???
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010
1010
即配制 A试剂分别需要甲、乙两种化学原料各 10g，
配制 B试剂需要甲、乙两种化学原料各 10g,0g．
1
2
10
10
1 1 1 0 0
2 3 0 1 0
r
r
???
????
12 1 0 3 0 1 0
0 1 2 0 1 0
rr? ???
? ???
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