5.2.1 周期延拓
5.2.2 周期为 2l的周期函数展开成傅里叶
级数
5.2.3 几个常见脉冲信号的傅里叶级数
5.2 周期不为 的周期函数展开成傅里叶级数?2
5.2.1 周期延拓
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [单脉冲信号的傅里叶级数展开 ]
已知一脉冲矩形波信号为
将它展开成傅里叶级数。
?
?
?
??
????
?
?
x
xxf
0,1
0,1)( －
二,概念和公式的引出
周期延拓 设函数 f (x)在 上有定义，并且在],[ ???
上满足收敛定理的条件，那么，我们可以在函数],[ ???
定义区间外补充 f (x)的定义，使它拓展成以 ?2 为周期
的函数 F (x),按这种方式拓展函数定义域的过程称为
周期延拓 。
三,进一步的练习
练习 1 [单 脉冲信号的傅里叶级数展开式 ]
如下图所示，将它展开成傅里叶级数。
有一定义在 2)( xxf ?,],[ ??? 的单脉冲信号函数
解 将 f (x)作周期延拓，延拓后为偶函数，则
),3,2,1(0 ??? nb n
0 0
2 ( ) da f x x?
?? ?
xnxxFa n dc o s)(2
0?
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)ds i n2s i n(2dc o s2
00
2
0
2 xnxxnxx
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0
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3
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2
3
x
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??
延拓后，处处连续，所以
)3 3c o s2 2c o s( c o s43 22
2
2 ?????? xxxx ?
)( ?? ??? x其中
5.2.2 周期为 2l的周期函数展开成傅里叶级数
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [周期为 4的函数展开成傅里叶级数 ]
设脉冲信号函数 f (x)是周期为 4的周期函数，
它在一个周期的表达式为
?
?
?
??
????
20,
02,0)(
xk
xxf
如何将 f (x)展开成傅里叶级数？
二,概念和公式的引出
周期为 2l的函数的傅里叶级数展开与其
?
?
?
???
1
0 ),s i nc o s(
2)( k nn l
xnb
l
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1
),,2,1,0(dc o s)(
1
?
?
?
?
其中
系数的计算公式如下：
三,进一步的练习
练习 [矩形脉冲信号 ]
设脉冲信号函数 f (x)是周期为 4的周期函数，它在
)0(
20,
02,0)( ?
?
?
?
??
???? k
xk
xxf
]2,2[?一个周期 上的表达式为
如右图所示，把它展开成
傅里叶级数。
解 按周期为 2l的函数展开成傅立叶级数的计算
公式，这时 l=2，有
2
0 2
1 ( ) d
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xxnkxxnxfa n d2c o s21d2c o s)(21 2
0
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于是，函数 f (x)的傅里叶级数展开式为
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2
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,5,3,1,
2
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n
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2
1 s in d
22
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( 1 c o s )k nn ????
5.2.3 几个常见脉冲信号的傅立叶级数
一,周期矩形脉冲信号
二、周期锯齿脉冲信号
三、周期三角脉冲信号
一,周期矩形脉冲信号
周期矩形脉冲信号 f(t)的脉冲宽度为 τ,脉冲幅度为 E,
?
?
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2
,
2
,
)(
?
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周期为 T,它在一个周期内的函数表达式为,
它的傅立叶级数展开式为
? ??????
?
m
n
tnnnT ETE τf ( t )
1
co s2s i n14
),2,1,0,2( ????? kkTt
T
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二,[周期锯齿脉冲信号 ]
这种信号在一个周期 ),0[ T 内的函数为,
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它的傅立叶级数展开式为
? ??????
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m
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三,[周期三角脉冲信号 ]
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它的傅立叶级数展开式为
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)( ?????? t
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5.2.2 周期为 2l的周期函数展开成傅里叶
级数
5.2.3 几个常见脉冲信号的傅里叶级数
5.2 周期不为 的周期函数展开成傅里叶级数?2
5.2.1 周期延拓
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [单脉冲信号的傅里叶级数展开 ]
已知一脉冲矩形波信号为
将它展开成傅里叶级数。
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二,概念和公式的引出
周期延拓 设函数 f (x)在 上有定义，并且在],[ ???
上满足收敛定理的条件，那么，我们可以在函数],[ ???
定义区间外补充 f (x)的定义，使它拓展成以 ?2 为周期
的函数 F (x),按这种方式拓展函数定义域的过程称为
周期延拓 。
三,进一步的练习
练习 1 [单 脉冲信号的傅里叶级数展开式 ]
如下图所示，将它展开成傅里叶级数。
有一定义在 2)( xxf ?,],[ ??? 的单脉冲信号函数
解 将 f (x)作周期延拓，延拓后为偶函数，则
),3,2,1(0 ??? nb n
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2 ( ) da f x x?
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延拓后，处处连续，所以
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5.2.2 周期为 2l的周期函数展开成傅里叶级数
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [周期为 4的函数展开成傅里叶级数 ]
设脉冲信号函数 f (x)是周期为 4的周期函数，
它在一个周期的表达式为
?
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如何将 f (x)展开成傅里叶级数？
二,概念和公式的引出
周期为 2l的函数的傅里叶级数展开与其
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其中
系数的计算公式如下：
三,进一步的练习
练习 [矩形脉冲信号 ]
设脉冲信号函数 f (x)是周期为 4的周期函数，它在
)0(
20,
02,0)( ?
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]2,2[?一个周期 上的表达式为
如右图所示，把它展开成
傅里叶级数。
解 按周期为 2l的函数展开成傅立叶级数的计算
公式，这时 l=2，有
2
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1 ( ) d
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于是，函数 f (x)的傅里叶级数展开式为
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5.2.3 几个常见脉冲信号的傅立叶级数
一,周期矩形脉冲信号
二、周期锯齿脉冲信号
三、周期三角脉冲信号
一,周期矩形脉冲信号
周期矩形脉冲信号 f(t)的脉冲宽度为 τ,脉冲幅度为 E,
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周期为 T,它在一个周期内的函数表达式为,
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三,[周期三角脉冲信号 ]
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