7.2 概率的基本公式
7.2.1 互斥事件概率的加法公式
7.2.2 任意事件概率的加法公式
7.2.3 条件概率
7.2.4 乘法公式
7.1.1 随机试验
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
案例 1 [掷骰子 ] 掷一枚骰子，求出现不大于 2点或不
小于 4点的概率．
解 设 ei表示“出现点”（ i=1,2,3,4,5,6）,A表示
“出现不大于 2点”,B表示“出现不小于 4点”，
C表示“出现不大于 2点或不小于 4点”．则
},,,,,{ 654321 eeeeee?? },{ 21 eeA ? },,{ 654 eeeB ?
C A B? 4 2 4 5 6{,,,,}e e e e e?
所以
6
2)( ?AP
6
3)( ?BP
6
5)( ?CP
事实上
)()(65)()( BPAPBAPCP ???? ?
案例 2 [取球 ] 在一个盒中装有 6个规格完全相同的红、
绿、黄三种球，其中红球 3个，绿球 2个，黄球 1个，
现从中任取一球，求取到红球或绿球的概率．
解 设 A表示“取到红球”,B表示“取到绿球”,C
表示
},,,,,{ 黄绿绿红红红??
},,{ 红红红?A },{ 绿绿?B
},,,,{ 绿绿红红红?? BAC ?
“取到红球或绿球”，则
所以
6
3)( ?AP
6
2)( ?BP
6
5)( ?CP
事实上
)()(65)()( BPAPBAPCP ???? ?
二,概念和公式的引出
互斥事件
在同一次随机试验中，若事件 A与 B不可能同时
??AB
如果一组事件中，任意两个事件都互斥，称为
发生，则称事件为 互斥事件,即
两两互斥,
互斥事件概率的加法公式
特别地，当 A与 B为对立事件时，
如果 A,B为两个互斥事件，则 BA? 的概率等于
这两个事件概率之和．即
)()()( BPAPBAP ???
)(1)(1)( APBPAP ????
设事件组 A1,A2,…,An两两互斥，则
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ???? ?????
一批产品共有 50个，其中 45个是合格品,5个是次品，
从这批产品中任取 3个，求其中有次品的概率．
三、进一步练习
练习 [次品率 ]
解 设 Ai表示“取出的 3个产品中恰有 i个次品”（ i=1,2,3
） A表示“取出的 3个产品中有次品”．
显然 321,,AAA 两两互斥且 1 2 3A A A A?,而
2525.0)( 3
50
2
45
1
5
1 ?
??
C
CCAP 0230.0)(
3
50
1
45
2
5
2 ?
??
C
CCAP
0 0 0 5.0)( 3
50
3
5
3 ?? C
CAP
所以 2 7 6 0.0)()()()(
321 ???? APAPAPAP
“取出的 3个产品全是合格品”这一事件的对立事件
为 A=“取出的 3个产品中有次品”．由对立事件的概
率加法公式，有
7 2 4 0.0)(1)( ??? APAP
7.2.2 任意事件概率的加法公式
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [比赛 ]
某大学中文系一年级一班有 50名同学，在参加学校
举行的一次篮球和乒乓球比赛中，有 30人报名参加
篮球比赛，有 15人报名参加乒乓球比赛，有 10人报
名既参加篮球又参加乒乓球比赛，现从该班任选一
名同学，问该同学参加篮球或乒乓球比赛的概率．
解 我们通过如下集合图来进行分析,
设 A表示参加篮球比赛的同学,B表示参加乒乓球比赛
表示参加篮球或乒乓球比赛的同学，则由古典概率
50
10
50
15
50
30
50
101530)( ??????BAP ?
2.03.06.0 ???
)()()( ABPBPAP ???
公式，有
BA?的同学，则 A有 30人,B有 15人,AB有 10人，用
二,概念和公式的引出
任意事件概率的加法公式
如果 A与 B为任意两个事件，则
)()()()( ABPBPAPBAP ????
在如图所示的电路中，电器元件 a,b发生故障的概率
分别为 0.05,0.06,a与 b同时发生故障的概率为 0.003，
求此电路断路的概率．
三、进一步练习
练习 [电路分析 ]
解 设 A表示, 元件 a发生故障,, B表示, 元件 b发
生
BAC ??
由概率的加法公式得
)()()()()( ABPBPAPBAPCP ???? ?
107.0003.006.005.0 ????
故障”,C表示“电路断路”，则
7.2.3 条件概率
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [抛硬币 ]
(一 )独立事件
抛一枚硬币两次，第一次是否出现正面与第二次是否
出现正面互不影响．换言之，“第一次出现正面”这
一事件的发生不影响“第二次出现正面”这一事件的
发生的可能性大小．
如果事件 A的发生不影响事件 B发生的概率，事
件 B的发生也不影响事件 A发生的概率，那么称
事件 A与 B相互独立,
二,概念和公式的引出
独立事件
若 A与 B相互独立，则 A与 BABAB 与，与,
也相互独立．
掷一枚骰子两次，设 A表示“第一次掷出 2点”,B表
示“第二次掷出 2点”，显然 A与 B相互独立．
三、进一步练习
练习 [掷骰子 ]
一、案例 [抽签 ]
（二）条件概率
某单位在一次分房过程中，按职工工龄、职称、学历
进行积分排序选房，但选到最后一套住房时，甲乙两
人处于同一选房积分．于是决定由 2人抽签，确定选
房资格．
解 设 A表示“甲抽中”,B表示“乙抽中”，则 A发生
必然
影响 B发生的概率，同样 B发生必然影响 A发生的概率．
如果已知事件 A发生了，那么在事件 A发生的条件下，
二,概念和公式的引出
条件概率
同样在事件 B发生的条件下,A发生的概率也
)|( BAP称为 条件概率,记作
)|( ABPB发生的概率称为 条件概率,记作
设 A,B为两个随机事件，且事件 A的概率 0)( ?AP
条件概率的计算公式
则在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率
)|( ABP 为
)(
)()|(
AP
ABPABP ?
10张奖券中有 3张为中奖券, 其余为欢迎惠顾, 某人随
机抽取三次, 设 Ai表示, 第 i次抽中, （ i=1,2,3）, 试问：
（ 1） 第一次抽中的概率；
（ 2） 在第一次未抽中的情况下, 第二次抽中的概率；
（ 3）在第一、二次均未抽中的情况下，第三次抽中的
概率．
三、进一步练习
练习 1 [中奖率 ]
根据古典概率公式, 有解
10
3)(
1
10
1
3
1 ?? C
CAP（ 1）
（ 2）
3
1
9
3)|(
1
9
1
3
12 ??? C
CAAP
（ 3）
8
1)|(
1
8
1
3
213 ?? C
CAAAP
某仓库中有一批产品 200件, 它是由甲, 乙两厂共
同生产的, 其中甲厂的产品中有正品 100件, 次品
20件, 乙厂的产品中有正品 65件, 次品 15件, 现从
这批产品中任取一件, 设 A表示, 取到乙厂产品,,
B表示, 取到正品,, 试求 P(A),P(AB),P(B|A)
练习 2 [产品检验 ]
解 产品的分配情况见下表,
正品 次品 总数
甲厂 100 20 120
乙厂 65 15 80
总数 165 35 200
根据古典概率公式, 有
200
80)( ?AP
200
165)( ?BP
200
65)( ?ABP
求当 A发生的条件下, B发生的概率时, 基本事件总
数应为 80,即
80
65)|( ?ABP
显然,)|()( ABPBP ?,但是有
)(
)(
2 0 0/80
2 0 0/65
80
65)|(
AP
ABPABP ???
7.2.4 乘法公式
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [射击 ]
甲、乙二人各进行一次射击，如果两人击中目标
的概率都是 0.8，如何计算两人都击中目标的概率
呢？
分析,设 A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中
目标”,C表示“两人都击中目标”，则 C=AB．
此问题实际上是求 P(AB)．
二,概念和公式的引出
概率的乘法公式
)|()|()|()()( 12121312121 ?? nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP ???
若 A与 B相互独立，即
)()|( APBAP ? 或 )()|( BPABP ?
那么 )()()( BPAPABP ?
甲, 乙二人各进行一次射击, 如果两人击中目标的概
率都是 0.8,求
（ 1） 两人都击中目标的概率；
（ 2） 恰有 1人击中目标的概率,
三、进一步练习
练习 1 [射击 ]
解
由射击本身的要求, A发生不会影响 B发生的概率,
B发生不会影响 A发生的概率, 即 A与 B相互独立,
设 A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标”，
（ 1）“两人都击中目标”即为事件 AB，由乘法公式有
64.08.08.0)()()( ???? BPAPABP
同样分析可得, BABABA 与，与与,也是相互独立的．
)()()()( BPAPBPAP ??
（ 2）“恰有 1人击中目标”即为事件 BABA ?
)()()( BAPBAPBABAP ???
所以
8.0)8.01()8.01(8.0 ??????
32.0?
一批晶体管共 10只，其中一级品 7只，二级品 3只，从
中抽取三次，每次从中任取一只，取出后不再放回．
求三次都取到一级品的概率．
练习 2 [产品抽样 ]
解 设 Ai表示“第 i次取到一级品”（ i=1,2,3），则
第一次取到一级品的概率为
10
7)(
1 ?AP
第一次取到一级品时，第二次又取到一级品的概率为
3
2
9
6)|(
12 ??AAP
第一次、第二次都取到一级品，第三次取到一级品
由乘法公式得三次都取到一级品的概率为
)|()|()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP ?
24
7
8
5
3
2
10
7 ????
8
5)|(
213 ?AAAP
的概率为
7.2.1 互斥事件概率的加法公式
7.2.2 任意事件概率的加法公式
7.2.3 条件概率
7.2.4 乘法公式
7.1.1 随机试验
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
案例 1 [掷骰子 ] 掷一枚骰子，求出现不大于 2点或不
小于 4点的概率．
解 设 ei表示“出现点”（ i=1,2,3,4,5,6）,A表示
“出现不大于 2点”,B表示“出现不小于 4点”，
C表示“出现不大于 2点或不小于 4点”．则
},,,,,{ 654321 eeeeee?? },{ 21 eeA ? },,{ 654 eeeB ?
C A B? 4 2 4 5 6{,,,,}e e e e e?
所以
6
2)( ?AP
6
3)( ?BP
6
5)( ?CP
事实上
)()(65)()( BPAPBAPCP ???? ?
案例 2 [取球 ] 在一个盒中装有 6个规格完全相同的红、
绿、黄三种球，其中红球 3个，绿球 2个，黄球 1个，
现从中任取一球，求取到红球或绿球的概率．
解 设 A表示“取到红球”,B表示“取到绿球”,C
表示
},,,,,{ 黄绿绿红红红??
},,{ 红红红?A },{ 绿绿?B
},,,,{ 绿绿红红红?? BAC ?
“取到红球或绿球”，则
所以
6
3)( ?AP
6
2)( ?BP
6
5)( ?CP
事实上
)()(65)()( BPAPBAPCP ???? ?
二,概念和公式的引出
互斥事件
在同一次随机试验中，若事件 A与 B不可能同时
??AB
如果一组事件中，任意两个事件都互斥，称为
发生，则称事件为 互斥事件,即
两两互斥,
互斥事件概率的加法公式
特别地，当 A与 B为对立事件时，
如果 A,B为两个互斥事件，则 BA? 的概率等于
这两个事件概率之和．即
)()()( BPAPBAP ???
)(1)(1)( APBPAP ????
设事件组 A1,A2,…,An两两互斥，则
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ???? ?????
一批产品共有 50个，其中 45个是合格品,5个是次品，
从这批产品中任取 3个，求其中有次品的概率．
三、进一步练习
练习 [次品率 ]
解 设 Ai表示“取出的 3个产品中恰有 i个次品”（ i=1,2,3
） A表示“取出的 3个产品中有次品”．
显然 321,,AAA 两两互斥且 1 2 3A A A A?,而
2525.0)( 3
50
2
45
1
5
1 ?
??
C
CCAP 0230.0)(
3
50
1
45
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??
C
CCAP
0 0 0 5.0)( 3
50
3
5
3 ?? C
CAP
所以 2 7 6 0.0)()()()(
321 ???? APAPAPAP
“取出的 3个产品全是合格品”这一事件的对立事件
为 A=“取出的 3个产品中有次品”．由对立事件的概
率加法公式，有
7 2 4 0.0)(1)( ??? APAP
7.2.2 任意事件概率的加法公式
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [比赛 ]
某大学中文系一年级一班有 50名同学，在参加学校
举行的一次篮球和乒乓球比赛中，有 30人报名参加
篮球比赛，有 15人报名参加乒乓球比赛，有 10人报
名既参加篮球又参加乒乓球比赛，现从该班任选一
名同学，问该同学参加篮球或乒乓球比赛的概率．
解 我们通过如下集合图来进行分析,
设 A表示参加篮球比赛的同学,B表示参加乒乓球比赛
表示参加篮球或乒乓球比赛的同学，则由古典概率
50
10
50
15
50
30
50
101530)( ??????BAP ?
2.03.06.0 ???
)()()( ABPBPAP ???
公式，有
BA?的同学，则 A有 30人,B有 15人,AB有 10人，用
二,概念和公式的引出
任意事件概率的加法公式
如果 A与 B为任意两个事件，则
)()()()( ABPBPAPBAP ????
在如图所示的电路中，电器元件 a,b发生故障的概率
分别为 0.05,0.06,a与 b同时发生故障的概率为 0.003，
求此电路断路的概率．
三、进一步练习
练习 [电路分析 ]
解 设 A表示, 元件 a发生故障,, B表示, 元件 b发
生
BAC ??
由概率的加法公式得
)()()()()( ABPBPAPBAPCP ???? ?
107.0003.006.005.0 ????
故障”,C表示“电路断路”，则
7.2.3 条件概率
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [抛硬币 ]
(一 )独立事件
抛一枚硬币两次，第一次是否出现正面与第二次是否
出现正面互不影响．换言之，“第一次出现正面”这
一事件的发生不影响“第二次出现正面”这一事件的
发生的可能性大小．
如果事件 A的发生不影响事件 B发生的概率，事
件 B的发生也不影响事件 A发生的概率，那么称
事件 A与 B相互独立,
二,概念和公式的引出
独立事件
若 A与 B相互独立，则 A与 BABAB 与，与,
也相互独立．
掷一枚骰子两次，设 A表示“第一次掷出 2点”,B表
示“第二次掷出 2点”，显然 A与 B相互独立．
三、进一步练习
练习 [掷骰子 ]
一、案例 [抽签 ]
（二）条件概率
某单位在一次分房过程中，按职工工龄、职称、学历
进行积分排序选房，但选到最后一套住房时，甲乙两
人处于同一选房积分．于是决定由 2人抽签，确定选
房资格．
解 设 A表示“甲抽中”,B表示“乙抽中”，则 A发生
必然
影响 B发生的概率，同样 B发生必然影响 A发生的概率．
如果已知事件 A发生了，那么在事件 A发生的条件下，
二,概念和公式的引出
条件概率
同样在事件 B发生的条件下,A发生的概率也
)|( BAP称为 条件概率,记作
)|( ABPB发生的概率称为 条件概率,记作
设 A,B为两个随机事件，且事件 A的概率 0)( ?AP
条件概率的计算公式
则在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率
)|( ABP 为
)(
)()|(
AP
ABPABP ?
10张奖券中有 3张为中奖券, 其余为欢迎惠顾, 某人随
机抽取三次, 设 Ai表示, 第 i次抽中, （ i=1,2,3）, 试问：
（ 1） 第一次抽中的概率；
（ 2） 在第一次未抽中的情况下, 第二次抽中的概率；
（ 3）在第一、二次均未抽中的情况下，第三次抽中的
概率．
三、进一步练习
练习 1 [中奖率 ]
根据古典概率公式, 有解
10
3)(
1
10
1
3
1 ?? C
CAP（ 1）
（ 2）
3
1
9
3)|(
1
9
1
3
12 ??? C
CAAP
（ 3）
8
1)|(
1
8
1
3
213 ?? C
CAAAP
某仓库中有一批产品 200件, 它是由甲, 乙两厂共
同生产的, 其中甲厂的产品中有正品 100件, 次品
20件, 乙厂的产品中有正品 65件, 次品 15件, 现从
这批产品中任取一件, 设 A表示, 取到乙厂产品,,
B表示, 取到正品,, 试求 P(A),P(AB),P(B|A)
练习 2 [产品检验 ]
解 产品的分配情况见下表,
正品 次品 总数
甲厂 100 20 120
乙厂 65 15 80
总数 165 35 200
根据古典概率公式, 有
200
80)( ?AP
200
165)( ?BP
200
65)( ?ABP
求当 A发生的条件下, B发生的概率时, 基本事件总
数应为 80,即
80
65)|( ?ABP
显然,)|()( ABPBP ?,但是有
)(
)(
2 0 0/80
2 0 0/65
80
65)|(
AP
ABPABP ???
7.2.4 乘法公式
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [射击 ]
甲、乙二人各进行一次射击，如果两人击中目标
的概率都是 0.8，如何计算两人都击中目标的概率
呢？
分析,设 A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中
目标”,C表示“两人都击中目标”，则 C=AB．
此问题实际上是求 P(AB)．
二,概念和公式的引出
概率的乘法公式
)|()|()|()()( 12121312121 ?? nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP ???
若 A与 B相互独立，即
)()|( APBAP ? 或 )()|( BPABP ?
那么 )()()( BPAPABP ?
甲, 乙二人各进行一次射击, 如果两人击中目标的概
率都是 0.8,求
（ 1） 两人都击中目标的概率；
（ 2） 恰有 1人击中目标的概率,
三、进一步练习
练习 1 [射击 ]
解
由射击本身的要求, A发生不会影响 B发生的概率,
B发生不会影响 A发生的概率, 即 A与 B相互独立,
设 A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标”，
（ 1）“两人都击中目标”即为事件 AB，由乘法公式有
64.08.08.0)()()( ???? BPAPABP
同样分析可得, BABABA 与，与与,也是相互独立的．
)()()()( BPAPBPAP ??
（ 2）“恰有 1人击中目标”即为事件 BABA ?
)()()( BAPBAPBABAP ???
所以
8.0)8.01()8.01(8.0 ??????
32.0?
一批晶体管共 10只，其中一级品 7只，二级品 3只，从
中抽取三次，每次从中任取一只，取出后不再放回．
求三次都取到一级品的概率．
练习 2 [产品抽样 ]
解 设 Ai表示“第 i次取到一级品”（ i=1,2,3），则
第一次取到一级品的概率为
10
7)(
1 ?AP
第一次取到一级品时，第二次又取到一级品的概率为
3
2
9
6)|(
12 ??AAP
第一次、第二次都取到一级品，第三次取到一级品
由乘法公式得三次都取到一级品的概率为
)|()|()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP ?
24
7
8
5
3
2
10
7 ????
8
5)|(
213 ?AAAP
的概率为
