本课件由王科设计、开发
自然界的许多现象都具有周期性，如心
脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力
的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿
形波和三角波以及由空气的周期性振动产生
的声波等等。
内容简介
5.1 周期为 的周期函数展开成傅里叶级数?2
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
本课件由王科设计、开发
一、案例 [矩形波的叠加 ]
周期函数可表示为 f (T+t)=f (t),T为函数
F (t)的周期。如物理上, 正弦振动, 或
,简谐振动, 的运动方程为
)s in ()( ??? wtAxf
其中 A为振幅,w 为角频率,? 为初相。
本课件由王科设计、开发
电子技术中常用的周期 T的矩形波可看成若干个正弦波
叠加而成，如下图所示：
本课件由王科设计、开发
二,概念和公式的引出
三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和，
称为三角级数。它的一般形式为
?
?
?
???
1
0 )s i nc o s(
2)( k nn nxbnxa
axf
其中 ),2,1(,,
0 ??nbaa nn
为常数。
本课件由王科设计、开发
傅里叶级数
存在，则称它们为函数 f (x)的 傅里叶系数,由傅
里叶系数组成的三角级数
设 f (x)是周期为 的周期函数，如果?2
xnxxfa n dc o s)(1 ?
?
? ?
??
),3,2,1,0( ??n
xnxxfb n ds in)(1 ?
?
? ?
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),3,2,1( ??n
?
?
?
???
1
0 )s i nc o s(
2)( k nn nxbnxa
axf
称为 傅里叶级数 。
本课件由王科设计、开发
收敛定理
的周期函数 f (x)满足条件
（ 狄利克雷充分条件 ） 若周期为 ?2
（ 1）在区间 连续或只有有限个第一类间断点；],[ ???
（ 2）在区间 只有有限极值点，],[ ???
则函数 f (x)的 傅里叶级数收敛,且
（ 1）当是连续点时，级数收敛于 f (x) ；
（ 2）当是间断点时，级数收敛于
2
)0()0( ??? xfxf
本课件由王科设计、开发
三,进一步的练习
练习 1 [脉冲矩行波 ]
如右图所示，求此函数的
脉冲矩形波的信号函数 f (x)是以 ?2 为周期
的周期函数，它在 的表达式为],[ ???
?
?
?
??
?????
?
?
x
xxf
0,1
0,1)(
傅里叶级数展开式。
本课件由王科设计、开发
解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下,
因为函数 f (x)是奇函数，所以 f (x) cosnx是奇函数，
因此 f (x) cosnx ）（ ??,? 上积分为零．于是
0?na ）（ ?,2,1?n
0
2 ( ) s in d
nb f x n x x
?
?? ? ??
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2 xnx
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? 0
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?
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本课件由王科设计、开发
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6,4,2
5,3,1
0
4
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2
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????
n
n
nn
n
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于是，函数 f (x)的傅立叶级数展开式为
])12s i n (12 15s i n513s i n31[ s i n4)( ?? ???????? xnnxxxxf ?
由收敛定理知函数 f (x)在
)2,1,0,,( ??????????? kkxx ?
范围内与级数相等,即
])12s i n (12 15s i n513s i n31[ s i n4)( ?? ???????? xnnxxxxf ?
本课件由王科设计、开发
?kx ?当
此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示．
当 n分别 1,2,3,6取时，傅立叶
级数的部分和 Sn(x)图形与函数
f (x)的方波逼近的情况，类似
于本章开始演示的图形．
时，傅立叶级数收敛于
02 112 )0()0( ??????? ?? kfkf
本课件由王科设计、开发
练习 2 [脉冲三角信号 ]
已知脉冲三角信号 f (x)是以 ?2 为周期的周期函数，
它在 ],[ ??? 的表达式为
?
?
?
???
??????
?
?
xx
xxxf
0,1
0,1)(
如右图所示，将函数
f (x)展开成傅里叶级数。
本课件由王科设计、开发
解 因为函数 f (x)是偶函数，所以 f (x)sinnx是奇函数，
因此它在 ）（ ??,? 上积分为零．于是
0?nb ),2,1( ??n
?? ?? 00 d)(2 xxfa
? ? ??
0
211 ?? x
?? ?? 0 dc o s)(2 xnxxfa n
?
? 0
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n
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本课件由王科设计、开发
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2
2
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n
nn
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)( ?????? x
由于函数 f (x)在 ),( ???? 上连续，所以
)5 5c o s3 3c o s( c o s412)( 22 ??????? xxxxf ??
本课件由王科设计、开发
注：从以上几个例子可以得出下面结论：
),2,1(
),2,1,0(
ds i n)(
2
ds i n)(
1
0dc o s)(
1
0
?
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n
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n
n
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?
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?
(1) 当函数 f (x)是以 ?2 为周期的奇函数时，
傅立叶级数只含正弦项，称为 正弦级数,
本课件由王科设计、开发
),2,1(
),2,1,0(
0ds i n)(
1
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2
0
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(2) 当函数 f(x)是以 ?2 为周期的偶函数时，
傅立叶级数只含余弦项，称为 余弦级数,
本课件由王科设计、开发
练习 3 [锯齿脉冲信号 ]
如右图所示，将它展开成
设锯齿脉冲信号函数 f (x)的周期为 ?2,它在
的表达式为],[ ???
?
?
?
??
????
?
?
xx
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0,
0,0)(
傅里叶级数。
本课件由王科设计、开发
解 函数 f (x)为非奇非偶函数．计算傅立叶系数如下．
0
1 ( ) da f x x?
?? ?
? ?
2
2
0 2,4,6
1
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n
n
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????
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本课件由王科设计、开发
于是, 函数 f (x)的傅立叶级数展开式为
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自然界的许多现象都具有周期性，如心
脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力
的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿
形波和三角波以及由空气的周期性振动产生
的声波等等。
内容简介
5.1 周期为 的周期函数展开成傅里叶级数?2
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
本课件由王科设计、开发
一、案例 [矩形波的叠加 ]
周期函数可表示为 f (T+t)=f (t),T为函数
F (t)的周期。如物理上, 正弦振动, 或
,简谐振动, 的运动方程为
)s in ()( ??? wtAxf
其中 A为振幅,w 为角频率,? 为初相。
本课件由王科设计、开发
电子技术中常用的周期 T的矩形波可看成若干个正弦波
叠加而成，如下图所示：
本课件由王科设计、开发
二,概念和公式的引出
三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和，
称为三角级数。它的一般形式为
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1
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本课件由王科设计、开发
傅里叶级数
存在，则称它们为函数 f (x)的 傅里叶系数,由傅
里叶系数组成的三角级数
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本课件由王科设计、开发
收敛定理
的周期函数 f (x)满足条件
（ 狄利克雷充分条件 ） 若周期为 ?2
（ 1）在区间 连续或只有有限个第一类间断点；],[ ???
（ 2）在区间 只有有限极值点，],[ ???
则函数 f (x)的 傅里叶级数收敛,且
（ 1）当是连续点时，级数收敛于 f (x) ；
（ 2）当是间断点时，级数收敛于
2
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本课件由王科设计、开发
三,进一步的练习
练习 1 [脉冲矩行波 ]
如右图所示，求此函数的
脉冲矩形波的信号函数 f (x)是以 ?2 为周期
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本课件由王科设计、开发
解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下,
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此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示．
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级数的部分和 Sn(x)图形与函数
f (x)的方波逼近的情况，类似
于本章开始演示的图形．
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本课件由王科设计、开发
练习 2 [脉冲三角信号 ]
已知脉冲三角信号 f (x)是以 ?2 为周期的周期函数，
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f (x)展开成傅里叶级数。
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解 因为函数 f (x)是偶函数，所以 f (x)sinnx是奇函数，
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(1) 当函数 f (x)是以 ?2 为周期的奇函数时，
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本课件由王科设计、开发
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(2) 当函数 f(x)是以 ?2 为周期的偶函数时，
傅立叶级数只含余弦项，称为 余弦级数,
本课件由王科设计、开发
练习 3 [锯齿脉冲信号 ]
如右图所示，将它展开成
设锯齿脉冲信号函数 f (x)的周期为 ?2,它在
的表达式为],[ ???
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傅里叶级数。
本课件由王科设计、开发
解 函数 f (x)为非奇非偶函数．计算傅立叶系数如下．
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