第五节 函数的微分及其应用
一、案例
二,概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [热长冷缩 ]
考察
面积增加了多少？
当金属片 0x 变到 xx ??0受热边长由 时,金属片
边长为 x的正方形面积为 s=x2
当边长从 x0 变到 时，面积增量xx ??0
202020 )(2)( xxxxxxS ?????????
可以看出，面积的增量 S?
可近似地用 （绿色部分）代替,2 0x x?
二,概念和公式的引出
设函数 f (x)在点 x0的附近可导，则 0( )df x x?
称为函数 f (x)在点的 微分,记作
0d xxy ?
一般地，函数在任一点处的微分为 d ( ) dy f x x??
微分
x?微分在近似计算中的应用 当自变量的增量 很小时，
dyy?? 即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算．
在实践中往往利用微分函数增量的近似值。
三、进一步练习
练习 1 [金属立体受热后体积的改变量 ]
某一正方体金属的边长为 2cm，当金属受热
将,2?x 01.0??x 代入上式，得体积的微分
2
0.01
d x
x
V ?
??
233 2 0, 0 1 0, 1 2 (c m )? ? ? ?
边长增加 0.01cm时，体积的微分是多少？体积的
体积的微分为 3 2 2d ( ) d 3 d 3V x x x x x x?? ? ? ?解
改变量又是多少？
在,2?x 01.0??x 处体积的改变量为
2
0,01
x
x
V ?
??
? 3 3 3( 2 0, 0 1 ) 2 0, 1 2 0 6 (c m )? ? ? ?
练习 2 [电压改变量 ] 设有一电阻负载 R=25
现负载功率 P从 400W变到 401W，求负载两端电压
u的改变量。
故 d
ddd RPuPP? d2
R P
PR?
因为 P=400,R=25,dp=1,
14 0 0252 25 ???? u 125.0? （ V）
由电学知，负载功率
R
uP 2? 即 RPu ?解
，?
所以电压 u的改变量为
练习 3 [收入增加量 ]
函数为
2036
2x
xR ??,其中 x为公司一天的产量，如果公司
每天的产量从 250增加到 260，请估计每天的收入增加量．
某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入
收入增加量，则
10x??公司每天产量的增加量为,用 dR估计每天的解
1 0 1 0
2 5 0 2 5 0
xxR d R? ? ? ?
??
?? 10
250
2
( 3 6 )20
x
x
xxx
??
?
?? ? ? 10
250
( 3 6 )10 x
x
x x
??
?
? ? ?
250( 3 6 0 ) 1 1 0xx ?? ? ?
练习 5 [钟表误差 ] 一机械挂钟的钟摆的周期为 1s，在冬
季，摆长因热涨冷缩而缩短了 0.01cm，已知单摆的周
期为
g
lT ?2?,其中 980g ? cm/s，问这只钟每秒大约快
还是慢多少？
解 因为钟摆的周期为 1秒，所以有
g
l?21 ?
解之得摆的原长为 2)2( ?gl ?,又摆长的改变量为
0,0 1l? ? ? 厘米，用 dT 近似计算 T?,得
1dTT d T l l
dl gl?? ? ? ? ? ?
将
2( 2 )
gl
??, 0,0 1l? ? ? 代入上式得
)01.0(
)2(
1
2
??
?
?????
?
??
gg
l
gl
dTT
这就是说，由于摆长缩短了 0.01cm，钟摆的周期
相应地缩短了约 0.0002s．
22
( 0, 0 1 ) 0, 0 0 0 2g?? ? ? ? ?(s)
一、案例
二,概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [热长冷缩 ]
考察
面积增加了多少？
当金属片 0x 变到 xx ??0受热边长由 时,金属片
边长为 x的正方形面积为 s=x2
当边长从 x0 变到 时，面积增量xx ??0
202020 )(2)( xxxxxxS ?????????
可以看出，面积的增量 S?
可近似地用 （绿色部分）代替,2 0x x?
二,概念和公式的引出
设函数 f (x)在点 x0的附近可导，则 0( )df x x?
称为函数 f (x)在点的 微分,记作
0d xxy ?
一般地，函数在任一点处的微分为 d ( ) dy f x x??
微分
x?微分在近似计算中的应用 当自变量的增量 很小时，
dyy?? 即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算．
在实践中往往利用微分函数增量的近似值。
三、进一步练习
练习 1 [金属立体受热后体积的改变量 ]
某一正方体金属的边长为 2cm，当金属受热
将,2?x 01.0??x 代入上式，得体积的微分
2
0.01
d x
x
V ?
??
233 2 0, 0 1 0, 1 2 (c m )? ? ? ?
边长增加 0.01cm时，体积的微分是多少？体积的
体积的微分为 3 2 2d ( ) d 3 d 3V x x x x x x?? ? ? ?解
改变量又是多少？
在,2?x 01.0??x 处体积的改变量为
2
0,01
x
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练习 2 [电压改变量 ] 设有一电阻负载 R=25
现负载功率 P从 400W变到 401W，求负载两端电压
u的改变量。
故 d
ddd RPuPP? d2
R P
PR?
因为 P=400,R=25,dp=1,
14 0 0252 25 ???? u 125.0? （ V）
由电学知，负载功率
R
uP 2? 即 RPu ?解
，?
所以电压 u的改变量为
练习 3 [收入增加量 ]
函数为
2036
2x
xR ??,其中 x为公司一天的产量，如果公司
每天的产量从 250增加到 260，请估计每天的收入增加量．
某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入
收入增加量，则
10x??公司每天产量的增加量为,用 dR估计每天的解
1 0 1 0
2 5 0 2 5 0
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练习 5 [钟表误差 ] 一机械挂钟的钟摆的周期为 1s，在冬
季，摆长因热涨冷缩而缩短了 0.01cm，已知单摆的周
期为
g
lT ?2?,其中 980g ? cm/s，问这只钟每秒大约快
还是慢多少？
解 因为钟摆的周期为 1秒，所以有
g
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解之得摆的原长为 2)2( ?gl ?,又摆长的改变量为
0,0 1l? ? ? 厘米，用 dT 近似计算 T?,得
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将
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这就是说，由于摆长缩短了 0.01cm，钟摆的周期
相应地缩短了约 0.0002s．
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