2.4 高阶导数及其应用
2.4.1 高阶导数的概念
2.4.2 二阶导数的意义
2.4.1 高阶导数的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [加速度的表示 ]
我们知道，变速直线运动的速度 v(t)是路程函数 s(t)
关于时间 t的导数，即
t
stv
d
d)( ? 或 v t s t( ) ( )? ?,而加速度
a又是速度 v(t)关于时间 t的导数，即
???????? tsttva dddddd 或 ? ?a s t? ? ?( )
我们称这种导数
t
stv
d
d)( ? 的导数 ?
?
??
?
?
t
s
t d
d
d
d 或 ? ?? ?s t( )
为 s(t)对 t的二阶导数。
二,概念和公式的引出
对于函数 y= f (x),称 ?f x( ) 的导数为函数
二阶及二阶以上的导数统称为 高阶导数,
类似地，二阶导数 )(xf ?? 的导数称为 y= f (x)的 三阶导数,
y= f (x)的 n-1阶导数 )()1( xf n? 的导数称为 y= f (x)的 n阶导数,
n阶导数
的 二阶导导数,记作 y?? ()fx?? 或
2
2
d
d
x
y,。
()ny ()()nfx 或 d
d
n
n
y
x
记作,
y??? ()fx??? 或
3
3
d
d
x
y记作,
三,进一步的练习
34.02.19 tts ??
在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车
练习 1 [刹车测试 ]
假设汽车作直线运动，求汽车在 t=4s时的速度和
加速度．
行驶的距离（单位,m）与时间 t (单位,s)满足
汽车刹车后的速度为解
d
d
sv
t?
3(1 9, 2 0, 4 )tt ??? (m/s)，21 9,2 1,2 t??
汽车刹车后的加速度为
d
d
va
t?
2(1 9, 2 1, 2 )t ??? 2.4t?? (m/s2)，
t=4s时，汽车的速度为
t=4s时，汽车的加速度为
v? 2
4(1 9, 2 1, 2 ) tt ???
0 (m/s)，
a 42, 4 9, 6tt ?? ? ? ?(m/s2)，
2.4.2 二阶导数的意义
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会
和参议院削减了国防预算．但是他的对手却反驳道，
国会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，
若用 f (x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数
一、案例 [国防预算 ]
0)( ?? xf 预算仍然在增加，只是 0)( ??? xf 即预算的增长
变缓了．
二,概念和公式的引出
曲线的凹、凸与拐点,
在区间 I上任意作曲线 y=f (x)的切线，若曲线总是在
切线上方，则称此曲线在区间 I上是 凹的 ；若曲线
总是在切线下方，则称此曲线在区间 I上是 凸的,
曲线凹、凸性的分界点称为曲线的 拐点,
(a,b)内具有二阶导数，如果对于任意 ),( bax?,有
曲线凹凸性的判定,
设函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续，且在开区间
(1) 0)( ??? xf,则函数 f (x)在区间 [a,b]上是凹的；
(2) 0)( ??? xf,则函数 f (x)在区间 [a,b]上是凸的．
练习 1 [水量增加量 ]
的正、负符号分别为什么？
增加，但增加量越来越小，则,ddtW 2
2
d
d
W
t
解 因为水量 W随着时间的增加而增加，所以
d 0
d
W
t ?
但因为增加量越来越小，所以 2
2
d 0
d
W
t ?
如果一个容器中的水量 W随着时间的增加而
三,进一步练习
练习 2[通货膨涨 ]
在通货膨涨期间,p (t)将迅速增加。
(1) 通货膨涨仍然存在。
(2) 通货膨涨率正在下降。
(3) 在不久的将来，物价将稳定下来。
请用 p (t)的导数描述以下叙述：
设函数 p (t)表示在时刻 t某种产品的价格，则
表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来．
解 (1) 0)( ?? tp
表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。
(2) 表示通货膨涨存在，0)( ?? tp
( ) 0pt?? ? 表示通货膨涨率正在下降；
(3) ( ) 0pt? ?
练习 3 [股票曲线 ]
叙述判定 P(t)的一阶、二阶导数的正、负号．
(1) 股票价格上升得越来越快；
(2) 股票价格接近最低点；
(3) 如图所示为某种股票某天的价格
走势曲线，请说明该股票当天的走势．
假设 P(t)代表在时刻 t某公司的股票价格,请根据以下
(1) 股票价格上升得越来越快，一方面说明股票
另一方面说明上升的速度也是单调
(2) 股票价格接近最低点时，应满足 d 0
d
P
t ?
(3) 从某股票在某天的价格走势曲线可以看出，
此曲线是单调上升且为凸的，这说明该股票当日
解
d 0
d
P
t ?
价格在上升
2
2
d 0
d
P
t ?增加的，即
的价格上升得越来越慢．
2.4.1 高阶导数的概念
2.4.2 二阶导数的意义
2.4.1 高阶导数的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例 [加速度的表示 ]
我们知道，变速直线运动的速度 v(t)是路程函数 s(t)
关于时间 t的导数，即
t
stv
d
d)( ? 或 v t s t( ) ( )? ?,而加速度
a又是速度 v(t)关于时间 t的导数，即
???????? tsttva dddddd 或 ? ?a s t? ? ?( )
我们称这种导数
t
stv
d
d)( ? 的导数 ?
?
??
?
?
t
s
t d
d
d
d 或 ? ?? ?s t( )
为 s(t)对 t的二阶导数。
二,概念和公式的引出
对于函数 y= f (x),称 ?f x( ) 的导数为函数
二阶及二阶以上的导数统称为 高阶导数,
类似地，二阶导数 )(xf ?? 的导数称为 y= f (x)的 三阶导数,
y= f (x)的 n-1阶导数 )()1( xf n? 的导数称为 y= f (x)的 n阶导数,
n阶导数
的 二阶导导数,记作 y?? ()fx?? 或
2
2
d
d
x
y,。
()ny ()()nfx 或 d
d
n
n
y
x
记作,
y??? ()fx??? 或
3
3
d
d
x
y记作,
三,进一步的练习
34.02.19 tts ??
在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车
练习 1 [刹车测试 ]
假设汽车作直线运动，求汽车在 t=4s时的速度和
加速度．
行驶的距离（单位,m）与时间 t (单位,s)满足
汽车刹车后的速度为解
d
d
sv
t?
3(1 9, 2 0, 4 )tt ??? (m/s)，21 9,2 1,2 t??
汽车刹车后的加速度为
d
d
va
t?
2(1 9, 2 1, 2 )t ??? 2.4t?? (m/s2)，
t=4s时，汽车的速度为
t=4s时，汽车的加速度为
v? 2
4(1 9, 2 1, 2 ) tt ???
0 (m/s)，
a 42, 4 9, 6tt ?? ? ? ?(m/s2)，
2.4.2 二阶导数的意义
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会
和参议院削减了国防预算．但是他的对手却反驳道，
国会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，
若用 f (x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数
一、案例 [国防预算 ]
0)( ?? xf 预算仍然在增加，只是 0)( ??? xf 即预算的增长
变缓了．
二,概念和公式的引出
曲线的凹、凸与拐点,
在区间 I上任意作曲线 y=f (x)的切线，若曲线总是在
切线上方，则称此曲线在区间 I上是 凹的 ；若曲线
总是在切线下方，则称此曲线在区间 I上是 凸的,
曲线凹、凸性的分界点称为曲线的 拐点,
(a,b)内具有二阶导数，如果对于任意 ),( bax?,有
曲线凹凸性的判定,
设函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续，且在开区间
(1) 0)( ??? xf,则函数 f (x)在区间 [a,b]上是凹的；
(2) 0)( ??? xf,则函数 f (x)在区间 [a,b]上是凸的．
练习 1 [水量增加量 ]
的正、负符号分别为什么？
增加，但增加量越来越小，则,ddtW 2
2
d
d
W
t
解 因为水量 W随着时间的增加而增加，所以
d 0
d
W
t ?
但因为增加量越来越小，所以 2
2
d 0
d
W
t ?
如果一个容器中的水量 W随着时间的增加而
三,进一步练习
练习 2[通货膨涨 ]
在通货膨涨期间,p (t)将迅速增加。
(1) 通货膨涨仍然存在。
(2) 通货膨涨率正在下降。
(3) 在不久的将来，物价将稳定下来。
请用 p (t)的导数描述以下叙述：
设函数 p (t)表示在时刻 t某种产品的价格，则
表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来．
解 (1) 0)( ?? tp
表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。
(2) 表示通货膨涨存在，0)( ?? tp
( ) 0pt?? ? 表示通货膨涨率正在下降；
(3) ( ) 0pt? ?
练习 3 [股票曲线 ]
叙述判定 P(t)的一阶、二阶导数的正、负号．
(1) 股票价格上升得越来越快；
(2) 股票价格接近最低点；
(3) 如图所示为某种股票某天的价格
走势曲线，请说明该股票当天的走势．
假设 P(t)代表在时刻 t某公司的股票价格,请根据以下
(1) 股票价格上升得越来越快，一方面说明股票
另一方面说明上升的速度也是单调
(2) 股票价格接近最低点时，应满足 d 0
d
P
t ?
(3) 从某股票在某天的价格走势曲线可以看出，
此曲线是单调上升且为凸的，这说明该股票当日
解
d 0
d
P
t ?
价格在上升
2
2
d 0
d
P
t ?增加的，即
的价格上升得越来越慢．
