第三节 导数的应用
2.3.1 函数的单调性
2.3.2 函数的极值与最值
2.3.1 函数的单调性
一、案例
二、概念和公式的引出
三,进一步练习
一、案例
案例 1[微波炉中食品的温度 ]
将一碗冷饭放进微波炉中，其温度 T 随着时间 t的
增加而升高．我们称函数 T=f (t) )0( ?t 是单调增加的．
案例 2[路程与速度的关系 ]
若做直线运动的物体的速度 d
( ) 0d svt t??,则 物体
()fx? 的正负符号之间存在着必然的联系。
()fx 单调性与其导数由此可见，函数
运动的时间越长，路程 s(t)越大，即 s(t)是单调增加的 。
二,概念和公式的引出
函数单调性的定义：
对于函数 )( xfy ?,若对任意的 x1,],[
2 bax ? 且
21 xx ?
，有 )()(
21 xfxf ?,则称函数 )( xfy ? 在
区间 [a,b]上 单调增加 ；否则，若有 )()( 21 xfxf ?,
则称函数 )( xfy ? 在区间 [a,b]上 单调减少 ；
如图所示：
设函数 )( xfy ? 在闭区间
],[ ba 上连续，在开区间 ),( ba 内可导，
(1) 若 0)( ?? xf,则函数 )(xfy ? 在闭区间 ],[ ba 上单调增加；
],[ ba，则函数(2) 若 0)( ?? xf )( xfy ? 在闭区间 上单调减少,
函数单调性的判定方法
从上图可以看出，单调增加（减少）函数的图形是一
条沿 x轴方向上升（下降）的曲线，此时如果函数在
每一点的导数都存在，我们发现曲线在该点处的切线
与 x轴正向的夹角为锐（钝）角，其斜率为正
（负）．
三、进一步练习
练习 1 [石油蕴藏 ] 假设 P为在 t年时地球的石油总
它的符号为正还是负？为什么？
解 假设没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源，
随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的
石油总蕴藏量 P(t)是一单调下降函数,
蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产生，
t
P
d
d并且 P以桶为单位计量,的单位是什么？它有何意义？
d 0
d
P
t ?
，因为 P的单位是桶,t 的单位是年，所以
t
P
d
d 的单位是桶 /年,
练习 2 [人口增长 ] 中国的人口总数 P （以 10亿
为单位）在 1993年 — 1995年间可近似地用方程
tP )0 1 4.1(15.1 ?? 来计算，其中 t是以 1993年为起点
的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在
这段时间是增长还是减少？
解 中国人口总数在 1993— 1995年间的增长率 (t>0)为
00 1 4.1ln)0 1 4.1(15.1dd ???? ttP
因此中国人口总数在 1993— 1995年期间是增长的,
2.3.2 函数的极值与最值
一、案例
二、概念和公式的引出
三,进一步练习
一、案例
如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可
乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径
与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半
径与高之比约为 1,2？
案例 1 [易拉罐的设计 ]
预报报道：, 重庆持续高温 32天，气温的极大值
案例 2 [温度变化 ]
2004年夏天，重庆、南京、上海等几个城市
持续高温,8月中下旬一天，中央电视台天气
达到了 40.9oC”．
二,概念和公式的引出
1、极值与极值点
0x在点设函数 ? ?xfy ? 的附近取值时有,)()( 0 xfxf ?
))()(( 0 xfxf ? 则称函数 )( xfy ? 在点 0x 有 极大值 (或 极小值 )
)( 0xf,函数的极小值统称为 极值,使函数取得极值的点
0x 称为函数的 极值点,
由此可见，极大值与极小值是一个局部概念．
(3)判定每个驻点和导数不存在的点 两
侧 (在 xi较小的邻域内 ) 的符号，依定理 4.10判
定 xi是否为 f(x)的极值点,
),,2,1( kix i ????
)(xf?
由定理判定函数极值一般步骤为：
).()1( xf ?求出
,
)()()2(
1 kxx
xfxf
，，
不存在的点的所有驻点和求出
???
?
观察可以看到,在极值点处或者函数的导数为零（如
x1,x2,x4,x6）或者导数不存在（如 x5 ）,今后，称使
0)( ?? xf 的点为函数 )( xfy ? 的驻点,
结合函数的单调性，下面给出极值的判别方法,
那么函数 f(x)在 x0处有极大值；
设函数 f(x)在 x0处连续且在 x0的某一去心邻域内可导，则：
函数极值的第一判别法
(1) 若当 x<x0时,0)( ?? xf ? ?f x( ) 0；当 x>x0时，
那么函数 f(x)在 x0处有极小值；
(2) 若当 x<x0时,0)( ?? xf? ?f x( ) 0 ；当 x>x0时，
.683 234 与极值点值的极求 xxxy ???
.),(1,00 21 内存在在，，得驻点令 ????????? yxxy
可知 x=0为 y的极小值点，极小值为 0.
xxxy 122412 23 ????
例 1
所给的函数定义域为, ),( ????解
.)1(12 2?? xx
非极值极小 0y
+0+0–
1(0,1)0x ),1( ??
y?
)0,(??
.2383 3
2
3
8
的极值与极值点求 xxy ??
.,0.1,10 21 不存在处在，得驻点令 yxxxy ???????
.)1)(1( 3 xxx ??? )1( 2313135 ????? ?? xxxxy
例 2
x –1 (–1,0) 0 (0,1) 1
– 0 + 不存在 – 0 +
y
极小值 极大值
０
极小值
),1( ??
y?
)1,( ???
8
9?
8
9?
所给的函数定义域为, ),( ????解
二、函数的最大值与最小值
由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数 f(x)
在区间 [a,b]上的整体性质，而极大值与极小值是函数
f(x)在某点邻域内的局部性质,
第一步 找出方程 ? ? 0?? xf 的根以及使 )(xf ? 不存在的点
求函数 f (x)在 上的最值的步骤如下, [,]a b
x1,x2,…,xn;
第二步 比较 f (x1),…,f (xn),f (a)及 f (b)的大小，最大者
就是函数 f (x)在区间 [a,b]上的最大值，最小者
就是函数 f (x)的最小值,
值与最小值.
上的最大在，求 ]2,1[)(4
2
5
3
1
)(设 23 ???? xfxxxxf
).1)(4(45)( 2 ??????? xxxxxf
.41)(0)( 21 ???? xxxf，xf,的驻点得到令
.
6
11
)1(
1]2,1[)(
?
??
f
xxf
最大值为
，上的最大值点为在可知,
3
2)2(
6
41)1(
6
11)1( ????? fff,，
例 3
由于所给函数为 [–1,2]上的连续函数,解
.641)1(1 ????? fx 最小值为，点为最小值
最小值.
上的最大值与在，求设 ]3,0[)()2(
3
2
1)( 3
2
xfxxf ???
.)(2,)2(94)( 3
1
不存在处在 xfxxxf ??????
?
，，,31)3(4321)0(1)2( 3 ???? fff
可知 f(x)在 [0,3]上的最大值点为 x=2，最大值为 f(2)=1.
.4321)0( 3??f
例 4
所给函数为 [0,3]上的连续函数,解
最小 值 点为 x=0，最小值为
.0)( 不存在的点?? xf
3）如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意
义表明函数的最大 (小 )值存在 (且不在定义区间的端
点上达到 )，那么所求驻点就是函数的最大 (小 )值点,
在求实际的问题中的最大 (小 )值时，步骤如下：
1）首先应该建立目标函数,
2）然后求出目标函数在定义区间内的驻点,
如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存
在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其
中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求
最小值,
一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，
发动机的效率 P（ %）与汽车的速度 v (单位,km/h)
30 0 0 0 4.07 6 8.0 vvp ??
问发动机的最大效率是多少？
解 求发动机的最大效率 p最大,即求函数
30 0 0 0 4.07 6 8.0 vvp ??
的最大值．先求极值点,
练习 1 [发动机的效率 ]
之间的关系为
三、进一步练习
d 0
d
p
v ?
令,得 v=80(单位,km/h),由实际问题知，
80p ?（ ） 41 (% )
此时发动机的效率最大，最大效率为
32d 0, 7 6 8 0, 0 0 0 0 4 0, 7 6 8 0, 0 0 0 1 2
d
p v v v
v ?? ? ? ?（）
练习 2 [容器的设计 ]
要设计一个容积为 500ml的圆柱形容器，其底面
解 设其底面半径为 r，高为 h，其表面积为
222S r h r????
容积为 2500V r h???
即
2
500h
r??
，代入 222S r h r????,得表面积
半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？
21000 2Sr
r ???
求导 S?
2
1000 4 r
r ?? ? ?
解 0S??,得唯一驻点 13500()
2r ??,
因为此问题的最小值一定存在，故此驻点
即为最小值点，将 13500()
2r ??
代入 2500 rh??,得
1
32000()h
??
,即 12rh ?
故当底面半径与高之比为 1,2时，所用材料最少．
练习 3 [油管铺设 ] 要铺设一石油管道，将石油
公里的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游 10公里
处．如果在水中铺设管道的费用为 6万元 /km，在河
边铺设管道的费用为 4万元 /km.试在河边找一点 P，
使管道铺设费最低,
从炼油厂输送到石油罐装点．炼油厂附近有条宽 2.5
解 设 P点距炼油厂的距离为 x,
22 5.2)10(64 ???? xxy )0( ?x
管道铺设费为 y，由题意有
22
22
[ ( 1 0 ) 2,5 ]' 4 6
2 ( 1 0 ) 2,5
xy
x
???? ? ?
??
令 0'?y,得驻点
20
1010 ??x
舍去大于 10的驻点，由实际问题知，最小值点为
764.7?x km,最低的管道铺设费为 18.51?y 万元,
2
6( 10 )4
(10 ) 6,25
x
x
???
??
设在电路中，电源电动势为 E，内阻为 r,（ E,r均为
常量），问负载电阻 R多大时，输出功率 P最大？
解 消耗在电阻 R上的功率 RIP 2?,其中 I是回路中的电流，
由欧姆定律知
rR
EI
??
，所以
2
2
)( rR
REP
?? )0( ??? R
要使 P最大,应使 d 0
d
P
R ?
，即
d
d
P
R ?
2
3 ( ) 0()
E rR
Rr? ? ??
练习 3 [最大输出功率 ]
2 2 2
4
( ) 2 ( )
()
E R r E R R r
Rr
? ? ?
?
得 rR ? 此时，
R
EP
4
2
?
由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在
),0( ? 内取得，所以必在 P的唯一驻点 R=r处取得,
因此，当 R=r时，输出功率最大为
R
EP
4
2
?
2.3.1 函数的单调性
2.3.2 函数的极值与最值
2.3.1 函数的单调性
一、案例
二、概念和公式的引出
三,进一步练习
一、案例
案例 1[微波炉中食品的温度 ]
将一碗冷饭放进微波炉中，其温度 T 随着时间 t的
增加而升高．我们称函数 T=f (t) )0( ?t 是单调增加的．
案例 2[路程与速度的关系 ]
若做直线运动的物体的速度 d
( ) 0d svt t??,则 物体
()fx? 的正负符号之间存在着必然的联系。
()fx 单调性与其导数由此可见，函数
运动的时间越长，路程 s(t)越大，即 s(t)是单调增加的 。
二,概念和公式的引出
函数单调性的定义：
对于函数 )( xfy ?,若对任意的 x1,],[
2 bax ? 且
21 xx ?
，有 )()(
21 xfxf ?,则称函数 )( xfy ? 在
区间 [a,b]上 单调增加 ；否则，若有 )()( 21 xfxf ?,
则称函数 )( xfy ? 在区间 [a,b]上 单调减少 ；
如图所示：
设函数 )( xfy ? 在闭区间
],[ ba 上连续，在开区间 ),( ba 内可导，
(1) 若 0)( ?? xf,则函数 )(xfy ? 在闭区间 ],[ ba 上单调增加；
],[ ba，则函数(2) 若 0)( ?? xf )( xfy ? 在闭区间 上单调减少,
函数单调性的判定方法
从上图可以看出，单调增加（减少）函数的图形是一
条沿 x轴方向上升（下降）的曲线，此时如果函数在
每一点的导数都存在，我们发现曲线在该点处的切线
与 x轴正向的夹角为锐（钝）角，其斜率为正
（负）．
三、进一步练习
练习 1 [石油蕴藏 ] 假设 P为在 t年时地球的石油总
它的符号为正还是负？为什么？
解 假设没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源，
随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的
石油总蕴藏量 P(t)是一单调下降函数,
蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产生，
t
P
d
d并且 P以桶为单位计量,的单位是什么？它有何意义？
d 0
d
P
t ?
，因为 P的单位是桶,t 的单位是年，所以
t
P
d
d 的单位是桶 /年,
练习 2 [人口增长 ] 中国的人口总数 P （以 10亿
为单位）在 1993年 — 1995年间可近似地用方程
tP )0 1 4.1(15.1 ?? 来计算，其中 t是以 1993年为起点
的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在
这段时间是增长还是减少？
解 中国人口总数在 1993— 1995年间的增长率 (t>0)为
00 1 4.1ln)0 1 4.1(15.1dd ???? ttP
因此中国人口总数在 1993— 1995年期间是增长的,
2.3.2 函数的极值与最值
一、案例
二、概念和公式的引出
三,进一步练习
一、案例
如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可
乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径
与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半
径与高之比约为 1,2？
案例 1 [易拉罐的设计 ]
预报报道：, 重庆持续高温 32天，气温的极大值
案例 2 [温度变化 ]
2004年夏天，重庆、南京、上海等几个城市
持续高温,8月中下旬一天，中央电视台天气
达到了 40.9oC”．
二,概念和公式的引出
1、极值与极值点
0x在点设函数 ? ?xfy ? 的附近取值时有,)()( 0 xfxf ?
))()(( 0 xfxf ? 则称函数 )( xfy ? 在点 0x 有 极大值 (或 极小值 )
)( 0xf,函数的极小值统称为 极值,使函数取得极值的点
0x 称为函数的 极值点,
由此可见，极大值与极小值是一个局部概念．
(3)判定每个驻点和导数不存在的点 两
侧 (在 xi较小的邻域内 ) 的符号，依定理 4.10判
定 xi是否为 f(x)的极值点,
),,2,1( kix i ????
)(xf?
由定理判定函数极值一般步骤为：
).()1( xf ?求出
,
)()()2(
1 kxx
xfxf
，，
不存在的点的所有驻点和求出
???
?
观察可以看到,在极值点处或者函数的导数为零（如
x1,x2,x4,x6）或者导数不存在（如 x5 ）,今后，称使
0)( ?? xf 的点为函数 )( xfy ? 的驻点,
结合函数的单调性，下面给出极值的判别方法,
那么函数 f(x)在 x0处有极大值；
设函数 f(x)在 x0处连续且在 x0的某一去心邻域内可导，则：
函数极值的第一判别法
(1) 若当 x<x0时,0)( ?? xf ? ?f x( ) 0；当 x>x0时，
那么函数 f(x)在 x0处有极小值；
(2) 若当 x<x0时,0)( ?? xf? ?f x( ) 0 ；当 x>x0时，
.683 234 与极值点值的极求 xxxy ???
.),(1,00 21 内存在在，，得驻点令 ????????? yxxy
可知 x=0为 y的极小值点，极小值为 0.
xxxy 122412 23 ????
例 1
所给的函数定义域为, ),( ????解
.)1(12 2?? xx
非极值极小 0y
+0+0–
1(0,1)0x ),1( ??
y?
)0,(??
.2383 3
2
3
8
的极值与极值点求 xxy ??
.,0.1,10 21 不存在处在，得驻点令 yxxxy ???????
.)1)(1( 3 xxx ??? )1( 2313135 ????? ?? xxxxy
例 2
x –1 (–1,0) 0 (0,1) 1
– 0 + 不存在 – 0 +
y
极小值 极大值
０
极小值
),1( ??
y?
)1,( ???
8
9?
8
9?
所给的函数定义域为, ),( ????解
二、函数的最大值与最小值
由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数 f(x)
在区间 [a,b]上的整体性质，而极大值与极小值是函数
f(x)在某点邻域内的局部性质,
第一步 找出方程 ? ? 0?? xf 的根以及使 )(xf ? 不存在的点
求函数 f (x)在 上的最值的步骤如下, [,]a b
x1,x2,…,xn;
第二步 比较 f (x1),…,f (xn),f (a)及 f (b)的大小，最大者
就是函数 f (x)在区间 [a,b]上的最大值，最小者
就是函数 f (x)的最小值,
值与最小值.
上的最大在，求 ]2,1[)(4
2
5
3
1
)(设 23 ???? xfxxxxf
).1)(4(45)( 2 ??????? xxxxxf
.41)(0)( 21 ???? xxxf，xf,的驻点得到令
.
6
11
)1(
1]2,1[)(
?
??
f
xxf
最大值为
，上的最大值点为在可知,
3
2)2(
6
41)1(
6
11)1( ????? fff,，
例 3
由于所给函数为 [–1,2]上的连续函数,解
.641)1(1 ????? fx 最小值为，点为最小值
最小值.
上的最大值与在，求设 ]3,0[)()2(
3
2
1)( 3
2
xfxxf ???
.)(2,)2(94)( 3
1
不存在处在 xfxxxf ??????
?
，，,31)3(4321)0(1)2( 3 ???? fff
可知 f(x)在 [0,3]上的最大值点为 x=2，最大值为 f(2)=1.
.4321)0( 3??f
例 4
所给函数为 [0,3]上的连续函数,解
最小 值 点为 x=0，最小值为
.0)( 不存在的点?? xf
3）如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意
义表明函数的最大 (小 )值存在 (且不在定义区间的端
点上达到 )，那么所求驻点就是函数的最大 (小 )值点,
在求实际的问题中的最大 (小 )值时，步骤如下：
1）首先应该建立目标函数,
2）然后求出目标函数在定义区间内的驻点,
如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存
在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其
中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求
最小值,
一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，
发动机的效率 P（ %）与汽车的速度 v (单位,km/h)
30 0 0 0 4.07 6 8.0 vvp ??
问发动机的最大效率是多少？
解 求发动机的最大效率 p最大,即求函数
30 0 0 0 4.07 6 8.0 vvp ??
的最大值．先求极值点,
练习 1 [发动机的效率 ]
之间的关系为
三、进一步练习
d 0
d
p
v ?
令,得 v=80(单位,km/h),由实际问题知，
80p ?（ ） 41 (% )
此时发动机的效率最大，最大效率为
32d 0, 7 6 8 0, 0 0 0 0 4 0, 7 6 8 0, 0 0 0 1 2
d
p v v v
v ?? ? ? ?（）
练习 2 [容器的设计 ]
要设计一个容积为 500ml的圆柱形容器，其底面
解 设其底面半径为 r，高为 h，其表面积为
222S r h r????
容积为 2500V r h???
即
2
500h
r??
，代入 222S r h r????,得表面积
半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？
21000 2Sr
r ???
求导 S?
2
1000 4 r
r ?? ? ?
解 0S??,得唯一驻点 13500()
2r ??,
因为此问题的最小值一定存在，故此驻点
即为最小值点，将 13500()
2r ??
代入 2500 rh??,得
1
32000()h
??
,即 12rh ?
故当底面半径与高之比为 1,2时，所用材料最少．
练习 3 [油管铺设 ] 要铺设一石油管道，将石油
公里的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游 10公里
处．如果在水中铺设管道的费用为 6万元 /km，在河
边铺设管道的费用为 4万元 /km.试在河边找一点 P，
使管道铺设费最低,
从炼油厂输送到石油罐装点．炼油厂附近有条宽 2.5
解 设 P点距炼油厂的距离为 x,
22 5.2)10(64 ???? xxy )0( ?x
管道铺设费为 y，由题意有
22
22
[ ( 1 0 ) 2,5 ]' 4 6
2 ( 1 0 ) 2,5
xy
x
???? ? ?
??
令 0'?y,得驻点
20
1010 ??x
舍去大于 10的驻点，由实际问题知，最小值点为
764.7?x km,最低的管道铺设费为 18.51?y 万元,
2
6( 10 )4
(10 ) 6,25
x
x
???
??
设在电路中，电源电动势为 E，内阻为 r,（ E,r均为
常量），问负载电阻 R多大时，输出功率 P最大？
解 消耗在电阻 R上的功率 RIP 2?,其中 I是回路中的电流，
由欧姆定律知
rR
EI
??
，所以
2
2
)( rR
REP
?? )0( ??? R
要使 P最大,应使 d 0
d
P
R ?
，即
d
d
P
R ?
2
3 ( ) 0()
E rR
Rr? ? ??
练习 3 [最大输出功率 ]
2 2 2
4
( ) 2 ( )
()
E R r E R R r
Rr
? ? ?
?
得 rR ? 此时，
R
EP
4
2
?
由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在
),0( ? 内取得，所以必在 P的唯一驻点 R=r处取得,
因此，当 R=r时，输出功率最大为
R
EP
4
2
?
