第三节 函数的连续性
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一,案例 [人体高度的连续变化 ]
我们知道，人体的高度 h是时间 t的函数 h(t)，
由此可见，可以用极限给出函数连续的概念。
h随着 t的变化而连续变化。事实上，当时间 t的
t? h?变化 很微小时，人的高度 的变化 也很微小，
0??t 0??h即当 时,。
二,概念和公式的引出
函数的增量 若 设变量 u从一个初值 u1变到终值 u2，
终值与初值之差 u2-u1称为变量 u的 增量,记作 u? 。
即
12 uuu ???
设函数 f (x)在点 x0的附近内有定义，当自变量 x在点 x0
取得增量 0xxx ??? 时，函数
? ? ? ?00 xfxxfy ?????
f (x)相应的增量为（如右图）
函数连续 设函数 f(x)在点 x0的附近有定义，若
连续,否则称函数 f(x)在点 x0间断 。
如果函数 f(x)在开区间 （ a,b) 内每点连续，则称 函数
0lim 0 ???? yx )()(lim 00 xfxfxx ??，（或 ），则称函数 f(x)在点 x0
f(x)在开区间内连续 。
简单地说，连续函数的图形能一笔画成。 。
函数 f (x)在点 x0连续，必须满足下列三个条件：
（ 1）函数 f (x)在点 x0处有定义；
（ 2） )(lim
0 xfxx?
存在；
（ 3）
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
由函数连续的定义可以看出：函数 f (x)在点 x0连续
函数 f (x)在点 x0处连续 ? )()(lim
00 xfxfxx ??
即 若函数 f (x)在点 x0连续，则函数 f (x)在点 x0处的
极限等于函数 f (x)在点 x0处的函数值 f (x0),
根据函数 y= f (x)在点 x0处的极限情况，函数的间断点
可分为以下两类：
第一类间断点,
第二类间断点,不为第一类间断点的间断点．
都存在的间断点；)(lim 0
0
xfxx ?? )(lim 0
0
xfxx ??、
三,进一步练习
练习 1 [电流的连续性 ]
如导线中电流通常是连续变化的，但当电流
突然为 0，这时连续性被破坏而出现间断。
增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流就
练习 2 [矩形波的连续性 ]
无线电技术中会遇到如图所示的
-2l,-l,0,l,2l 等处发生间断。
电压波形（矩形波），显然电压在
练习 3 [出租车费 ]
设某城市出租车白天的收费 y(单位,元 )
7
70
)7(1.24.13
,2.15)(
?
??
??
?
??
??
x
x
x
xxf
)(lim7 xfx?（ 1）求
)(xf 是连续函数吗？（ 2）
与路程 x（单位,km）之间的关系为：
解
由初等函数的连续性以及以上的分析知，
因为 )2.15(lim)(lim
0707 xxf xx ?? ????
=13.4
)]7(1.24.13[lim)(lim 0707 ??? ???? xxf xx =13.4
所以 )(lim
7 xfx?
=13.4
)(xf 是连续函数。
练习 4[冰融化所需要的热量 ]
（单位,J（焦尔））为：
0
040
,4202.4
,841.2)(
?
???
?
?
?
?
??
x
x
x
xxf
试问当 时，函数是否连续？并解
释其几何意义。
0?x
设 1g冰从 -40oC升到 xoC所需要的热量
解
0
040
,4202.4
,841.2)(
?
???
??
?
?
??
x
x
x
xxf
84)841.2(lim)(lim 0000 ??? ???? xxf xx
420)4202.4(lim)(lim 0000 ??? ???? xxf xx
)(lim)(lim 0000 xfxf xx ???? ?
所以，函数 f(x) 在 x=0 处不连续。
习题 5 [药物注射 ] 一个病人每隔 4小时注射一次 150
毫克药物，下图显示了病人血液中药物的总量 f(t)
与时间 t之间的关系，判断函数在 t=12时是否连
续．
解 因为
1 2 0l im ( ) 1 5 0t fx?? ?
1 2 0l im ( ) 3 0 0t fx?? ?
所以
12lim ( )t fx?
不存在
函数在 t=12时不连续．
习题 4 [停车场收费 ] 一个停车场第一个小时（或
不到一小时）收费 3元，以后每小时（或不到整时）
收费 2元，每天最多收费 10元．讨论此函数在 th时
的连续性以及此函数的间断点，并说明其实际意
义．
解 设停车场第 t小时的收费为 y
3 0 1
3 2 1 4 1
1 0 2 4 4
t
y t t
t
???
?
? ? ? ? ???? ??
? ??
?
其中 为向上取整函数????
3 0 1
5 1 2
7 2 3
9 3 4
10 4 24
t
t
y t
t
t
???
?
??
?
?
? ???
?
??
?
????
或建立如下关系式：
因为
20lim 7t y?? ? 20
lim 5t y?? ?
所以
2limt y?
不存在，函数在 t=2处不连续。
由于超过整时后，收费价格会突然增加，因此，
在停车时，为节省费用，应尽量控制在整时之
内。由于一天的停车费最高价格不超过 10元，
因此，超过 3小时后，可以不急于取车。
此函数在 t=1,2,3处间断。 停车小窍门
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一,案例 [人体高度的连续变化 ]
我们知道，人体的高度 h是时间 t的函数 h(t)，
由此可见，可以用极限给出函数连续的概念。
h随着 t的变化而连续变化。事实上，当时间 t的
t? h?变化 很微小时，人的高度 的变化 也很微小，
0??t 0??h即当 时,。
二,概念和公式的引出
函数的增量 若 设变量 u从一个初值 u1变到终值 u2，
终值与初值之差 u2-u1称为变量 u的 增量,记作 u? 。
即
12 uuu ???
设函数 f (x)在点 x0的附近内有定义，当自变量 x在点 x0
取得增量 0xxx ??? 时，函数
? ? ? ?00 xfxxfy ?????
f (x)相应的增量为（如右图）
函数连续 设函数 f(x)在点 x0的附近有定义，若
连续,否则称函数 f(x)在点 x0间断 。
如果函数 f(x)在开区间 （ a,b) 内每点连续，则称 函数
0lim 0 ???? yx )()(lim 00 xfxfxx ??，（或 ），则称函数 f(x)在点 x0
f(x)在开区间内连续 。
简单地说，连续函数的图形能一笔画成。 。
函数 f (x)在点 x0连续，必须满足下列三个条件：
（ 1）函数 f (x)在点 x0处有定义；
（ 2） )(lim
0 xfxx?
存在；
（ 3）
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
由函数连续的定义可以看出：函数 f (x)在点 x0连续
函数 f (x)在点 x0处连续 ? )()(lim
00 xfxfxx ??
即 若函数 f (x)在点 x0连续，则函数 f (x)在点 x0处的
极限等于函数 f (x)在点 x0处的函数值 f (x0),
根据函数 y= f (x)在点 x0处的极限情况，函数的间断点
可分为以下两类：
第一类间断点,
第二类间断点,不为第一类间断点的间断点．
都存在的间断点；)(lim 0
0
xfxx ?? )(lim 0
0
xfxx ??、
三,进一步练习
练习 1 [电流的连续性 ]
如导线中电流通常是连续变化的，但当电流
突然为 0，这时连续性被破坏而出现间断。
增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流就
练习 2 [矩形波的连续性 ]
无线电技术中会遇到如图所示的
-2l,-l,0,l,2l 等处发生间断。
电压波形（矩形波），显然电压在
练习 3 [出租车费 ]
设某城市出租车白天的收费 y(单位,元 )
7
70
)7(1.24.13
,2.15)(
?
??
??
?
??
??
x
x
x
xxf
)(lim7 xfx?（ 1）求
)(xf 是连续函数吗？（ 2）
与路程 x（单位,km）之间的关系为：
解
由初等函数的连续性以及以上的分析知，
因为 )2.15(lim)(lim
0707 xxf xx ?? ????
=13.4
)]7(1.24.13[lim)(lim 0707 ??? ???? xxf xx =13.4
所以 )(lim
7 xfx?
=13.4
)(xf 是连续函数。
练习 4[冰融化所需要的热量 ]
（单位,J（焦尔））为：
0
040
,4202.4
,841.2)(
?
???
?
?
?
?
??
x
x
x
xxf
试问当 时，函数是否连续？并解
释其几何意义。
0?x
设 1g冰从 -40oC升到 xoC所需要的热量
解
0
040
,4202.4
,841.2)(
?
???
??
?
?
??
x
x
x
xxf
84)841.2(lim)(lim 0000 ??? ???? xxf xx
420)4202.4(lim)(lim 0000 ??? ???? xxf xx
)(lim)(lim 0000 xfxf xx ???? ?
所以，函数 f(x) 在 x=0 处不连续。
习题 5 [药物注射 ] 一个病人每隔 4小时注射一次 150
毫克药物，下图显示了病人血液中药物的总量 f(t)
与时间 t之间的关系，判断函数在 t=12时是否连
续．
解 因为
1 2 0l im ( ) 1 5 0t fx?? ?
1 2 0l im ( ) 3 0 0t fx?? ?
所以
12lim ( )t fx?
不存在
函数在 t=12时不连续．
习题 4 [停车场收费 ] 一个停车场第一个小时（或
不到一小时）收费 3元，以后每小时（或不到整时）
收费 2元，每天最多收费 10元．讨论此函数在 th时
的连续性以及此函数的间断点，并说明其实际意
义．
解 设停车场第 t小时的收费为 y
3 0 1
3 2 1 4 1
1 0 2 4 4
t
y t t
t
???
?
? ? ? ? ???? ??
? ??
?
其中 为向上取整函数????
3 0 1
5 1 2
7 2 3
9 3 4
10 4 24
t
t
y t
t
t
???
?
??
?
?
? ???
?
??
?
????
或建立如下关系式：
因为
20lim 7t y?? ? 20
lim 5t y?? ?
所以
2limt y?
不存在，函数在 t=2处不连续。
由于超过整时后，收费价格会突然增加，因此，
在停车时，为节省费用，应尽量控制在整时之
内。由于一天的停车费最高价格不超过 10元，
因此，超过 3小时后，可以不急于取车。
此函数在 t=1,2,3处间断。 停车小窍门
