如何用准确地刻画无限接近这一过程呢? 十
九世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的
面积、体积等．十九世纪之后,柯西 以物体运动
为背景，结合几何直观，引入了极限概念．后来，
维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述．极
限概念的创立，是微积分严格化的关键．它奠定
了微积分学的基础．
背景
1.2 函数的极限
1.2.1 函数的极限的概念
（一） 函数的极限
（二） 函数的极限
1.2.2 单侧极限
1.2.3 数列的极限
1.2.4 无穷大与无穷小
1.2.5 函数极限的运算
x ??
0xx?
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.1 函数极限的概念（一）
一、案例
将一盆 800C的热水放在一间室温为 200C的
房间里，水的温度将逐渐降低，随着时间的
推移，水温会越来越接近室温 200C。
案例 1 [水温的变化趋势 ]
在某一自然保护区中生长的一群野生动物，其
群体数量会逐渐增长，但随着时间的推移，由
于自然环境保护区内各种资源的限制，这一动
物群体不可能无限地增大，它应达到某一饱和
案例 2 [自然保护区中动物数量的变化规律 ]
状态，如右图所示,饱和
时野生动物群的数量．
??t状态就是时间
二,概念和公式的引出
当 时函数的极限??x )(xf 当自变量 x设函数
,Axf ?)(x??（或 ）
)(xf的绝对值无限增大时，相应的函数 值 无限
??xA A )(xf接近于,则称 为函数 当 时的
Axfx ??? )(lim
极限,记作,
三、进一步练习
练习 1
(让取值越来越大 ),
0.0000010.000010.00010.0010.010.11
1000000100000100001000100101x
xxf 1)( ?
…
…
…-0.00001-0.0001-0.001-0.01-0.1-1
…-100000-10000-1000-100-10-1x
xxf 1)( ?
-1000000
-0.000001
下面考察函数
xy
1? 在自变量 ??x 时的变化情况
??x
可以观察出，当自变量
xxf
1)( ?
与 0无限接近．
时，
练习 2 [并联电路电阻 ]
?一个 5 的电阻器与一个电阻为 R的可变电阻
R
RR
T ?? 5
5并联，电路的总电阻,当可变电阻
5lim
5R
R
R? ?? ?
总电阻的极限，即,
通过列表法或图形法可知,
R ? ?? 这条支路断路时电路的总电阻为时电路的
5lim
5R
R
R? ?? ? 5?
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.1 函数极限的概念（二）
一、案例 [人影长度 ]
考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度．
若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度
影子长度越来越短，当人越来越接近
0?x ）时，其影子的长度越来
0?y越短，逐渐趋于 0（ ）。
为 H 。由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其
目标（
当 时函数的极限0xx ?
二, 概念和公式的引出
Axfxx ?? )(lim
0
Axf ?)( 0xx ? )或 (
若函数 f (x)当自变量 x无限趋近于时无限趋近于 x0时，
相应的函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为函数
其中,lim”代表极限 (limit)，极限符号下面的
表示自变量 x无限趋近于时无限趋近于 x0．
0xx? 时的极限，记作f (x)当
0xx?
为了正确理解函数极限的概念，下面就函数极限
0
li m ( )xx f x A? ? 说明两点
(1) x趋近于 x0的方式是任意的，即 x既可能从 x0的左
侧趋近于 x0，也可能从 x0的右侧趋近于 x0，而相应
的函数值都应无限接近于 A．
有定义无关．
0
l i m ( )xx f x A? ?(2) 与函数 f (x)在 x0处是否
观察下面 6个函数图形
ax ?从上图可以看出，当,只有 (a),(b),(c)
中的函数 f (x),g (x),h (x)趋近于 l，即
lxhxgxf axaxax ??? ??? )(lim)(lim)(lim
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
1
1)( 3
?
??
x
xxf 1?x函数 在 处无意义
三、进一步练习
练习 1
1?x 时，当
讨论函数
1
1)( 3
?
??
x
xxf 1?x当 时的极限。
013 ??x 分母 01 ??x分子,
311
3
???xx1?x由此可见，当 时，函数,
0.9
2.71
?
?
1.001
3.003
?
?
x
3 1
1
x
x
?
?
1
1
1)( 3
?
??
x
xxf函数 1?x让（ ）取值，1?x
3
，
0.99 0.999
2.97 2.997
1.01 1.1
3.03 3.31
练习 2 [人影长度的极限分析 ]
0lim 0 ??? xhH hx0??? xhH hy 即
设 H为路灯的高度,h为人的高度,x为人离目标
yx
y
H
h
??
的距离。由
解出人影高度为 x
hH
hy
?? hH
h
?，其中
是常数，当人越来越接近路灯的目标
0?x（ ）时，显然，人影高度
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.2 单侧极限
一、案例 [矩形波形曲线分析 ]
??
?
??
????
?
?
x
x
Axf 0
0
,
,0)( 0?A
矩形波在一个周期 [,]??? 内的函数为
)(xf 0?x函数 处的极限是多少？在
二、概念和公式的引出
函数单侧极限 (左极限、右极限 )
若函数 f (x)当自变量 x从 x0的左侧（右侧） 无限趋近
于 x0时，相应的函数值 f (x)无限接近于某个常数 A，
则称 A为函数 f (x)在 x0处的 左 （ 右 ） 极限, 记作
Axfxx ??? )(lim 0
0
Axfxx ??? )(lim 0
0
（或 ）
函数极限与函数左右极限的关系
??? Axfxx )(lim
0
??? )(lim 0
0
xfxx Axfxx ??? )(lim 0
0
三、进一步练习
练习 1 [矩形波分析 ]
下图所示的矩形波的函数表达式为
?
?
?
??
????
?
?
x
x
Axf 0
0
,
,0)( ( 0)A ?
00lim)(lim 0000 ?? ???? xx xf因为
AAxf xx ?? ???? 0000 lim)(lim
???? 0)(lim 00 xfx )(lim 00 xfA x ???
所以，此函数在 x =0处的极限不存在．
而
练习 2 [电流 ]
在一个电路中的电荷量 Q由下式定义
0
0
,
,
?
?
??
????
? t
t
Ce
C
Q
RC
t
其中 C,R为正的常数值，分析电荷量 Q在时间
0?t 时的极限．
解 因为
0 0 0 0l im l imttQ C C? ? ? ??? 0 0 0 0
l im l im
t
RC
ttQ C e C
?
? ? ? ???
0 0 0 0l im l imttQ C Q? ? ? ???
由于,所以
0limt QC? ?
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.3 数列的极限
一、案例 [圆面积的计算 ]
用圆的内接或外切多边形穷竭的方法求圆面积
和圆周长。
割圆术
An，这样得到一数列
“割圆术, 求圆面积的作法和思路：
A1,A2,A3,…, An,…
先作圆的内接正三边形，把它的面积记作 A1，
再作内接正六边形，其面积记作 A2，再作内接正
十二边形，其面积，其面积记作 A3,…,照此
下去，把圆的内接正 3× 2n-1(n=1,2,…) 边形的面积
由图形可以直观看出 An 圆的面积。
二、概念和公式的引出
数列的极限
若对于数列｛ xn｝,当 n无限增大时，数列的
通项 xn无限接近于常数 A，则称 A是数列｛ xn｝的
极限,或称数列｛ xn｝ 收敛 于 A,记作
Ax nn ???lim 或 )??? nAx n （
若数列｛ xn｝没有极限，则称数列｛ xn｝是 发散 的。
三、进一步练习
练习 1 [循环数 ]
观察循环数列
｝，或｛，，，,?
?
?n
k
k
1 10
199 9 9 9.0999.099.09.0 ?
的变化趋势，可以看出，随着项数 n的无限增大，
此数列无限接近于 1，即
11019lim
1
???
???
n
k
kn
练习 2 [弹球模型 ]
一只球从 100米的高空掉下，每次弹回的高度为
3
2,这样下去，用球第上次高度的 ??,,,2,1 n 次
的高度来表示球的运动规律，则得数列
??
???
??
??? ?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
??? ?? 112
3
2100,
3
2100,,
3
2100,
3
2100100 nn 或,??
从数列的变化趋势可以看出，随着次数 n的无限
增大，数列无限接近于 0，即
0321 00lim
1
????????
?
??
n
n
li m 0,1nn qq?? ??
练习 3 [存款分析 ]
若某人有本金 A元，银行存款的年利率为 r，不
考虑个人所得税．试建立此人 n年末的本利和数
列，并分析此数列的极限，解释其实际意义．
解 n年末的本利和为
nn rAA )1( ??
l i m l i m ( 1 ) nnnnA A r? ? ? ?? ? ? ? ?
li m,1nn qq?? ? ? ?
其实际意义为：存款时间越长，本利和越大，
当存款时间无限长时，本利和也无限增大．
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.4 无穷大与无穷小
一、案例 [洗涤效果 ]
在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上
残留的污质就越少。当洗涤次数无限增大时，
衣物上的污质量趋于零。
二、概念和公式的引出
无穷小
无穷大
0)(lim ?? xfcx若,则称函数 f (x)当 cx?
时为 无穷小 （ 量 ）。
若当 cx? 时，对应的函数值 f (x)的绝对值
)(xf 无限增大，则称 f (x)当 cx? 时为 无穷大 (量 )。
记作 ??
? )(lim xfcx
．
注, 无穷小是一个变量，而不是常量。很小的数
除 0外）都不是无穷小。
无穷小和无穷大的关系
)(xf ( ( ) 0 )fx ? 是无穷小 ? )(1xf 是无穷大。
注, 同理，无穷大也是一个变量，而不是常量。很大
的数（如 1万,1亿等）都不是无穷大。
三、进一步练习
练习 1 [单摆运动 ]
单摆离开铅直位臵的偏度可以用角 θ 来度量，
如下图所示．这个角可规定当偏到一方（如右
方）时为正，而偏到另一方（如左方）为
负．如果让单摆自己摆，则由于机械摩擦力和
空气阻力，振幅就不断
地减小．在这个过程中，
角 θ 是一个无穷小量．
练习 2 [游戏销售 ]
销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数
(1)请计算游戏推出后第 6个月、第 12
(2) 如果要对该产品的长期销售做出
当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内
10 0
20 0)(
2 ?? t
tts t 为月份 。关系为,
个月和第三年的销售量,
预测，请建立相应的表达式,
解 (1) ??
?
??
1 3 6
1 2 0 0
1 0 06
62 0 0)6(
2s
8.8235
????? 2 4 42 4 0 01 0 012 122 0 0)12( 2s 9.8361
???? 10036 36200)36( 2s
5.1576
2
2 0 0 2 0 0l im l im 0
100100tt
t
t t
t
? ? ? ? ? ?
??
? ?
即
无穷大的
倒数为无
穷小
(2) 从上面的数据可以看出，随着时间的推移，
游戏,
人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的
t ? ?? 时的销售量,该产品的长期销售应为时间
t ???上式说明当时间 时，销售量的极限为 0，即
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.5 函数极限的运算
一、案例
用列表法或图形法讨论较复杂的函数的极限，不仅
下表列出 2 c os
10000
xx ? 在 x=0处附近取值时的函数值．
x 5.0? 1.0? 01.0?
?
10 0 00
c os2 xx ?
?
0
0.24991 0.00990 0.000000005？
我们可能会估计 0)
1 0 0 0 0
c o s(lim 2
0 ???
xx
x
，但这个结果是错误的．
)1 0 0 0 0c o s(lim 2
0
xx
x
?
?
工作量大，而且还不一定准确，如求
二、概念和公式的引出
极限的四则运算法则
设 Axf
xx ?? )(lim 0 Bxgxx ?? )(lim 0
则，
BAxgxfxgxf xxxxxx ????? ??? )(lim)(lim)]()([lim
000
（ 1）
ABxgxfxgxf xxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)]()([lim
000
（ 2）
B
A
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
??
?
?
? )(lim
)(lim
)(
)(lim
0
0
0
)0( ?B（ 3）
极限的四则运算法则表明函数和、差、积、商 (分母 0
极限不为 0)的极限等于它们极限的和、差、积、商．
法则 1,2可以推广到有限个函数的情形,
注：
复合函数的极限运算法则
设由函数 ()y f u? ? ?xu ?? 构成的复合函数与
满足? ?][ xfy ?? ? ? ax
xx
?
?
?lim
0
，而函数 f (u)在 a点连续，
则
00
l i m [ ( ) ] [ l i m ( ) ] ( )x x x xf x f x f a???? ??
另外，下面给出一个重要极限
1s inlim
0
?
? x
x
x
通过图形法（见下图）和列表法（见下表）可以
看出，当 0?x 时，函数
si n 1x
x ?
x
x
xsin
1 0.5 0.1 0.01 …
0.841471 0.95885 0.99833 0.99998 …
? ? ? ?
三、进一步练习
练习 1 [细菌培养 ]
已知在时刻 t（单位,min）容器中的细菌个为
kty 210 4 ?? （ k为常数） (见下图 )．
(1) 若经过 30min，细菌个数增加一倍，求 k值；
(2) 预测 t ? ?? 时容器中细菌的个数．
解 (1) 时刻 t容器中的细菌个数为 kty 210 4 ??
经过 30分钟，即 t+30时细菌个数为 4 ( 3 0 )1 0 2 kt ??
由题意知，
kttk 2102210 4)30(4 ???? ?
解之，得
30
1?k 。
(2) 11443 0 3 0l im 1 0 2 1 0 l im 2tt
tt? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
由此可知，当时间无限增大时，容器中的细菌
个数也无限增大．
练习 2 [产品价格预测 ]
随着时间的推移，产品价格会随之变化，请你对
设一产品的价格满足 0, 5( ) 2 0 2 0 tP t e ??? (单位：元 )，
该产品的长期价格做一预测,
解 下面通过求产品价格在 t ? ?? 时的极限来分析
该产品的长期价格．
0, 5 0, 5l i m ( ) l i m ( 2 0 2 0 ) l i m 2 0 l i m 2 0tt
t t t tP t e e
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
0, 5l i m 2 0 2 0 l i m t
tt e
?
? ? ? ? ? ???
2 0 0 2 0? ? ? (元 )
即该产品的长期价格为 20元．
练习 3 [产品利润中的极限问题 ]
已知某厂生产 x个汽车轮胎的成本为
21300)( xxC ??? (元 )
生产 x个汽车轮胎的平均成本为
x
xC )(,当产量很大
时，每个轮胎的成本大致为
x
xC
x
)(lim
???
,试求这个极限．
解
x
xC
x
)(lim
??? ???
? xlim
x
x 213 0 0 ??
???? xlim ?
?
?
?
???
?
?? 11300 2
xx
???? xlim x
300
???? xlim 1
1
2 ?x
0 1 1? ? ?
柯西（ Cauchy,Augustin Louis 1789-1857），十九世
纪前半世纪的法国数学家。在代数学上，他有行列式论
和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理
论等方面，也有显著的贡献。他还证明了复变函数论的主要定理以及
在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要
的。
1821年，柯西出版了, 分析教程,,, 无穷小计算讲义,,
,无穷小计算在几何中的应用, 这几部划时代的著作。他给出了分析
学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，
连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的
基础上。
九世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的
面积、体积等．十九世纪之后,柯西 以物体运动
为背景，结合几何直观，引入了极限概念．后来，
维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述．极
限概念的创立，是微积分严格化的关键．它奠定
了微积分学的基础．
背景
1.2 函数的极限
1.2.1 函数的极限的概念
（一） 函数的极限
（二） 函数的极限
1.2.2 单侧极限
1.2.3 数列的极限
1.2.4 无穷大与无穷小
1.2.5 函数极限的运算
x ??
0xx?
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.1 函数极限的概念（一）
一、案例
将一盆 800C的热水放在一间室温为 200C的
房间里，水的温度将逐渐降低，随着时间的
推移，水温会越来越接近室温 200C。
案例 1 [水温的变化趋势 ]
在某一自然保护区中生长的一群野生动物，其
群体数量会逐渐增长，但随着时间的推移，由
于自然环境保护区内各种资源的限制，这一动
物群体不可能无限地增大，它应达到某一饱和
案例 2 [自然保护区中动物数量的变化规律 ]
状态，如右图所示,饱和
时野生动物群的数量．
??t状态就是时间
二,概念和公式的引出
当 时函数的极限??x )(xf 当自变量 x设函数
,Axf ?)(x??（或 ）
)(xf的绝对值无限增大时，相应的函数 值 无限
??xA A )(xf接近于,则称 为函数 当 时的
Axfx ??? )(lim
极限,记作,
三、进一步练习
练习 1
(让取值越来越大 ),
0.0000010.000010.00010.0010.010.11
1000000100000100001000100101x
xxf 1)( ?
…
…
…-0.00001-0.0001-0.001-0.01-0.1-1
…-100000-10000-1000-100-10-1x
xxf 1)( ?
-1000000
-0.000001
下面考察函数
xy
1? 在自变量 ??x 时的变化情况
??x
可以观察出，当自变量
xxf
1)( ?
与 0无限接近．
时，
练习 2 [并联电路电阻 ]
?一个 5 的电阻器与一个电阻为 R的可变电阻
R
RR
T ?? 5
5并联，电路的总电阻,当可变电阻
5lim
5R
R
R? ?? ?
总电阻的极限，即,
通过列表法或图形法可知,
R ? ?? 这条支路断路时电路的总电阻为时电路的
5lim
5R
R
R? ?? ? 5?
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.1 函数极限的概念（二）
一、案例 [人影长度 ]
考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度．
若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度
影子长度越来越短，当人越来越接近
0?x ）时，其影子的长度越来
0?y越短，逐渐趋于 0（ ）。
为 H 。由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其
目标（
当 时函数的极限0xx ?
二, 概念和公式的引出
Axfxx ?? )(lim
0
Axf ?)( 0xx ? )或 (
若函数 f (x)当自变量 x无限趋近于时无限趋近于 x0时，
相应的函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为函数
其中,lim”代表极限 (limit)，极限符号下面的
表示自变量 x无限趋近于时无限趋近于 x0．
0xx? 时的极限，记作f (x)当
0xx?
为了正确理解函数极限的概念，下面就函数极限
0
li m ( )xx f x A? ? 说明两点
(1) x趋近于 x0的方式是任意的，即 x既可能从 x0的左
侧趋近于 x0，也可能从 x0的右侧趋近于 x0，而相应
的函数值都应无限接近于 A．
有定义无关．
0
l i m ( )xx f x A? ?(2) 与函数 f (x)在 x0处是否
观察下面 6个函数图形
ax ?从上图可以看出，当,只有 (a),(b),(c)
中的函数 f (x),g (x),h (x)趋近于 l，即
lxhxgxf axaxax ??? ??? )(lim)(lim)(lim
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
1
1)( 3
?
??
x
xxf 1?x函数 在 处无意义
三、进一步练习
练习 1
1?x 时，当
讨论函数
1
1)( 3
?
??
x
xxf 1?x当 时的极限。
013 ??x 分母 01 ??x分子,
311
3
???xx1?x由此可见，当 时，函数,
0.9
2.71
?
?
1.001
3.003
?
?
x
3 1
1
x
x
?
?
1
1
1)( 3
?
??
x
xxf函数 1?x让（ ）取值，1?x
3
，
0.99 0.999
2.97 2.997
1.01 1.1
3.03 3.31
练习 2 [人影长度的极限分析 ]
0lim 0 ??? xhH hx0??? xhH hy 即
设 H为路灯的高度,h为人的高度,x为人离目标
yx
y
H
h
??
的距离。由
解出人影高度为 x
hH
hy
?? hH
h
?，其中
是常数，当人越来越接近路灯的目标
0?x（ ）时，显然，人影高度
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.2 单侧极限
一、案例 [矩形波形曲线分析 ]
??
?
??
????
?
?
x
x
Axf 0
0
,
,0)( 0?A
矩形波在一个周期 [,]??? 内的函数为
)(xf 0?x函数 处的极限是多少？在
二、概念和公式的引出
函数单侧极限 (左极限、右极限 )
若函数 f (x)当自变量 x从 x0的左侧（右侧） 无限趋近
于 x0时，相应的函数值 f (x)无限接近于某个常数 A，
则称 A为函数 f (x)在 x0处的 左 （ 右 ） 极限, 记作
Axfxx ??? )(lim 0
0
Axfxx ??? )(lim 0
0
（或 ）
函数极限与函数左右极限的关系
??? Axfxx )(lim
0
??? )(lim 0
0
xfxx Axfxx ??? )(lim 0
0
三、进一步练习
练习 1 [矩形波分析 ]
下图所示的矩形波的函数表达式为
?
?
?
??
????
?
?
x
x
Axf 0
0
,
,0)( ( 0)A ?
00lim)(lim 0000 ?? ???? xx xf因为
AAxf xx ?? ???? 0000 lim)(lim
???? 0)(lim 00 xfx )(lim 00 xfA x ???
所以，此函数在 x =0处的极限不存在．
而
练习 2 [电流 ]
在一个电路中的电荷量 Q由下式定义
0
0
,
,
?
?
??
????
? t
t
Ce
C
Q
RC
t
其中 C,R为正的常数值，分析电荷量 Q在时间
0?t 时的极限．
解 因为
0 0 0 0l im l imttQ C C? ? ? ??? 0 0 0 0
l im l im
t
RC
ttQ C e C
?
? ? ? ???
0 0 0 0l im l imttQ C Q? ? ? ???
由于,所以
0limt QC? ?
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.3 数列的极限
一、案例 [圆面积的计算 ]
用圆的内接或外切多边形穷竭的方法求圆面积
和圆周长。
割圆术
An，这样得到一数列
“割圆术, 求圆面积的作法和思路：
A1,A2,A3,…, An,…
先作圆的内接正三边形，把它的面积记作 A1，
再作内接正六边形，其面积记作 A2，再作内接正
十二边形，其面积，其面积记作 A3,…,照此
下去，把圆的内接正 3× 2n-1(n=1,2,…) 边形的面积
由图形可以直观看出 An 圆的面积。
二、概念和公式的引出
数列的极限
若对于数列｛ xn｝,当 n无限增大时，数列的
通项 xn无限接近于常数 A，则称 A是数列｛ xn｝的
极限,或称数列｛ xn｝ 收敛 于 A,记作
Ax nn ???lim 或 )??? nAx n （
若数列｛ xn｝没有极限，则称数列｛ xn｝是 发散 的。
三、进一步练习
练习 1 [循环数 ]
观察循环数列
｝，或｛，，，,?
?
?n
k
k
1 10
199 9 9 9.0999.099.09.0 ?
的变化趋势，可以看出，随着项数 n的无限增大，
此数列无限接近于 1，即
11019lim
1
???
???
n
k
kn
练习 2 [弹球模型 ]
一只球从 100米的高空掉下，每次弹回的高度为
3
2,这样下去，用球第上次高度的 ??,,,2,1 n 次
的高度来表示球的运动规律，则得数列
??
???
??
??? ?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
??? ?? 112
3
2100,
3
2100,,
3
2100,
3
2100100 nn 或,??
从数列的变化趋势可以看出，随着次数 n的无限
增大，数列无限接近于 0，即
0321 00lim
1
????????
?
??
n
n
li m 0,1nn qq?? ??
练习 3 [存款分析 ]
若某人有本金 A元，银行存款的年利率为 r，不
考虑个人所得税．试建立此人 n年末的本利和数
列，并分析此数列的极限，解释其实际意义．
解 n年末的本利和为
nn rAA )1( ??
l i m l i m ( 1 ) nnnnA A r? ? ? ?? ? ? ? ?
li m,1nn qq?? ? ? ?
其实际意义为：存款时间越长，本利和越大，
当存款时间无限长时，本利和也无限增大．
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.4 无穷大与无穷小
一、案例 [洗涤效果 ]
在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上
残留的污质就越少。当洗涤次数无限增大时，
衣物上的污质量趋于零。
二、概念和公式的引出
无穷小
无穷大
0)(lim ?? xfcx若,则称函数 f (x)当 cx?
时为 无穷小 （ 量 ）。
若当 cx? 时，对应的函数值 f (x)的绝对值
)(xf 无限增大，则称 f (x)当 cx? 时为 无穷大 (量 )。
记作 ??
? )(lim xfcx
．
注, 无穷小是一个变量，而不是常量。很小的数
除 0外）都不是无穷小。
无穷小和无穷大的关系
)(xf ( ( ) 0 )fx ? 是无穷小 ? )(1xf 是无穷大。
注, 同理，无穷大也是一个变量，而不是常量。很大
的数（如 1万,1亿等）都不是无穷大。
三、进一步练习
练习 1 [单摆运动 ]
单摆离开铅直位臵的偏度可以用角 θ 来度量，
如下图所示．这个角可规定当偏到一方（如右
方）时为正，而偏到另一方（如左方）为
负．如果让单摆自己摆，则由于机械摩擦力和
空气阻力，振幅就不断
地减小．在这个过程中，
角 θ 是一个无穷小量．
练习 2 [游戏销售 ]
销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数
(1)请计算游戏推出后第 6个月、第 12
(2) 如果要对该产品的长期销售做出
当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内
10 0
20 0)(
2 ?? t
tts t 为月份 。关系为,
个月和第三年的销售量,
预测，请建立相应的表达式,
解 (1) ??
?
??
1 3 6
1 2 0 0
1 0 06
62 0 0)6(
2s
8.8235
????? 2 4 42 4 0 01 0 012 122 0 0)12( 2s 9.8361
???? 10036 36200)36( 2s
5.1576
2
2 0 0 2 0 0l im l im 0
100100tt
t
t t
t
? ? ? ? ? ?
??
? ?
即
无穷大的
倒数为无
穷小
(2) 从上面的数据可以看出，随着时间的推移，
游戏,
人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的
t ? ?? 时的销售量,该产品的长期销售应为时间
t ???上式说明当时间 时，销售量的极限为 0，即
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.5 函数极限的运算
一、案例
用列表法或图形法讨论较复杂的函数的极限，不仅
下表列出 2 c os
10000
xx ? 在 x=0处附近取值时的函数值．
x 5.0? 1.0? 01.0?
?
10 0 00
c os2 xx ?
?
0
0.24991 0.00990 0.000000005？
我们可能会估计 0)
1 0 0 0 0
c o s(lim 2
0 ???
xx
x
，但这个结果是错误的．
)1 0 0 0 0c o s(lim 2
0
xx
x
?
?
工作量大，而且还不一定准确，如求
二、概念和公式的引出
极限的四则运算法则
设 Axf
xx ?? )(lim 0 Bxgxx ?? )(lim 0
则，
BAxgxfxgxf xxxxxx ????? ??? )(lim)(lim)]()([lim
000
（ 1）
ABxgxfxgxf xxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)]()([lim
000
（ 2）
B
A
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
??
?
?
? )(lim
)(lim
)(
)(lim
0
0
0
)0( ?B（ 3）
极限的四则运算法则表明函数和、差、积、商 (分母 0
极限不为 0)的极限等于它们极限的和、差、积、商．
法则 1,2可以推广到有限个函数的情形,
注：
复合函数的极限运算法则
设由函数 ()y f u? ? ?xu ?? 构成的复合函数与
满足? ?][ xfy ?? ? ? ax
xx
?
?
?lim
0
，而函数 f (u)在 a点连续，
则
00
l i m [ ( ) ] [ l i m ( ) ] ( )x x x xf x f x f a???? ??
另外，下面给出一个重要极限
1s inlim
0
?
? x
x
x
通过图形法（见下图）和列表法（见下表）可以
看出，当 0?x 时，函数
si n 1x
x ?
x
x
xsin
1 0.5 0.1 0.01 …
0.841471 0.95885 0.99833 0.99998 …
? ? ? ?
三、进一步练习
练习 1 [细菌培养 ]
已知在时刻 t（单位,min）容器中的细菌个为
kty 210 4 ?? （ k为常数） (见下图 )．
(1) 若经过 30min，细菌个数增加一倍，求 k值；
(2) 预测 t ? ?? 时容器中细菌的个数．
解 (1) 时刻 t容器中的细菌个数为 kty 210 4 ??
经过 30分钟，即 t+30时细菌个数为 4 ( 3 0 )1 0 2 kt ??
由题意知，
kttk 2102210 4)30(4 ???? ?
解之，得
30
1?k 。
(2) 11443 0 3 0l im 1 0 2 1 0 l im 2tt
tt? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
由此可知，当时间无限增大时，容器中的细菌
个数也无限增大．
练习 2 [产品价格预测 ]
随着时间的推移，产品价格会随之变化，请你对
设一产品的价格满足 0, 5( ) 2 0 2 0 tP t e ??? (单位：元 )，
该产品的长期价格做一预测,
解 下面通过求产品价格在 t ? ?? 时的极限来分析
该产品的长期价格．
0, 5 0, 5l i m ( ) l i m ( 2 0 2 0 ) l i m 2 0 l i m 2 0tt
t t t tP t e e
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
0, 5l i m 2 0 2 0 l i m t
tt e
?
? ? ? ? ? ???
2 0 0 2 0? ? ? (元 )
即该产品的长期价格为 20元．
练习 3 [产品利润中的极限问题 ]
已知某厂生产 x个汽车轮胎的成本为
21300)( xxC ??? (元 )
生产 x个汽车轮胎的平均成本为
x
xC )(,当产量很大
时，每个轮胎的成本大致为
x
xC
x
)(lim
???
,试求这个极限．
解
x
xC
x
)(lim
??? ???
? xlim
x
x 213 0 0 ??
???? xlim ?
?
?
?
???
?
?? 11300 2
xx
???? xlim x
300
???? xlim 1
1
2 ?x
0 1 1? ? ?
柯西（ Cauchy,Augustin Louis 1789-1857），十九世
纪前半世纪的法国数学家。在代数学上，他有行列式论
和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理
论等方面，也有显著的贡献。他还证明了复变函数论的主要定理以及
在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要
的。
1821年，柯西出版了, 分析教程,,, 无穷小计算讲义,,
,无穷小计算在几何中的应用, 这几部划时代的著作。他给出了分析
学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，
连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的
基础上。
