3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念
3.2.2 基本积分表
3.2.3 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [路程函数 ]
已知物体的运动方程为 2)( tts ?,则其速度为
tttstv 2)()()( 2 ?????
这里速度 2t是路程 t2的导数，反过来，路程 t2又称为速
度 2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度 v(t)，又如
何求物体的运动方程 s(t)呢？
二、概念和公式的引出
如果在开区间 I内，可导函数 F(x)的导函数为 f(x),
即当 Ix? 时,
? ? ? ?xfxF ?? 或 ? ? ? ? xxfxF dd ?
则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I内的一个 原函数,
原函数
若 ? ?xF 是函数 ? ?xf 在开区间 I 内的一个原函数，
即
? ?? xxf d ? ? CxF ??
其它符号的名称与定积分中的名称一致．
不定积分
在该区间 I 内的 不定积分,记作 ? ?? xxf d称为 ? ?xf
C 为任意常数）? ?xf 的所有原函数的表达式 ? ? CxF ?则 （
C称为 积分常数,
? ?? ? ? ?xfxxf ??? d ? ?d [ d ] df( x ) x f x x??或
? ? ? ?? ??? Cxfxxf d 或 ? ? ? ?? ?? Cxfxfd
函数的不定积分与导数（或微分）之间的 运算关系：
3.2.2 基本积分表
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [幂函数的不定积分 ]
于是 Cxxx ?
???
?
1d
1
?
?
? 1???
类似地,由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
?
?
? x
x ???
?
??
?
?
?
?
1
1
因为 11????x 是 ?x 的一个原函数
1.基本积分表
Ckxxk ??? d
(1) k 为常数）( (2)
Cxxx ???? ? 1d 1? ?? 1???
(3) ? ?? Cxx
x lnd
1 (4) ? ?? C
a
axa xx
lnd
(5) ? ?? Cexe xx d (6) Cxxx ???? c o sds in
(7) Cxxx ??? s indc o s (8) ? ?? Cxxx t a nds e c 2
二、概念和公式的引出
(9) ? ??? Cxxx c o tdc s c 2 (10) ? ??? Cxxxx s e cdt a ns e c
(11)? ???? Cxxxx c s cdc o tc s c (12)? ??
? Cxxx a r c s ind1
1
2
(13)?
??? Cxxx a r c t a nd1 1 2
2、不定积分的性质
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? xxgxxfxxgxf ddd
即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数
的不定积分的和（差）。
性质１可推广到有限个函数的情形．
? ? ? ?? ?? xxfkxxkf dd
0?k k 为常数
即被积函数中不为０的常数因子可以提到积分号外．
(1) 性质 1
(2) 性质 2
3.2.3 微积分基本公式
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
列车快进站时必须减速．若列车减速后的速度为
? ? ttv 311 ?? （ km/min）,问列车应该在离站台多远的
地方开始减速？
解
由变速直线运动路程的计算，有
? ? 303 ( ) ds v t t? ?
当列车速度为 时停下，解出
3?t （ min）
0311)( ??? ttv
一、案例 [列车制动 ]
? ? ttvts 311)( ????,且 ? ? 00 ?s
因此，求 dttv?3
0 )(
即 s（ 3)转化为求 s(t),而
? ? 211( ) d ( 1 ) d36s t v t t t t t t C? ? ? ? ? ???
? ? 303 ( )ds v t t? ? 5.13613 2 ???? （ km）
即列车在距站台 1.5km处开始减速．
由速度与路程的关系 ? ? ? ?tstv ?? 知路程 ??ts 满足
列车从减速开始到停下来的 3min内所经过的路程为
将 s(0)=0代入上式，得 C=0，故 ? ? 21
6s t t t??
原函数，则
? ? ? ? ? ?dba f x x F b F a? ? ?? ? ?baxF
此公式称为 微积分基本公式,也称为 牛顿－莱布尼兹公式,
? ?xF 是连续函数 ? ?xf 在区间 ? ?ba,若函数 上的一个
二、概念和公式的引出
微积分基本公式
2、定积分的性质
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? xxgxxfxxgxf ddd
即两个函数和 (差 )的定积分等于它们定积分的和 (差 )．
性质１可推广到有限个函数的情形．
? ? ? ?? ?? xxfkxxkf dd k 为常数
即被积函数的常数因子可以提到积分号外．
(1) 性质 1
(2) 性质 2
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简
便方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数 F(x)，然后计算原函数在区间
[a,b]上的增量 F(b)–F(a)即可,
该公式把定积分的计算归结为求原函数的问
题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,
练习 1 [运动方程 ] 已知一物体作直线运动，
(1)求速度 v与时间 t的函数关系；
(2)求路程 s与时间 t的函数关系．
三,进一步的练习
tta s in312 2 ?? 且当 0?t 时，,5?v 3?s加速度为
解 (1)由速度与加速度的关系 )()( tatv ?? 知速度
)(tv 满足
tttatv s i n312)()( 2 ??? ＝ 且 5)0( ?v
求不定积分，得
23( 1 2 3 s in ) 4 3 c o st t t t t C? ? ? ?? d
将 5)0( ?v 代入上式得 C=2．所以
2c o s34)( 3 ＋tttv ??
(2)由路程与速度的关系 )()( tvts ??,知路程 )(ts 满足
2c o s34)()( 3 ＋tttvts ???? 且 3)0( ?s
求不定积分，得
34( ) ( 4 3 c o s 2 )d 3 s i n 2s t t t t t t t C? ? ? ? ? ? ??
将 代入上式得 C=3．所以3)0( ?s
4( ) 3 s i n 2 3s t t t t? ? ? ?
练习 2 [磁场能量 ] 在电压和电流关联参考方向下，
电感元件吸收的功率为
d
d
ip u i L i
t??
在 dt时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为
d d dW p t L i i??
电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从
0增大到 i时，电感元件储存的磁场能量为
2
0
1d
2
iW Li i Li???
由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流
建立的过程无关。
练习 3 [电流函数 ]
若 t=0时 i=2A，求电流 i关于时间 t的函数,
2d 4 0.6
d
i tt
t ??
一电路中电流关于时间的变化率为
解 由 26.04 tt
dt
di ?? 得
?)(ti 2( 4 0, 6 ) dt t t??
将 代入上式得 C=2．所以2)0( ?i
?)(ti 232 0, 2 2tt??
232 0, 2t t C? ? ?
练习 4 [结冰厚度 ]
起到时刻 t(单位,h)冰的厚度（单位,cm），
t 是正的常数．求 y关于 t的函数．
tkty ?dd 给出，其中 y 是自结冰池塘结冰的速度由
解 由 tk
t
y ?
d
d,得
3
22( ) d d ( )
3y t k t t k t t k t C? ? ? ???
其中 t=0开始结冰，此时冰的厚度为 0，即有 y(0)=0
代入上式，得 C=0.所以
3
22()
3y t k t?
3.2.1 原函数和不定积分的概念
3.2.2 基本积分表
3.2.3 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [路程函数 ]
已知物体的运动方程为 2)( tts ?,则其速度为
tttstv 2)()()( 2 ?????
这里速度 2t是路程 t2的导数，反过来，路程 t2又称为速
度 2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度 v(t)，又如
何求物体的运动方程 s(t)呢？
二、概念和公式的引出
如果在开区间 I内，可导函数 F(x)的导函数为 f(x),
即当 Ix? 时,
? ? ? ?xfxF ?? 或 ? ? ? ? xxfxF dd ?
则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I内的一个 原函数,
原函数
若 ? ?xF 是函数 ? ?xf 在开区间 I 内的一个原函数，
即
? ?? xxf d ? ? CxF ??
其它符号的名称与定积分中的名称一致．
不定积分
在该区间 I 内的 不定积分,记作 ? ?? xxf d称为 ? ?xf
C 为任意常数）? ?xf 的所有原函数的表达式 ? ? CxF ?则 （
C称为 积分常数,
? ?? ? ? ?xfxxf ??? d ? ?d [ d ] df( x ) x f x x??或
? ? ? ?? ??? Cxfxxf d 或 ? ? ? ?? ?? Cxfxfd
函数的不定积分与导数（或微分）之间的 运算关系：
3.2.2 基本积分表
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [幂函数的不定积分 ]
于是 Cxxx ?
???
?
1d
1
?
?
? 1???
类似地,由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
?
?
? x
x ???
?
??
?
?
?
?
1
1
因为 11????x 是 ?x 的一个原函数
1.基本积分表
Ckxxk ??? d
(1) k 为常数）( (2)
Cxxx ???? ? 1d 1? ?? 1???
(3) ? ?? Cxx
x lnd
1 (4) ? ?? C
a
axa xx
lnd
(5) ? ?? Cexe xx d (6) Cxxx ???? c o sds in
(7) Cxxx ??? s indc o s (8) ? ?? Cxxx t a nds e c 2
二、概念和公式的引出
(9) ? ??? Cxxx c o tdc s c 2 (10) ? ??? Cxxxx s e cdt a ns e c
(11)? ???? Cxxxx c s cdc o tc s c (12)? ??
? Cxxx a r c s ind1
1
2
(13)?
??? Cxxx a r c t a nd1 1 2
2、不定积分的性质
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? xxgxxfxxgxf ddd
即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数
的不定积分的和（差）。
性质１可推广到有限个函数的情形．
? ? ? ?? ?? xxfkxxkf dd
0?k k 为常数
即被积函数中不为０的常数因子可以提到积分号外．
(1) 性质 1
(2) 性质 2
3.2.3 微积分基本公式
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
列车快进站时必须减速．若列车减速后的速度为
? ? ttv 311 ?? （ km/min）,问列车应该在离站台多远的
地方开始减速？
解
由变速直线运动路程的计算，有
? ? 303 ( ) ds v t t? ?
当列车速度为 时停下，解出
3?t （ min）
0311)( ??? ttv
一、案例 [列车制动 ]
? ? ttvts 311)( ????,且 ? ? 00 ?s
因此，求 dttv?3
0 )(
即 s（ 3)转化为求 s(t),而
? ? 211( ) d ( 1 ) d36s t v t t t t t t C? ? ? ? ? ???
? ? 303 ( )ds v t t? ? 5.13613 2 ???? （ km）
即列车在距站台 1.5km处开始减速．
由速度与路程的关系 ? ? ? ?tstv ?? 知路程 ??ts 满足
列车从减速开始到停下来的 3min内所经过的路程为
将 s(0)=0代入上式，得 C=0，故 ? ? 21
6s t t t??
原函数，则
? ? ? ? ? ?dba f x x F b F a? ? ?? ? ?baxF
此公式称为 微积分基本公式,也称为 牛顿－莱布尼兹公式,
? ?xF 是连续函数 ? ?xf 在区间 ? ?ba,若函数 上的一个
二、概念和公式的引出
微积分基本公式
2、定积分的性质
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? xxgxxfxxgxf ddd
即两个函数和 (差 )的定积分等于它们定积分的和 (差 )．
性质１可推广到有限个函数的情形．
? ? ? ?? ?? xxfkxxkf dd k 为常数
即被积函数的常数因子可以提到积分号外．
(1) 性质 1
(2) 性质 2
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简
便方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数 F(x)，然后计算原函数在区间
[a,b]上的增量 F(b)–F(a)即可,
该公式把定积分的计算归结为求原函数的问
题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,
练习 1 [运动方程 ] 已知一物体作直线运动，
(1)求速度 v与时间 t的函数关系；
(2)求路程 s与时间 t的函数关系．
三,进一步的练习
tta s in312 2 ?? 且当 0?t 时，,5?v 3?s加速度为
解 (1)由速度与加速度的关系 )()( tatv ?? 知速度
)(tv 满足
tttatv s i n312)()( 2 ??? ＝ 且 5)0( ?v
求不定积分，得
23( 1 2 3 s in ) 4 3 c o st t t t t C? ? ? ?? d
将 5)0( ?v 代入上式得 C=2．所以
2c o s34)( 3 ＋tttv ??
(2)由路程与速度的关系 )()( tvts ??,知路程 )(ts 满足
2c o s34)()( 3 ＋tttvts ???? 且 3)0( ?s
求不定积分，得
34( ) ( 4 3 c o s 2 )d 3 s i n 2s t t t t t t t C? ? ? ? ? ? ??
将 代入上式得 C=3．所以3)0( ?s
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练习 2 [磁场能量 ] 在电压和电流关联参考方向下，
电感元件吸收的功率为
d
d
ip u i L i
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在 dt时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为
d d dW p t L i i??
电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从
0增大到 i时，电感元件储存的磁场能量为
2
0
1d
2
iW Li i Li???
由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流
建立的过程无关。
练习 3 [电流函数 ]
若 t=0时 i=2A，求电流 i关于时间 t的函数,
2d 4 0.6
d
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t ??
一电路中电流关于时间的变化率为
解 由 26.04 tt
dt
di ?? 得
?)(ti 2( 4 0, 6 ) dt t t??
将 代入上式得 C=2．所以2)0( ?i
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232 0, 2t t C? ? ?
练习 4 [结冰厚度 ]
起到时刻 t(单位,h)冰的厚度（单位,cm），
t 是正的常数．求 y关于 t的函数．
tkty ?dd 给出，其中 y 是自结冰池塘结冰的速度由
解 由 tk
t
y ?
d
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3
22( ) d d ( )
3y t k t t k t t k t C? ? ? ???
其中 t=0开始结冰，此时冰的厚度为 0，即有 y(0)=0
代入上式，得 C=0.所以
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