4.2 可分离变量的微分方程
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四、实训
一、案例 1 [人口问题 ]
成正比，从而建立了 Malthus人口模型。
英国学者马尔萨斯 (Malthus,1766-1834)认为
人口的相对增长率为常数，即如果设 t时刻的人口
数为 x(t)，则人口增长速度 与人口总量 x(t)
的方程称为 可分离变量的微分方程,其特点是方程的
右端是只含 x的函数 f(x)与只含 y的函数 g(y)的乘积．
形如：
(1)
可分离 变量的微分方程通过分离变量为
(2)
二、概念及公式的引出
的形式, 即微分方程的一端只含 y的函数和 dy,另一端
只含 x的函数和 dx,将上式两端积分, 得
设 G(y),F(x)分别为 g(y),f(x)原函数, 则得微分方程
G(y)=F(x)+C 。
的通解为：
三,进一步的练习
1999年我国的国民生产总值（ GDP）为 80 423亿元，
如果我国能保持每年 8%的相对增长率，问到 2010年我
国的 GDP是多少？
练习 1 [国民生产总值 ]
d ( )
d 8%
()
Pt
t
Pt
?
解 (1)建立微分方程
记 t=0代表 1999年，并设第 t年我国的 GDP为 P(t)．由
题意知，从 1999年起,P(t)的相对增长率为 8%，即
得微分方程
（ 2） 求通解
分离变量得
方程两边同时积分, 得
（ 3） 求特解
将 p(0)=80423代入通解，得 C=80423，所以从 1999
年起第 t年我国的 GDP为
将 t=2010-1999=11代入上式，得 2010年我国的
GDP的预测值为
练习 2 [落体问题 ]
求运动员下落过程中速度与时间的函数关系,
设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与
速度成正比．运动员离塔时（ t=0）的速度为零，
运动员在下落过程中, 同时受到重力和空气阻力的影
响, 重力的大小为 mg,方向与速度 v的方向一致；阻力
的大小为 kv(k为比例系数 ),方向与 v相反, 从而运动员
所受的外力为
解 （ 1）建立微分方程
其中 m为运动员的质量,又由牛顿第二定律有
其中 a为加速度, a=, 于是在下落过程中速度 v(t)
(1)
初始条件为
满足微分方程
方程 (1)是一个可分离变量的微分方程, 分离
变量后, 得
（ 2）求通解
两端积分，得
即
或,其中 )( 2kCCCekmgv tm
k
?+? -
通解
（ 3） 求特解
把初始条件 代入通解, 得
于是所求速度与时间的关系为
（ 2）
由式 （ 2） 可见, 当 t很大时, 很小, 此时
是加速运动，以后逐渐接近于匀速运动，其速度为
v接近于,由此可见，跳伞运动员开始跳伞时
练习 3 [环境污染问题 ]
某水塘原有 50000t清水 (不含有害杂质 )，从时间
t=0开始，含有有害杂质 5%的浊水流入该水塘．流入的
速度为 2t/min，在塘中充分混合 (不考虑沉淀 )后又以
2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物
质的浓度达到 4%?
解 （ 1）建立微分方程
设在时刻 t塘中有害物质的含量为 Q(t)，此时塘中
单位时间内有害物质的变化量
=(单位时间内流进塘内有害物质的量 )
-(单位时间内流出塘的有害物质的量 )
有害物质的浓度为,于是有
即,（ 1）
初始条件为 Q(0)=0.
（ 2）求通解
式（ 1）是可分离变量方程，分离变量得
积分，得
即
（ 3）求特解
由初始条件 t=0,Q=0得 C=-2500，故
当塘中有害物质浓度达到 4%时，应有
由此解得 (min)
即经过 670.6min后，塘中有害物质浓度达到 4%，
，塘中有害物质的最终浓度为由于
练习 4 [刑事侦察中死亡时间的鉴定 ]
当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 37℃ 按照牛顿
冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为 35℃
，并且假定周围空气的温度保持 20℃ 不变，试求出尸体
温度 H随时间 t的变化规律．又如果尸体发现时的温度是
30℃,时间是下午 4点整，那么谋杀是何时发生的？
注 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与
物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却
定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．
解 （ 1）建立微分方程
的冷却速度
其中 k>0是常数，初始条件为 H(0)=37．
设尸体的温度为 H(t)(t从谋杀后计 )，根据题意，尸体
正比．即
与尸体温度 H和空气温度 20之差成
分离变量得
（ 2）求通解研究
积分得
把初值条件 H(0)=37代入通解, 求得 C=17,于是该初
值问题的解为
为求出 k值，根据两小时后尸体温度为 35℃ 这一条
件，有
（ 3） 求特解
求得,于是温度函数为
将 H=30代入式 (1) 有,即得 (h)。于是，
(1)
可以判定谋杀发生在下午 4点尸体被发现前的 8.4h，即
8小时 24分钟，所以谋杀是在上午 7点 36分发生的．
练习 5 [第二宇宙速度 ]
度发射, 则永远不会返回地球,
地球对物体的引力 F与物体的质量 m,物体离地心的
距离 s的关系为,这里 g是重力加速度，
R为地球半径．验证：如果物体以 的初速
由牛顿第二定律 F=ma,其中, 有
故有
初始条件为时 s=R时,,
解 （ 1）建立微分方程研究
（ 2） 求通解
变量分离后为
两边积分
得
（ 3）求特解
把 s=R时, 代入通解得, 故有
时，速度 v永远大于 0，所以物体永远不会返回地面．
由此可见，当 s很大时,很小,即当
我们称 v=11.2km/s为 第二宇宙速度,
1.[年人均收入 ] 据统计,2002年北京的年人均
收入为 12464元．中国政府提出到 2020年，中国的新
小康目标为年人均收入为 3000 $．若按 1 $ =8.2元
(人民币 )计，北京每年应保持多高的年相对增长率才
能实现新小康．
四、实训
3,[镭的衰变 ] 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速
度与它的现存量成正比．由经验材料得知，镭经过 1600
年后，只剩原始量 R0的一半．试求镭量与时间 t的函数关
系．
2,[死亡年代的测定 ] 遗体死亡之后，体内碳的
含量就不断减少，已知碳的衰变速度与当时体内碳的
含量成正比，试建立任意时刻遗体内碳含量应满足的
方程,
4,[电机温度 ] 一电动机开动后，每分钟温度升高
100C，同时按冷却定律不断散发热量．设电机安置在
一 150C的恒温房子里，求电机温度与时间 t的函数关
系．
5,[质点运动 ] 质量 1kg的质点受外力作用作直线运
动，已知力与时间成正比，与质点运动的速度成反比，
在 t=10s时，速度等于 50m/s，外力为 4N．问从运动开始
经过 1min后，质点的速度是多少？
6,[冷却问题 ] 将一个加热到 500C的物体，放在 200C
的恒温环境中冷却，求物体温度的变化规律,
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四、实训
一、案例 1 [人口问题 ]
成正比，从而建立了 Malthus人口模型。
英国学者马尔萨斯 (Malthus,1766-1834)认为
人口的相对增长率为常数，即如果设 t时刻的人口
数为 x(t)，则人口增长速度 与人口总量 x(t)
的方程称为 可分离变量的微分方程,其特点是方程的
右端是只含 x的函数 f(x)与只含 y的函数 g(y)的乘积．
形如：
(1)
可分离 变量的微分方程通过分离变量为
(2)
二、概念及公式的引出
的形式, 即微分方程的一端只含 y的函数和 dy,另一端
只含 x的函数和 dx,将上式两端积分, 得
设 G(y),F(x)分别为 g(y),f(x)原函数, 则得微分方程
G(y)=F(x)+C 。
的通解为：
三,进一步的练习
1999年我国的国民生产总值（ GDP）为 80 423亿元，
如果我国能保持每年 8%的相对增长率，问到 2010年我
国的 GDP是多少？
练习 1 [国民生产总值 ]
d ( )
d 8%
()
Pt
t
Pt
?
解 (1)建立微分方程
记 t=0代表 1999年，并设第 t年我国的 GDP为 P(t)．由
题意知，从 1999年起,P(t)的相对增长率为 8%，即
得微分方程
（ 2） 求通解
分离变量得
方程两边同时积分, 得
（ 3） 求特解
将 p(0)=80423代入通解，得 C=80423，所以从 1999
年起第 t年我国的 GDP为
将 t=2010-1999=11代入上式，得 2010年我国的
GDP的预测值为
练习 2 [落体问题 ]
求运动员下落过程中速度与时间的函数关系,
设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与
速度成正比．运动员离塔时（ t=0）的速度为零，
运动员在下落过程中, 同时受到重力和空气阻力的影
响, 重力的大小为 mg,方向与速度 v的方向一致；阻力
的大小为 kv(k为比例系数 ),方向与 v相反, 从而运动员
所受的外力为
解 （ 1）建立微分方程
其中 m为运动员的质量,又由牛顿第二定律有
其中 a为加速度, a=, 于是在下落过程中速度 v(t)
(1)
初始条件为
满足微分方程
方程 (1)是一个可分离变量的微分方程, 分离
变量后, 得
（ 2）求通解
两端积分，得
即
或,其中 )( 2kCCCekmgv tm
k
?+? -
通解
（ 3） 求特解
把初始条件 代入通解, 得
于是所求速度与时间的关系为
（ 2）
由式 （ 2） 可见, 当 t很大时, 很小, 此时
是加速运动，以后逐渐接近于匀速运动，其速度为
v接近于,由此可见，跳伞运动员开始跳伞时
练习 3 [环境污染问题 ]
某水塘原有 50000t清水 (不含有害杂质 )，从时间
t=0开始，含有有害杂质 5%的浊水流入该水塘．流入的
速度为 2t/min，在塘中充分混合 (不考虑沉淀 )后又以
2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物
质的浓度达到 4%?
解 （ 1）建立微分方程
设在时刻 t塘中有害物质的含量为 Q(t)，此时塘中
单位时间内有害物质的变化量
=(单位时间内流进塘内有害物质的量 )
-(单位时间内流出塘的有害物质的量 )
有害物质的浓度为,于是有
即,（ 1）
初始条件为 Q(0)=0.
（ 2）求通解
式（ 1）是可分离变量方程，分离变量得
积分，得
即
（ 3）求特解
由初始条件 t=0,Q=0得 C=-2500，故
当塘中有害物质浓度达到 4%时，应有
由此解得 (min)
即经过 670.6min后，塘中有害物质浓度达到 4%，
，塘中有害物质的最终浓度为由于
练习 4 [刑事侦察中死亡时间的鉴定 ]
当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 37℃ 按照牛顿
冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为 35℃
，并且假定周围空气的温度保持 20℃ 不变，试求出尸体
温度 H随时间 t的变化规律．又如果尸体发现时的温度是
30℃,时间是下午 4点整，那么谋杀是何时发生的？
注 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与
物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却
定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．
解 （ 1）建立微分方程
的冷却速度
其中 k>0是常数，初始条件为 H(0)=37．
设尸体的温度为 H(t)(t从谋杀后计 )，根据题意，尸体
正比．即
与尸体温度 H和空气温度 20之差成
分离变量得
（ 2）求通解研究
积分得
把初值条件 H(0)=37代入通解, 求得 C=17,于是该初
值问题的解为
为求出 k值，根据两小时后尸体温度为 35℃ 这一条
件，有
（ 3） 求特解
求得,于是温度函数为
将 H=30代入式 (1) 有,即得 (h)。于是，
(1)
可以判定谋杀发生在下午 4点尸体被发现前的 8.4h，即
8小时 24分钟，所以谋杀是在上午 7点 36分发生的．
练习 5 [第二宇宙速度 ]
度发射, 则永远不会返回地球,
地球对物体的引力 F与物体的质量 m,物体离地心的
距离 s的关系为,这里 g是重力加速度，
R为地球半径．验证：如果物体以 的初速
由牛顿第二定律 F=ma,其中, 有
故有
初始条件为时 s=R时,,
解 （ 1）建立微分方程研究
（ 2） 求通解
变量分离后为
两边积分
得
（ 3）求特解
把 s=R时, 代入通解得, 故有
时，速度 v永远大于 0，所以物体永远不会返回地面．
由此可见，当 s很大时,很小,即当
我们称 v=11.2km/s为 第二宇宙速度,
1.[年人均收入 ] 据统计,2002年北京的年人均
收入为 12464元．中国政府提出到 2020年，中国的新
小康目标为年人均收入为 3000 $．若按 1 $ =8.2元
(人民币 )计，北京每年应保持多高的年相对增长率才
能实现新小康．
四、实训
3,[镭的衰变 ] 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速
度与它的现存量成正比．由经验材料得知，镭经过 1600
年后，只剩原始量 R0的一半．试求镭量与时间 t的函数关
系．
2,[死亡年代的测定 ] 遗体死亡之后，体内碳的
含量就不断减少，已知碳的衰变速度与当时体内碳的
含量成正比，试建立任意时刻遗体内碳含量应满足的
方程,
4,[电机温度 ] 一电动机开动后，每分钟温度升高
100C，同时按冷却定律不断散发热量．设电机安置在
一 150C的恒温房子里，求电机温度与时间 t的函数关
系．
5,[质点运动 ] 质量 1kg的质点受外力作用作直线运
动，已知力与时间成正比，与质点运动的速度成反比，
在 t=10s时，速度等于 50m/s，外力为 4N．问从运动开始
经过 1min后，质点的速度是多少？
6,[冷却问题 ] 将一个加热到 500C的物体，放在 200C
的恒温环境中冷却，求物体温度的变化规律,
