“无限细分，无限求和, 的积分思想在古代就
已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德
（ Archimedes, 287 BC～ 212 BC）等人提出的计
算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求
面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，
但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到 17世纪，
背 景
莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明
确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分
是互逆的两种运算．建立了微积分学．
xd?
背 景
促进了微积分学的发展，并一直沿用至今．
莱布尼兹 创立了积分符号,这些符号进一步
第一节 定积分－求总量的模型
3.1.1 定积分的概念及性质
3.1.2 微元法
3.1.1 定积分的概念及性质
一、案 例
二、概念和公式的引出
一、案例 [曲边梯形的面积 ]
曲边梯形由连续曲线
与两条直线,ax? bx?
所围成。
)( xfy ? )0)(( ?xf,x 轴
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
播放
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
形面积和与曲边梯形面积的关系：
在区间 [a,b]内插入若干个分点
把区间 [a,b]分成 n个小区间
iii xfA ?? )(?
bxxxxa nn ?????? ? 110 ?
],[ 1 ii xx ?
长度为 1???? iii xxx
在每个小区间 ],[ 1 ii xx ?
上任取一点,i? 以 ],[ 1 ii xx ?
为高的小矩形面积为为底,)( if ?
（ i=1,2,…, n）
i
n
i
i xfA ?? ?
?
)(
1
?
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(l i m
10
??
12m a x {,,}nx x x? ? ? ? ?
当分割无限加细，即小区间的最大长度
( 0 )? ?趋近于零 时，曲边梯形面积为
把区间 [a,b]分成 n个小区间 ? ?,,10 xx ? ? ? ?nn xxxx,,,,121 ??
各个小区间的长度依次为
1122011,,,?????????? nnn xxxxxxxxx ?
在每个小区间 ? ?
ii xx,1? 上任取一点 )( 1 iiii xx ??? ??,作和式
? ??
?
??
n
i
ii xfS
1
?
bxxxxa nn ?????? ? 110 ?内任意插入 n-1个分点，
定积分 设函数 f (x)在区间 [a,b]上有界．在区间 [a,b]
二,概念和公式的引出
记 ? ?
ini x?? ??1m a x?
.如果不论对区间 [a,b]怎样分法，也不论
总趋于同一个确定的常数 I，则称函数 f (x)在区间 [a,b]
上可积，极限 I称为函数 f (x)在区间 [a,b]上的 定积分,
? ?dba f x x? ? ??
??
???
n
i
ii xfI
10
lim ?
?
其中 ? 为 积分符号,函数 f (x)称为 被积函数, f (x) dx
称为 被积表达式, x称为 积分变量, a称为 积分下限,
b称为 积分上限,区间 [a,b]称为 积分区间,
? ?1,iixx? 上点 i? 怎样取法，只要当 0?? 时，和 S小区间
记作
定积分的几何意义
? ?dba f x x A??当 f (x)>0时,；
? ?dba f x x A???当 f (x)<0时,。
图中函数 f (x)在 [a,b]上的定积分为
? ? ?? xxfba d 321 AAA ??
由此可知，若函数 f (x)在对称区间 [-a,a]上连续，则
? ? ??? xxfaa d ? ?
??
?
?
? ?
为奇函数时当
为偶函数时当
)(0
)(d2
0
xf
xfxxf
a
（ a） (b)
3.1.2 微 元 法
一、案 例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [曲边梯形的面积 ]
利用定积分的思想求解曲边梯形的面积时，
“分割 -取近似 -求和 -取极限”可概括为以下两步：
将区间细分成很多小的区间，在每个小区间上
第一步 分割与取近似
近似代替“以直代曲,,用矩形面积 ii xf ?)(?
ii xfA ??? )(?
将所有小面积全部加起来，即
取极限，当最大的小区间趋于零时，得到曲边梯形
第二步 求和与取极限
? ?? AA
( )dbaA f x x?＝
函数 f(x)在区间 [a,b]内的定积分，即
根据问题的具体情况，选取一个变量（如 x）
二,概念和公式的引出
第一步
为积分变量，并确定它的变化区间 [a,b];
写出 U在任一小区间 [x,x+dx]上的微元 dU=f(x)dx第二步
以所求量 U的微元 f(x)dx为被积表达式，写出第三步
区间 [a,b]上的定积分，得 ( )db
aU f x x? ?
微元法上述方法称为 或元素法。
如果一辆汽车以 30m/s的速度匀速行驶了 4s，那么
如何得到它在 t=0s到 t=4s行驶的路程？
练习 1 [汽车的行驶路程 ]
汽车行驶的路程为 30× 4＝ 120m。如果汽车以递增的
速度行驶，设 v(t)=2t2(m/s)，此时其行驶速度是变化的，
三,进一步的练习
1）每秒记录一次速度
假设每隔一秒记录下汽车行驶的速度 (单位,m/s)，
如下表所示,
时间 0 1 2 3 4
速 度 0 2 8 18 32
在每秒内，汽车行驶的速度变化不大，此时，如果
将汽车的运动视为匀速运动，汽车在第一秒内行驶
的路程可用 0× 1m近似，第二秒内可用 2× 1m近似，
这样，可以估算出汽车在 4秒内行驶的路程为
0× 1+2× 1+8× 1+18× 1＝ 28 (km)
2）每半秒记录一次速度
假设每隔半秒记录下汽车行驶的速度 (单位,m/s)，
如下表所示,
用与上面同样的计算方法，可以估算出汽车在 4秒
内行驶的路程为
0× 0.5+0.5× 0.5+2× 0.5+4.5× 0.5+8× 0.5+12.5× 0.5
+18× 0.5+24.5× 0.5＝ 35（ m）
时间
速度
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 0.5 2 4.5 8 12.5 18 24.5 32
从上面的分析可以看出，要较精确地确定汽车行
驶的路程，需要将汽车行驶的时间分割得非常细，即
时间间隔非常小．时间间隔越小，精确度越高．要确
定汽车行驶路程的精确值，我们让时间间隔趋于零，
即将时间段进行无穷细分，汽车行驶的路程等于当时
间间隔趋于零时每个小段上的路程之和．
用微元法计算的过程如下,
(1)计算路程微元, 由于在小时间段上，物体的运动可
视为匀速运动，因此，用“以匀代不均”，得到路程微元
(2)积分,以 v(t)dt为被积表达式，写出在 [T1,T2]上的
如以速度 v(t)=2t2(m/s)行驶的汽车在 t=0s到 t=4s行
驶的路程为 4 2
0 2ds t t??
d ( ) ds v t t?
积分，得
2
1
( ) dTTs v t t? ?
练习 2 [由变化率求总改变量 ]
一般地，假设 )(xF? 是某一量 F(x)相对于自变量 x的
变化率，则在 [x,x+dx]上，由微分与导数的关系，得
微元 ( ) ( ) dd F x F x x??
用微元法，得到从 x=a到 x=b之间 F(x)的总变化为
( ) ( ) ( )dbaF b F a F x x??? ?
d ( )dW r t t?
第二步 以 r(t)dt为被积表达式，在时间段
?? 20 d)( ttrW
练习 3 [水箱积水 ]
设水流到水箱的速度为 r(t) L／ min，问从 t=0s到
解 第一步 时间内，将水的流速近似],[ ttt ??在
看作是匀速的，得水量微元
t=0s到 t=2s这段时间内水流入水箱的
总量 W为
t=2s这段时间内水流入水箱的总量 W是多少？
莱布尼兹 （ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）
是 17,18世纪之交德国最重要的数学家, 物理学家
和哲学家, 一个举世罕见的科学天才 。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可
磨灭的贡献。 1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，
他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研
究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠
定了微积分学。 1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆
长。 1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任
院长。
莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的 。 他的研究及成果渗透到高
等数学的许多领域 。 他的一系列重要数学理论的提出, 为后来的数学
理论奠定了基础 。 他曾讨论过负数和复数的性质, 得出复数的对数并
不存在, 共扼复数的和是实数的结论 。 在后来的研究中, 莱布尼兹证
明了自己结论是正确的 。 他还对线性方程组进行研究, 对消元法从理
论上进行了探讨, 并首先引入了行列式的概念, 提出行列式的某些理
论 。 此外, 莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念, 发明了能够进
行加, 减, 乘, 除及开方运算的计算机和二进制, 为计算机的现代发
展奠定了坚实的基础 。
数学方面的成就：
莱布尼兹在物理学方面的贡献也是非凡的 。
他发表了, 物理学新假说,, 提出了具体运动原理和抽象运动原
理, 认为运动着的物体, 不论多么渺小, 他将带着处于完全静止状态
的物体的部分一起运动 。 他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认
真的探讨, 提出了能量守恒原理的雏型, 提出了运动的量的问题, 证
明了动量不能作为运动的度量单位, 并引入动能概念, 第一次认为动
能守恒是一个普通的物理原理 。 他又充分地证明了, 永动机是不可能,
的观点 。 在光学方面, 莱布尼兹也有所建树, 他利用微积分中的求极
值方法, 推导出了折射定律, 并尝试用求极值的方法解释光学基本定
律 。 可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似
欧氏几何的公理系统的目标前进的 。
物理方面的成就：
已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德
（ Archimedes, 287 BC～ 212 BC）等人提出的计
算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求
面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，
但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到 17世纪，
背 景
莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明
确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分
是互逆的两种运算．建立了微积分学．
xd?
背 景
促进了微积分学的发展，并一直沿用至今．
莱布尼兹 创立了积分符号,这些符号进一步
第一节 定积分－求总量的模型
3.1.1 定积分的概念及性质
3.1.2 微元法
3.1.1 定积分的概念及性质
一、案 例
二、概念和公式的引出
一、案例 [曲边梯形的面积 ]
曲边梯形由连续曲线
与两条直线,ax? bx?
所围成。
)( xfy ? )0)(( ?xf,x 轴
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
播放
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
形面积和与曲边梯形面积的关系：
在区间 [a,b]内插入若干个分点
把区间 [a,b]分成 n个小区间
iii xfA ?? )(?
bxxxxa nn ?????? ? 110 ?
],[ 1 ii xx ?
长度为 1???? iii xxx
在每个小区间 ],[ 1 ii xx ?
上任取一点,i? 以 ],[ 1 ii xx ?
为高的小矩形面积为为底,)( if ?
（ i=1,2,…, n）
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曲边梯形面积的近似值为
i
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12m a x {,,}nx x x? ? ? ? ?
当分割无限加细，即小区间的最大长度
( 0 )? ?趋近于零 时，曲边梯形面积为
把区间 [a,b]分成 n个小区间 ? ?,,10 xx ? ? ? ?nn xxxx,,,,121 ??
各个小区间的长度依次为
1122011,,,?????????? nnn xxxxxxxxx ?
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定积分 设函数 f (x)在区间 [a,b]上有界．在区间 [a,b]
二,概念和公式的引出
记 ? ?
ini x?? ??1m a x?
.如果不论对区间 [a,b]怎样分法，也不论
总趋于同一个确定的常数 I，则称函数 f (x)在区间 [a,b]
上可积，极限 I称为函数 f (x)在区间 [a,b]上的 定积分,
? ?dba f x x? ? ??
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n
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10
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?
其中 ? 为 积分符号,函数 f (x)称为 被积函数, f (x) dx
称为 被积表达式, x称为 积分变量, a称为 积分下限,
b称为 积分上限,区间 [a,b]称为 积分区间,
? ?1,iixx? 上点 i? 怎样取法，只要当 0?? 时，和 S小区间
记作
定积分的几何意义
? ?dba f x x A??当 f (x)>0时,；
? ?dba f x x A???当 f (x)<0时,。
图中函数 f (x)在 [a,b]上的定积分为
? ? ?? xxfba d 321 AAA ??
由此可知，若函数 f (x)在对称区间 [-a,a]上连续，则
? ? ??? xxfaa d ? ?
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为奇函数时当
为偶函数时当
)(0
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（ a） (b)
3.1.2 微 元 法
一、案 例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [曲边梯形的面积 ]
利用定积分的思想求解曲边梯形的面积时，
“分割 -取近似 -求和 -取极限”可概括为以下两步：
将区间细分成很多小的区间，在每个小区间上
第一步 分割与取近似
近似代替“以直代曲,,用矩形面积 ii xf ?)(?
ii xfA ??? )(?
将所有小面积全部加起来，即
取极限，当最大的小区间趋于零时，得到曲边梯形
第二步 求和与取极限
? ?? AA
( )dbaA f x x?＝
函数 f(x)在区间 [a,b]内的定积分，即
根据问题的具体情况，选取一个变量（如 x）
二,概念和公式的引出
第一步
为积分变量，并确定它的变化区间 [a,b];
写出 U在任一小区间 [x,x+dx]上的微元 dU=f(x)dx第二步
以所求量 U的微元 f(x)dx为被积表达式，写出第三步
区间 [a,b]上的定积分，得 ( )db
aU f x x? ?
微元法上述方法称为 或元素法。
如果一辆汽车以 30m/s的速度匀速行驶了 4s，那么
如何得到它在 t=0s到 t=4s行驶的路程？
练习 1 [汽车的行驶路程 ]
汽车行驶的路程为 30× 4＝ 120m。如果汽车以递增的
速度行驶，设 v(t)=2t2(m/s)，此时其行驶速度是变化的，
三,进一步的练习
1）每秒记录一次速度
假设每隔一秒记录下汽车行驶的速度 (单位,m/s)，
如下表所示,
时间 0 1 2 3 4
速 度 0 2 8 18 32
在每秒内，汽车行驶的速度变化不大，此时，如果
将汽车的运动视为匀速运动，汽车在第一秒内行驶
的路程可用 0× 1m近似，第二秒内可用 2× 1m近似，
这样，可以估算出汽车在 4秒内行驶的路程为
0× 1+2× 1+8× 1+18× 1＝ 28 (km)
2）每半秒记录一次速度
假设每隔半秒记录下汽车行驶的速度 (单位,m/s)，
如下表所示,
用与上面同样的计算方法，可以估算出汽车在 4秒
内行驶的路程为
0× 0.5+0.5× 0.5+2× 0.5+4.5× 0.5+8× 0.5+12.5× 0.5
+18× 0.5+24.5× 0.5＝ 35（ m）
时间
速度
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 0.5 2 4.5 8 12.5 18 24.5 32
从上面的分析可以看出，要较精确地确定汽车行
驶的路程，需要将汽车行驶的时间分割得非常细，即
时间间隔非常小．时间间隔越小，精确度越高．要确
定汽车行驶路程的精确值，我们让时间间隔趋于零，
即将时间段进行无穷细分，汽车行驶的路程等于当时
间间隔趋于零时每个小段上的路程之和．
用微元法计算的过程如下,
(1)计算路程微元, 由于在小时间段上，物体的运动可
视为匀速运动，因此，用“以匀代不均”，得到路程微元
(2)积分,以 v(t)dt为被积表达式，写出在 [T1,T2]上的
如以速度 v(t)=2t2(m/s)行驶的汽车在 t=0s到 t=4s行
驶的路程为 4 2
0 2ds t t??
d ( ) ds v t t?
积分，得
2
1
( ) dTTs v t t? ?
练习 2 [由变化率求总改变量 ]
一般地，假设 )(xF? 是某一量 F(x)相对于自变量 x的
变化率，则在 [x,x+dx]上，由微分与导数的关系，得
微元 ( ) ( ) dd F x F x x??
用微元法，得到从 x=a到 x=b之间 F(x)的总变化为
( ) ( ) ( )dbaF b F a F x x??? ?
d ( )dW r t t?
第二步 以 r(t)dt为被积表达式，在时间段
?? 20 d)( ttrW
练习 3 [水箱积水 ]
设水流到水箱的速度为 r(t) L／ min，问从 t=0s到
解 第一步 时间内，将水的流速近似],[ ttt ??在
看作是匀速的，得水量微元
t=0s到 t=2s这段时间内水流入水箱的
总量 W为
t=2s这段时间内水流入水箱的总量 W是多少？
莱布尼兹 （ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）
是 17,18世纪之交德国最重要的数学家, 物理学家
和哲学家, 一个举世罕见的科学天才 。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可
磨灭的贡献。 1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，
他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研
究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠
定了微积分学。 1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆
长。 1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任
院长。
莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的 。 他的研究及成果渗透到高
等数学的许多领域 。 他的一系列重要数学理论的提出, 为后来的数学
理论奠定了基础 。 他曾讨论过负数和复数的性质, 得出复数的对数并
不存在, 共扼复数的和是实数的结论 。 在后来的研究中, 莱布尼兹证
明了自己结论是正确的 。 他还对线性方程组进行研究, 对消元法从理
论上进行了探讨, 并首先引入了行列式的概念, 提出行列式的某些理
论 。 此外, 莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念, 发明了能够进
行加, 减, 乘, 除及开方运算的计算机和二进制, 为计算机的现代发
展奠定了坚实的基础 。
数学方面的成就：
莱布尼兹在物理学方面的贡献也是非凡的 。
他发表了, 物理学新假说,, 提出了具体运动原理和抽象运动原
理, 认为运动着的物体, 不论多么渺小, 他将带着处于完全静止状态
的物体的部分一起运动 。 他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认
真的探讨, 提出了能量守恒原理的雏型, 提出了运动的量的问题, 证
明了动量不能作为运动的度量单位, 并引入动能概念, 第一次认为动
能守恒是一个普通的物理原理 。 他又充分地证明了, 永动机是不可能,
的观点 。 在光学方面, 莱布尼兹也有所建树, 他利用微积分中的求极
值方法, 推导出了折射定律, 并尝试用求极值的方法解释光学基本定
律 。 可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似
欧氏几何的公理系统的目标前进的 。
物理方面的成就：
