1676年，贝努利 (Bernoulli）致牛顿的信中第
一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程
才成为一门独立的学科,微分方程建立后，立即成
为探索现实世界的重要工具．
背 景
4.1 微分方程的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四、实训
一、案例
我们已知曲线过点 (1,2)，且曲线上任
一点 M(x,y)处切线的斜率是该点横坐标的
倒数，求此曲线方程．
案例 1 [曲线方程 ]
对式 （ 1） 两边积分, 得
解 设曲线方程为 y=y(x),于是曲线在点 M(x,y)处
（ 1）
又曲线过点（１,２），故有
（ 2）
切线的斜率为,根据题意有
将式（ 2）代入上式，得
，即 C=2.
故所求曲线方程为
一质量为 m的质点,在重力作用下自由下
落,求其运动方程,
案例 2 [自由落体运动 ]
解 建立坐标系如上图所示，坐标原点取在质点开始
下落点,y轴铅直向下,设在时刻 t质点的位置为 y(t),由于质
点只受重力 mg作用,且力的方向与 y轴正向相同，故由牛
顿第二定律，得质点满足的方程为
即, g
dt
yd
2
2
?
方程两边同时积分，得,
上式两边再同时积分，得,
21
2
2
1 CtCgty ???
其中 是两个独立变化的任意常数．21 C,C
1
d
d
y g t C
t ??
一般地, 凡表示未知函数, 未知函数的导数与自
变量之间关系的方程, 称为 微分方程, 微分方程
中未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方程
的 阶,
xx
y 1
d
d ?例如，案例 1中的微分方程 是一阶微分方程；
gt y ?2
2
d
d案例 2中的微分方程 是二阶微分方程．
二,概念和公式的引出
中，函数 是微分方程 的解。lny x C?? d1
d
y
xx?
通解, 例如, 在案例 1中, 是微分方程 的lny x C?? d1
d
y
xx?
任何满足微分方程的函数都称为 微分方程的解,求
微分方程的解的过程，称为 解微分方程,例如，在案例 1
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的
个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的
2
12
1
2y g t C t C? ? ?
2
2
d
d
y g
t ?
通解．在案例 2中,是微分方程 的
通解,
为,满足初始条件的特解为,2
1 ??xy 2ln ?? xy
在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，
所得的解称为该微分方程的 特解,这种附加条件称为
d1
d
y
xx?
初始条件,在案例１中，方程 的初始条件
利用微分方程解决实际问题的一般步骤如下：
第一步 建立反映实际问题的微分方程；
第二步 按实际问题写出初始条件；
第三步 求出微分方程的通解；
第四步 由初始条件确定所求的特解．
练习 1[列车制动 ]
三、进一步的练习
列车在直线轨道上以 20m/s的速度行驶，制动列车
获得负加速度 -0.4m/s2，问开始制动后要经过多长
时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了
多少路程？
解 记列车制动的时刻为 t=0,设制动后 ts列车行驶
了 s m.由题意知,制动后列车行驶的加速度等于 -0,4
2
2
d 0.4
d
s
t ??
（ 1）
二阶微分方程
初始条件为当 t=0时,s=0,d 20
d
sv
t??
m/ s2,即
将方程 （ 1） 两端同时对 t积分, 得
? ? 1d 0,4,d sv t t Ct? ? ? ? (2)
式 (2)两端对 t再积分一次, 得
,2.0 212 CtCts ???? (3)
其中 C1,C2都是任意常数，把条件当 t=0时,d 20
d
s
t ?
,(4）
速度方程为
（ 5）
代入式（ 2），得 C1＝ 20．把 t=0时,s=0代入式
（ 3），得 C2 ＝ 0．于是，列车制动后的运动方程
为
因为列车刹住时速度为零，在式（ 5）中，令 v=0,解
0=-0.4t+20,得列车从开始制动到完全刹住的时间为
再把 t=50代入式（ 4）,得列车在制动后所行驶的路程
为
1,[曲线方程 ] 已知曲线上任意点 M(x,y)处的切线斜率
为 cosx,并且通过点 (0,1)，求此曲线方程．
2,[运动方程 ] 一物体的运动速度为 v=3t m/s，当 t=2s
时，物体所经过的路程为 9m，求此物体的运动方程．
四、实训
一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程
才成为一门独立的学科,微分方程建立后，立即成
为探索现实世界的重要工具．
背 景
4.1 微分方程的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四、实训
一、案例
我们已知曲线过点 (1,2)，且曲线上任
一点 M(x,y)处切线的斜率是该点横坐标的
倒数，求此曲线方程．
案例 1 [曲线方程 ]
对式 （ 1） 两边积分, 得
解 设曲线方程为 y=y(x),于是曲线在点 M(x,y)处
（ 1）
又曲线过点（１,２），故有
（ 2）
切线的斜率为,根据题意有
将式（ 2）代入上式，得
，即 C=2.
故所求曲线方程为
一质量为 m的质点,在重力作用下自由下
落,求其运动方程,
案例 2 [自由落体运动 ]
解 建立坐标系如上图所示，坐标原点取在质点开始
下落点,y轴铅直向下,设在时刻 t质点的位置为 y(t),由于质
点只受重力 mg作用,且力的方向与 y轴正向相同，故由牛
顿第二定律，得质点满足的方程为
即, g
dt
yd
2
2
?
方程两边同时积分，得,
上式两边再同时积分，得,
21
2
2
1 CtCgty ???
其中 是两个独立变化的任意常数．21 C,C
1
d
d
y g t C
t ??
一般地, 凡表示未知函数, 未知函数的导数与自
变量之间关系的方程, 称为 微分方程, 微分方程
中未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方程
的 阶,
xx
y 1
d
d ?例如，案例 1中的微分方程 是一阶微分方程；
gt y ?2
2
d
d案例 2中的微分方程 是二阶微分方程．
二,概念和公式的引出
中，函数 是微分方程 的解。lny x C?? d1
d
y
xx?
通解, 例如, 在案例 1中, 是微分方程 的lny x C?? d1
d
y
xx?
任何满足微分方程的函数都称为 微分方程的解,求
微分方程的解的过程，称为 解微分方程,例如，在案例 1
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的
个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的
2
12
1
2y g t C t C? ? ?
2
2
d
d
y g
t ?
通解．在案例 2中,是微分方程 的
通解,
为,满足初始条件的特解为,2
1 ??xy 2ln ?? xy
在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，
所得的解称为该微分方程的 特解,这种附加条件称为
d1
d
y
xx?
初始条件,在案例１中，方程 的初始条件
利用微分方程解决实际问题的一般步骤如下：
第一步 建立反映实际问题的微分方程；
第二步 按实际问题写出初始条件；
第三步 求出微分方程的通解；
第四步 由初始条件确定所求的特解．
练习 1[列车制动 ]
三、进一步的练习
列车在直线轨道上以 20m/s的速度行驶，制动列车
获得负加速度 -0.4m/s2，问开始制动后要经过多长
时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了
多少路程？
解 记列车制动的时刻为 t=0,设制动后 ts列车行驶
了 s m.由题意知,制动后列车行驶的加速度等于 -0,4
2
2
d 0.4
d
s
t ??
（ 1）
二阶微分方程
初始条件为当 t=0时,s=0,d 20
d
sv
t??
m/ s2,即
将方程 （ 1） 两端同时对 t积分, 得
? ? 1d 0,4,d sv t t Ct? ? ? ? (2)
式 (2)两端对 t再积分一次, 得
,2.0 212 CtCts ???? (3)
其中 C1,C2都是任意常数，把条件当 t=0时,d 20
d
s
t ?
,(4）
速度方程为
（ 5）
代入式（ 2），得 C1＝ 20．把 t=0时,s=0代入式
（ 3），得 C2 ＝ 0．于是，列车制动后的运动方程
为
因为列车刹住时速度为零，在式（ 5）中，令 v=0,解
0=-0.4t+20,得列车从开始制动到完全刹住的时间为
再把 t=50代入式（ 4）,得列车在制动后所行驶的路程
为
1,[曲线方程 ] 已知曲线上任意点 M(x,y)处的切线斜率
为 cosx,并且通过点 (0,1)，求此曲线方程．
2,[运动方程 ] 一物体的运动速度为 v=3t m/s，当 t=2s
时，物体所经过的路程为 9m，求此物体的运动方程．
四、实训
