5.4 拉普拉斯的逆变换及其性质
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例 [自动控制 ]
拉氏逆变换是由象函数求原函数, 如在自
动控制中，利用拉氏变换可以将常系数微
分方程变换为象函数的代数方程求解，但
最后，又需要再将象函数的代数方程解还
原为微分方程的解．
二,概念和公式的引出
拉氏逆变换 若 F (p)为 f (t)的拉氏变换，则称 f (t)
)]([)( 1 pFLtf ??
为 F (p)的 拉普拉斯逆变换,记作
拉氏变换具有如下性质：
性质 1(线性性质 )
性质 2(平移性质 )
)()()]()([ 221122111 tfapfatFatFaL ????
)()]([1 tfeapFL at???
性质 3(延滞 性质 )
)()()]([1 atuatfpFeL ap ?????
三,进一步的练习
练习 1
求下列象函数的逆变换
(1) 1()
3( 3 )Fp p? ?
(2) 25
() 2pFp p ??
(3) 43()
2 4pFp p ?? ?
(4) 23()
2 25
pFp
pp
??
??
解 (1) 由性质 2及拉氏变换表得
])3( 1[)( 31 ?? ? PLtf
]!2[
2 3
1
2
p
Le
t
??
]1[ 312 PLe t ??
tet 22
2
1?
251( 2 ) ( ) [ ]
2
pf t L
p
???
11112 [ ] 5 [ ]2LL p
p
????
25t??
431( 3 ) ( ) [ ]
2 4
pf t L
p
???
?
11
22
522
4 2 4
ttpe L e L
pp
??? ? ? ???? ? ? ?
??? ? ? ?
52 c o s 2 s in 2
2
te t t??
11
22
2 3 2 ( 1 ) 5()
2 5 ( 1 ) 4
PPf t L L
P P P
?? ??? ? ????? ????
? ? ? ??? ??
(4)
11
22
1 5 22
( 1 ) 4 2 ( 1 ) 4
PLL
PP
??? ? ? ????? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
34 c o s 2 sin 22tt??
11 3 24 [ ] [ ]2 2 2
44
pLL
pp
????
??
练习 2 [解一阶微分方程 ]
解
0)(2)( ??? txtx求微分方程 满足初始条件
3)0( ?x 的解,
对方程两端进行拉氏变换，并设 )()]([ pXtxL ?,
0)(2)0()( ??? pXxppX
则 ]0[)](2)([ LtxtxL ???,即
3)0( ?x将 代入上式，有
3)()2( ?? pXp
所以 象函数的解为
2
3)(
?? ppX
用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程，
满足初始条件 3)0( ?x 的解为
te
pLpxLtx
211 3]
2
3[)]([)( ??? ?
???
注,拉氏变换在解微分方程中具有重要作用，应
用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数
的代数方程求解，再通过拉氏逆变换，将象函数
的代数方程解还原为微分方程的解．起到化难为
易的作用．
用拉氏变换求解常系数常微分方程的过程如下：
第一步 对微分方程进行拉氏变换；
第二步 解拉氏变换象函数的代数方程；
第三步 将象函数的代数方程解进行拉氏逆变换，
还原为微分方程的解．
练习 3 [解二阶常系数线性微分方程 ]
解 YpYtyL ?? )()]([设,并对方程两端进行拉氏
tetytyty ??????? 3)(2)(3)(
用拉氏变换求微分方程
1)0(,2)0( ???? yy满足初始条件 的解．
变换，则有
2 2[ ( 0 ) ( 0 ) ] 3 [ ( 0 ) ] 2
1p Y p y y p Y y Y P?? ? ? ? ? ? ?
将初始条件 1)0(,2)0( ???? yy 代入上式，得
代数方程的解
7212)23( 2 ?????? PPYpp
将上式分解为
2
3
7
1
4
1
3
1
?
?
?
?
?
?
ppp
Y
再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 1)0(,2)0( ???? yy
的微分方程解为 ttt eeety 2
3
74
3
1)( ??? ?
)2)(1)(1(
552 2
???
???
ppp
ppY即