7.3 随机变量及分布
7.3.1 随机变量
7.3.2 离散型随机变量及其分布
7.3.3 连续型随机变量及其分布
7.3.1 随机变量
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
掷一枚骰子，观察出现的点数．我们发现这个随
机试验的所有可能结果可以用 1,2,3,4,5,6
这 6个数字来表示．
从有 3件废品的一批产品中任取 5件，观察出现废品
的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可
以用 0,1,2,3这 4个数字来表示．
案例 1 [掷骰子 ]
案例 2 [产品检验 ]
抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面”
两种情况，若用数 0表示出现正面，数 1表示出现反
面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用 0,1这 2个数
字来表示．
从最长使用寿命为 10000h的一批灯泡中，任取一个
检验，观察使用寿命 t．我们发现这个随机试验的
可能结果为
100000 ?? t
案例 3 [抛硬币 ]
案例 4 [灯泡寿命 ]
某公共汽车站每 15s发一班汽车，观察某人在该站
候车的时间．我们发现这个随机试验的结果为
100000 ?? t
案例 5 [候车 ]
二,概念和公式的引出
随机变量
如果随机试验的每一个结果 A都有一个实数 )(A?
与之对应，则称 ? 为 随机变量,随机变量常用字母
YX,,,?? 等字母表示．
三、进一步练习
练习 1 [掷骰子 ]
表示“出现 2点”这一随机事件．
练习 2 [产品取样 ]
可用随机变量 ? 表示取到废品件数，如,2??
”表示“取到 2件废品”这一随机事
件．
可用随机变量 ? 表示掷骰子出现点数，如,2??,
可用随机变量 X表示抛出的结果，如,X=0”表示
“出现正面”这一随机事件．
练习 3 [抛硬币 ]
7.3.2 离散型随机变量及其分布
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球 ]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
取值 1,2,…, 6来表示所有结果．
?一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按
二,概念和公式的引出
离散型随机变量
如果随机变量的所有可能取值是有限多个或可列
多个，这样的随机变量称为 离散型随机变量,
设某盒中装有编号为 0,2,4数字的六个球，分别为 1
三、进一步练习
案例 1[摸球 ]
的号码”，写出 ? 的可能取值和每个取值的概率．
?个,3个,2个．现从盒中任取一球，用 表示“取到球
解 由于 ? 表示“取到球的号码”，因此,?
可能取值为 0,2,4．
”,0?? 表示“取到 0号球”，
6
1)0( ???P
表示“取到 2号球”，”,2??
2
1
6
3)0( ????P
”,4?? 表示“取到 4号球”，
3
1
6
2)0( ????P
将随机变量取值和相应概率列成下表
?
P
0 2 4
1/6 1/2 1/3
案例 2 [掷骰子 ]
设 ? 表示掷一枚骰子出现的点数，则可将 ?
的可能取值和相应的概率列成下表
?
P
1 2 3 4 5 6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
二,概念和公式的引出
概率分布
设离散型随机变量 ? 可能取值为 ?,,,,,,
321 ?? kxxxx
取每一个值 ),2,1( ??kx
k
的概率为
kP
，则下表称为
? 1x 2x kx
P 1p 2p kp
… …
… …
随机变量 ? 的 概率分布,简称为 ? 的 分布列
概率分布也可简写为
kk pxP ?? )(?
离散型随机变量的分布列具有如下性质：
),2,1(0)1( ??? kp k
),2,1( ??k
1)2(
1
??
?
?k
kp
三、进一步练习
练习 [信号灯 ]
汽车需要通过有 4盏红绿信号灯的道路才能达到目
的地，设汽车在每盏红绿灯前通过的概率为 0.6，
停止前进（即遇到红灯）的概率为 0.4，求汽车首
次停止前进（遇到红灯或到达目的地）时，己通过
的信号灯数的概率分布．
解 汽车首次停止前进时，已通过的信号灯数是
一个随机变量，用 ? 表示．显然,? 的可能值为
0,1,2,3,4，因为
”,0?? 表示已通过的信号灯数是 0，有
4.0)0( ???P
32.04.06.0)1( ???＝?P
44.14.06.0)2( 2 ???＝?P
表示已通过的信号灯数是 1，有”,1??
”,2?? 表示已通过的信号灯数是 2，有
”,3?? 表示已通过的信号灯数是 3，有
0 8 6 4.04.06.0)3( 3 ???＝?P
1 2 9 6.06.0)4( 4 ??＝?P
表示已通过的信号灯数是 4，有”,4??
?所以 的概率分布见下表
?
P
0 1 2 3 4
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296
一、案例 [掷硬币、产品抽样 ]
抛掷一枚硬币只出现正面或反面；产品抽样检验的
结果为合格品或废品．
二,概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 ?
取 0或 1来表示，那么称 ? 服从两点（或 0-1）分布．
取 0时的概率为 p，则设 ? ? 的概率分布见下表
?
P p p?1
0 1
三、进一步练习
练习 [产品抽样 ]
某厂生产的产品合格率为 0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 ? 服从两点分布．
其概率分布见下表
?
P
0 1
0.05 0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布 ]
某人投篮的命中率为 0.7，现投篮 20次，则投篮命中
其概率分布为
kkkCkP ??? 2020 )3.0()7.0()( ? )20,,2,1( ??k
? 是随机变量，可能取值为 0,1,2,…, 20，的次数
二项分布
如果随机变量 ? 取值为 0,1,2,…, n，其概率
分布为
knkkn ppCkP ???? )1()( ? ),,2,1( nk ??
则称 ? 服从参数为 n,p的 二项分布,记作
),( pnB～?
三、进一步练习
练习 [摸球 ]
练习 [使用寿命 ] 按规定，某种型号电子元件的使用
寿命超过 1500小时的为一级品．已知某大批产品的一
级品率为 0.2，现从中随机地抽查 10只，设 10只元件
中一级品的只数为 ?,求 ? 的概率分布．
解 这是一个不放回抽样，但由于这批元件的总数
很大，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小，
因而可以当作放回抽样来处理．我们把检查
一只元件是否为一级品看作是一次试验，检查 10
? 为一级品的只数，
其可能的取值为 0,1,2,…, 10，且服从参数为
n=10,p=0.2的二项分布,? 的概率分布为
...),2,1()8.0()2.0()( 1010 ??? ? kCkP kkk?
只元件相当于做 10重复试验，
二,概念和公式的引出
泊松分布
3．泊松分布
如果随机变量 ? 的概率分布为
??? ??? e
kkP
k
!)(
),,2,1,0,0( nk ????
则称 ? 服从参数为 ? 的 泊松分布,记作
)(~ ?? P
7.3.3 连续型随机变量及其分布
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例
案例 1 [电子元件 ] 电子元件的使用寿命 ?
是一个随机变量，它可以取 ),0( ?? 内的一切值．
案例 2 [候车 ] 某公共汽车站 10分钟发一趟各线
路的汽车，某人到公共汽车站候车的时间是一个
随机变量，它可以取 [0,10]上的一切值．
二,概念和公式的引出
概率分布密度
???? ba dxxfbaP )()( ?
的 概率分布密度 （简称 分布密度 或 密度 ） 函数,
对于随机变量 ?,如果存在一个非
负函数 f(x),使 ? 在任意区间 (a,b)内取值的概率为
为则称 ? 为 连续型随机变量, f(x)称为 ?
由密度函数的定义得下列两个性质：
0)()1( ?xf
? ???? ? 1)()2( dxxf
二,概念和公式的引出
均匀分布 如果随机变量
? 的密度函数为
1、均匀分布
1
[,]
()
[,]
0
x a b
fx ba
x a b
? ?
?
? ??
??
?
，
，
则称 ? 在 [a,b]上服从 均匀分布,记作 ],[~ baU?
三、进一步练习
练习 [候车问题 ]
某公共汽车站每隔 10min有一辆公共汽车通过，现有
?
问该乘客候车时间小于 5min的概率．
一乘客随机到站候车．设 表示乘客的候车时间，
解 由于乘客到站相当于在 [0,10]内随机投点，因此
]10,0[U～?
即 1
() 10
0
fx
?
?
? ?
??
，
,其它
100 ?? x
故乘客候车小于 5min的概率为
5
0
1( 0 5 ) d 0,5
10Px?? ? ? ??
一,概念和公式的引出
正态分布 如果随机变量 ? 的密度函数为
2、正态分布
2
2
2
)(
2
1)( ??
?
??
?
x
exf )),(( ?????x
其中 为参数，则称随机变量)0(,???? ? 服从 参数为
??,的正态分布,记作 ),(~ 2??? N
正态分布的密度函数的图象如下所示
正态分布曲线决定于密度函数中的两个参数 ??和
的陡缓程度．
参数 ? 参数决定了曲线的中心位置,? 决定曲线
特别地，当 1,0 ?? ?? 时的正态分布称为标准
正态分布，即 )1,0(~ N?,其密度函数为
2
2
2
1)( xexf ??
?
),( ?????x
正态分布的概率计算
2
21( ) ( ) d
2
tx
x P x e t? ? ?
??
? ? ? ? ?
时（ 2）当 ),(~ 2??? N
（ 1）当 )1,0(~ N? 时
2
2
()
21( ) d
2
tx
P x e t
?
??
??
??
??
?? ?
二、进一步练习
练习 1
设 )1,0(~ N?,计算
)2( ??P(1) )44.1( ???P(2)
)96.1( ??P(3) )2( ??P(4)
解 因为 )1,0(~ N?,所以可直接查找课本附表 5计算
)2( ??P(1) 9 7 7 3.0)2( ???
)44.1( ???P(2) )44.1(1)44.1( ??????
0 7 4 9.09 2 5 1.01 ???
)96.1( ??P(3)
)2( ??P(4)
( 1, 9 6 1, 9 6 )P ?? ? ? ?
)96.1()96.1( ?????
)]96.1(1[)96.1( ?????
19 7 5 0.021)96.1(2 ??????
95.0?
)2(1)2(1 ?????? ?P
0227.09973.01 ???
练习 2
设 )4,6.1(~ N?,计算
)8.6( ??P(1)
)3( ???P(3)
(2) )2( ??P
)4( ??P(4)
解 因为,即)4,6.1(~ N? 4,6.1 ?? ??,所以
)8.6( ??P(1) 6,8 1,6()2???
(2) )2( ??P 1 ( 2 )P ?? ? ?
1 ( 0, 2 )? ? ?
2 1.61 ( )
2
?? ? ?
0,4 2 0 7?
(2.6)?? 0.9953?
)3( ???P(3)
)4( ??P(4)
3 1,6()
2
????
0 1 0 7.09 8 9 3.01 ???
( 4 4 )P ?? ? ? ?
)8.2()2.1( ?????
)]8.2(1[8 8 4 9.0 ????
8 8 2 3.09 9 7 4.018 8 4 9.0 ????
1 ( 2,3 )? ? ?( 2,3 )? ? ?
4 1,6 4 1,6( ) ( )
22
? ? ?? ? ? ?
7.3.1 随机变量
7.3.2 离散型随机变量及其分布
7.3.3 连续型随机变量及其分布
7.3.1 随机变量
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
一、案例
掷一枚骰子，观察出现的点数．我们发现这个随
机试验的所有可能结果可以用 1,2,3,4,5,6
这 6个数字来表示．
从有 3件废品的一批产品中任取 5件，观察出现废品
的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可
以用 0,1,2,3这 4个数字来表示．
案例 1 [掷骰子 ]
案例 2 [产品检验 ]
抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面”
两种情况，若用数 0表示出现正面，数 1表示出现反
面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用 0,1这 2个数
字来表示．
从最长使用寿命为 10000h的一批灯泡中，任取一个
检验，观察使用寿命 t．我们发现这个随机试验的
可能结果为
100000 ?? t
案例 3 [抛硬币 ]
案例 4 [灯泡寿命 ]
某公共汽车站每 15s发一班汽车，观察某人在该站
候车的时间．我们发现这个随机试验的结果为
100000 ?? t
案例 5 [候车 ]
二,概念和公式的引出
随机变量
如果随机试验的每一个结果 A都有一个实数 )(A?
与之对应，则称 ? 为 随机变量,随机变量常用字母
YX,,,?? 等字母表示．
三、进一步练习
练习 1 [掷骰子 ]
表示“出现 2点”这一随机事件．
练习 2 [产品取样 ]
可用随机变量 ? 表示取到废品件数，如,2??
”表示“取到 2件废品”这一随机事
件．
可用随机变量 ? 表示掷骰子出现点数，如,2??,
可用随机变量 X表示抛出的结果，如,X=0”表示
“出现正面”这一随机事件．
练习 3 [抛硬币 ]
7.3.2 离散型随机变量及其分布
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球 ]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
取值 1,2,…, 6来表示所有结果．
?一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按
二,概念和公式的引出
离散型随机变量
如果随机变量的所有可能取值是有限多个或可列
多个，这样的随机变量称为 离散型随机变量,
设某盒中装有编号为 0,2,4数字的六个球，分别为 1
三、进一步练习
案例 1[摸球 ]
的号码”，写出 ? 的可能取值和每个取值的概率．
?个,3个,2个．现从盒中任取一球，用 表示“取到球
解 由于 ? 表示“取到球的号码”，因此,?
可能取值为 0,2,4．
”,0?? 表示“取到 0号球”，
6
1)0( ???P
表示“取到 2号球”，”,2??
2
1
6
3)0( ????P
”,4?? 表示“取到 4号球”，
3
1
6
2)0( ????P
将随机变量取值和相应概率列成下表
?
P
0 2 4
1/6 1/2 1/3
案例 2 [掷骰子 ]
设 ? 表示掷一枚骰子出现的点数，则可将 ?
的可能取值和相应的概率列成下表
?
P
1 2 3 4 5 6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
二,概念和公式的引出
概率分布
设离散型随机变量 ? 可能取值为 ?,,,,,,
321 ?? kxxxx
取每一个值 ),2,1( ??kx
k
的概率为
kP
，则下表称为
? 1x 2x kx
P 1p 2p kp
… …
… …
随机变量 ? 的 概率分布,简称为 ? 的 分布列
概率分布也可简写为
kk pxP ?? )(?
离散型随机变量的分布列具有如下性质：
),2,1(0)1( ??? kp k
),2,1( ??k
1)2(
1
??
?
?k
kp
三、进一步练习
练习 [信号灯 ]
汽车需要通过有 4盏红绿信号灯的道路才能达到目
的地，设汽车在每盏红绿灯前通过的概率为 0.6，
停止前进（即遇到红灯）的概率为 0.4，求汽车首
次停止前进（遇到红灯或到达目的地）时，己通过
的信号灯数的概率分布．
解 汽车首次停止前进时，已通过的信号灯数是
一个随机变量，用 ? 表示．显然,? 的可能值为
0,1,2,3,4，因为
”,0?? 表示已通过的信号灯数是 0，有
4.0)0( ???P
32.04.06.0)1( ???＝?P
44.14.06.0)2( 2 ???＝?P
表示已通过的信号灯数是 1，有”,1??
”,2?? 表示已通过的信号灯数是 2，有
”,3?? 表示已通过的信号灯数是 3，有
0 8 6 4.04.06.0)3( 3 ???＝?P
1 2 9 6.06.0)4( 4 ??＝?P
表示已通过的信号灯数是 4，有”,4??
?所以 的概率分布见下表
?
P
0 1 2 3 4
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296
一、案例 [掷硬币、产品抽样 ]
抛掷一枚硬币只出现正面或反面；产品抽样检验的
结果为合格品或废品．
二,概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 ?
取 0或 1来表示，那么称 ? 服从两点（或 0-1）分布．
取 0时的概率为 p，则设 ? ? 的概率分布见下表
?
P p p?1
0 1
三、进一步练习
练习 [产品抽样 ]
某厂生产的产品合格率为 0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 ? 服从两点分布．
其概率分布见下表
?
P
0 1
0.05 0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布 ]
某人投篮的命中率为 0.7，现投篮 20次，则投篮命中
其概率分布为
kkkCkP ??? 2020 )3.0()7.0()( ? )20,,2,1( ??k
? 是随机变量，可能取值为 0,1,2,…, 20，的次数
二项分布
如果随机变量 ? 取值为 0,1,2,…, n，其概率
分布为
knkkn ppCkP ???? )1()( ? ),,2,1( nk ??
则称 ? 服从参数为 n,p的 二项分布,记作
),( pnB～?
三、进一步练习
练习 [摸球 ]
练习 [使用寿命 ] 按规定，某种型号电子元件的使用
寿命超过 1500小时的为一级品．已知某大批产品的一
级品率为 0.2，现从中随机地抽查 10只，设 10只元件
中一级品的只数为 ?,求 ? 的概率分布．
解 这是一个不放回抽样，但由于这批元件的总数
很大，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小，
因而可以当作放回抽样来处理．我们把检查
一只元件是否为一级品看作是一次试验，检查 10
? 为一级品的只数，
其可能的取值为 0,1,2,…, 10，且服从参数为
n=10,p=0.2的二项分布,? 的概率分布为
...),2,1()8.0()2.0()( 1010 ??? ? kCkP kkk?
只元件相当于做 10重复试验，
二,概念和公式的引出
泊松分布
3．泊松分布
如果随机变量 ? 的概率分布为
??? ??? e
kkP
k
!)(
),,2,1,0,0( nk ????
则称 ? 服从参数为 ? 的 泊松分布,记作
)(~ ?? P
7.3.3 连续型随机变量及其分布
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
一、案例
案例 1 [电子元件 ] 电子元件的使用寿命 ?
是一个随机变量，它可以取 ),0( ?? 内的一切值．
案例 2 [候车 ] 某公共汽车站 10分钟发一趟各线
路的汽车，某人到公共汽车站候车的时间是一个
随机变量，它可以取 [0,10]上的一切值．
二,概念和公式的引出
概率分布密度
???? ba dxxfbaP )()( ?
的 概率分布密度 （简称 分布密度 或 密度 ） 函数,
对于随机变量 ?,如果存在一个非
负函数 f(x),使 ? 在任意区间 (a,b)内取值的概率为
为则称 ? 为 连续型随机变量, f(x)称为 ?
由密度函数的定义得下列两个性质：
0)()1( ?xf
? ???? ? 1)()2( dxxf
二,概念和公式的引出
均匀分布 如果随机变量
? 的密度函数为
1、均匀分布
1
[,]
()
[,]
0
x a b
fx ba
x a b
? ?
?
? ??
??
?
，
，
则称 ? 在 [a,b]上服从 均匀分布,记作 ],[~ baU?
三、进一步练习
练习 [候车问题 ]
某公共汽车站每隔 10min有一辆公共汽车通过，现有
?
问该乘客候车时间小于 5min的概率．
一乘客随机到站候车．设 表示乘客的候车时间，
解 由于乘客到站相当于在 [0,10]内随机投点，因此
]10,0[U～?
即 1
() 10
0
fx
?
?
? ?
??
，
,其它
100 ?? x
故乘客候车小于 5min的概率为
5
0
1( 0 5 ) d 0,5
10Px?? ? ? ??
一,概念和公式的引出
正态分布 如果随机变量 ? 的密度函数为
2、正态分布
2
2
2
)(
2
1)( ??
?
??
?
x
exf )),(( ?????x
其中 为参数，则称随机变量)0(,???? ? 服从 参数为
??,的正态分布,记作 ),(~ 2??? N
正态分布的密度函数的图象如下所示
正态分布曲线决定于密度函数中的两个参数 ??和
的陡缓程度．
参数 ? 参数决定了曲线的中心位置,? 决定曲线
特别地，当 1,0 ?? ?? 时的正态分布称为标准
正态分布，即 )1,0(~ N?,其密度函数为
2
2
2
1)( xexf ??
?
),( ?????x
正态分布的概率计算
2
21( ) ( ) d
2
tx
x P x e t? ? ?
??
? ? ? ? ?
时（ 2）当 ),(~ 2??? N
（ 1）当 )1,0(~ N? 时
2
2
()
21( ) d
2
tx
P x e t
?
??
??
??
??
?? ?
二、进一步练习
练习 1
设 )1,0(~ N?,计算
)2( ??P(1) )44.1( ???P(2)
)96.1( ??P(3) )2( ??P(4)
解 因为 )1,0(~ N?,所以可直接查找课本附表 5计算
)2( ??P(1) 9 7 7 3.0)2( ???
)44.1( ???P(2) )44.1(1)44.1( ??????
0 7 4 9.09 2 5 1.01 ???
)96.1( ??P(3)
)2( ??P(4)
( 1, 9 6 1, 9 6 )P ?? ? ? ?
)96.1()96.1( ?????
)]96.1(1[)96.1( ?????
19 7 5 0.021)96.1(2 ??????
95.0?
)2(1)2(1 ?????? ?P
0227.09973.01 ???
练习 2
设 )4,6.1(~ N?,计算
)8.6( ??P(1)
)3( ???P(3)
(2) )2( ??P
)4( ??P(4)
解 因为,即)4,6.1(~ N? 4,6.1 ?? ??,所以
)8.6( ??P(1) 6,8 1,6()2???
(2) )2( ??P 1 ( 2 )P ?? ? ?
1 ( 0, 2 )? ? ?
2 1.61 ( )
2
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(2.6)?? 0.9953?
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2
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4 1,6 4 1,6( ) ( )
22
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