7.4 随机变量的数字特征
7.4.1 离散型随机变量的数学期望和方差
7.4.2 连续 型随机变量的数学期望和方差
7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差
7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差
7.4.1 数学期望和方差的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四,案例
五,概念和公式的引出
六、进一步的练习
一、案例 [轮胎质量 ]
为了比较两家工厂生产的轮胎质量，某汽
车运输公司做了这样的试验，让 14辆车况
相同的汽车分别装上这两家工厂生产的牌
号为 A,B的轮胎，并且统计了每辆车在轮
胎损坏前所行驶的公里数，见下表
7
1
7
2
7
4
7
3
7
2
7
1
7
1
A牌轮胎 B牌轮胎
公里
数 11000 12000 14000 8000 10000 14000 40000
车辆
数 1 2 4 3 2 1 1
频率
从每组轮胎所行驶的平均公里数来看：
13000741400072120007111000 ??????
（ km）
B牌轮胎的平均公里数为
1 4 0 0 0714 0 0 0 0711 4 0 0 0721 0 0 0 0738 0 0 0 ???????? （ km）
所以汽车运输公司认为 B牌轮胎质量较好．
A牌轮胎的平均公里数为
二,概念和公式的引出
离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量
? 的分布列为 ?
1x 2x kx
P 1p 2p kp
… …
… …
若级数 ??
?1k
kk px
绝对收敛，则称级数 ??
?1k
kk px
为随机变量 ? 的 数学期望 或 均值,记作 )(?E 或 ?E
即 ??
?
?
1
)(
k
kk pxE ?
．如果上式中的级数不绝对收敛，
这时称 ? 的数学期望不存在．
一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种，
相应的概率分别为 0.7,0.1,0.1,0.06及 0.04，若其
产值（单位：元）分别为 6,5.4,5,4,0，求产品
的平均产值．
三、进一步练习
练习 1[产品的平均产值 ]
解 产品产值
? 是一个随机变量，其分布列为
?
P
6 5.4 5 4 0
0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
所以
( ) 6 0, 7 5, 4 0, 1 5 0, 1 4 0, 0 6 0 0, 0 4E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.48?
练习 2 [产品质量 ]
一段时间的考察,??,的分布列分别是
?
P
0 1 2 3
0.7 0.1 0.1 0.1
问哪一台机床加工的产品质量好些？
?
0 1 2 3
0.5 0.3 0.2 0
P
设 A,B两台自动机床，生产同一种标准件．生产
??,表示，经过1000只产品所出的次品数分别用
解 随机变量 ??,的数学期望分别为
6.01.031.021.017.00)( ??????????E
7.0032.023.015.00)( ??????????E
因为 )()( ?? EE ?,所以自动机床 A在 1000只产品中
所出的平均次品数较少．因此，我们认为 A机床加工
的产品质量较高．
四、案例 [误差评价 ]
线切割机床在切割某一批圆柱形钢件时，已知切割后
的平均长度为 30cm,要判断该机床的切割水平．如
果切割后的钢件大部分都在 30cm左右，则符合精度
要求，我们认为切割水平较好；如果切割后的钢件离
30cm差异较大，虽然同样满足切割的平均长度为
30cm,但我们认为切割水平有问题．
那么，究竟用什么办法来对机床切割水平进行评价呢？
五,概念和公式的引出
离散型随机变量的方差 设 ? 是一随机变量，如果
存在，则称2)( ?? EE ? 2)( ?? EE ? ?为 的 方差,记作
，并称?? DD 或)( ?D，即 2)()( ??? EED ?? ?为
的 均方差 或 标准差,
设甲、乙两工厂生产同一种设备，其使用寿命（单位：
小时）的分布列见下表，试比较两厂生产的产品质
量．
六、进一步练习
练习 [质量评价 ]
?
P
800 900 1000 1100 1200
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
?
P
800 900 1000 1100 1200
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
解
1.012002.011004.010002.09001.0800)( ???????????E
1000?
两厂生产的设备使用寿命的均值相等，但从分布列
可以看出，甲厂生产的产品使用寿命比较集中在
1000小时左右，说明甲厂产品质量的稳定性较好，
而乙厂生产的产品使用寿命却比较分散，说明乙厂
产品质量的稳定性比较差．
1000?
2.012002.011002.010002.09002.0800)( ???????????E
4.0)10001000(2.0)1000900(1.0)1000800( 222 ??????????D
1 2 0 01.0)1 0 0 01 2 0 0(2.0)1 0 0 01 1 0 0( 22 ???????
20002.0)10001200(2.0)10001100( 22 ???????
2.0)10001000(2.0)1000900(2.0)1000800( 222 ??????????D
下面用方差来进行描述．
因为 ?? DD ?,所以甲厂产品寿命的分散程度比较小，
产品质量比较稳定，比乙厂的产品质量好．
7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差
一、概念和公式的引出
二、进一步的练习
一,概念和公式的引出
连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 ?
具有密度函数 f(x), 如果广义积分 ( ) dxf x x??
???
（或 均值 ），记作 ?? EE 或)(,即
( )dE x f x x? ????? ?
否则，称 ? 的数学期望不存在．
绝对收敛，则称该积分为随机变量 ? 的 数学期望
连续型随机变量的方差 设连续型随机变量 ?
具有密度函数 f(x), 如果广义积分 2( ) ( )dx E f x x???
?? ??
存在，则称该积分为随机变量 ? 的 方差,记作
2( ) ( )dD x E f x x????
?????
否则，称 ? 的数学期望不存在．
)(?D, 即
数学期望有以下性质：
（ 1） E(c)=c,其中 c为常数；
?? cEcE ?)(（ 2）, 其中 c为常数；
（ 3） ???? EEE ??? )(
（ 4） 如果 ?与E 相互独立，则 ???? EEE ??)(
方差有以下性质：
（ 1） 222 )(][)( ????? EEEED ????
（ 2）, 其中 c为常数；0)( ?cD
???? DDD ＋?? )(
（ 3） ?? DccD 2)( ?, 其中 c为常数；
（ 4） 如果 ?与E 相互独立，则
二、进一步练习
练习 1
已知
? 在 [a,b]上服从均匀分布，即 ],[~ baU?,
解
求 ?? DE 和,
因为 ],[~ baU?,即 的密度函数为?
??
?
?
?
??
??
其它0
1
)(
bxa
abxf
所以
( )dE x f x x? ????? ?
2( ) ( )dD x E f x x????
?????
311 ( ) |
32
b
a
abx
ba
?? ? ?
?
21
( ) |2 baxba? ?1 db
a
xxba?? ?? 2ab??
2( ) ( )dD x E f x x????
?????
2 1( ) d
2
b
a
abxx
ba
?? ? ?
??
21 ()
12 ba??
2 1( ) d
2
b
a
abxx
ba
?? ? ?
??
7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差
一、概念和公式的引出
0-1分布 设 ? 服从 0-1分布，则,1 )E p D p p??? ? ?（
二项分布 设 ),(~ pnB?,则,( 1 )E n p D n p p??? ? ?
泊松分布 设 )(~ ?? P,则 ???? ?? DE,
均匀分布 设 ],[~ baU?,则 2
)(121,2 abDbaE ???? ??
正态分布 设 ),(~ 2??? N,则 2,???? ?? DE
特别地，当 )1,0(~ N? 时,1,0 ?? ?? DE
一,概念和公式的引出
7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差
一、概念和公式的引出
二、进一步的练习
一,概念和公式的引出
和方差可按下列公式计算．
?? ????? kk pxgpxgpxgE )()()( 2211?
如果
kk pxP ?? )(?
是离散型随机变量，且分布列为?
设 )(?? g? ?是 的函数，随机变量 ? 的数学期望
，则),2,1( ??k
?
?
?
?
1
)(
k
kk pxg
( ) ( )dE g x f x x? ????? ?
如果 )(xf是连续型随机变量，且密度函数为?,则
2[ ( ) ] ( )dD g x E f x x????
?????
二、进一步练习
练习 1
设 ? 的分布列为
?
P
－ 2 － 1 0 1
1/4 1/8 1/2 1/8
的数学期望．求 2?? ?
解 由离散型随机变量函数的数学期望的公式，有
2 2 2 2 21 1 1 1( 2 ) ( 1 ) 0 1
4 8 2 8EE?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 510
8 8 4? ? ? ? ?
练习 2[飞机受力 ]
设风速 v在（ 0,a）上服从均匀分布，即密度函数为
1
0
()
0
xa
fx a
? ??
??
?
??
，
，
,其他
又设飞机机翼所受的正压力 W是 v的函数,W=kv2
(k>0),求 W的数 学期望。
解 由连续型随机变量函数的数学期望，有
2( ) ( )dE W k x f x x??
??? ?
2
0
1 da k x x
a???
21
3 ka?
练习 3
解
设随机变量 ??,相互独立，且 )2,2(~)2,1(~ NN ??,
求 。和 )32()32( ???? ???? DE
，已知 2,2,2,1)( ???? ???? DEDE
于是 ( 2 3 ) 2 ( 3 )E E E E? ? ? ?? ? ? ? ?
1 2 2 3 0? ? ? ? ?
( 2 3 ) 4 ( 3 )D D D D? ? ? ?? ? ? ? ?
2 4 2 0 1 0? ? ? ? ?
7.4.1 离散型随机变量的数学期望和方差
7.4.2 连续 型随机变量的数学期望和方差
7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差
7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差
7.4.1 数学期望和方差的概念
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四,案例
五,概念和公式的引出
六、进一步的练习
一、案例 [轮胎质量 ]
为了比较两家工厂生产的轮胎质量，某汽
车运输公司做了这样的试验，让 14辆车况
相同的汽车分别装上这两家工厂生产的牌
号为 A,B的轮胎，并且统计了每辆车在轮
胎损坏前所行驶的公里数，见下表
7
1
7
2
7
4
7
3
7
2
7
1
7
1
A牌轮胎 B牌轮胎
公里
数 11000 12000 14000 8000 10000 14000 40000
车辆
数 1 2 4 3 2 1 1
频率
从每组轮胎所行驶的平均公里数来看：
13000741400072120007111000 ??????
（ km）
B牌轮胎的平均公里数为
1 4 0 0 0714 0 0 0 0711 4 0 0 0721 0 0 0 0738 0 0 0 ???????? （ km）
所以汽车运输公司认为 B牌轮胎质量较好．
A牌轮胎的平均公里数为
二,概念和公式的引出
离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量
? 的分布列为 ?
1x 2x kx
P 1p 2p kp
… …
… …
若级数 ??
?1k
kk px
绝对收敛，则称级数 ??
?1k
kk px
为随机变量 ? 的 数学期望 或 均值,记作 )(?E 或 ?E
即 ??
?
?
1
)(
k
kk pxE ?
．如果上式中的级数不绝对收敛，
这时称 ? 的数学期望不存在．
一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种，
相应的概率分别为 0.7,0.1,0.1,0.06及 0.04，若其
产值（单位：元）分别为 6,5.4,5,4,0，求产品
的平均产值．
三、进一步练习
练习 1[产品的平均产值 ]
解 产品产值
? 是一个随机变量，其分布列为
?
P
6 5.4 5 4 0
0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
所以
( ) 6 0, 7 5, 4 0, 1 5 0, 1 4 0, 0 6 0 0, 0 4E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.48?
练习 2 [产品质量 ]
一段时间的考察,??,的分布列分别是
?
P
0 1 2 3
0.7 0.1 0.1 0.1
问哪一台机床加工的产品质量好些？
?
0 1 2 3
0.5 0.3 0.2 0
P
设 A,B两台自动机床，生产同一种标准件．生产
??,表示，经过1000只产品所出的次品数分别用
解 随机变量 ??,的数学期望分别为
6.01.031.021.017.00)( ??????????E
7.0032.023.015.00)( ??????????E
因为 )()( ?? EE ?,所以自动机床 A在 1000只产品中
所出的平均次品数较少．因此，我们认为 A机床加工
的产品质量较高．
四、案例 [误差评价 ]
线切割机床在切割某一批圆柱形钢件时，已知切割后
的平均长度为 30cm,要判断该机床的切割水平．如
果切割后的钢件大部分都在 30cm左右，则符合精度
要求，我们认为切割水平较好；如果切割后的钢件离
30cm差异较大，虽然同样满足切割的平均长度为
30cm,但我们认为切割水平有问题．
那么，究竟用什么办法来对机床切割水平进行评价呢？
五,概念和公式的引出
离散型随机变量的方差 设 ? 是一随机变量，如果
存在，则称2)( ?? EE ? 2)( ?? EE ? ?为 的 方差,记作
，并称?? DD 或)( ?D，即 2)()( ??? EED ?? ?为
的 均方差 或 标准差,
设甲、乙两工厂生产同一种设备，其使用寿命（单位：
小时）的分布列见下表，试比较两厂生产的产品质
量．
六、进一步练习
练习 [质量评价 ]
?
P
800 900 1000 1100 1200
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
?
P
800 900 1000 1100 1200
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
解
1.012002.011004.010002.09001.0800)( ???????????E
1000?
两厂生产的设备使用寿命的均值相等，但从分布列
可以看出，甲厂生产的产品使用寿命比较集中在
1000小时左右，说明甲厂产品质量的稳定性较好，
而乙厂生产的产品使用寿命却比较分散，说明乙厂
产品质量的稳定性比较差．
1000?
2.012002.011002.010002.09002.0800)( ???????????E
4.0)10001000(2.0)1000900(1.0)1000800( 222 ??????????D
1 2 0 01.0)1 0 0 01 2 0 0(2.0)1 0 0 01 1 0 0( 22 ???????
20002.0)10001200(2.0)10001100( 22 ???????
2.0)10001000(2.0)1000900(2.0)1000800( 222 ??????????D
下面用方差来进行描述．
因为 ?? DD ?,所以甲厂产品寿命的分散程度比较小，
产品质量比较稳定，比乙厂的产品质量好．
7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差
一、概念和公式的引出
二、进一步的练习
一,概念和公式的引出
连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 ?
具有密度函数 f(x), 如果广义积分 ( ) dxf x x??
???
（或 均值 ），记作 ?? EE 或)(,即
( )dE x f x x? ????? ?
否则，称 ? 的数学期望不存在．
绝对收敛，则称该积分为随机变量 ? 的 数学期望
连续型随机变量的方差 设连续型随机变量 ?
具有密度函数 f(x), 如果广义积分 2( ) ( )dx E f x x???
?? ??
存在，则称该积分为随机变量 ? 的 方差,记作
2( ) ( )dD x E f x x????
?????
否则，称 ? 的数学期望不存在．
)(?D, 即
数学期望有以下性质：
（ 1） E(c)=c,其中 c为常数；
?? cEcE ?)(（ 2）, 其中 c为常数；
（ 3） ???? EEE ??? )(
（ 4） 如果 ?与E 相互独立，则 ???? EEE ??)(
方差有以下性质：
（ 1） 222 )(][)( ????? EEEED ????
（ 2）, 其中 c为常数；0)( ?cD
???? DDD ＋?? )(
（ 3） ?? DccD 2)( ?, 其中 c为常数；
（ 4） 如果 ?与E 相互独立，则
二、进一步练习
练习 1
已知
? 在 [a,b]上服从均匀分布，即 ],[~ baU?,
解
求 ?? DE 和,
因为 ],[~ baU?,即 的密度函数为?
??
?
?
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??
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其它0
1
)(
bxa
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所以
( )dE x f x x? ????? ?
2( ) ( )dD x E f x x????
?????
311 ( ) |
32
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21
( ) |2 baxba? ?1 db
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7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差
一、概念和公式的引出
0-1分布 设 ? 服从 0-1分布，则,1 )E p D p p??? ? ?（
二项分布 设 ),(~ pnB?,则,( 1 )E n p D n p p??? ? ?
泊松分布 设 )(~ ?? P,则 ???? ?? DE,
均匀分布 设 ],[~ baU?,则 2
)(121,2 abDbaE ???? ??
正态分布 设 ),(~ 2??? N,则 2,???? ?? DE
特别地，当 )1,0(~ N? 时,1,0 ?? ?? DE
一,概念和公式的引出
7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差
一、概念和公式的引出
二、进一步的练习
一,概念和公式的引出
和方差可按下列公式计算．
?? ????? kk pxgpxgpxgE )()()( 2211?
如果
kk pxP ?? )(?
是离散型随机变量，且分布列为?
设 )(?? g? ?是 的函数，随机变量 ? 的数学期望
，则),2,1( ??k
?
?
?
?
1
)(
k
kk pxg
( ) ( )dE g x f x x? ????? ?
如果 )(xf是连续型随机变量，且密度函数为?,则
2[ ( ) ] ( )dD g x E f x x????
?????
二、进一步练习
练习 1
设 ? 的分布列为
?
P
－ 2 － 1 0 1
1/4 1/8 1/2 1/8
的数学期望．求 2?? ?
解 由离散型随机变量函数的数学期望的公式，有
2 2 2 2 21 1 1 1( 2 ) ( 1 ) 0 1
4 8 2 8EE?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 510
8 8 4? ? ? ? ?
练习 2[飞机受力 ]
设风速 v在（ 0,a）上服从均匀分布，即密度函数为
1
0
()
0
xa
fx a
? ??
??
?
??
，
，
,其他
又设飞机机翼所受的正压力 W是 v的函数,W=kv2
(k>0),求 W的数 学期望。
解 由连续型随机变量函数的数学期望，有
2( ) ( )dE W k x f x x??
??? ?
2
0
1 da k x x
a???
21
3 ka?
练习 3
解
设随机变量 ??,相互独立，且 )2,2(~)2,1(~ NN ??,
求 。和 )32()32( ???? ???? DE
，已知 2,2,2,1)( ???? ???? DEDE
于是 ( 2 3 ) 2 ( 3 )E E E E? ? ? ?? ? ? ? ?
1 2 2 3 0? ? ? ? ?
( 2 3 ) 4 ( 3 )D D D D? ? ? ?? ? ? ? ?
2 4 2 0 1 0? ? ? ? ?
