3.3 积分方法
3.3.1 换元法
3.3.2 分部积分法
3.3.1 换元积分法
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [石油消耗量 ]
近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，
增长指数大约为 0.07,1970年初，消耗量大约为 161
亿桶．设 R(t)表示从 1970年起第 t年的石油消耗率，
已知
试用此式计算从 1970年到 1990年间石油消耗的总
量．
? ? tetR 07.01 6 1? （亿桶）
解 设 T(t)表示从 1970年（ t=0)起到第 t年石油消耗的
总量, T ’(t)就是石油消耗率 R(t)，即 T ’(t) =R(t),于是
由变化率求总改变量，得
20
0( 2 0 ) (0 ) ( ) dT T T t t??? ?
20
0 ( )dR t t? ?
20 0, 0 7
0 1 6 1 d
tet? ?
在基本积分公式中，只有积分公式 dtte t e C???
如果将 20
0,0 7
0 1 6 1 d
tet? 的积分凑成 d0.07t，则有
2 0 2 00, 0 7 0, 0 7
00
11 6 1 d 1 6 1 d 0,0 7
0,0 7
tte t e t?? ＝
dtte t e C???这时，用公式,得
,积分变为令 0.07tu?
20 0,0 7
0 1 6 1 d
tet? 20 0.07
0
161 d 0,0 7
0,0 7
tet? ?
1.4
0
161 d
0,0 7
ueu? ?
1.4
0
161 ()
0,0 7
ue?? 1, 42 3 0 0 ( 1 ) 7 0 2 7e ??
(桶 )
2 0 1, 40, 0 7
00
1611 6 1 d d
0,0 7
tue t e u?? ＝
0.07t=u
t:0→ 20
u:0→ 1.4
二、概念和公式的引出
对上式积分结果求导，有
不定积分的换元法
设 ( ) d ( )f u u F u C???,? ?xu ?? 可导，则
? ?? ? ? ? ? ?? ? CxFxxxf ????? ??? d
? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxFxuFCxF ?????? ?????????????
成立。
换元法求不定积分的一般步骤如下：
? ? ? ?恒等变形( )d d [ ( ) ] d ( )g x x f x x x f x x? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? CxFCuFuuf
xuxu
??????????????
?? ?
?
??
回代积分换元
)()(
d
利用换元法时，要把被积表达式分解出 ? ?dxx??,
并凑成微分 d ( )x?,因此这种方法也称为 凑微分法,
定积分的换元法
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，若
? ? ? ?? ? ? ?dtttfdxxfba ?? ??? ?? ??
? ?tx ??(1) 函数 在区间 ? ???,上单调且有连续导数；
(2) 当 t在区间 ? ???,上变化时，对应的函数 ? ?tx ??
则有定积分的换元公式
在区间 [a,b]上变化，且 ? ? aa ?? ? ? b???,，
注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要
进行相应地变换．
t=0时,v=0.3m/s．求质子的运动速度．
三,进一步的练习
2)21(20 ???? ta (单位,m／ s
2)．如果加速度为
解 由加速度和速度的关系 )()( tatv ??,有
练习 1 [质子的速度 ] 一电场中质子运动的
2( ) ( ) d 2 0 ( 1 2 ) dv t a t t t t?? ? ? ???
2 12 0 ( 1 2 ) d ( 1 2 )
2tt
?? ? ? ? ??
凑微分
令 u=1+2t，得
21( ) 1 0 d 1 0v t u u u C??? ? ? ??
21u d u u C??? ? ??
当 t=0，即 u=1时,v=0.3代入上式得 C=-9.7
再将 u=1+2t，代入上式，得
1( ) 1 0 ( 1 2 ) 9, 7v t t ?? ? ?
练习 2 [太阳能能量 ]
解
某一太阳能的能量 f 相对于太阳能接触的表面积
0, 0 0 5
0, 0 1 1
df
dx x? ?
x的变化率为,如果 x=0时 f=0，求出
f 的函数表达式．
0, 0 0 5 0, 0 0 5 1d d ( 0, 0 1 1 )
0, 0 10, 0 1 1 0, 0 1 1f x xxx? ? ? ?????
凑微分
10, 5 d ( 0, 0 1 1 )
0, 0 1 1 xx? ? ???
令 u=0.01x+1，得
当 x=0，即 u=1时,f=0代入上式得 C=-1，所以
f ? 10,5 d u
u ??
0, 5 2 uC? ? ? uC??
11
222u d u u C? ???
0, 0 1 1 1fx? ? ?
凑微分法运用熟练以后，可省略换元步骤，直接
写出结果．
注：
案例 3 [商品销售量 ]某种商品一年中的销售速度为
解 由变化率求总改变量知商品在前 3个月的销售总量 P为
( ) 1 0 0 1 0 0 s in ( 2 )2v t t ??? ? ?(t的单位：月； 0 1 2t?? ）
求此商品前 3个月的销售总量．
3
0 [ 1 0 0 1 0 0 s in ( 2 ) ] d2P t t
??? ? ??
33
00
11 0 0 d 1 0 0 s in ( 2 ) d ( 2 )
2 2 2t t t
????
?? ? ? ? ???
33
0 0
1001 0 0 s in ( 2 ) d ( 2 )
2 2 2t t t
????
?? ? ? ? ??
3
0
1003 0 0 [ c o s ( 2 ) ] 3 0 0
22 t
??
?? ? ? ?
练习 4 [电路中的电量 ]
解 由电流与电量的关系
设导线在时刻 t (单位,s)的电流为
求在时间间隔 [1,4] s内流过导线横截面的电量
? ? 20, 0 0 6 1i t t t??
d
d
Qi
t?
4 2
1 0, 0 0 6 1 dQ t t t???
3
242
1[0, 0 0 2 ( 1 ) ]t??
Q (t) (单位,A)．
得在 [1,4]秒内流过
导线横截面的电量 Q为
4 22
1 0, 0 0 3 1 d ( 1 )tt? ? ??
0,1 3 4 5 ( A )?
3.3.2 分部积分法
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [新井的石油产量 ]
工程师们预计一个新开发的天然气新井在开采后的
第 t年的产量为,( ) 0, 0 8 4 9 tP t t e ?? × 106 m3，
试估计该新井前 4年的总产量．
解 在 [,]t t t?? 时间段内，天然气的产量（产量
微元）为 d ( ) dP P t t?
该新井前 4年的总产量为
4
0 ( )dP P t t? ?
4
0 0, 0 8 4 9 d
tt e t?? ? 4
00, 0 8 4 9 d
tt e t?? ?
对数函数 ×
指数函数
二、概念和公式的引出
不定积分的分部积分法
? ??? uvuvvu dd
? ? vuvuuv ?????
定积分的分部积分法
uvuvvu bababa d)(d ?? ??
练习 1 案例的计算
三,进一步的练习
解 4
0 ( )dP P t t? ?
4
00, 0 8 4 9 d
tt e t?? ? 4
00, 0 8 4 9 ( )d
tte ????
u v
分部积分法
44
0 00, 0 8 4 9 [ ( ) d ( ) ]
ttt e e t??? ? ? ??
44000, 0 8 4 9 [ ( ) ( ) ]ttte e??? ? ?
60, 0 7 7 1 1 0?? (m
3)
在应用分部积分法时，恰当选取 u和 v是一个关键．
选取 u和 v一般要考虑下面两点：
(1) v要容易求得；
(2) ? uvd 比 ? vud 容易积出．
注：一般地，如果被积函数是幂函数与正（余）弦
函数或指数函数的乘积，可以用分部积分法，选幂
函数为 u．被积函数是幂函数与对数函数（或反三角
函数）的乘积，选对数函数（或反三角函数）为 u,
练习 2 [电能 ] 在电力需求的电涌时期，消耗电能
的速度 r可以近似地表示为 tr te?? （ t 单位,h ）
求在前两个小时内消耗的总电能 E,
解 由变化率求总改变量知
2 2 2
0 0 0d d ( )d
ttE r t t e t t e??? ? ? ?? ? ?
22
0 0( ) d ( )
ttt e e t??? ? ? ??
22
02 0 ( )
tee??? ? ? ?
0,5 9 4 ( J )?
练习 3 [石油总产量 ]
经济学家研究一口新井的原油生产速度 R(t)
解 设开始 3年内生产的石油总量为 W，由变化率求总
)2s in (02.01)( tttR ???(t的单位：年 )为
求开始 3年内生产的石油总量．
改变量得
333
0 0 0
0,0 1 c o s ( 2 ) c o s ( 2 ) dt t t t t??
?
??? ? ???
?? ?
3
0
0,0 1 sin ( 2 )3 3 0
2
t?
??
??
? ? ? ???
??
? ?0,0 13 3 0?? ? ?
3.0095?
3
0 ( 1 0, 0 2 s i n ( 2 ))dW t t t?? ? ??
3
0 dt?
3
0
0,0 1 d ( c o s ( 2 ) )tt ?
?? ?
3.3.1 换元法
3.3.2 分部积分法
3.3.1 换元积分法
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [石油消耗量 ]
近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，
增长指数大约为 0.07,1970年初，消耗量大约为 161
亿桶．设 R(t)表示从 1970年起第 t年的石油消耗率，
已知
试用此式计算从 1970年到 1990年间石油消耗的总
量．
? ? tetR 07.01 6 1? （亿桶）
解 设 T(t)表示从 1970年（ t=0)起到第 t年石油消耗的
总量, T ’(t)就是石油消耗率 R(t)，即 T ’(t) =R(t),于是
由变化率求总改变量，得
20
0( 2 0 ) (0 ) ( ) dT T T t t??? ?
20
0 ( )dR t t? ?
20 0, 0 7
0 1 6 1 d
tet? ?
在基本积分公式中，只有积分公式 dtte t e C???
如果将 20
0,0 7
0 1 6 1 d
tet? 的积分凑成 d0.07t，则有
2 0 2 00, 0 7 0, 0 7
00
11 6 1 d 1 6 1 d 0,0 7
0,0 7
tte t e t?? ＝
dtte t e C???这时，用公式,得
,积分变为令 0.07tu?
20 0,0 7
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0
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1.4
0
161 d
0,0 7
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1.4
0
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(桶 )
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0,0 7
tue t e u?? ＝
0.07t=u
t:0→ 20
u:0→ 1.4
二、概念和公式的引出
对上式积分结果求导，有
不定积分的换元法
设 ( ) d ( )f u u F u C???,? ?xu ?? 可导，则
? ?? ? ? ? ? ?? ? CxFxxxf ????? ??? d
? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxFxuFCxF ?????? ?????????????
成立。
换元法求不定积分的一般步骤如下：
? ? ? ?恒等变形( )d d [ ( ) ] d ( )g x x f x x x f x x? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? CxFCuFuuf
xuxu
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?
??
回代积分换元
)()(
d
利用换元法时，要把被积表达式分解出 ? ?dxx??,
并凑成微分 d ( )x?,因此这种方法也称为 凑微分法,
定积分的换元法
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，若
? ? ? ?? ? ? ?dtttfdxxfba ?? ??? ?? ??
? ?tx ??(1) 函数 在区间 ? ???,上单调且有连续导数；
(2) 当 t在区间 ? ???,上变化时，对应的函数 ? ?tx ??
则有定积分的换元公式
在区间 [a,b]上变化，且 ? ? aa ?? ? ? b???,，
注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要
进行相应地变换．
t=0时,v=0.3m/s．求质子的运动速度．
三,进一步的练习
2)21(20 ???? ta (单位,m／ s
2)．如果加速度为
解 由加速度和速度的关系 )()( tatv ??,有
练习 1 [质子的速度 ] 一电场中质子运动的
2( ) ( ) d 2 0 ( 1 2 ) dv t a t t t t?? ? ? ???
2 12 0 ( 1 2 ) d ( 1 2 )
2tt
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凑微分
令 u=1+2t，得
21( ) 1 0 d 1 0v t u u u C??? ? ? ??
21u d u u C??? ? ??
当 t=0，即 u=1时,v=0.3代入上式得 C=-9.7
再将 u=1+2t，代入上式，得
1( ) 1 0 ( 1 2 ) 9, 7v t t ?? ? ?
练习 2 [太阳能能量 ]
解
某一太阳能的能量 f 相对于太阳能接触的表面积
0, 0 0 5
0, 0 1 1
df
dx x? ?
x的变化率为,如果 x=0时 f=0，求出
f 的函数表达式．
0, 0 0 5 0, 0 0 5 1d d ( 0, 0 1 1 )
0, 0 10, 0 1 1 0, 0 1 1f x xxx? ? ? ?????
凑微分
10, 5 d ( 0, 0 1 1 )
0, 0 1 1 xx? ? ???
令 u=0.01x+1，得
当 x=0，即 u=1时,f=0代入上式得 C=-1，所以
f ? 10,5 d u
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0, 5 2 uC? ? ? uC??
11
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0, 0 1 1 1fx? ? ?
凑微分法运用熟练以后，可省略换元步骤，直接
写出结果．
注：
案例 3 [商品销售量 ]某种商品一年中的销售速度为
解 由变化率求总改变量知商品在前 3个月的销售总量 P为
( ) 1 0 0 1 0 0 s in ( 2 )2v t t ??? ? ?(t的单位：月； 0 1 2t?? ）
求此商品前 3个月的销售总量．
3
0 [ 1 0 0 1 0 0 s in ( 2 ) ] d2P t t
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33
00
11 0 0 d 1 0 0 s in ( 2 ) d ( 2 )
2 2 2t t t
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33
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3
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练习 4 [电路中的电量 ]
解 由电流与电量的关系
设导线在时刻 t (单位,s)的电流为
求在时间间隔 [1,4] s内流过导线横截面的电量
? ? 20, 0 0 6 1i t t t??
d
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Qi
t?
4 2
1 0, 0 0 6 1 dQ t t t???
3
242
1[0, 0 0 2 ( 1 ) ]t??
Q (t) (单位,A)．
得在 [1,4]秒内流过
导线横截面的电量 Q为
4 22
1 0, 0 0 3 1 d ( 1 )tt? ? ??
0,1 3 4 5 ( A )?
3.3.2 分部积分法
一、案例
二、概念和公式的引出
一、案例 [新井的石油产量 ]
工程师们预计一个新开发的天然气新井在开采后的
第 t年的产量为,( ) 0, 0 8 4 9 tP t t e ?? × 106 m3，
试估计该新井前 4年的总产量．
解 在 [,]t t t?? 时间段内，天然气的产量（产量
微元）为 d ( ) dP P t t?
该新井前 4年的总产量为
4
0 ( )dP P t t? ?
4
0 0, 0 8 4 9 d
tt e t?? ? 4
00, 0 8 4 9 d
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对数函数 ×
指数函数
二、概念和公式的引出
不定积分的分部积分法
? ??? uvuvvu dd
? ? vuvuuv ?????
定积分的分部积分法
uvuvvu bababa d)(d ?? ??
练习 1 案例的计算
三,进一步的练习
解 4
0 ( )dP P t t? ?
4
00, 0 8 4 9 d
tt e t?? ? 4
00, 0 8 4 9 ( )d
tte ????
u v
分部积分法
44
0 00, 0 8 4 9 [ ( ) d ( ) ]
ttt e e t??? ? ? ??
44000, 0 8 4 9 [ ( ) ( ) ]ttte e??? ? ?
60, 0 7 7 1 1 0?? (m
3)
在应用分部积分法时，恰当选取 u和 v是一个关键．
选取 u和 v一般要考虑下面两点：
(1) v要容易求得；
(2) ? uvd 比 ? vud 容易积出．
注：一般地，如果被积函数是幂函数与正（余）弦
函数或指数函数的乘积，可以用分部积分法，选幂
函数为 u．被积函数是幂函数与对数函数（或反三角
函数）的乘积，选对数函数（或反三角函数）为 u,
练习 2 [电能 ] 在电力需求的电涌时期，消耗电能
的速度 r可以近似地表示为 tr te?? （ t 单位,h ）
求在前两个小时内消耗的总电能 E,
解 由变化率求总改变量知
2 2 2
0 0 0d d ( )d
ttE r t t e t t e??? ? ? ?? ? ?
22
0 0( ) d ( )
ttt e e t??? ? ? ??
22
02 0 ( )
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0,5 9 4 ( J )?
练习 3 [石油总产量 ]
经济学家研究一口新井的原油生产速度 R(t)
解 设开始 3年内生产的石油总量为 W，由变化率求总
)2s in (02.01)( tttR ???(t的单位：年 )为
求开始 3年内生产的石油总量．
改变量得
333
0 0 0
0,0 1 c o s ( 2 ) c o s ( 2 ) dt t t t t??
?
??? ? ???
?? ?
3
0
0,0 1 sin ( 2 )3 3 0
2
t?
??
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3.0095?
3
0 ( 1 0, 0 2 s i n ( 2 ))dW t t t?? ? ??
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0,0 1 d ( c o s ( 2 ) )tt ?
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