4.3 一阶线性微分方程
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四、实训
一、案例 [溶液的混合 ]
一容器内盛有 50L的盐水溶液, 其中含有 10g
的盐, 现将每升含盐 2g的溶液以每分钟 5L的速度注
入容器, 并不断进行搅拌, 使混合液迅速达到均匀,
同时混合液以 3L/min的速度流出溶液, 问任一时刻
容器中含盐量是多少？
解 设 t时刻容器中含盐量为 x g,容器中含盐量的变
化率为
盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （ 1）
盐流入容器的速度 =2（ g/L） × 5（ L/min） =10(g/min)
= (g/min)
盐流出容器的速度 = （ g/L） × 3（ L/min）
即
此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其
导数都是一次的,
由题意知初始条件为,
由式（ 1）得
(1)
线性 线性
的微分方程称为 一阶线性微分方程, 当 Q(x)恒等于零时,
方程 (1)称为 齐次微分方程 ；当 Q(x)不恒为零时, 方程
(1))非齐次微分方程,
二、概念及公式的引出
一阶线性微分方程
形如
（ 一 ） 一阶线性齐次微分方程的解法
在方程 (1)中, 若, 则
（ 2）
是可分离变量微分方程, 分离变量, 得
即
这是齐次微分方程 （ 2） 的通解,
两边积分, 得研究
（ 二 ） 一阶线性非齐次微分方程的解法
一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用, 常数变易
法, 求得, 这种方法是将 (1)的通解中的任意常数 C，
换为 x的函数 C(x),即令
两边求导, 得
将 y,的表达式代入方程 (1),得
两边积分, 得
将此式代入,便得非齐次线性微分方
(*)
方程 (1)的通解为
将通解公式 (*)改写成两项之和为
齐次方程
的通解
非齐次方
程的特解
(3)
的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．
式 (3)右端第一项是对应的齐次方程 (2)的通解，
第二项是非齐次线性方程 (1)的一个特解．
由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应
三、进一步的练习
练习 1[案例的求解 ]
解 (1)求通解
应用常数变易法, 这里, 我们直接应用公式 (3).
为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后
（ 2） 求特解
将初始条件 代入通解, 得 C=-22500
所以, 在时刻 t容器中的含盐量为
定律, 知电流 (单位,A)满足以下微分方程
练习 2 [RL电路 ]
在一个包含有电阻 R(单位,),电感 L(单位,H)
和电源 E(单位,V)的 RL串联回路中, 由回路电流
若电路中电源 V,电阻 10,电感 0.5H和初始
解 （ 1） 建立微分方程
这里,R=10,L=0.5,将其代入 RL电路中电流
应满足的微分方程，得
初始条件为,
电流 6A，求在任何时刻 t电路中的电流．
（ 2） 求通解
此方程是一阶线性微分方程, 应用公式 (3),得通解
（ 3） 求特解
将 t=0时,I=6代入通解, 得
解之，得
所以，在任何时刻 t的电流为
练习 3 [RC回路 ]
在一个包含有电阻 R(单位,),电容 C(单位,F)和电
源 E(单位,V)的 RC串联回路中,由回路电流定律,知电
容上的电量 q(单位,C)满足以下微分方程
电路中的电流,
解 （ 1）建立微分方程，我们先求电量 q.
因为
代入 RC回路中电量 q应满足的微分方程，得
初始条件为,
0.01F,电容上没有初始电量,求在任意时刻 t
若回路中有电源 V,电阻 100, 电容4 0 0 c o s 2t
（ 2） 求通解
此方程是一阶线性微分方程，应用公式 (3)，得
将 t=0,q=0代入上式, 得
解之，得,
于是
再由电流与电量的关系, 得
研究
四、实训
1,[曲线方程 ] 已知一曲线过原点, 它在点任意点 (x,y)
处的切线斜率等于 2x+y,求此曲线方程 。
2,[RL电路 ] 在一个 RL电路中, 电阻为 12欧姆, 感应
系数为 4亨利, 如果电池提供 60V的电压, 当 t=0时开
关合上, 电流初值为 I(0)=0.求,
(1)I(t); (2)1s后的电流。
3,[电路中的电流 ]在上题中, 用发电机代替电池, 电
阻和感应系数不变, 发 电 机 产 生 的 电 压 为
E(t)=60sin30t V,求 I(t).
4,[RC回路 ]一个 RC回路中有电源 100V,电阻 5
电容 0.02F和最初有 5C电量的电容, 求在任意时刻 t
，
电容上的电量和电路中的电流,
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
四、实训
一、案例 [溶液的混合 ]
一容器内盛有 50L的盐水溶液, 其中含有 10g
的盐, 现将每升含盐 2g的溶液以每分钟 5L的速度注
入容器, 并不断进行搅拌, 使混合液迅速达到均匀,
同时混合液以 3L/min的速度流出溶液, 问任一时刻
容器中含盐量是多少？
解 设 t时刻容器中含盐量为 x g,容器中含盐量的变
化率为
盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （ 1）
盐流入容器的速度 =2（ g/L） × 5（ L/min） =10(g/min)
= (g/min)
盐流出容器的速度 = （ g/L） × 3（ L/min）
即
此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其
导数都是一次的,
由题意知初始条件为,
由式（ 1）得
(1)
线性 线性
的微分方程称为 一阶线性微分方程, 当 Q(x)恒等于零时,
方程 (1)称为 齐次微分方程 ；当 Q(x)不恒为零时, 方程
(1))非齐次微分方程,
二、概念及公式的引出
一阶线性微分方程
形如
（ 一 ） 一阶线性齐次微分方程的解法
在方程 (1)中, 若, 则
（ 2）
是可分离变量微分方程, 分离变量, 得
即
这是齐次微分方程 （ 2） 的通解,
两边积分, 得研究
（ 二 ） 一阶线性非齐次微分方程的解法
一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用, 常数变易
法, 求得, 这种方法是将 (1)的通解中的任意常数 C，
换为 x的函数 C(x),即令
两边求导, 得
将 y,的表达式代入方程 (1),得
两边积分, 得
将此式代入,便得非齐次线性微分方
(*)
方程 (1)的通解为
将通解公式 (*)改写成两项之和为
齐次方程
的通解
非齐次方
程的特解
(3)
的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．
式 (3)右端第一项是对应的齐次方程 (2)的通解，
第二项是非齐次线性方程 (1)的一个特解．
由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应
三、进一步的练习
练习 1[案例的求解 ]
解 (1)求通解
应用常数变易法, 这里, 我们直接应用公式 (3).
为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后
（ 2） 求特解
将初始条件 代入通解, 得 C=-22500
所以, 在时刻 t容器中的含盐量为
定律, 知电流 (单位,A)满足以下微分方程
练习 2 [RL电路 ]
在一个包含有电阻 R(单位,),电感 L(单位,H)
和电源 E(单位,V)的 RL串联回路中, 由回路电流
若电路中电源 V,电阻 10,电感 0.5H和初始
解 （ 1） 建立微分方程
这里,R=10,L=0.5,将其代入 RL电路中电流
应满足的微分方程，得
初始条件为,
电流 6A，求在任何时刻 t电路中的电流．
（ 2） 求通解
此方程是一阶线性微分方程, 应用公式 (3),得通解
（ 3） 求特解
将 t=0时,I=6代入通解, 得
解之，得
所以，在任何时刻 t的电流为
练习 3 [RC回路 ]
在一个包含有电阻 R(单位,),电容 C(单位,F)和电
源 E(单位,V)的 RC串联回路中,由回路电流定律,知电
容上的电量 q(单位,C)满足以下微分方程
电路中的电流,
解 （ 1）建立微分方程，我们先求电量 q.
因为
代入 RC回路中电量 q应满足的微分方程，得
初始条件为,
0.01F,电容上没有初始电量,求在任意时刻 t
若回路中有电源 V,电阻 100, 电容4 0 0 c o s 2t
（ 2） 求通解
此方程是一阶线性微分方程，应用公式 (3)，得
将 t=0,q=0代入上式, 得
解之，得,
于是
再由电流与电量的关系, 得
研究
四、实训
1,[曲线方程 ] 已知一曲线过原点, 它在点任意点 (x,y)
处的切线斜率等于 2x+y,求此曲线方程 。
2,[RL电路 ] 在一个 RL电路中, 电阻为 12欧姆, 感应
系数为 4亨利, 如果电池提供 60V的电压, 当 t=0时开
关合上, 电流初值为 I(0)=0.求,
(1)I(t); (2)1s后的电流。
3,[电路中的电流 ]在上题中, 用发电机代替电池, 电
阻和感应系数不变, 发 电 机 产 生 的 电 压 为
E(t)=60sin30t V,求 I(t).
4,[RC回路 ]一个 RC回路中有电源 100V,电阻 5
电容 0.02F和最初有 5C电量的电容, 求在任意时刻 t
，
电容上的电量和电路中的电流,
