磁力
(五 )
徐援改编
第 10章 电磁感应
§ 1 法拉第电磁感应定律
§ 2 动生电动势
§ 3 感生电动势 感生电场
§ 4 互感
§ 5 自感
§ 6 磁场能量
=M12 M21
实验和理论都可以证明：
N 1Φ12 =M I 2 =Ψ12
ΦN 2 21 =M I 1 =Ψ21
若两线圈的匝数分别为 N N1 2,则有：
I 2I 1
Φ12
Φ21
若两回路几何形状、尺寸及相对位置不
变，周围无铁磁性物质。实验指出：
Φ I12 2∝
Φ I21 1∝
=Φ IM12 212
=Φ IM21 121
§ 4 互感
Ψ= d
dtε 12
12 = d
dtM
I 2
Ψ == d
dt
d
dtM
Iε
21
21 1
互感电动势：
讨论：
1,互感系数和两回路的几何形状、尺寸，
它们的相对位置，以及周围介质的磁导率有
关。
2,互感系数的大小反映了两个线圈磁场
的相互影响程度。
互感系数在数值上等于当第二个回路电
则有,= Mε 12 即：
3,M 的存在的利与弊。
在式 = ddtM Iε 12 2 中，若 ddtI 2 =1
4,互感系数的物理意义：
在电子线路中,M 越大，相互干扰越大。
在变压器中,M 越大，能量损失越小。
产生的互感电动势的大小。
流变化率为每秒一安培时，在第一个回路所
2H =n 2I 2 = l
N 2 I
2
=2B μ 0 2H μ 0= lN 2 I 2
= 2B S μ 0= lN 2 I 2S
=μ 0 n1n2V= N 1μ 0 N S2 l2l
lN2
N1
Sμ 0
=M Ψ12I
2
Φ 122 Ψ12B2H
[例 1] 有两个直长螺线管，它们绕在同一个
、、、,N圆柱面上 1μ 0 N S2 l已知：。 求：互感系数
Φ12N 1=Ψ12 N 1=μ 0 N I 2S2l
Φ,B dS= s??12
L IΦ =
如果：回路几何形状、尺寸不变，周围无铁
磁性物质。
L 自感系数
§ 5 自感
自感现象 —— 由于回路自身电流的变化，
在回路中产生感应电动势的现象。
Φ I实验指出,∝ ΦI
单位：亨利（ H）
一、自感应
NΨ = Φ
对于 N 匝线圈：
IL= Ψ 磁通链
数在数值上等于回路中通过单位电流时，通
= =L 的意义：若,则I 1 L Ψ 自感系。
过自身回路所包围面积的磁通链数。
自感电动势：
Ld=
dt
I( )
=ε L ddtL I
=ddtL 0
若回路几何形状、尺寸不变，周围无铁磁性
自感电动势
Ψ= d
dt
( )= NΦd
dtN
d= Φ
dtε L
d
dtL
I d
dt
L= I
物质，则：
返回结束
=ε L ddtL I
3,自感系数决定于回路的几何形状、尺寸
讨论：
d
dt
I < 01,若,ε
L >0则：
>ddtI 0若,<ε L 0则,ε L与 I 方向相反，
ε L 与 I 方向相同，
2,L 的存在总是阻碍电流的变化,L 是电
磁惯性的一种表现。
以及周围介质的磁导率。
二,自感现象的演示
电池
BATTERY
自感
线圈
电阻
合上闸刀开关后，此灯缓慢变亮
电池
BATTERY
自感
线圈
电阻
合上闸刀开关后，此灯缓慢变亮
电池
BATTERY
自感
线圈
电阻
合上闸刀开关后，此灯缓慢变亮
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
已知：匝数 N,横截面积 S,长度 l,磁导率 μ
自感的计算步骤,
[例 1] 试计算直长螺线管的自感。
HμB =
B
dΦ,B S=
Φ
s?? ΦNΨ=
Ψ
ILΨ =
L
S
l
μ
dlH, =
H
L? I
返回结束
μB = H
NΨ = Φ
n=H I
= BS
= Nl I
l= I
μN
l=
IμN S
μ=
l
IN S2
= lμN S
2
2 l V=μ n
2
H B ΨΦ L
L I= Ψ
l
Sμ
Φ,B dS= s??
返回结束
Φd,B dS=
π r2H =
I μ
r2πB =
I
π l dr=
μ
r2
I
μ
π ( )= 2
I l ln
R 1
R 2
πL = ( )
μ
2 ln R 1
R 2
0 l
L =单位长度的自感为：
[例 2] 求一无限长同轴传输线单位长度的
自感。已知, R1,R2 。
π R=
μ
r2
I l
1
R2 dr
r?Φ B dS=,s??
L π= ( )μ2l ln R
1
R 2Φ
I=
II l
r dr
R R 21
Φd,B dS=
πH r2,I= N
πH r2 IN=
π2
μB
r
IN=
μ
π= drr2 IN h
h
drr
R 1
R 2
dS
[例 2] 求一环形螺线管的自感。
已知,R1 R 2 。N h,、,R1 R 2
IdlH,= NL?
解：
π ( )= ln R 1
R 2μ
2
IN h
NΨ = Φ =μ 2πIN h
2 ( )
ln R
1
R 2
L =ΨI πμ2N h2 ( )ln R
1
R 2=
Φd,B dS= π= drμ r2 IN h
Φ = Φd? π R=
1
R 2
r
μ
2
IN h dr?
返回结束
=M μ 0 n1n2V
=L μ 0 n2 V2 2
K=M L 1L 2
K <10 <
=L μ 0 n1 V1 2...
=M L 1L 2.,,
称 K 为耦合系数
耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦
在此例中，线圈 1的磁通全部通过线圈 2，
称为无 磁漏 。在一般情况下：
通，所以耦合系数小于一。
合松紧的程度。由于在一般情况下都有漏磁
[例 3]
考察在开关合上后的一段时间内，电路
由欧姆定律
电池
BATTERY
RL
ε
§ 10-6 磁场的能量
L ε+dtdI =I R
中的电流滋长过程：
上式左右乘以 dtI 再积分得：
L12 I 02 磁场的能量
L ε+dtdI =I R
τ I R dt
0
2 电阻上的热损耗?
=τ Iε dt0 I R dtτ0 2 L12 I 02+??
τ Iε dt
0
电源所作的功?
ετ =L dtdI dtI0I 0 I dt0 I R dtIτ0+? ??
返回结束
L12 I 2Wm =磁场的能量：
螺线管特例：
H In=L V=μ 2n B =μ n I
Wm = L12 I 2 12= Vμ 2n ( )H 2n
磁场能量密度,单位体积中储存的磁场能量 wm
= 12μ H 2V
wm = 12μ H 2 = 12 BH
Wm = wmdVV???
π= r2IH B = μ r2πI
l ddV r2π r=
= μ4πI
2 ( )ln
R 1
R 2l
[例 1] 求同轴传输线之磁能
= ( )R
1
R 2
2
1μ
π r2
I 2 l dr2π r?
Wm = wmdVV??? 2= 1μ H 2V dV???
drr
l
1
R 2
R
I
I
计算自感的另一种方法：
L12 I 2Wm =因为
L = 2I 2Wm所以
[例 2] 两个共轴圆线圈，半径分别为 R
及 r,匝数分别为 N1和 N2, 相距为 d,设 r 很
小，则小线圈所在处的磁场可视为均匀的,
求两线圈的互感系数。
已知,R,r,d,N1,N2
求,M
解：
3/22
I1m0
+= ( )
N1
R2 d2
pR2
pB1
Ψ S21=N2B1
r 23/22 I1m0+= ( )N1R2 d2pR
2
p
N2 p
M =Ψ21I
1
= r
2
3/22
m0
+( )
N1
R2 d2
R2N2 p
R
r
d
N2
N1I1
[例 3] 一矩形线圈长 l =20cm,宽 b =10
cm,由表面绝缘的导线绕成，放置在一根长
直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，
该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部
分离 线圈很远，其影 响可略去不记。求图
(a),(b)两中情况下，线圈与长直导线间的
互感。
b b
lI
(a)
b
lI
2
b
2
(b)
已知, l=20cm,b=10cm,N=100
求, (1) Ma,(2) Mb
解,(1)
2B
I
x
m 0=
p
Φ,? Ss d= B?
l xd= ?
2
I
x
m 0
p
2b
b
l=
2
Im 0
p ln2
= N l2 Im 0 p ln2Ψ = ΦN
l xd=?,2 Ixm 0p2bb
Ma =ΨI = Nl2m 0 p ln2
Mb =0(2)
b b
lI
(a)
b
lI
2
b
2
(b)
=M12 M21证明：互感系数相等，即 =M
证,当回路 1通电流 I1,回路 2
开路，回路 1储存的磁能
I 1
回路 1 回路 2
I 1
回路 1
I 2
回路 2
此时，当回路 2通电流 I2,回路 2
储存的磁能
回路 2的电流从无到有变化，
在回路 1产生互感电动势
1
2
11 IL2
1W ?
2
2
22 IL2
1W ?
dt
di
M 21212 ???
互感电动势
要保持回路 1的电流不变，回路 1电动势要反抗
互感电动势作功而储存互感磁能：
dt
dt
di
MIdtIW 212111212 ?? ????
2112
I
0
21212121 IIMdiMIdiMI
2
??? ??
I 1
回路 1
I 2
回路 2系统最终储存的总磁能
1221 WWWW ???
21122
2
21
2
1 IIMIL2
1
IL
2
1
???
系统最终储存的总磁能与通电顺序无关，回路 2
先通电，回路 1后通电，储存的总磁能不变：
21212
2
21
2
1 IIMIL2
1
IL
2
1
W ???
MMM 2112 ??
所以
[例 4] 假定从地面到海拔 6× 106m的范
围内，地磁场为 0.5× 10-4 T，试粗略计算在
这区域内地磁场的总磁能。
1
2 m0
B2=w
m
R 34p2m
0
B 2= (R+h)3
3
= 2× 4p× 10-7× 3(0.5× 10
-4)2× 4p
(6+6.4)3 -63
=7× 1018(J)
其中地球半径 R = 6× 106m
已知,R =6× 106m,B =0.5× 10-4T
求, Wm
解：
4pr 4drR?R+h 12 m
0
B2=W
m
1,麦克斯韦方程组 (积分形式 )
第 11章 麦克斯韦方程组和电磁辐射
2,电磁波的性质
3,电磁波的能量 和 坡印廷矢量
静电场
静磁场
如果电场及磁场都在随时间变化，变化
1,麦克斯韦方程的积分形式
.B dS = 0s??
D Σ.dS = qs??
磁场不可分割，称为 电磁场 。
磁场产生电场，变化电场产生磁场，电场和
E dl,= 0L?
H dl,Σ= IL?
Σ= q
电磁场的场方程
（麦克斯韦方程的积分形式）
D1 静止电荷产生的静电场
D2 变化磁场产生的感生电场
=0
一、电场的性质
ρ= dVV???
D.dS =,dSD D1 2+( )s?? s??
= D,dS D,dS+1 2s??s??
= 0
B1 传导电流的磁场
B2 位移电流的磁场
二、磁场的性质
.B dS =,B dS
1 B2+
( )s??s??
c +=I dI
H1 传导电流的磁场
H2 位移电流的磁场
三、变化磁场和电场的关系
H dl,= H dl.H dl.1 2+ L?L?L?
J( )tDc +, Sd= s?? ??
t
D,dSJ
c.dS += ?
?
s??s??
E 1 静止电荷产生的静电场
E 2 变化磁场产生的感生电场
四、变化磁场和电场的关系
= 0
E dl,= E dl.E dl.1 2+ L?L?L?
t
B,dS=
s?? ?
?
麦克斯韦方程的积分形式：
.B dS 0=s??
E dl,B,dS= ts??L? ??
J( )H dl,= tDc +, Sd??L? L?
ρD.dS = dV
V???s??
在无限大均匀绝缘介质（或真空中）传播的平
面简谐电磁波的性质：
2,E 与 H 同步变化
3.电磁波是一横波，
4,电磁波的偏振性。
（ E 及 H 都在各自的平面内振动。）
v
E
H
E Hε μ=1.
且三者成右旋关系。
E,H,v 两两垂直,v
E
H
2、电磁波的性质
u = m?1
0 0
麦克斯韦就是从电磁场方程出发 预言了
电磁波的存在。 通过实验可测得：
μ 0 = 4π × 10-7 = 12.566× 10-7 H.m-1
0 = 8.85× 10-12 F.m-1?
= 2.9979× 108 m.s-1
由 实验 测得真空中的光速为；
c = 2.99792458× 108 m.s-1
理论上 预言电磁波在真空中的传播速度为：
两个数据 惊人的吻合,成为光波是电磁
波的重要实验证据。
麦克斯韦不但 预言了 电磁波的存在。还
预言了电磁波传播的速度。
1888年赫兹用实验证实了电磁波的存在。
感应圈
谐振接受器
发射器
电火花
赫兹实验
Ewe 12ε= 2 μ Hwm 12= 2
电场能量与磁场能量体密度分别为：
电磁场能量体密度为：
w =we wm+ E12 με 2 H12= 2+
3、电磁波的能量
S 辐射强度（能流密度） 单位时间内，通
过垂直于波的传播方向的单位面积的辐射能。
S w= v = E12 με 2 H12 2+( )εμ1
= E H
= 2 εμ1 E Hε μE Hε μ( )+
= 2 εμ1 E Hε μ EHεμ( )+
E Hε μ=εμ=v 1
坡印廷矢量
S = E H
S
E
H
10310
6
109
1012
1015
1022
103
100
10 6
10 9
10 13
105
10 2
HZ1K
HZ1M
HZ1G
HZ1T
1km
1m
1cm
1
1nm
A01
μ m
X 射线
紫外线
可见光
红外线
微 波
高频电视 调频广播
雷达
无线电射频
电力传输
射线γ
电磁波谱频率 波长
[例 4] 有一段 10号铜线，直径为 2.54
mm，单位长度的电阻为 3.28× 10-3Ω /m，
在这铜线上载有 l0A的电流，试计算,
(1)铜线表面处的磁能密度有多大?
(2)该处的电能密度是多少?
(3)铜线表面处的坡印廷矢量是多少?
已知,D =2.54mm,R =3.28× 10-3 W/m,
I =10A
求,(1)wm,(2)wE
解,(1) 2B Ir= pm0
= 12 2 Irm0 pm0
2
r 2p2=8
Im0 2
1
2 m0
B2=w
m
= 8p2(1.27× 10-3)24p× 10
-7× 10-2 =0.988(J/m
3)
wE 12?0E2=
=E lU = lIR = 110× 3.28× 10-3
=3.28× 10-2(V/m)
1
2= × 8.85× 10-12× (3.28× 10-2)2
=4.8× 10-15(J/m3)
(2)
(3) S=EH
rL2
RI
r2
I
L
IR 2
p
?
p
??
HES ??? ??
方向指向
导线内部
(五 )
徐援改编
第 10章 电磁感应
§ 1 法拉第电磁感应定律
§ 2 动生电动势
§ 3 感生电动势 感生电场
§ 4 互感
§ 5 自感
§ 6 磁场能量
=M12 M21
实验和理论都可以证明：
N 1Φ12 =M I 2 =Ψ12
ΦN 2 21 =M I 1 =Ψ21
若两线圈的匝数分别为 N N1 2,则有：
I 2I 1
Φ12
Φ21
若两回路几何形状、尺寸及相对位置不
变，周围无铁磁性物质。实验指出：
Φ I12 2∝
Φ I21 1∝
=Φ IM12 212
=Φ IM21 121
§ 4 互感
Ψ= d
dtε 12
12 = d
dtM
I 2
Ψ == d
dt
d
dtM
Iε
21
21 1
互感电动势：
讨论：
1,互感系数和两回路的几何形状、尺寸，
它们的相对位置，以及周围介质的磁导率有
关。
2,互感系数的大小反映了两个线圈磁场
的相互影响程度。
互感系数在数值上等于当第二个回路电
则有,= Mε 12 即：
3,M 的存在的利与弊。
在式 = ddtM Iε 12 2 中，若 ddtI 2 =1
4,互感系数的物理意义：
在电子线路中,M 越大，相互干扰越大。
在变压器中,M 越大，能量损失越小。
产生的互感电动势的大小。
流变化率为每秒一安培时，在第一个回路所
2H =n 2I 2 = l
N 2 I
2
=2B μ 0 2H μ 0= lN 2 I 2
= 2B S μ 0= lN 2 I 2S
=μ 0 n1n2V= N 1μ 0 N S2 l2l
lN2
N1
Sμ 0
=M Ψ12I
2
Φ 122 Ψ12B2H
[例 1] 有两个直长螺线管，它们绕在同一个
、、、,N圆柱面上 1μ 0 N S2 l已知：。 求：互感系数
Φ12N 1=Ψ12 N 1=μ 0 N I 2S2l
Φ,B dS= s??12
L IΦ =
如果：回路几何形状、尺寸不变，周围无铁
磁性物质。
L 自感系数
§ 5 自感
自感现象 —— 由于回路自身电流的变化，
在回路中产生感应电动势的现象。
Φ I实验指出,∝ ΦI
单位：亨利（ H）
一、自感应
NΨ = Φ
对于 N 匝线圈：
IL= Ψ 磁通链
数在数值上等于回路中通过单位电流时，通
= =L 的意义：若,则I 1 L Ψ 自感系。
过自身回路所包围面积的磁通链数。
自感电动势：
Ld=
dt
I( )
=ε L ddtL I
=ddtL 0
若回路几何形状、尺寸不变，周围无铁磁性
自感电动势
Ψ= d
dt
( )= NΦd
dtN
d= Φ
dtε L
d
dtL
I d
dt
L= I
物质，则：
返回结束
=ε L ddtL I
3,自感系数决定于回路的几何形状、尺寸
讨论：
d
dt
I < 01,若,ε
L >0则：
>ddtI 0若,<ε L 0则,ε L与 I 方向相反，
ε L 与 I 方向相同，
2,L 的存在总是阻碍电流的变化,L 是电
磁惯性的一种表现。
以及周围介质的磁导率。
二,自感现象的演示
电池
BATTERY
自感
线圈
电阻
合上闸刀开关后，此灯缓慢变亮
电池
BATTERY
自感
线圈
电阻
合上闸刀开关后，此灯缓慢变亮
电池
BATTERY
自感
线圈
电阻
合上闸刀开关后，此灯缓慢变亮
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
电池
BATTERY
拉开闸刀后此灯先亮后暗
自感
线圈
已知：匝数 N,横截面积 S,长度 l,磁导率 μ
自感的计算步骤,
[例 1] 试计算直长螺线管的自感。
HμB =
B
dΦ,B S=
Φ
s?? ΦNΨ=
Ψ
ILΨ =
L
S
l
μ
dlH, =
H
L? I
返回结束
μB = H
NΨ = Φ
n=H I
= BS
= Nl I
l= I
μN
l=
IμN S
μ=
l
IN S2
= lμN S
2
2 l V=μ n
2
H B ΨΦ L
L I= Ψ
l
Sμ
Φ,B dS= s??
返回结束
Φd,B dS=
π r2H =
I μ
r2πB =
I
π l dr=
μ
r2
I
μ
π ( )= 2
I l ln
R 1
R 2
πL = ( )
μ
2 ln R 1
R 2
0 l
L =单位长度的自感为：
[例 2] 求一无限长同轴传输线单位长度的
自感。已知, R1,R2 。
π R=
μ
r2
I l
1
R2 dr
r?Φ B dS=,s??
L π= ( )μ2l ln R
1
R 2Φ
I=
II l
r dr
R R 21
Φd,B dS=
πH r2,I= N
πH r2 IN=
π2
μB
r
IN=
μ
π= drr2 IN h
h
drr
R 1
R 2
dS
[例 2] 求一环形螺线管的自感。
已知,R1 R 2 。N h,、,R1 R 2
IdlH,= NL?
解：
π ( )= ln R 1
R 2μ
2
IN h
NΨ = Φ =μ 2πIN h
2 ( )
ln R
1
R 2
L =ΨI πμ2N h2 ( )ln R
1
R 2=
Φd,B dS= π= drμ r2 IN h
Φ = Φd? π R=
1
R 2
r
μ
2
IN h dr?
返回结束
=M μ 0 n1n2V
=L μ 0 n2 V2 2
K=M L 1L 2
K <10 <
=L μ 0 n1 V1 2...
=M L 1L 2.,,
称 K 为耦合系数
耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦
在此例中，线圈 1的磁通全部通过线圈 2，
称为无 磁漏 。在一般情况下：
通，所以耦合系数小于一。
合松紧的程度。由于在一般情况下都有漏磁
[例 3]
考察在开关合上后的一段时间内，电路
由欧姆定律
电池
BATTERY
RL
ε
§ 10-6 磁场的能量
L ε+dtdI =I R
中的电流滋长过程：
上式左右乘以 dtI 再积分得：
L12 I 02 磁场的能量
L ε+dtdI =I R
τ I R dt
0
2 电阻上的热损耗?
=τ Iε dt0 I R dtτ0 2 L12 I 02+??
τ Iε dt
0
电源所作的功?
ετ =L dtdI dtI0I 0 I dt0 I R dtIτ0+? ??
返回结束
L12 I 2Wm =磁场的能量：
螺线管特例：
H In=L V=μ 2n B =μ n I
Wm = L12 I 2 12= Vμ 2n ( )H 2n
磁场能量密度,单位体积中储存的磁场能量 wm
= 12μ H 2V
wm = 12μ H 2 = 12 BH
Wm = wmdVV???
π= r2IH B = μ r2πI
l ddV r2π r=
= μ4πI
2 ( )ln
R 1
R 2l
[例 1] 求同轴传输线之磁能
= ( )R
1
R 2
2
1μ
π r2
I 2 l dr2π r?
Wm = wmdVV??? 2= 1μ H 2V dV???
drr
l
1
R 2
R
I
I
计算自感的另一种方法：
L12 I 2Wm =因为
L = 2I 2Wm所以
[例 2] 两个共轴圆线圈，半径分别为 R
及 r,匝数分别为 N1和 N2, 相距为 d,设 r 很
小，则小线圈所在处的磁场可视为均匀的,
求两线圈的互感系数。
已知,R,r,d,N1,N2
求,M
解：
3/22
I1m0
+= ( )
N1
R2 d2
pR2
pB1
Ψ S21=N2B1
r 23/22 I1m0+= ( )N1R2 d2pR
2
p
N2 p
M =Ψ21I
1
= r
2
3/22
m0
+( )
N1
R2 d2
R2N2 p
R
r
d
N2
N1I1
[例 3] 一矩形线圈长 l =20cm,宽 b =10
cm,由表面绝缘的导线绕成，放置在一根长
直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，
该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部
分离 线圈很远，其影 响可略去不记。求图
(a),(b)两中情况下，线圈与长直导线间的
互感。
b b
lI
(a)
b
lI
2
b
2
(b)
已知, l=20cm,b=10cm,N=100
求, (1) Ma,(2) Mb
解,(1)
2B
I
x
m 0=
p
Φ,? Ss d= B?
l xd= ?
2
I
x
m 0
p
2b
b
l=
2
Im 0
p ln2
= N l2 Im 0 p ln2Ψ = ΦN
l xd=?,2 Ixm 0p2bb
Ma =ΨI = Nl2m 0 p ln2
Mb =0(2)
b b
lI
(a)
b
lI
2
b
2
(b)
=M12 M21证明：互感系数相等，即 =M
证,当回路 1通电流 I1,回路 2
开路，回路 1储存的磁能
I 1
回路 1 回路 2
I 1
回路 1
I 2
回路 2
此时，当回路 2通电流 I2,回路 2
储存的磁能
回路 2的电流从无到有变化，
在回路 1产生互感电动势
1
2
11 IL2
1W ?
2
2
22 IL2
1W ?
dt
di
M 21212 ???
互感电动势
要保持回路 1的电流不变，回路 1电动势要反抗
互感电动势作功而储存互感磁能：
dt
dt
di
MIdtIW 212111212 ?? ????
2112
I
0
21212121 IIMdiMIdiMI
2
??? ??
I 1
回路 1
I 2
回路 2系统最终储存的总磁能
1221 WWWW ???
21122
2
21
2
1 IIMIL2
1
IL
2
1
???
系统最终储存的总磁能与通电顺序无关，回路 2
先通电，回路 1后通电，储存的总磁能不变：
21212
2
21
2
1 IIMIL2
1
IL
2
1
W ???
MMM 2112 ??
所以
[例 4] 假定从地面到海拔 6× 106m的范
围内，地磁场为 0.5× 10-4 T，试粗略计算在
这区域内地磁场的总磁能。
1
2 m0
B2=w
m
R 34p2m
0
B 2= (R+h)3
3
= 2× 4p× 10-7× 3(0.5× 10
-4)2× 4p
(6+6.4)3 -63
=7× 1018(J)
其中地球半径 R = 6× 106m
已知,R =6× 106m,B =0.5× 10-4T
求, Wm
解：
4pr 4drR?R+h 12 m
0
B2=W
m
1,麦克斯韦方程组 (积分形式 )
第 11章 麦克斯韦方程组和电磁辐射
2,电磁波的性质
3,电磁波的能量 和 坡印廷矢量
静电场
静磁场
如果电场及磁场都在随时间变化，变化
1,麦克斯韦方程的积分形式
.B dS = 0s??
D Σ.dS = qs??
磁场不可分割，称为 电磁场 。
磁场产生电场，变化电场产生磁场，电场和
E dl,= 0L?
H dl,Σ= IL?
Σ= q
电磁场的场方程
（麦克斯韦方程的积分形式）
D1 静止电荷产生的静电场
D2 变化磁场产生的感生电场
=0
一、电场的性质
ρ= dVV???
D.dS =,dSD D1 2+( )s?? s??
= D,dS D,dS+1 2s??s??
= 0
B1 传导电流的磁场
B2 位移电流的磁场
二、磁场的性质
.B dS =,B dS
1 B2+
( )s??s??
c +=I dI
H1 传导电流的磁场
H2 位移电流的磁场
三、变化磁场和电场的关系
H dl,= H dl.H dl.1 2+ L?L?L?
J( )tDc +, Sd= s?? ??
t
D,dSJ
c.dS += ?
?
s??s??
E 1 静止电荷产生的静电场
E 2 变化磁场产生的感生电场
四、变化磁场和电场的关系
= 0
E dl,= E dl.E dl.1 2+ L?L?L?
t
B,dS=
s?? ?
?
麦克斯韦方程的积分形式：
.B dS 0=s??
E dl,B,dS= ts??L? ??
J( )H dl,= tDc +, Sd??L? L?
ρD.dS = dV
V???s??
在无限大均匀绝缘介质（或真空中）传播的平
面简谐电磁波的性质：
2,E 与 H 同步变化
3.电磁波是一横波，
4,电磁波的偏振性。
（ E 及 H 都在各自的平面内振动。）
v
E
H
E Hε μ=1.
且三者成右旋关系。
E,H,v 两两垂直,v
E
H
2、电磁波的性质
u = m?1
0 0
麦克斯韦就是从电磁场方程出发 预言了
电磁波的存在。 通过实验可测得：
μ 0 = 4π × 10-7 = 12.566× 10-7 H.m-1
0 = 8.85× 10-12 F.m-1?
= 2.9979× 108 m.s-1
由 实验 测得真空中的光速为；
c = 2.99792458× 108 m.s-1
理论上 预言电磁波在真空中的传播速度为：
两个数据 惊人的吻合,成为光波是电磁
波的重要实验证据。
麦克斯韦不但 预言了 电磁波的存在。还
预言了电磁波传播的速度。
1888年赫兹用实验证实了电磁波的存在。
感应圈
谐振接受器
发射器
电火花
赫兹实验
Ewe 12ε= 2 μ Hwm 12= 2
电场能量与磁场能量体密度分别为：
电磁场能量体密度为：
w =we wm+ E12 με 2 H12= 2+
3、电磁波的能量
S 辐射强度（能流密度） 单位时间内，通
过垂直于波的传播方向的单位面积的辐射能。
S w= v = E12 με 2 H12 2+( )εμ1
= E H
= 2 εμ1 E Hε μE Hε μ( )+
= 2 εμ1 E Hε μ EHεμ( )+
E Hε μ=εμ=v 1
坡印廷矢量
S = E H
S
E
H
10310
6
109
1012
1015
1022
103
100
10 6
10 9
10 13
105
10 2
HZ1K
HZ1M
HZ1G
HZ1T
1km
1m
1cm
1
1nm
A01
μ m
X 射线
紫外线
可见光
红外线
微 波
高频电视 调频广播
雷达
无线电射频
电力传输
射线γ
电磁波谱频率 波长
[例 4] 有一段 10号铜线，直径为 2.54
mm，单位长度的电阻为 3.28× 10-3Ω /m，
在这铜线上载有 l0A的电流，试计算,
(1)铜线表面处的磁能密度有多大?
(2)该处的电能密度是多少?
(3)铜线表面处的坡印廷矢量是多少?
已知,D =2.54mm,R =3.28× 10-3 W/m,
I =10A
求,(1)wm,(2)wE
解,(1) 2B Ir= pm0
= 12 2 Irm0 pm0
2
r 2p2=8
Im0 2
1
2 m0
B2=w
m
= 8p2(1.27× 10-3)24p× 10
-7× 10-2 =0.988(J/m
3)
wE 12?0E2=
=E lU = lIR = 110× 3.28× 10-3
=3.28× 10-2(V/m)
1
2= × 8.85× 10-12× (3.28× 10-2)2
=4.8× 10-15(J/m3)
(2)
(3) S=EH
rL2
RI
r2
I
L
IR 2
p
?
p
??
HES ??? ??
方向指向
导线内部
