电学
(二 )
徐援改编
目录
电磁学概述
第一章 静止电荷电场
第四章 静电场中的导体
第三章 电势
第五章 静电场中的电介质
第六章 恒定电流
第二章 运动电荷电场 *
1.1 电荷
1,2 库仑定律与叠加原理
1.3 电场和电场强度
1.5 电场线和电 通量
1.6 高斯定理
1.7 利用高斯定理求 静电荷电场的分布
1.4 静止的点电荷的电场及叠加
目录
一、电场线
1.5 电场线和电 通量
用一族空间曲线形象描述场强分布。通常把这
些曲线称为电场线 (Electric field line)或电力
线 (Electric line of force)。
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向为该点场强方向
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强
方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，
等于该点场强的量值。
S E
= E S cosθ
= E S.
S
θ
ES S
二,电场强度通量
e=E
S
Ψ
e= E SΨ
e= E SΨ
E 通量：通过某一面积
的电场线数
返回结束
E= cosθ dS
E,e = dSs??Ψ
.e=d E dSΨ
返回结束
dSθ
E
从点电荷特例引出此定理
讨论：
反,上式积分值为负值。
上式中的 q 应理解为代数值。
1,若 方向相dS的方向与E为负值，则q
1.6 高斯定理
E,dSs?? = π 2r4 q dS cos00+s?? ε
0
r= π 24
q dS+
s??ε 0
= q+ε
0
+ rq
dSE
返回结束
2,此式的意义是通过闭合曲面的电场线条
数等于面内的电荷数除以真空中的介电常数。
q +q
.E dS =s?? qε
0
3,若电荷在面外，则此积分值为 0。因为
有几条电场线进入面内必然有同样数目的电
场线从面内出来。
4,若封闭面不是球面，则积分值不变。
1,均匀带电球面的电场
<（ 1） r R
= E π 2r4
0=
1.7 利用高斯定理求 静电荷电场的分布
E = 0得：
= E dSs??
00E,dS = E dS coss??s??
q=Σ i
ε 0
+ +
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+
q
E
r
高斯面
5,若面内有若干个电荷，则积分值为：
高斯定理, 在静电场中，通过任意封闭
曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围
的自由电荷代数和除以真空介电常数。
E, dS =
qΣ i
s?? ε 0
（ 2） r R>
<（ 1） r R
E
ρ2,均匀带电球体的电场。体电荷密度为
E dS = E π 2r4.s??
E π 2r4 =ρ π 3R43ε
0
ρ=E r
3ε 0
ρE = R
3
3
r 2ε 0
3=ρ
π 3r4 ε
0
1
ε 0
R
ε 0 E
r 高斯
面
r
高斯面=
R
3
3
r2ε 0 π 3R4 3
q.
R
均匀带电球体电场强度分布曲线
R
E
ρ
E
O
ρ R
3
rR
ε 0
返回结束
3,均匀带电无限大平面的电场
E
σ
S
高斯面
Eσ
（ 2） r R>
r
高斯面
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+ +
q
E
4E = π 2r
q得：
ε 0
R r
E
2r
1
0
π 24
q
R
∝
ε 0
=
q
ε 0
E,dS = E π 2r4s??
= E S + E S
3,均匀带电无限大平面的电场
σE =
2ε 0
= Sσε
0
E, dS =
侧
E, dS
左底
E, dS
右底
E, dS++s?? s??s??s??
E
σ
S
高斯面
E
<（ 1） r R
4,均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为 λ
E
r
高
斯
面
l
0= E π r2 l =
0E =得：
..上底 E dS 下底 E dS++ s??s??
E, dS = 侧 E, dSs?? s??
= 侧E dSs??
（ 2） r R>
E
高
斯
面
lr
π r
λE =
2得,ε 0
E dS = 侧 E dS.,s?? s??
下底上底 E
dS E dS++,,s?? s??
= λE π r2 l = lε
0
讨论
RP,R 2R.
??
R32R2
E
00 ??
??
??
??
??'
0
??
1
??
2
??
R
3
方向向左
0
R32R2
E
00 ??
??
??
??
R52 0??
?? 方向向左
1.闭合面内、外电荷
2.静电场性质的基本方程
3.源于库仑定律 高于库仑定律
讨论
对电通量 ? ?
E d S
S
??
的贡献则有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献
对曲面上任一点处场强 均有贡献E?
E, dS =
qΣ i
s?? ε 0
利用高斯定理解 的条件讨论 E?
E
E s?,dS = E dS cos??s? θ
侧视图
利用高斯定理解 的条件讨论 E?
+
一
对
等
量
异
号
电
荷
的
电
场
E s?,dS = E dS cos??s? θ
利用高斯定理求解静电场的分布时要求
常见的电量分布的对称性：
球对称 柱对称 面对称
球体
球面
(点电荷 )
（无限长）
柱体
柱面
带电线
（无限大）
平板
平面
1,电量的分布具有某种对称性
2,在高斯面上 E=0或 E=常数； 垂直 或 平行E? n? E? n?
例 1 无限长带电体密度为 ?=Ar的圆住体,半径为 R.
求电场分布,
解, 对称性, 旋转对称,沿轴平移对称
当 r < R时
?? ????????
r
00)S(
rldr2rA
1
rl2ESdE
1
?
?
?
??
0
2
3 ?
ArE ? 方向沿径向
S1
当 r? R时
?? ????????
R
0)S( 0
rldr2rA
1
rl2ESdE
2
?
?
?
??
r3
RAE
0
3
?
?? 方向沿径向
S2
E, dS =
qΣ i
s?? ε 0 ????
v
dv
0?
?
例 2 电荷体密度为 ?=Ar的带电球体,半径为 R.求电场分布,
解, 对称性, 中心对称
? ??? 2r4ESdE ???
当 r < R时
? ????
r
0
2
0
rdr4rA1 ?
?
4
0
rA
?
??
0
2
4
ArE
?
?
当 r>R时
方向沿径向
0
4R
0
2
0
2 RAdrr4Ar1r4ESdE
?
?
?
?
? ????? ??
??
2
0
4
r4
AR
E
?
? 方向沿径向
’
R
.
r
P
.O O.
例 6 在半径为 R，电荷体密度为 ρ 的均匀带
电球内，挖去一个半径为 r=R/2的小球,O,
O’相距为 d如图所示。试证,P点的场强为均
匀场。
解：
R
.
r
O’ P
.O,
电量的分布不具有对称性,不能利用高斯定理求解
+ +
+
+
+ +
+
+
-
-
- --
- -
看成带负电的小球
和带正电的大球场
强的迭加
E1 带电荷 -ρ 的小球的场强
E2 带电荷 ρ 的大球的场强
E1,dS =s?? π 24E1 r1 ρ= 1ε
0
π 34
3
r1
= ε
03
ρ r1E
1
解：
r.,
O′ r1
P
0
1
1 3
rE
?
??? ??
.,
O′
O
r2,P= ε
03
ρ r2E
2
0
2
2 3
rE
?
?? ??
.,O′O
P
d?
2r
?
1r
??
d
3
)rr(
3
EEE
0
12
0
21
??????
?
???
?
????
迭加原理 +高斯定理 解决更多问题
例 3 如图所示，在点电荷 q 的电场中，
取半径为 R 的圆形平面。设 q 在垂直于平
面并通过圆心 o 的轴线上 A点处,A点与圆
心 o点的距离为 d 试计算通过此平面的 E 通
量。
a AR
qo a
.d
d( )= qεπ
4 0
π2
R d2 + 2
R d2 + 2
已知,q,R,d 求,Φ e
Rr d2 += 2解：
通过圆平面
的电通量为
R
A
qd
o
r
Φe =
q
ε 40 π2 ( )rrπ d
通过整个球面 (S=4 )
的电通量为
圆平面对应球冠面积 S’为
2r?
0/?q
π2 ( )r r d
3.1 静电场的保守性
3.2 电势差和电势
3.3 电势叠加原理
3.4 电势梯度
3.5 电荷在电场电势能
3.6 电荷系的静电能 *
3.7 静电场的能量
第三章 电势
当带电体在静电场中移动时，静电场力对
带电体要作功，这说明静电场具有能量。
A Fd,= dl Eq0=,dl
= Eq0,dr
静电场力的功
= επ 2r4 qq0 dr
0
drA = ε
π4
qq 0
r
r
ra
b
0
2?
= Eq0,dl cosφ
r
r
dr
dlφ
E
dlr
r
a
b
a
b
q 0
q φ φ
επ4
qq0=
ba rr
11
0
3.1 静电场的保守性
若 r ia =r ib即从 a点出发再回到 a点则有：
场强环流定律：
在静电场中，将单位正电荷沿任意闭合
对于由 n 个点电荷所组成的电场有：
E =.dll 0?
E.dl = 0l?Eq0 =.dl 0l?
A = επ4q q0 ( )ba rr 11Σ
i =1 iiab
n
0
i
一保守力，因此可以引入势能的概念。
静电场力的功和作功的路径无关,静电力是
路径绕行一周，静电场力对它所作的功为零。
a
电势的意义,a 点的电势在数值上等于
二、电势
一、电势差
Wa ==U
a q
0
E.dla 8?
U bUa = E dla,b?
对它所作的功。
将单位正电荷从 a 点移到无穷远处静电场力
3.2 电势差和电势
称为 a b两点的电势差
讨论 1,电 势零点的选择 (参考点 )任意视分析问题方便而定参考点不同电势不同
? ? ? ?? ? 132 IMTL
q
WU ????量纲
3，电势是一个长程物理量
通常：理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点，
应用中实际或研究电路问题时取大地、仪器外壳等
2，电势的量纲 SI制：单位 V (伏特 )
U bUa = E dla,b? 令 Ub=0,b为 点 电 势零点
令 b,=Ua E.dla
8?
8
U
r+
U
r
[ 例 1 ] 点电荷的电势
三、电势的计算
=Up E.dl8p?
πU = ε r4
q
0
= επ 2r4 q8p 0dr cos0?
0
q Erdr
q
R
+
+
+
++
+
++
+
+
+
++
++
+π= ε4 o
q
R
[ 例 2 ] 求一均匀带电球面的电势。
已知,q,R 。
πR0 dr+=
8
ε 2r4 o
q?
.dlE
内
.dlE
外+= R
8
r
R ??.dlEU = 8
r?
P.r
1,r R≤ (球内任意一点 )
结论：均匀带电球面球内任意一点的
电势等于球表面的电势。
πε4 o=
q
r
π= r dr
8
ε 2r4 o
q?
.drE
外r
8U =?
2,r R≥ (球外任意一点 ) q
R
+
+
+
++
+
++
+
+
+
++
++
+ P.
r
结论：均匀带电球面球外任意一点的电
势等于将电荷集中于球心的点电荷的电势。
电势
场强
分布曲线
U
R rO
r1∝
E
R rO
2r
1∝
分布曲线。
例 3.平行板电容器两板间的电势差
0?
s?E
? ?
? ?
?
?
?
?? ldE
??
??
? ?
? ?
?
?
?
? dlE
解：
平行板电容器内部的场强为
两板间的电势差
ld?
d
E?
s s?
? ?
? ?
?
?
?
? E dl
方向一致
ldE ??,均匀场
Ed???
[ 例 4 ] 两个同心球面，半径分别为 10cm
和 30cm。小球面均匀带有正电荷 10-8C大球
面带有正电荷 1.5× 10-8C 。求离球心分别为
20cm,50cm处的电势。
r1
r2
q2q1
=900(V)
r
1
2
q
επ4 0 += r2
q
επ4 0U1
= 9.0× 109× 20× 10-210-8
+9.0× 109× 30
× 10-2
1.5× 10-8
r
1qεπ
4 0+=
2qU
1 ′
=9.0× 109× 50
× 10-2
(1.5+1)× 10-8 =4.50(V)
已知,r1=10cm,r2=30cm,q1=10-8 C,
q2=1.5× 10-8 C 求,U1,U2
解：
r1
r2
q2q1
[ 例 5 ] 电荷 Q 均匀分布在半径为 R的球体
内，试证离球心 r 处（ r <R）的电势为,
3U R r2( )= 2
π8 R
Q
0?
3
π34
Q
3
1
0=ε R
π34 3r.,.E q
0=ε
πr 24内
U +?Rr dr= E内 ?R drE外∞.,
επ4 0
Q
3= R r επ4
0
Q
2r+?
R
r dr ?R
dr∞
= επ8
0
Q
3R επ4
0
Q
R+
2R 2r( )
= επ8
0
Q
3R
23R 2r( )
解：由高斯定理
ε内 π14 0
Q
3= R rE得,外 επ4 0
Q
2= rE而
3.3 电势叠加原理
U1= UiU2+ =Σ+
q 2
q 1
P
r1r2
1,点电荷系的电势 电势叠加原理
E,dl8p= 2E,dl8p 1 + +??
+= E8p ( +E ),dl21?=Up E.dl8p?
επ r4
q i
i=U Σ 0
επ r4
q 1
1 επ r4
q 2
2
=U + +
0 0
2,连续带电体的电势
επ r4
qd=Ud
0
επ r4
qd=U
0
?
4πdU ε ro
qd=
πε4 o= R 2x 2+( )1 2
q
dq
R
x P
r
[ 例 1 ] 求一均匀带电圆环轴线上一点的
电势。已知,q,R,x 。
πε r4 o
1U = qd
P ?
[ 例 2 ] 一半径 R 的圆盘，其上均匀带有
面密度为 s 的电荷，求：
轴线上任一点的电势（用该点与盘
心的距离 x 来表示）,
R s
.P
x
πσ 2 r= drdq
επ4 0=dU +x 2 r 2πσ 2 r dr
?R0U ε2 0= +x 2 r 2σ r dr
x( )ε2
0
= +R2 r 2σ
.P
x
R sr dr
x已知,R,σ 。 求 U解：
点电荷的电
场线与等势
面
+
3.等势面：在静电场中，电势相等的面
所组成的面。
电偶极子的电场线与等势面
+
电平行板电容器的电场线与等势面
++ ++++ +++
2.等势面越密的地方电场强度越大
（ ）。?? cosθdl=E
1.电场线与等势面垂直（ 如果电场线与等势面不垂直，
沿等势面将有电场分量作功，等势面将不等势 ） ;
结论：
§ 3-4 电势梯度
。? ldE ???? ?? cosθdl=E
θ
E
?1
?2
1、电势梯度矢量
?d
dn
?
?
+ n
dl
II
I
θ
规定：等势面法线 n 的方
向为垂直于等势面，并指
向电势升高 方向。
d?
dl = 所以 - lEθE ?cos
?d
dl
?d
dn= cos所以 θ
?d
dn
?
?
+ n
dl
II
I
θ
电势沿 方向的变化率（此
方向的变化率最大。 )
n?d
dn
d?
dl比较 - = 得：lEθE ?cos
dn =dl cos因为 θ
=- ?ddn nE?
方向：垂直于等势面指向电势升高的方向，
n即法线 的方向。
大小：电势梯度矢量在数值上等于电势沿法
?d dn 。向的变化率。即等于
线方向的方向导数，或电势沿法线方
电势梯度矢量定义,?
n
d
d n
电场强度大小等于在法线方向的电势变化
2,电势梯度与电场强度的关系
率，其方向和电势梯度的方向相反。
E x x?= ?? E y y?= ?? E z z?= ??
?d
dn nE = = grad ?
)( kzφjyφixφE
????
?
??
?
??
?
???
求：任一点的场强。
πε r4 o
q? =
E rE =
解：
ε= π4 o
q ( )
r 2
1 =
επ4 o
q
r 2
[ 例 1 ] 已知一点电荷的电势为：
r
?= ?
?
求：轴线上任一点的场强。
π= ε4 o
q
( )x 2+R 2 23[ ]
x
E xE =
解：
q
π πε r4 o? = ε4
o
q=
( )x 2+R 2 21
[ 例 2 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点
的电势为：
x
?= ?
?
例 6 由 电偶极子 电势求 电偶极子 电场强度 ???? UUU ??
?
?
???
? ??
?? rr
q 11
4 0??解：
lr??
q
q
cos2
cos2
lrr
lrr
??
??
?
?
2
cos
rrr
lrr
?
??
??
?? q
l?
q? q?
?r
?
?r
?
q
r?
p
x
y
??
?
?
??
?
?
??
?? rr
q
U
11
4 0?? ??
?? ??
rr
rrq
04 ??
2
04
c os
r
ql
??
q?
r
x
lqp
?
?
qcos
??
代入将
2322
0 )(4 yx
pxU
?
?
??
l?
q? q?
?r
?
?r
?
q
r?
p
x
y
2322
0 )(4 yx
pxU
?
?
??
?
?
???
x
UE
x
2
522
22
)(
2
yx
yx
?
?
p
04??
?
?
???
y
UE
y
p
04?? 2522 )(
3
yx
xy
?
jEiEE yx
????
??
以两个点电荷系统为例
q r q1 2想象 q q1 2 初始时相距无限远
第一步 先把 q
1
摆在某处 外力不作功
第二步 再把 q2 从无限远移过来 使系统处于
状态 a 外力克服 q1 的场 作功
W A q? ? 1 ? ? ?
?
? q E d l
r
2 1
? ?
? ?
?
?q E d l
r
2 1
? ?
? q
q
r2
1
04 ??
? q U2 21
在 所
在处的电势 21 qq
3.5 电荷在电场电势能
此式表示，静电场力对电荷 qo所作的功，等
于静电势能的减少。
A ==Wa bW ab Eq,dlab0 ?
UUq=Aab ba0 ( )=Wa-Wb
电荷在电场中某点的电势能（ 相互作
用能） W=q0U
点电荷之间的相互作用能记为 W
3.6 电荷系的静电能 *
qqW?
r
21
04??
以两个点电荷系统为例
这一能量属于电荷系的静电能（ 自能 ），
可写成：
W qU q U? ?12 121 1 2 2
i
i
iUqW ??2
1 除 qi
以外的电荷在 q
i
处的电势
Ui
点电荷系
R
++ +
+
++
+ ++
+
Q
[例 1]求一均匀带电球面的电场能量。
已知,Q,R.
：
? ?
W dq
Q
R
Q
? ?
1
2 4 0??
?
Q
R
2
08??
3.7 静电场的能量
? ?
W dq
Q
RQ? ?
1
2 4 0???
Q
R
2
08??
均匀带电球面的电场能量
半径有一增量 dR,则 静电能量 有一负增量 -dW:
2QdW?
08?? 2R
dR
dRRπEε 2
2
0 4
2?
0?
4 0? 2R= ( ) ?
Q 2
2 dRRπ 24
dVEε 2
2
0?
2
02
1 Eε
dV
dWw e
e ??
电场能量密度为
=We we dV
V
??? = 12ε E 2dV
V
???电场总能量
[ 例 1 ] 两个同轴的圆柱，长度都是 l,半径
分别为 R1及 R2,这两个圆柱带有等值异号
电荷 Q，
（ 1）在半径为 r ( R1< r <R2 )厚度为 dr 的
圆柱壳中任一点的电场能量密度是多少？
（ 2）这柱壳中的总电场能是多少？
（ 3）两个圆柱中的总电场能是多少？
E= 2? rlQ?
= 8?2?r2l2Q
22?rldr
= 4??lrQ
2
dr
?= 4??lrQ2 drR2R
1
=4??lQ
2
ln R2R
1
解：
=dW wdV(2)
?=W wdV(3)
8?2?r2l2
Q2
?? 20
2
Eεw
(1)圆柱壳中任一点的电场能量密度
UUq=Aab ba0 ( )=Wa-Wb
电荷在电场中某点的电势能（相互作用能）
*电荷系的静电能（ 自能 ）
i
i
iUqW ??2
1
=We we dV
V
??? = 12ε E 2dV
V
???
电场总能量
讨论
? ?
W dq
Q
R
Q
? ?
1
2 4 0??
或
一个带电体 — 电场能量 （静电能或 自能 ）
=We we dV
V
??? = 12ε E 2dV
V
???
两个带电体 — 电场能量：自能 +相互作用能
? ??
v
2
0 dv
2
EWe
? ???
v
2
210 dv
2
)EE(
??
222121221 EEE2E)EE( ????? ????
??? ????
vvv
dvEEdvEdvEWe
2
2
22
210
2
20
2
10
??
???
??? ??????
v
210
v
2
20
v
2
10 dv
2
EE2dv
2
Edv
2
EWe
??
静电能（ 自能） 电势能(相互作用能 )
? ?? ????? sdEdEdvEEWe
v
????
??
210
210 l
2
2 ??
电势能 (相互作用能）,
,l l 沿等势面法向sddsdddv ???? ??
UQQU
0
0 ????
a b
q 1 2q0q
r rr=? a q 1+ =0? q 2?
10×= 2.46 3 (V)
b点静电场力所作的功。0q 从 a点 移到
r 0= 0.10 m Cq 1 8= 1.0 × 0 试求：将电荷，
Cq = 1 8= 4.0 × 0,1 2q[ 例 2 ] 已知：
3 ××= 9 10
9×
0.01
1 ( 4.0 4.0) 10 8
ππε=? b 4 o
q1
ε4 o
q2+
rr3
q=
πε4 or
1 ( )1
3 + q2
解,电荷在电场中某点的电势能（ 相互作用能 )
??q=A ab ba0 ( )=Wa-Wb
A ab =Wa-Wb= ? ?q ( )a0 b
=? a q 1+ =0? q 2?
10×= 2.46 3 (V)? b
由前面得到：
?a ? ×=2.46 103 (V)b∴
×2.46 1031 8=1.0× 0 ×
(J)= 1 52.46 × 0
[ 例 3 ] 如图所示，半径为Ｒ的均匀带电球
面，电量为 Ｑ,沿径向方向上有一均匀带电细
线，电荷线密度为 ?，长度为 Ｌ,细线近端离
球心距离为 r0。 设球和线上的电荷分布不受
相互作用的影响，试求细线所受球面电荷 的
电场力和细线在该电场中的电势能。
o
x
ＲＱ
?
o
xx dx
dq= ? dx dF
Ｒ
Ｑ
解：（１）
2
04
)(
xεπ
QxE ?
dxλ
xεπ
QdqxEdF
2
04
)( ??
)11(
4
)(
000
0
0 Lrr
λ
επ
QdqxEF Lr
r ?
??? ?
?
方向如图
向右
(2),?? dqW φ
0
0
0
rL
r 0 r
Lr
4
Q
dx
x4
Q0
0
?
??
?
?
??
?
? ?
?
ln
E?
[ 例 4 ] 求 均匀带电球体的电势能。已知 ρ,R,
解 1：
??
??
??
Rr
2e
Rr
1e dvwdvw
??
?
??
R
R
drrπ
Eε
drrπ
Eε 2220
0
2
2
10 4
2
4
2
??
?
??
R
R
drrπ
εrπ
qε
drrπ
εRπ
qrε 22
0
2
0
0
22
0
3
0 4)
4
(
2
4)
4
(
2
0
2
20
3
εRπ
q?
?? dvwW e
解 2,现设想总电量是从分散在无限远处积聚起来的,1
建立 r→ r +dr 这一层时，所移的电量为
且电荷是从球心起，按同心球壳一层一层积累起来。
4?r2 dr.=dq
r?04?
ρ4?r33
U(r)= ?
0
= r
2
3
ρ
将 dq移到电荷已积聚到半径
为 r 的球时,球表面的电势为,
dr
dW0=W0 ?
=? ?
03
4? r4drρ 2R
0
4?ρ 2 R
?0= 3 5.
5
3 ?
020?
qQ2=
R
=dW0 U(r)dq ?
0
= 34? r4drρ
2
移动到球的表面,电势能的增量为,
(二 )
徐援改编
目录
电磁学概述
第一章 静止电荷电场
第四章 静电场中的导体
第三章 电势
第五章 静电场中的电介质
第六章 恒定电流
第二章 运动电荷电场 *
1.1 电荷
1,2 库仑定律与叠加原理
1.3 电场和电场强度
1.5 电场线和电 通量
1.6 高斯定理
1.7 利用高斯定理求 静电荷电场的分布
1.4 静止的点电荷的电场及叠加
目录
一、电场线
1.5 电场线和电 通量
用一族空间曲线形象描述场强分布。通常把这
些曲线称为电场线 (Electric field line)或电力
线 (Electric line of force)。
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向为该点场强方向
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强
方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，
等于该点场强的量值。
S E
= E S cosθ
= E S.
S
θ
ES S
二,电场强度通量
e=E
S
Ψ
e= E SΨ
e= E SΨ
E 通量：通过某一面积
的电场线数
返回结束
E= cosθ dS
E,e = dSs??Ψ
.e=d E dSΨ
返回结束
dSθ
E
从点电荷特例引出此定理
讨论：
反,上式积分值为负值。
上式中的 q 应理解为代数值。
1,若 方向相dS的方向与E为负值，则q
1.6 高斯定理
E,dSs?? = π 2r4 q dS cos00+s?? ε
0
r= π 24
q dS+
s??ε 0
= q+ε
0
+ rq
dSE
返回结束
2,此式的意义是通过闭合曲面的电场线条
数等于面内的电荷数除以真空中的介电常数。
q +q
.E dS =s?? qε
0
3,若电荷在面外，则此积分值为 0。因为
有几条电场线进入面内必然有同样数目的电
场线从面内出来。
4,若封闭面不是球面，则积分值不变。
1,均匀带电球面的电场
<（ 1） r R
= E π 2r4
0=
1.7 利用高斯定理求 静电荷电场的分布
E = 0得：
= E dSs??
00E,dS = E dS coss??s??
q=Σ i
ε 0
+ +
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+
q
E
r
高斯面
5,若面内有若干个电荷，则积分值为：
高斯定理, 在静电场中，通过任意封闭
曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围
的自由电荷代数和除以真空介电常数。
E, dS =
qΣ i
s?? ε 0
（ 2） r R>
<（ 1） r R
E
ρ2,均匀带电球体的电场。体电荷密度为
E dS = E π 2r4.s??
E π 2r4 =ρ π 3R43ε
0
ρ=E r
3ε 0
ρE = R
3
3
r 2ε 0
3=ρ
π 3r4 ε
0
1
ε 0
R
ε 0 E
r 高斯
面
r
高斯面=
R
3
3
r2ε 0 π 3R4 3
q.
R
均匀带电球体电场强度分布曲线
R
E
ρ
E
O
ρ R
3
rR
ε 0
返回结束
3,均匀带电无限大平面的电场
E
σ
S
高斯面
Eσ
（ 2） r R>
r
高斯面
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+ +
q
E
4E = π 2r
q得：
ε 0
R r
E
2r
1
0
π 24
q
R
∝
ε 0
=
q
ε 0
E,dS = E π 2r4s??
= E S + E S
3,均匀带电无限大平面的电场
σE =
2ε 0
= Sσε
0
E, dS =
侧
E, dS
左底
E, dS
右底
E, dS++s?? s??s??s??
E
σ
S
高斯面
E
<（ 1） r R
4,均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为 λ
E
r
高
斯
面
l
0= E π r2 l =
0E =得：
..上底 E dS 下底 E dS++ s??s??
E, dS = 侧 E, dSs?? s??
= 侧E dSs??
（ 2） r R>
E
高
斯
面
lr
π r
λE =
2得,ε 0
E dS = 侧 E dS.,s?? s??
下底上底 E
dS E dS++,,s?? s??
= λE π r2 l = lε
0
讨论
RP,R 2R.
??
R32R2
E
00 ??
??
??
??
??'
0
??
1
??
2
??
R
3
方向向左
0
R32R2
E
00 ??
??
??
??
R52 0??
?? 方向向左
1.闭合面内、外电荷
2.静电场性质的基本方程
3.源于库仑定律 高于库仑定律
讨论
对电通量 ? ?
E d S
S
??
的贡献则有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献
对曲面上任一点处场强 均有贡献E?
E, dS =
qΣ i
s?? ε 0
利用高斯定理解 的条件讨论 E?
E
E s?,dS = E dS cos??s? θ
侧视图
利用高斯定理解 的条件讨论 E?
+
一
对
等
量
异
号
电
荷
的
电
场
E s?,dS = E dS cos??s? θ
利用高斯定理求解静电场的分布时要求
常见的电量分布的对称性：
球对称 柱对称 面对称
球体
球面
(点电荷 )
（无限长）
柱体
柱面
带电线
（无限大）
平板
平面
1,电量的分布具有某种对称性
2,在高斯面上 E=0或 E=常数； 垂直 或 平行E? n? E? n?
例 1 无限长带电体密度为 ?=Ar的圆住体,半径为 R.
求电场分布,
解, 对称性, 旋转对称,沿轴平移对称
当 r < R时
?? ????????
r
00)S(
rldr2rA
1
rl2ESdE
1
?
?
?
??
0
2
3 ?
ArE ? 方向沿径向
S1
当 r? R时
?? ????????
R
0)S( 0
rldr2rA
1
rl2ESdE
2
?
?
?
??
r3
RAE
0
3
?
?? 方向沿径向
S2
E, dS =
qΣ i
s?? ε 0 ????
v
dv
0?
?
例 2 电荷体密度为 ?=Ar的带电球体,半径为 R.求电场分布,
解, 对称性, 中心对称
? ??? 2r4ESdE ???
当 r < R时
? ????
r
0
2
0
rdr4rA1 ?
?
4
0
rA
?
??
0
2
4
ArE
?
?
当 r>R时
方向沿径向
0
4R
0
2
0
2 RAdrr4Ar1r4ESdE
?
?
?
?
? ????? ??
??
2
0
4
r4
AR
E
?
? 方向沿径向
’
R
.
r
P
.O O.
例 6 在半径为 R，电荷体密度为 ρ 的均匀带
电球内，挖去一个半径为 r=R/2的小球,O,
O’相距为 d如图所示。试证,P点的场强为均
匀场。
解：
R
.
r
O’ P
.O,
电量的分布不具有对称性,不能利用高斯定理求解
+ +
+
+
+ +
+
+
-
-
- --
- -
看成带负电的小球
和带正电的大球场
强的迭加
E1 带电荷 -ρ 的小球的场强
E2 带电荷 ρ 的大球的场强
E1,dS =s?? π 24E1 r1 ρ= 1ε
0
π 34
3
r1
= ε
03
ρ r1E
1
解：
r.,
O′ r1
P
0
1
1 3
rE
?
??? ??
.,
O′
O
r2,P= ε
03
ρ r2E
2
0
2
2 3
rE
?
?? ??
.,O′O
P
d?
2r
?
1r
??
d
3
)rr(
3
EEE
0
12
0
21
??????
?
???
?
????
迭加原理 +高斯定理 解决更多问题
例 3 如图所示，在点电荷 q 的电场中，
取半径为 R 的圆形平面。设 q 在垂直于平
面并通过圆心 o 的轴线上 A点处,A点与圆
心 o点的距离为 d 试计算通过此平面的 E 通
量。
a AR
qo a
.d
d( )= qεπ
4 0
π2
R d2 + 2
R d2 + 2
已知,q,R,d 求,Φ e
Rr d2 += 2解：
通过圆平面
的电通量为
R
A
qd
o
r
Φe =
q
ε 40 π2 ( )rrπ d
通过整个球面 (S=4 )
的电通量为
圆平面对应球冠面积 S’为
2r?
0/?q
π2 ( )r r d
3.1 静电场的保守性
3.2 电势差和电势
3.3 电势叠加原理
3.4 电势梯度
3.5 电荷在电场电势能
3.6 电荷系的静电能 *
3.7 静电场的能量
第三章 电势
当带电体在静电场中移动时，静电场力对
带电体要作功，这说明静电场具有能量。
A Fd,= dl Eq0=,dl
= Eq0,dr
静电场力的功
= επ 2r4 qq0 dr
0
drA = ε
π4
qq 0
r
r
ra
b
0
2?
= Eq0,dl cosφ
r
r
dr
dlφ
E
dlr
r
a
b
a
b
q 0
q φ φ
επ4
qq0=
ba rr
11
0
3.1 静电场的保守性
若 r ia =r ib即从 a点出发再回到 a点则有：
场强环流定律：
在静电场中，将单位正电荷沿任意闭合
对于由 n 个点电荷所组成的电场有：
E =.dll 0?
E.dl = 0l?Eq0 =.dl 0l?
A = επ4q q0 ( )ba rr 11Σ
i =1 iiab
n
0
i
一保守力，因此可以引入势能的概念。
静电场力的功和作功的路径无关,静电力是
路径绕行一周，静电场力对它所作的功为零。
a
电势的意义,a 点的电势在数值上等于
二、电势
一、电势差
Wa ==U
a q
0
E.dla 8?
U bUa = E dla,b?
对它所作的功。
将单位正电荷从 a 点移到无穷远处静电场力
3.2 电势差和电势
称为 a b两点的电势差
讨论 1,电 势零点的选择 (参考点 )任意视分析问题方便而定参考点不同电势不同
? ? ? ?? ? 132 IMTL
q
WU ????量纲
3，电势是一个长程物理量
通常：理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点，
应用中实际或研究电路问题时取大地、仪器外壳等
2，电势的量纲 SI制：单位 V (伏特 )
U bUa = E dla,b? 令 Ub=0,b为 点 电 势零点
令 b,=Ua E.dla
8?
8
U
r+
U
r
[ 例 1 ] 点电荷的电势
三、电势的计算
=Up E.dl8p?
πU = ε r4
q
0
= επ 2r4 q8p 0dr cos0?
0
q Erdr
q
R
+
+
+
++
+
++
+
+
+
++
++
+π= ε4 o
q
R
[ 例 2 ] 求一均匀带电球面的电势。
已知,q,R 。
πR0 dr+=
8
ε 2r4 o
q?
.dlE
内
.dlE
外+= R
8
r
R ??.dlEU = 8
r?
P.r
1,r R≤ (球内任意一点 )
结论：均匀带电球面球内任意一点的
电势等于球表面的电势。
πε4 o=
q
r
π= r dr
8
ε 2r4 o
q?
.drE
外r
8U =?
2,r R≥ (球外任意一点 ) q
R
+
+
+
++
+
++
+
+
+
++
++
+ P.
r
结论：均匀带电球面球外任意一点的电
势等于将电荷集中于球心的点电荷的电势。
电势
场强
分布曲线
U
R rO
r1∝
E
R rO
2r
1∝
分布曲线。
例 3.平行板电容器两板间的电势差
0?
s?E
? ?
? ?
?
?
?
?? ldE
??
??
? ?
? ?
?
?
?
? dlE
解：
平行板电容器内部的场强为
两板间的电势差
ld?
d
E?
s s?
? ?
? ?
?
?
?
? E dl
方向一致
ldE ??,均匀场
Ed???
[ 例 4 ] 两个同心球面，半径分别为 10cm
和 30cm。小球面均匀带有正电荷 10-8C大球
面带有正电荷 1.5× 10-8C 。求离球心分别为
20cm,50cm处的电势。
r1
r2
q2q1
=900(V)
r
1
2
q
επ4 0 += r2
q
επ4 0U1
= 9.0× 109× 20× 10-210-8
+9.0× 109× 30
× 10-2
1.5× 10-8
r
1qεπ
4 0+=
2qU
1 ′
=9.0× 109× 50
× 10-2
(1.5+1)× 10-8 =4.50(V)
已知,r1=10cm,r2=30cm,q1=10-8 C,
q2=1.5× 10-8 C 求,U1,U2
解：
r1
r2
q2q1
[ 例 5 ] 电荷 Q 均匀分布在半径为 R的球体
内，试证离球心 r 处（ r <R）的电势为,
3U R r2( )= 2
π8 R
Q
0?
3
π34
Q
3
1
0=ε R
π34 3r.,.E q
0=ε
πr 24内
U +?Rr dr= E内 ?R drE外∞.,
επ4 0
Q
3= R r επ4
0
Q
2r+?
R
r dr ?R
dr∞
= επ8
0
Q
3R επ4
0
Q
R+
2R 2r( )
= επ8
0
Q
3R
23R 2r( )
解：由高斯定理
ε内 π14 0
Q
3= R rE得,外 επ4 0
Q
2= rE而
3.3 电势叠加原理
U1= UiU2+ =Σ+
q 2
q 1
P
r1r2
1,点电荷系的电势 电势叠加原理
E,dl8p= 2E,dl8p 1 + +??
+= E8p ( +E ),dl21?=Up E.dl8p?
επ r4
q i
i=U Σ 0
επ r4
q 1
1 επ r4
q 2
2
=U + +
0 0
2,连续带电体的电势
επ r4
qd=Ud
0
επ r4
qd=U
0
?
4πdU ε ro
qd=
πε4 o= R 2x 2+( )1 2
q
dq
R
x P
r
[ 例 1 ] 求一均匀带电圆环轴线上一点的
电势。已知,q,R,x 。
πε r4 o
1U = qd
P ?
[ 例 2 ] 一半径 R 的圆盘，其上均匀带有
面密度为 s 的电荷，求：
轴线上任一点的电势（用该点与盘
心的距离 x 来表示）,
R s
.P
x
πσ 2 r= drdq
επ4 0=dU +x 2 r 2πσ 2 r dr
?R0U ε2 0= +x 2 r 2σ r dr
x( )ε2
0
= +R2 r 2σ
.P
x
R sr dr
x已知,R,σ 。 求 U解：
点电荷的电
场线与等势
面
+
3.等势面：在静电场中，电势相等的面
所组成的面。
电偶极子的电场线与等势面
+
电平行板电容器的电场线与等势面
++ ++++ +++
2.等势面越密的地方电场强度越大
（ ）。?? cosθdl=E
1.电场线与等势面垂直（ 如果电场线与等势面不垂直，
沿等势面将有电场分量作功，等势面将不等势 ） ;
结论：
§ 3-4 电势梯度
。? ldE ???? ?? cosθdl=E
θ
E
?1
?2
1、电势梯度矢量
?d
dn
?
?
+ n
dl
II
I
θ
规定：等势面法线 n 的方
向为垂直于等势面，并指
向电势升高 方向。
d?
dl = 所以 - lEθE ?cos
?d
dl
?d
dn= cos所以 θ
?d
dn
?
?
+ n
dl
II
I
θ
电势沿 方向的变化率（此
方向的变化率最大。 )
n?d
dn
d?
dl比较 - = 得：lEθE ?cos
dn =dl cos因为 θ
=- ?ddn nE?
方向：垂直于等势面指向电势升高的方向，
n即法线 的方向。
大小：电势梯度矢量在数值上等于电势沿法
?d dn 。向的变化率。即等于
线方向的方向导数，或电势沿法线方
电势梯度矢量定义,?
n
d
d n
电场强度大小等于在法线方向的电势变化
2,电势梯度与电场强度的关系
率，其方向和电势梯度的方向相反。
E x x?= ?? E y y?= ?? E z z?= ??
?d
dn nE = = grad ?
)( kzφjyφixφE
????
?
??
?
??
?
???
求：任一点的场强。
πε r4 o
q? =
E rE =
解：
ε= π4 o
q ( )
r 2
1 =
επ4 o
q
r 2
[ 例 1 ] 已知一点电荷的电势为：
r
?= ?
?
求：轴线上任一点的场强。
π= ε4 o
q
( )x 2+R 2 23[ ]
x
E xE =
解：
q
π πε r4 o? = ε4
o
q=
( )x 2+R 2 21
[ 例 2 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点
的电势为：
x
?= ?
?
例 6 由 电偶极子 电势求 电偶极子 电场强度 ???? UUU ??
?
?
???
? ??
?? rr
q 11
4 0??解：
lr??
q
q
cos2
cos2
lrr
lrr
??
??
?
?
2
cos
rrr
lrr
?
??
??
?? q
l?
q? q?
?r
?
?r
?
q
r?
p
x
y
??
?
?
??
?
?
??
?? rr
q
U
11
4 0?? ??
?? ??
rr
rrq
04 ??
2
04
c os
r
ql
??
q?
r
x
lqp
?
?
qcos
??
代入将
2322
0 )(4 yx
pxU
?
?
??
l?
q? q?
?r
?
?r
?
q
r?
p
x
y
2322
0 )(4 yx
pxU
?
?
??
?
?
???
x
UE
x
2
522
22
)(
2
yx
yx
?
?
p
04??
?
?
???
y
UE
y
p
04?? 2522 )(
3
yx
xy
?
jEiEE yx
????
??
以两个点电荷系统为例
q r q1 2想象 q q1 2 初始时相距无限远
第一步 先把 q
1
摆在某处 外力不作功
第二步 再把 q2 从无限远移过来 使系统处于
状态 a 外力克服 q1 的场 作功
W A q? ? 1 ? ? ?
?
? q E d l
r
2 1
? ?
? ?
?
?q E d l
r
2 1
? ?
? q
q
r2
1
04 ??
? q U2 21
在 所
在处的电势 21 qq
3.5 电荷在电场电势能
此式表示，静电场力对电荷 qo所作的功，等
于静电势能的减少。
A ==Wa bW ab Eq,dlab0 ?
UUq=Aab ba0 ( )=Wa-Wb
电荷在电场中某点的电势能（ 相互作
用能） W=q0U
点电荷之间的相互作用能记为 W
3.6 电荷系的静电能 *
qqW?
r
21
04??
以两个点电荷系统为例
这一能量属于电荷系的静电能（ 自能 ），
可写成：
W qU q U? ?12 121 1 2 2
i
i
iUqW ??2
1 除 qi
以外的电荷在 q
i
处的电势
Ui
点电荷系
R
++ +
+
++
+ ++
+
Q
[例 1]求一均匀带电球面的电场能量。
已知,Q,R.
：
? ?
W dq
Q
R
Q
? ?
1
2 4 0??
?
Q
R
2
08??
3.7 静电场的能量
? ?
W dq
Q
RQ? ?
1
2 4 0???
Q
R
2
08??
均匀带电球面的电场能量
半径有一增量 dR,则 静电能量 有一负增量 -dW:
2QdW?
08?? 2R
dR
dRRπEε 2
2
0 4
2?
0?
4 0? 2R= ( ) ?
Q 2
2 dRRπ 24
dVEε 2
2
0?
2
02
1 Eε
dV
dWw e
e ??
电场能量密度为
=We we dV
V
??? = 12ε E 2dV
V
???电场总能量
[ 例 1 ] 两个同轴的圆柱，长度都是 l,半径
分别为 R1及 R2,这两个圆柱带有等值异号
电荷 Q，
（ 1）在半径为 r ( R1< r <R2 )厚度为 dr 的
圆柱壳中任一点的电场能量密度是多少？
（ 2）这柱壳中的总电场能是多少？
（ 3）两个圆柱中的总电场能是多少？
E= 2? rlQ?
= 8?2?r2l2Q
22?rldr
= 4??lrQ
2
dr
?= 4??lrQ2 drR2R
1
=4??lQ
2
ln R2R
1
解：
=dW wdV(2)
?=W wdV(3)
8?2?r2l2
Q2
?? 20
2
Eεw
(1)圆柱壳中任一点的电场能量密度
UUq=Aab ba0 ( )=Wa-Wb
电荷在电场中某点的电势能（相互作用能）
*电荷系的静电能（ 自能 ）
i
i
iUqW ??2
1
=We we dV
V
??? = 12ε E 2dV
V
???
电场总能量
讨论
? ?
W dq
Q
R
Q
? ?
1
2 4 0??
或
一个带电体 — 电场能量 （静电能或 自能 ）
=We we dV
V
??? = 12ε E 2dV
V
???
两个带电体 — 电场能量：自能 +相互作用能
? ??
v
2
0 dv
2
EWe
? ???
v
2
210 dv
2
)EE(
??
222121221 EEE2E)EE( ????? ????
??? ????
vvv
dvEEdvEdvEWe
2
2
22
210
2
20
2
10
??
???
??? ??????
v
210
v
2
20
v
2
10 dv
2
EE2dv
2
Edv
2
EWe
??
静电能（ 自能） 电势能(相互作用能 )
? ?? ????? sdEdEdvEEWe
v
????
??
210
210 l
2
2 ??
电势能 (相互作用能）,
,l l 沿等势面法向sddsdddv ???? ??
UQQU
0
0 ????
a b
q 1 2q0q
r rr=? a q 1+ =0? q 2?
10×= 2.46 3 (V)
b点静电场力所作的功。0q 从 a点 移到
r 0= 0.10 m Cq 1 8= 1.0 × 0 试求：将电荷，
Cq = 1 8= 4.0 × 0,1 2q[ 例 2 ] 已知：
3 ××= 9 10
9×
0.01
1 ( 4.0 4.0) 10 8
ππε=? b 4 o
q1
ε4 o
q2+
rr3
q=
πε4 or
1 ( )1
3 + q2
解,电荷在电场中某点的电势能（ 相互作用能 )
??q=A ab ba0 ( )=Wa-Wb
A ab =Wa-Wb= ? ?q ( )a0 b
=? a q 1+ =0? q 2?
10×= 2.46 3 (V)? b
由前面得到：
?a ? ×=2.46 103 (V)b∴
×2.46 1031 8=1.0× 0 ×
(J)= 1 52.46 × 0
[ 例 3 ] 如图所示，半径为Ｒ的均匀带电球
面，电量为 Ｑ,沿径向方向上有一均匀带电细
线，电荷线密度为 ?，长度为 Ｌ,细线近端离
球心距离为 r0。 设球和线上的电荷分布不受
相互作用的影响，试求细线所受球面电荷 的
电场力和细线在该电场中的电势能。
o
x
ＲＱ
?
o
xx dx
dq= ? dx dF
Ｒ
Ｑ
解：（１）
2
04
)(
xεπ
QxE ?
dxλ
xεπ
QdqxEdF
2
04
)( ??
)11(
4
)(
000
0
0 Lrr
λ
επ
QdqxEF Lr
r ?
??? ?
?
方向如图
向右
(2),?? dqW φ
0
0
0
rL
r 0 r
Lr
4
Q
dx
x4
Q0
0
?
??
?
?
??
?
? ?
?
ln
E?
[ 例 4 ] 求 均匀带电球体的电势能。已知 ρ,R,
解 1：
??
??
??
Rr
2e
Rr
1e dvwdvw
??
?
??
R
R
drrπ
Eε
drrπ
Eε 2220
0
2
2
10 4
2
4
2
??
?
??
R
R
drrπ
εrπ
qε
drrπ
εRπ
qrε 22
0
2
0
0
22
0
3
0 4)
4
(
2
4)
4
(
2
0
2
20
3
εRπ
q?
?? dvwW e
解 2,现设想总电量是从分散在无限远处积聚起来的,1
建立 r→ r +dr 这一层时，所移的电量为
且电荷是从球心起，按同心球壳一层一层积累起来。
4?r2 dr.=dq
r?04?
ρ4?r33
U(r)= ?
0
= r
2
3
ρ
将 dq移到电荷已积聚到半径
为 r 的球时,球表面的电势为,
dr
dW0=W0 ?
=? ?
03
4? r4drρ 2R
0
4?ρ 2 R
?0= 3 5.
5
3 ?
020?
qQ2=
R
=dW0 U(r)dq ?
0
= 34? r4drρ
2
移动到球的表面,电势能的增量为,
