电场（一）库仑定律 电场强度
一、选择题
1,D
? ? ? ? 0RR
Rq
4
1
R2
q
4
1
2322
0
0
2
0
?
?
? ????
2qq
0
?
2,B
二、填空题
1,
???
?
???
? ?? jQiq
2
2
a4
1E
2
0
p
???
??
2,
)C(N iR/09.0E ?? ? ( N) R/108.1F 210????
3,库仑力为,? ?
N1044.1 3?
与万有引力之比为：
361024.1 ?
注,单位长度带电量：
? ?mC100.5dR2 Q 10????? ??
iR4 d0E 2
0
0
??
??
???
三、计算题
解, 取电荷元 dq，其矢径与 x轴的交角为 ? ?
dqR
?
dE x
y
?? Rddq ?
R4
d
R4
dqdE
0
2
0 ??
??
??
??
由此可得,? ??? ??? co sdEdE x
? ??? ??? s i ndEdE y
R4
c o s
R4
d
c o sdEdEE
0
2
0
0
xx
??
?
?
??
??
?
?
???
????
?
??
R4
s i n
R4
d
s i ndEdEE
0
2
0
0
yy
??
?
?
??
??
?
?
???
????
?
??
O点处场强：
度角轴正向成方向为：与
的大小为：或
?
??
?
??
?
??
?
4
5
x
R4
2
E
j
R4
i
R4
E
0
00
?
???
???
电场（二）电场强度 高斯定理
一、选择题
1,C
2,C 解题思路,以 A为中心，补上７个相同得立方体。 A位于体心。每个侧面的面积为 abcd的 4倍。总电通量为 q/ ?
0。由对
称性,abcd的电通量为 q/ 24?0。
二、填空题
1.,
a
1 异性电荷。
1E
?解题思路,带电直线在 P点的场强为 大小为,
a2E 01 ??
??
Q在 O点的场强为
2E
? 大小为,
a4
QE
2
0
2 ???
由图可知：
1E
?
2E
?
2160c o sEE 12 ?? ? 2
00 a4
Q2
a2 ????
? ?
a
1
Q ?
?
2.,1002.9 5??,1014.1 12??
解题思路,由高斯定理，所带的电荷应为负电荷。
,QER4 02 ?? ?
.ER4Q 02 ???
在 h=1400 m高度以下，大气层中的带电为 Q’，由于
场强减小，故为 Q’正电荷。 ? ? ? ?,'QQ'ER4'EhR4
022 ??? ????
? ?,'EER4'Q 02 ?? ?? 平均电荷密度 ? ?hR4'Q 2?? ?
? ?,h'EE0 ?? ?
三、计算题
1,解, (1)
4R
0
3R
0
2 ARdrAr4drr4Q ???? ??? ??
(2) Rr ?
作以 r为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为：
4r
0
2 Ardrr4q ??? ?? ?
由高斯定理：
,qEr4 02 ?? ?
? ?02 4ArE ??
Rr ?
作以 r为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为：
4r
0
2 ARdrr4q ??? ?? ?
由高斯定理：
,qEr4 02 ?? ?
? ?022 r4ARE ??
2,解, 2/Rr ? 作以 r为半径，高为 l的同轴封闭圆柱面为高
斯面，高斯面上的电通量为
r l E2e ?? ?
所包含的电量为：
.0q ?
由高斯定理：
r l E20 ??
.0E ?
Rr2R ??
作以 r为半径，高为 l的同轴封闭圆柱面为高斯面，高斯面上
的电通量为：
r l E2e ?? ?
所包含的电量为：
? ?? ? ? ?,4Rrll2Rrq 2222 ???? ?????
由高斯定理：
?r lE2? ? ?? ? 022 4Rrl ??? ?
? ?4/Rrr2E 22
0
?? ??
Rr ?
作以 r为半径，高为 l的同轴封闭圆柱面为高斯面，高斯
面上的电通量为
r l E2e ?? ?所包含的电量为：
? ?? ?,lR43l2RRq 222 ???? ???
由高斯定理：
??? lR431r l E2 2
0
?
.r8 R3E
0
2
?
??
电场（三）电势 电势差
一、选择题
1,B
2,C
解题思路,O点的电势为：
?
?
??
?
? ????
3
ar
r4
q3
r4
q2
r4
qU
000
0 ??????
电场力作功：
? ? aqrqUUQA
00
0 4
36
4
6
???? ?????? ?
，外力作功：
。aqA'A
04
36
?????
二、填空题
1,（ 1） 。，
l
qq
l
qq
0
0
0
0
66 ???? ?
（ 2） 。
l
q
06 ??
解题思路,O点的电势为,
044
00
???? lqlqU O ???? ? ?,U 0??
D点的电势为,
，lqlqlqU D
000 6344 ??????
????? 0q
从 D点到 O点
电场力作功,? ?
l
qqUUQA
DO
0
06 ?????
，电势能增量
l
qqAW
0
06 ??? ????
单位电荷从 D点到 ?,电场力作功,? ?
。lqUUA D
06
1 ???????? ?
2,伏，45,伏。15?
A B Cq
解题思路,作积分路径 A ?B:
4520 110 144
0
20
10 20 ???
??
?
? ????? ??
..
qdr
r
qldEU,
.
B
AA ????
??
作积分路径 C ?B:
? ?drErdEldErdld ???????? ??????,
1520 130 144
0
20
30 20 ????
??
?
? ????? ??
..
qdr
r
qldEU,
.
B
CC ????
??
三、计算题
1,解, (1) 以 O为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面，
设底面积为 S，长度为 2xP，如图所示。
O
Q
P
高斯面内所包含的电量为：
?Sxq p2?
高斯面内所包含的电通量为：
ESe 2??
由高斯定理：
00 22 ??? SxqES p??
? ?00 4 ???? axE pp ??
对于 Q点：
以 Q为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面，
设底面积为 S，长度为 2xＱ
高斯面内所包含的电量为：
?aSq ?
高斯面内所包含的电通量为：
ESe 2??
由高斯定理：
002 ??? aSqES ??
? ?02 ??aE Q ?
(2) 作 P ? Q的积分路径，场强分布为分段函数，
P ?平板边界
0??xE x ?
边界 ? Q
? ?02 ??aE ?
故
0
2
4
5
2 0
2
4 0
32
15
22 ?
?
?
?
?
? a
dx
a
dx
x
ldEU
a
a
a
a
Q
P
PQ
???
??
??
?
??
2,解, 以左端为坐标原点 O，棒长方向为 x方向，如图所示。
O
P
a
在棒上 x处取 dx段带电 dq，
x dq
dxlqdq ?
dq在 p点的电势
? ? ? ? dxxal
q
xal
dqdU
?????? 00 44 ????
? ?
a
al
ln
l
q
dx
xall
q
dUU
l
p
?
?
??
?? ??
0
0
0
4
4
??
??
电场（四）电势 电势梯度
一、选择题
1,D 2,A
二、填空题
（ 1）
。，，
，，，
mVEmVEmVE
mVEmVEmVE
404
202
654
321
????
????
（ 2） V,61051 ? 解题思路,球壳表面：
REURεπ QURεπ QE ?????
0
2
0 44
，
3,B
（ 3）
4
1,
16
1
（ 4）
? ? ? ? ? ? 。23222522222 32 yx cxyx bxyx axE x ??????
? ? ? ? ? ? 。23222522222
32
yx
cy
yx
by
yx
ayE
y ??????
三、计算题
1,解, (1) 建立 xy坐标，在 x位置处取 dx长度。带电量为 dq。
X
Y
x dx
dq
P r
O
kxdxdxdq ?? ?
? ?0??UPdq 点的电势：在
? ? 212200 44 yx
kxdx
r
dqdU
P
?
??
????
由此可得：
? ?
? ?? ?yylk
yx
k x d x
dUU
l
PP
???
?
?? ??
2122
0
0
2122
0
4
4
??
??
（ 2）
? ? ???
?
?
?
?
?
?
??
?
???
2122
0
1
4 yl
yk
y
UE
y ??
（ 3） 在 (1)中解出的电势仅是随 y的函数分布 (x为定值 0)，无法求出场强的 x分量。
２,?E errrεπ e ?,4
0
er
r
e rεπ
edrrπDEdrrπDED Ed VW
e
e
0
2
22
0 20
34
2
14
2
1
2
1 ???? ??? ?
e
e
rr
rεπ
er ?,
4 30
电场（五）综合练习一
一、选择题
1,D
2,D
3,D
二、填空题
1.
0 0 0 0
24
33AB EE? ? ? ?? ? ?,。
解题思路,A的左侧：
。0
00 3
1
22 EE
BA ?????
?
?
?
?
A,B之间：
。0
00 22
EE BA ???? ????
联立求解，可得：
。,0000 3432 EE AB ???? ???
2.
00
0 220 ?
?
?
? qAU ???,，
解题思路,由对称性可得 。0
0 ?E
，
000
0 24
2
4 ?
?
??
??
?? ??? R
R
R
qU ? ?
。
0
0 2 ?
? qUUqA ????
?
3,。V.
710671 ?
4,解, 取以 r为半径，宽为 dr的细圆环，带电量为,drrdq ??2?
细圆环在 o点的电势为 dU。 R
r
0
00
2
4
2
4
?
?
??
??
??
dr
r
drr
r
dq
dU
?
??
00 00 22 ?
?
?
? RdrdUU RR ??? ??
三、计算题
1,?E ar ?,0
brarεεπ λ
r
??,2
0
ar ?,0
取半径为 r、厚度为 dr长为 l 的薄壁同轴圆筒为体积元,则
dV=2?rldr
a
b
εεπ
Qr l d rπ
lrεεπ
QD Ed VW
r
b
a re ln4282
1
0
2
22
0
2
2
??? ??
2,解, （ 1） Rr ?
取半径为 r，高为 h的同轴圆柱面为高斯面，如图所示，通过
高斯面的电通量为：
r h Ee ?? 2?
h
r
所包含的电量为：
3
0
2
0
3
2
2
2
A h r
dhA
dhdVq
r
r
?
???
?????
?
?
??
?
??
由高斯定理：
3
03
22 A h rr h E ?
?? ?
0
2
3?
ArE ?
Rr ?
取半径为 r，高为 h的同轴圆柱面为高斯面，如图所示，通过
高斯面的电通量为：
r h Ee ?? 2?
所包含的电量为：
3
0
2
0
3
2
2
2
Ah R
dhA
dhdVq
R
R
?
???
?????
?
?
??
?
??
由高斯定理：
3
03
22 A h Rr h E ?
?? ?
r
ARE
0
3
3 ??
（ 2） Rr ?
取引矢径 lr ? 的积分路径：
? ?
R
lAR
rR
A
dr
r
AR
dr
Ar
rdErdEU
l
R
R
r
l
R
Rr
R
r
RrRr
ln
39
33
0
3
33
0
0
3
0
2
??
??
???
??
??
??
?? ???
????
Rr ?
取引矢径 lr ? 的积分路径：
r
lAR
dr
r
AR
rdEU
l
R
l
R
RrRr
ln
3
3
0
3
0
3
?
?
?
?? ??
??
??
电场（六）导体
一、选择题
1,D
2,A
二、填空题
1,。,VUVU Pb 23 100.210 ?????
解题思路,A,B两平板之间为匀强电场
S
qE
00 ??
? ??
电势差：
EdUUU baab ??? V
S
qdEdU
b
3
0
10??????? ?
V
S
qd
EdU
EdUUU
p
paap
2 0 0
0
1
1
1
???????
???
?
2.
.',0',0',0,0,4
0
qrRqEUqErqU AppApp ??????? ??
解题思路,A球不接地、由于静电感应,A球表面分布感应电荷。但总电
量为 0。球内电场为 0。球是等势体。 P点的电势和 O点的电势相等,O点
的电势可以看作 q在 O点电势和 A上感应电荷在 O的电势之和。 A球表面分
布感应电荷的总电量为 0，所以：
。02 ?OU
r
qUU
Op
0
1 4 ?????
A球接地，球是等势体。 P点的电势和 O点的电势相等为 0，球内电场为 0。
由于静电感应，设 A球表面分布感应电荷为 q’，所以：
R
qU
O
0
2 4
'
???
012 ??? OOO UUU
r
Rq
q
R
q
r
q
???
???
'
0
4
'
4 00 ????
3,。球壳外表面以外的空间，q2?
三、计算题
1,解, (1),由电荷感应定律和电荷守恒定律：外球壳的内表
面带电 -q，外表面带电 +q。
r
qU
r
042 ??
?
(2),外球壳接地后,。0
2 ?rU
电荷重新分布。外表面附近场强为 0，所以外球壳外表面
不带电。由于导体空腔的绝缘作用，外表面的电荷分布
不改变内部的电场，故外球壳的内表面仍带电 -q。
(3),外球壳带电为 -q的基础上，内球壳接地后,。0
1 ?rU
设此时内球壳带电为 q’，由电势叠加可知：
q
r
r
q
r
q
r
q
U O
2
1
2010
'
0
44
'
??
?
?
??
????
外球壳电势由叠加可得：
?
?
?
?
?
? ??????
2
1
202020
2
1
1
4442 r
r
r
q
r
q
r
r
rq
U r
??????
电场（七）电介质和电容
一、选择题
1,C
解题思路,电容串联时,2211 UCUC ?,充电后，电容量小的电压高，当
fC ?201 ?,上的电压为 300 V时，则：
VC UCU 200
2
112 ??
组合电容的耐压值为 500 V。
2,C
d
d2d1
a
解题思路：
2
02
1
01 d SCd SC ?? ??,
ad
S
dd
S
CC
CCC
?????? 021 021 21'
??
3,C
未插入导体板前：
'0 CCd SC ??? ?
二、填空题
1,。，
rErD r???
?
?
?
022
??
2,? ? ? ?
? ? ? ?
。
，
ttd
U
E
ttd
US
Q
ttd
U
D
ttd
U
E
r
r
O
r
r
r
r
r
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
,0
0
解题思路,设电介质内部的场强为 E，真空内场强为 E0。
r
EE
?
0?
电压：
? ?
? ?tdE
EttdEU
r ??
???
?
0
所以：
? ? ttd UE r ??? ?
? ? ttd
UED
r
r
r ???? ?
???? 0
0
? ? 。ttd UEE r rrO ???? ? ??
? ? ttd
USQ
r
r
??? ?
?? 0
3,。，，
BABABA DDEE ?? ???
解题思路,等效于两个 电容器并联：
dEU A?1 dEU B?2 bA EEUU ??? 21?
BA
BBArA
DD
EDED
??
?? 00 ???,
BA
BBAA DD
??
??
??
??,
4.
的电量不变。的电量增大，
的电量减少。的电量增大，
21
21
CC
CC
1C
解题思路,并联断开电源：插入介质前后组合电容总电量不变，当
1C
增大，则 上的电量增大
2
2
1
1
C
Q
C
Q ?? 2C 上的电量减少
并联不断开电源：插入介质前后组合电容电压不变，
1C
增大，则
1C
上的电量增大。
2C
上的电量不变。
5.
提高耐压程度。
增大电容量，
三、计算题
1,解, 设给导体球系统带电 Q，其中两球分别带电为 Q1,Q2。
导线相连后成为一个整体，两球电势相等,
20
2
10
1
442 r
Q
r
QU
r ???? ??
? ?21
21
1
1 QQQQrr
rQ ??
???
? ?210
10
1
4
4
rr
r
Q
Q
U
QC ???? ??
??
2,解法一, 本题可看作两个球形电容器串联：
34
430
2
12
210
1
44
RR
RRC
RR
RRC
????
????,
? ? ? ?12433421 4321021 21 4 RRRRRRRR RRRRCC CCC ?????? ??
解法二, 给电容期带电 Q在半径
4321 RRRR ??,
,空间内
场强分布为
2
04 r
QE
???
电势差：
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??? ??
430210
2
0
2
0
41
11
4
11
4
44
4
3
2
1
RR
Q
RR
Q
dr
r
Q
dr
r
Q
UU
R
R
R
R
????
????
? ? ? ?12433421 4321021 21 4 RRRRRRRR RRRRCC CCC ??????? ??
电场 (八）综合练习二
一、选择题
1,C
解题思路,设平板电容器电荷面密度为,?；两板间的电吸引力为,。
S
qF
0
2
2
1
??
0
2
2
0
2
2
1
2
1
?
?
? ??? S
q
S
FP
电容器的场强为：
0?
??E
电压,dEV ??
? 22 20
2
0
0 22
1 V
d
V
d
VP ???
?
??
?
?? ??
?
2,B
解题思路,设挖去的电量可作为点电荷,O点的场强和电势均可作为 x轴
上 R处的点电荷 q与均匀带电球面 -Q在 O点场强与电势的叠加。
24 R
SQq
?
???
3,B
解题思路,P点放入不是足够小的点电荷 +q后，改变了原先导体上的电
荷分布，使导体上的正电荷远离 p点，场强减小。
4、Ｃ
二、填空题
1.
方向向左。区：
方向向右。区：
方向向右。区：
,
2
3
,
2
3
2
,
2
1
0
0
0
?
?
?
?
?
?
解题思路,带电平板的场强公式：
02?
??E
? ?2?
0
1 2?
??E
0
2 2
2
?
??E
0
1 2?
??E
0
2 2
2
?
??E
ⅢⅡⅠ
2,? ?
? ? S
dQ
WQQ
S
dQ
WQQ
r
r
r
r
rr
2
0
2
22
2
0
2
11
12
,
1
12
,
1
1
??
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
解题思路,并联电容上电压相同，电量分配与电容量成正比：
C
Q
W
d
S
C
d
S
C
C
Q
C
Q
QQQ
r
BA
BA
2
00
21
21
2
1
?
??
?
??
???
，
3.
VUVU
CQCQ
BA
BA
33
89
100.6,100.6
1033.1,107.6
????
???? ??
解题思路,两导体连接后成为等势体。
2010
8
21
44
100.2
r
Q
U
r
Q
U
CQQ
B
B
A
A ???? ???
??? ?
４, 2:1,1:2
５,
C
Q
4
2?
三、计算题
1,解,
1R
2R
?
金属球壳内部为均匀带电球体，
带总电量为：
?? 3134 RQ ?
由高斯定理可以证明，导体球壳
的内表面带电 -Q，外表面不带电，
导体球接地，电势为 0。
(1)求电场分布：
?
?
?
?
??
?
?
?
??
???
??
rR
r
E
RrRE
RrE
1
0
12
2
3
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
? 3
0
2
1
3
414 rrE
Rr,由高斯定理：注：
? ? ? ?
??
?
?
?
??????
??
?? 22
00
1
1
63
:
0:
2 1
rRdr
r
ldEURr
URr
R
rr ?
?
?
???
0
22
2
0 182
1
2
1
?
?? rEDEw
e ???
0
5
1
2
0
2
0
22
45
2
4
18
1
?
??
?
?
?
R
drr
r
dVwW
R
ee
?
?
?
?
?
一、选择题
1,D
? ? ? ? 0RR
Rq
4
1
R2
q
4
1
2322
0
0
2
0
?
?
? ????
2qq
0
?
2,B
二、填空题
1,
???
?
???
? ?? jQiq
2
2
a4
1E
2
0
p
???
??
2,
)C(N iR/09.0E ?? ? ( N) R/108.1F 210????
3,库仑力为,? ?
N1044.1 3?
与万有引力之比为：
361024.1 ?
注,单位长度带电量：
? ?mC100.5dR2 Q 10????? ??
iR4 d0E 2
0
0
??
??
???
三、计算题
解, 取电荷元 dq，其矢径与 x轴的交角为 ? ?
dqR
?
dE x
y
?? Rddq ?
R4
d
R4
dqdE
0
2
0 ??
??
??
??
由此可得,? ??? ??? co sdEdE x
? ??? ??? s i ndEdE y
R4
c o s
R4
d
c o sdEdEE
0
2
0
0
xx
??
?
?
??
??
?
?
???
????
?
??
R4
s i n
R4
d
s i ndEdEE
0
2
0
0
yy
??
?
?
??
??
?
?
???
????
?
??
O点处场强：
度角轴正向成方向为：与
的大小为：或
?
??
?
??
?
??
?
4
5
x
R4
2
E
j
R4
i
R4
E
0
00
?
???
???
电场（二）电场强度 高斯定理
一、选择题
1,C
2,C 解题思路,以 A为中心，补上７个相同得立方体。 A位于体心。每个侧面的面积为 abcd的 4倍。总电通量为 q/ ?
0。由对
称性,abcd的电通量为 q/ 24?0。
二、填空题
1.,
a
1 异性电荷。
1E
?解题思路,带电直线在 P点的场强为 大小为,
a2E 01 ??
??
Q在 O点的场强为
2E
? 大小为,
a4
QE
2
0
2 ???
由图可知：
1E
?
2E
?
2160c o sEE 12 ?? ? 2
00 a4
Q2
a2 ????
? ?
a
1
Q ?
?
2.,1002.9 5??,1014.1 12??
解题思路,由高斯定理，所带的电荷应为负电荷。
,QER4 02 ?? ?
.ER4Q 02 ???
在 h=1400 m高度以下，大气层中的带电为 Q’，由于
场强减小，故为 Q’正电荷。 ? ? ? ?,'QQ'ER4'EhR4
022 ??? ????
? ?,'EER4'Q 02 ?? ?? 平均电荷密度 ? ?hR4'Q 2?? ?
? ?,h'EE0 ?? ?
三、计算题
1,解, (1)
4R
0
3R
0
2 ARdrAr4drr4Q ???? ??? ??
(2) Rr ?
作以 r为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为：
4r
0
2 Ardrr4q ??? ?? ?
由高斯定理：
,qEr4 02 ?? ?
? ?02 4ArE ??
Rr ?
作以 r为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为：
4r
0
2 ARdrr4q ??? ?? ?
由高斯定理：
,qEr4 02 ?? ?
? ?022 r4ARE ??
2,解, 2/Rr ? 作以 r为半径，高为 l的同轴封闭圆柱面为高
斯面，高斯面上的电通量为
r l E2e ?? ?
所包含的电量为：
.0q ?
由高斯定理：
r l E20 ??
.0E ?
Rr2R ??
作以 r为半径，高为 l的同轴封闭圆柱面为高斯面，高斯面上
的电通量为：
r l E2e ?? ?
所包含的电量为：
? ?? ? ? ?,4Rrll2Rrq 2222 ???? ?????
由高斯定理：
?r lE2? ? ?? ? 022 4Rrl ??? ?
? ?4/Rrr2E 22
0
?? ??
Rr ?
作以 r为半径，高为 l的同轴封闭圆柱面为高斯面，高斯
面上的电通量为
r l E2e ?? ?所包含的电量为：
? ?? ?,lR43l2RRq 222 ???? ???
由高斯定理：
??? lR431r l E2 2
0
?
.r8 R3E
0
2
?
??
电场（三）电势 电势差
一、选择题
1,B
2,C
解题思路,O点的电势为：
?
?
??
?
? ????
3
ar
r4
q3
r4
q2
r4
qU
000
0 ??????
电场力作功：
? ? aqrqUUQA
00
0 4
36
4
6
???? ?????? ?
，外力作功：
。aqA'A
04
36
?????
二、填空题
1,（ 1） 。，
l
l
0
0
0
0
66 ???? ?
（ 2） 。
l
q
06 ??
解题思路,O点的电势为,
044
00
???? lqlqU O ???? ? ?,U 0??
D点的电势为,
，lqlqlqU D
000 6344 ??????
????? 0q
从 D点到 O点
电场力作功,? ?
l
qqUUQA
DO
0
06 ?????
，电势能增量
l
qqAW
0
06 ??? ????
单位电荷从 D点到 ?,电场力作功,? ?
。lqUUA D
06
1 ???????? ?
2,伏，45,伏。15?
A B Cq
解题思路,作积分路径 A ?B:
4520 110 144
0
20
10 20 ???
??
?
? ????? ??
..
qdr
r
qldEU,
.
B
AA ????
??
作积分路径 C ?B:
? ?drErdEldErdld ???????? ??????,
1520 130 144
0
20
30 20 ????
??
?
? ????? ??
..
qdr
r
qldEU,
.
B
CC ????
??
三、计算题
1,解, (1) 以 O为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面，
设底面积为 S，长度为 2xP，如图所示。
O
Q
P
高斯面内所包含的电量为：
?Sxq p2?
高斯面内所包含的电通量为：
ESe 2??
由高斯定理：
00 22 ??? SxqES p??
? ?00 4 ???? axE pp ??
对于 Q点：
以 Q为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面，
设底面积为 S，长度为 2xＱ
高斯面内所包含的电量为：
?aSq ?
高斯面内所包含的电通量为：
ESe 2??
由高斯定理：
002 ??? aSqES ??
? ?02 ??aE Q ?
(2) 作 P ? Q的积分路径，场强分布为分段函数，
P ?平板边界
0??xE x ?
边界 ? Q
? ?02 ??aE ?
故
0
2
4
5
2 0
2
4 0
32
15
22 ?
?
?
?
?
? a
dx
a
dx
x
ldEU
a
a
a
a
Q
P
PQ
???
??
??
?
??
2,解, 以左端为坐标原点 O，棒长方向为 x方向，如图所示。
O
P
a
在棒上 x处取 dx段带电 dq，
x dq
dxlqdq ?
dq在 p点的电势
? ? ? ? dxxal
q
xal
dqdU
?????? 00 44 ????
? ?
a
al
ln
l
q
dx
xall
q
dUU
l
p
?
?
??
?? ??
0
0
0
4
4
??
??
电场（四）电势 电势梯度
一、选择题
1,D 2,A
二、填空题
（ 1）
。，，
，，，
mVEmVEmVE
mVEmVEmVE
404
202
654
321
????
????
（ 2） V,61051 ? 解题思路,球壳表面：
REURεπ QURεπ QE ?????
0
2
0 44
，
3,B
（ 3）
4
1,
16
1
（ 4）
? ? ? ? ? ? 。23222522222 32 yx cxyx bxyx axE x ??????
? ? ? ? ? ? 。23222522222
32
yx
cy
yx
by
yx
ayE
y ??????
三、计算题
1,解, (1) 建立 xy坐标，在 x位置处取 dx长度。带电量为 dq。
X
Y
x dx
dq
P r
O
kxdxdxdq ?? ?
? ?0??UPdq 点的电势：在
? ? 212200 44 yx
kxdx
r
dqdU
P
?
??
????
由此可得：
? ?
? ?? ?yylk
yx
k x d x
dUU
l
PP
???
?
?? ??
2122
0
0
2122
0
4
4
??
??
（ 2）
? ? ???
?
?
?
?
?
?
??
?
???
2122
0
1
4 yl
yk
y
UE
y ??
（ 3） 在 (1)中解出的电势仅是随 y的函数分布 (x为定值 0)，无法求出场强的 x分量。
２,?E errrεπ e ?,4
0
er
r
e rεπ
edrrπDEdrrπDED Ed VW
e
e
0
2
22
0 20
34
2
14
2
1
2
1 ???? ??? ?
e
e
rr
rεπ
er ?,
4 30
电场（五）综合练习一
一、选择题
1,D
2,D
3,D
二、填空题
1.
0 0 0 0
24
33AB EE? ? ? ?? ? ?,。
解题思路,A的左侧：
。0
00 3
1
22 EE
BA ?????
?
?
?
?
A,B之间：
。0
00 22
EE BA ???? ????
联立求解，可得：
。,0000 3432 EE AB ???? ???
2.
00
0 220 ?
?
?
? qAU ???,，
解题思路,由对称性可得 。0
0 ?E
，
000
0 24
2
4 ?
?
??
??
?? ??? R
R
R
qU ? ?
。
0
0 2 ?
? qUUqA ????
?
3,。V.
710671 ?
4,解, 取以 r为半径，宽为 dr的细圆环，带电量为,drrdq ??2?
细圆环在 o点的电势为 dU。 R
r
0
00
2
4
2
4
?
?
??
??
??
dr
r
drr
r
dq
dU
?
??
00 00 22 ?
?
?
? RdrdUU RR ??? ??
三、计算题
1,?E ar ?,0
brarεεπ λ
r
??,2
0
ar ?,0
取半径为 r、厚度为 dr长为 l 的薄壁同轴圆筒为体积元,则
dV=2?rldr
a
b
εεπ
Qr l d rπ
lrεεπ
QD Ed VW
r
b
a re ln4282
1
0
2
22
0
2
2
??? ??
2,解, （ 1） Rr ?
取半径为 r，高为 h的同轴圆柱面为高斯面，如图所示，通过
高斯面的电通量为：
r h Ee ?? 2?
h
r
所包含的电量为：
3
0
2
0
3
2
2
2
A h r
dhA
dhdVq
r
r
?
???
?????
?
?
??
?
??
由高斯定理：
3
03
22 A h rr h E ?
?? ?
0
2
3?
ArE ?
Rr ?
取半径为 r，高为 h的同轴圆柱面为高斯面，如图所示，通过
高斯面的电通量为：
r h Ee ?? 2?
所包含的电量为：
3
0
2
0
3
2
2
2
Ah R
dhA
dhdVq
R
R
?
???
?????
?
?
??
?
??
由高斯定理：
3
03
22 A h Rr h E ?
?? ?
r
ARE
0
3
3 ??
（ 2） Rr ?
取引矢径 lr ? 的积分路径：
? ?
R
lAR
rR
A
dr
r
AR
dr
Ar
rdErdEU
l
R
R
r
l
R
Rr
R
r
RrRr
ln
39
33
0
3
33
0
0
3
0
2
??
??
???
??
??
??
?? ???
????
Rr ?
取引矢径 lr ? 的积分路径：
r
lAR
dr
r
AR
rdEU
l
R
l
R
RrRr
ln
3
3
0
3
0
3
?
?
?
?? ??
??
??
电场（六）导体
一、选择题
1,D
2,A
二、填空题
1,。,VUVU Pb 23 100.210 ?????
解题思路,A,B两平板之间为匀强电场
S
qE
00 ??
? ??
电势差：
EdUUU baab ??? V
S
qdEdU
b
3
0
10??????? ?
V
S
qd
EdU
EdUUU
p
paap
2 0 0
0
1
1
1
???????
???
?
2.
.',0',0',0,0,4
0
qrRqEUqErqU AppApp ??????? ??
解题思路,A球不接地、由于静电感应,A球表面分布感应电荷。但总电
量为 0。球内电场为 0。球是等势体。 P点的电势和 O点的电势相等,O点
的电势可以看作 q在 O点电势和 A上感应电荷在 O的电势之和。 A球表面分
布感应电荷的总电量为 0，所以：
。02 ?OU
r
qUU
Op
0
1 4 ?????
A球接地，球是等势体。 P点的电势和 O点的电势相等为 0，球内电场为 0。
由于静电感应，设 A球表面分布感应电荷为 q’，所以：
R
qU
O
0
2 4
'
???
012 ??? OOO UUU
r
Rq
q
R
q
r
q
???
???
'
0
4
'
4 00 ????
3,。球壳外表面以外的空间，q2?
三、计算题
1,解, (1),由电荷感应定律和电荷守恒定律：外球壳的内表
面带电 -q，外表面带电 +q。
r
qU
r
042 ??
?
(2),外球壳接地后,。0
2 ?rU
电荷重新分布。外表面附近场强为 0，所以外球壳外表面
不带电。由于导体空腔的绝缘作用，外表面的电荷分布
不改变内部的电场，故外球壳的内表面仍带电 -q。
(3),外球壳带电为 -q的基础上，内球壳接地后,。0
1 ?rU
设此时内球壳带电为 q’，由电势叠加可知：
q
r
r
q
r
q
r
q
U O
2
1
2010
'
0
44
'
??
?
?
??
????
外球壳电势由叠加可得：
?
?
?
?
?
? ??????
2
1
202020
2
1
1
4442 r
r
r
q
r
q
r
r
rq
U r
??????
电场（七）电介质和电容
一、选择题
1,C
解题思路,电容串联时,2211 UCUC ?,充电后，电容量小的电压高，当
fC ?201 ?,上的电压为 300 V时，则：
VC UCU 200
2
112 ??
组合电容的耐压值为 500 V。
2,C
d
d2d1
a
解题思路：
2
02
1
01 d SCd SC ?? ??,
ad
S
dd
S
CC
CCC
?????? 021 021 21'
??
3,C
未插入导体板前：
'0 CCd SC ??? ?
二、填空题
1,。，
rErD r???
?
?
?
022
??
2,? ? ? ?
? ? ? ?
。
，
ttd
U
E
ttd
US
Q
ttd
U
D
ttd
U
E
r
r
O
r
r
r
r
r
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
,0
0
解题思路,设电介质内部的场强为 E，真空内场强为 E0。
r
EE
?
0?
电压：
? ?
? ?tdE
EttdEU
r ??
???
?
0
所以：
? ? ttd UE r ??? ?
? ? ttd
UED
r
r
r ???? ?
???? 0
0
? ? 。ttd UEE r rrO ???? ? ??
? ? ttd
USQ
r
r
??? ?
?? 0
3,。，，
BABABA DDEE ?? ???
解题思路,等效于两个 电容器并联：
dEU A?1 dEU B?2 bA EEUU ??? 21?
BA
BBArA
DD
EDED
??
?? 00 ???,
BA
BBAA DD
??
??
??
??,
4.
的电量不变。的电量增大，
的电量减少。的电量增大，
21
21
CC
CC
1C
解题思路,并联断开电源：插入介质前后组合电容总电量不变，当
1C
增大，则 上的电量增大
2
2
1
1
C
Q
C
Q ?? 2C 上的电量减少
并联不断开电源：插入介质前后组合电容电压不变，
1C
增大，则
1C
上的电量增大。
2C
上的电量不变。
5.
提高耐压程度。
增大电容量，
三、计算题
1,解, 设给导体球系统带电 Q，其中两球分别带电为 Q1,Q2。
导线相连后成为一个整体，两球电势相等,
20
2
10
1
442 r
Q
r
QU
r ???? ??
? ?21
21
1
1 QQQQrr
rQ ??
???
? ?210
10
1
4
4
rr
r
Q
Q
U
QC ???? ??
??
2,解法一, 本题可看作两个球形电容器串联：
34
430
2
12
210
1
44
RR
RRC
RR
RRC
????
????,
? ? ? ?12433421 4321021 21 4 RRRRRRRR RRRRCC CCC ?????? ??
解法二, 给电容期带电 Q在半径
4321 RRRR ??,
,空间内
场强分布为
2
04 r
QE
???
电势差：
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??? ??
430210
2
0
2
0
41
11
4
11
4
44
4
3
2
1
RR
Q
RR
Q
dr
r
Q
dr
r
Q
UU
R
R
R
R
????
????
? ? ? ?12433421 4321021 21 4 RRRRRRRR RRRRCC CCC ??????? ??
电场 (八）综合练习二
一、选择题
1,C
解题思路,设平板电容器电荷面密度为,?；两板间的电吸引力为,。
S
qF
0
2
2
1
??
0
2
2
0
2
2
1
2
1
?
?
? ??? S
q
S
FP
电容器的场强为：
0?
??E
电压,dEV ??
? 22 20
2
0
0 22
1 V
d
V
d
VP ???
?
??
?
?? ??
?
2,B
解题思路,设挖去的电量可作为点电荷,O点的场强和电势均可作为 x轴
上 R处的点电荷 q与均匀带电球面 -Q在 O点场强与电势的叠加。
24 R
SQq
?
???
3,B
解题思路,P点放入不是足够小的点电荷 +q后，改变了原先导体上的电
荷分布，使导体上的正电荷远离 p点，场强减小。
4、Ｃ
二、填空题
1.
方向向左。区：
方向向右。区：
方向向右。区：
,
2
3
,
2
3
2
,
2
1
0
0
0
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解题思路,带电平板的场强公式：
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1 2?
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2 2
2
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2
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ⅢⅡⅠ
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WQQ
S
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WQQ
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rr
2
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12
,
1
12
,
1
1
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解题思路,并联电容上电压相同，电量分配与电容量成正比：
C
Q
W
d
S
C
d
S
C
C
Q
C
Q
QQQ
r
BA
BA
2
00
21
21
2
1
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，
3.
VUVU
CQCQ
BA
BA
33
89
100.6,100.6
1033.1,107.6
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???? ??
解题思路,两导体连接后成为等势体。
2010
8
21
44
100.2
r
Q
U
r
Q
U
CQQ
B
B
A
A ???? ???
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４, 2:1,1:2
５,
C
Q
4
2?
三、计算题
1,解,
1R
2R
?
金属球壳内部为均匀带电球体，
带总电量为：
?? 3134 RQ ?
由高斯定理可以证明，导体球壳
的内表面带电 -Q，外表面不带电，
导体球接地，电势为 0。
(1)求电场分布：
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rR
r
E
RrRE
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1
0
12
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3
0
0
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0
2
1
3
414 rrE
Rr,由高斯定理：注：
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00
1
1
63
:
0:
2 1
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22
2
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1
2
1
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1
2
0
2
0
22
45
2
4
18
1
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R
drr
r
dVwW
R
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