电学
(三 )
徐援改编
目录
电磁学概述
第一章 静止电荷电场
第四章 静电场中的导体
第三章 电势
第五章 静电场中的电介质
第六章 恒定电流
第二章 运动电荷电场 *
第四章 静电场中的导体
§ 4.1 导体的静电平恒条件
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析和计算
§ 4.4 静电屏蔽
§ 4.2 静电平恒的导体上的电荷分布
*§ 4.5 唯一性定理
静电感应 —— 在静电场力作用下，导体
中电荷重新分布的现象。
4-1 导体的静电平衡条件
静电感应原因,导体中存在大量自由电
子,在静电场力作用下大量自由电子将
产生定向运动,
导体的静电感应过程
无外电场时 返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E外 E感+ ==内 0
导体达到静平衡
E外E
感
返回结束
F? 外 F? 感
用场强来描写：
1,导体内部场强处处为零；
2,表面场强垂直于导体表面。
静电平衡 —— 导体中电荷的宏观定向运动
终止，电荷分布不随时间改变。
用电势来描写：
1,导体为一等势体；
2,导体表面是一个等势面。
静电平衡条件：
ba jj =
? ?
? ?
0ldE
b
a
ba =?=j?j ?
??
证：在导体上任取两点 a和 b
静电平衡条件的另一种表述
c=j
[例 ] 导体的电势,导体静电平衡时，导体各点电
势相等，即导体是等势体，表面是等势面。即
?ld
a
b
导体等势是导体体内电场
强度处处为零的必然结果
0E =?
由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质
，可以得出导体上的电荷分布。
1,静电平衡的导体,内部处处无净
电荷，电荷分布在导体表面 。
0SdE
S
=??
??
0dVq
Vi
i =?= ??
? = 0
证明：在导体内任取体积元
由高斯定理
?体积元任取 证毕
0=内E
V?
４－２ 静电平衡时导体上的电荷分布
V?
0E =?
+0 E= 表 S + 0
σ
ε= oE表
E.dSE.dS = 侧E.dS内 E.dS表+ +s?? ?? ?? ??
ε 0σ S= σ
S
E
2.静电平衡的导体,其 表面电荷面密度与当
地 表面近邻处的 电场强度的大小成正比,
3.孤立带电导体处于静电平衡时,其 表面电荷
面密度与它 表面各处的 电场强度的 曲率有关,
曲率较大,电荷面密度较大,曲率较小,电荷面
密度较小,
尖端放电 孤立带电导体球 s=c孤立导体
在表面凸出的尖锐部分 (曲率较大 ),电荷面密度较大，
在比较平坦部分 (曲率较小 )电荷面密度较小在表面凹进部分带
电面密度最小
一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷分布
由实验定性地分析。
[例 1]两金属球体，半径分别为 R,r 。它们
相距很远，用一导线将它们相联。当它们带
电时，求两球电荷面密度和曲率半径的关系。
R
Q q r
设两球带电分别为 Q 及 q
因为两球相距很远，所以其中一球上的电荷
对另一球表面的电势的影响可以认为是零。
r
Qqε
π4 0 = Rεπ4 0
σ 2π4= RQR σ 2π4= rqr
静电平衡时两球的电势相等,所以,
r
Qq =
R
= Rr
此式表明,导体的曲率半径越小,电荷面密
度越大。
应用：避雷针
σ r
σR∴ rQ
q= R 2
2
荧光质
导电膜
+ 高压
场离子显微镜 (FIM)
金属尖端的强电场的应用一例
接真空泵或
充氦气设备
金属
尖端
原理：
样品制成针尖形状，
针尖与荧光膜之间加高压，
样品附近极强的电场使吸附在表面的
原子电离，氦离子沿电力线运动，
撞击荧光膜引起发光，
从而获得样品表面的图象。
He 接地
金属球放入前电场
为一均匀场
E
§ 3 有导体存在时静电场的分析与计算
金属球放入后电力线发
生弯曲电场为一非均匀场
+
+++
++
+ E
? =
i
i constQ,
静电平衡的导体
等价
分析与计算的原则,
1.静电平衡的条件
2.基本性质方程
3.电荷守恒定律
?
?
?
=?
s 0
i
iq
sdE
??
? =?
l
0ldE
??
=0内E or j= c
电荷（感应电荷）
[例 1] 空腔导体的电荷分布
（ 1）腔内无带电体：
电荷分布在导体表面，
导体内部及腔体的内
表面处处无净电荷。 +
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
导体腔的内表面处
处无净电荷的证明 +++A
B E
.dl?= EABjA j B ?0
设内表面存在净
电荷，画出电场线，
如图。
将单位正电荷从导体上
的 A点沿着电场线移到 B点，电场力的功为：
?j A j B即：
这说明导体还没有达到静电平衡，和静电
平衡的前提相矛盾。所以这种电荷分布是不
可能出现的。
（ 2）腔内有带电体：
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带
的电量等量异号（ 在 腔体 内紧贴内表面作高斯面
可证明） 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律
决定。
+ q1
q1
q1+q2q
2
放入 后q1未引入 时q1
例 2 金属球 A与金属球壳 B同心放置
求,1)电量分布
Aj Bj
2)球 A和壳 B的电
势,
Q带电为
已知：球 A半径为
0R
带电为
金属壳 B内外半径分别为
21 RR,
q
A
B
2R 1R
0R
o
q
Q
解：
1)导体带电在表面
?球 A的电量只可能在球的表面
?壳 B有两个表面
电量可能分布在内、外两个表面
?由于 A B同心放置
仍维持球对称
?电量在表面均匀分布
A
B
2R 1R
0R
o
q
Q
qQ B ?=内
证明壳 B上电量的分布：
在 B内紧贴内表面作高斯面 S
qQQ B ?=外
? 0=.S sdE ??
0=?
i
iq
面 S的电通量
高斯定理
电荷守
恒定律
A
B
2R 1R
0R
o
q
Qq ?
q?
201000
A R4
qQ
R4
q
R4
q
??????
j
?
?
?
?=
20
B
R4
qQ
??
j
?
=
等效,在真空中三个均匀带电的球面
A
B
2R 1R
0R
o
q
Qq ?
q?
利用叠加原理
叠加原理 结论,均匀带电球面球外
任意一点的电势,等于将电荷集中于
球心的点电荷的电势,均匀带电球面
球内任意一点的电势等于球表面的
电势（ 球外点半径为到球心的距离,
球内点半径为球半径 ）,
[例 3] 一内外半径分别为 R1及 R2的导体球
壳，该球内同心地放置一半径为 R 的导体球，
让球壳和小球分别带上电量 Q 及 q 。
试求：
(1)小球及球壳内、
外表面的电势；
(2)两球的电势差；
(3)若球壳接地，
再求两球的电势差。
Q
qRR
1
R 2
已知,R1,R2,Q,q,R
求, (1)UR,UR1,UR2 ;
(2) UR - UR1 ; (3)接地后的 UR - UR1
解, (1)球壳内表面带电为 -q
外表面带电为 Q + q
<r R1<R
<r R2<R1
>r R2
由高斯定理可得到各区
域的场强,
E1= πq r 2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
Q
qRR
1
R 2
+q-q
.E dr +=?R1RUR,E dr?R2
R1
+,E dr?
R2
∞
1 2 3
π
q
r 2ε4 0 dr +=?
R1
R dr?
R2
R1
+ dr?
R2
∞E
2
+
π
q
r 2ε4 0
Q
R
q
επ4 0 + += 1 1R1( ) +π
q
ε4 0
Q
R20
E1= πq r 2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
Q
qRR
1
R 2 q
+q
=UR1,E dr?
R2
R1
+,E dr?
R2
∞
2 3
= dr?
R2
R1
+ dr?
R2
∞E
2
+
π
q
r 2ε4 0
Q
+= +πqε4
0
Q
R20 = UR2
Q
qRR
1
R 2 q
+qE1= πq r
2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
= πq r 2ε4
0
dr?R1r
R
q
επ4 0= 1 1R1( )
=UR1UR,E dr?R1R 1
Q
qRR
1
R 2 q
+qE1= πq r
2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
(2) 求 UR - UR1
= πq r 2ε4
0
dr?R1R Rqεπ4
0
= 1 1R
1
( )
= U1UR
E2 = 0
E1= πq r 2ε4
0
qRR
1
R 2 q
E3 = 0
(3)接地后
=,E dr?R1R 1=UR,E dr?R 1地
例 4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示,
求,导体上感应电荷的电量
R O
l
q
+
+
+
+
+
例 4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示,
求,导体上感应电荷的电量
解, 接地 即
设,感应电量为 Q由导体
是个等势体 o点的电势为
0,则,
044
00
=? lqRQ ????
qlRQ ?=
0=j
R O
l
q
0
r4
q
R4
dq
0S 0
=
??
?
???
例 4 无限大的带电平面的场中
平行放置一无限大金属平板
求：金属板两面电荷面密度
21 ss,
21 ss ?=
0
222 0
2
0
1
0
=??
?
s
?
s
?
s
ss 211 ?=
解,设金属板面电荷密度
由对称性和电量守恒
?
导体体内任一点 P场强为零
?
0
1
2?
s
0
2
2?
s
02?
sP
s
x
2qq1
2σ1σ 4σ3σ
[例 4]已知两金属板带电分别为 q1,q2
求,σ1,σ2,σ3,σ4 。
解：作如图圆柱形高斯面，因两底面在导体内
，根椐高斯定理
0SS 23 =s?s
? ==?
s
0ES2sdE ?
?
23 s?=s
2qq1
2σ1σ 4σ3σ
++ =1σε
o2
2σε
o2
3σε
o2
4σε
o2 0
b点：
.
E1E E E 23 4
b
为负，其余电荷为正，设因为 323 ss?=s
=S2σS1σ + q1
1σ
2= q+
4σ =
q1
S2解得：
++ =1σε2 2σε2 3σε2 4σε2 0
o o o o
S3σ S4σ+ = 2q
2σ 3σ=
2q=q1
S2
23 s?=s
[例 5] 半径为 r1, r2 (r1 < r2 )的两个同心导
体球壳互相绝缘，现把 +q 的电荷量给予内
球，求：
（ 1）外球的电荷量及电势；
（ 2）把外球接地后再重新绝缘，外球的
电荷量及电势；
（ 3）然后把内球接地，内球的电荷量及
外球的电势的改变 (设内球离地球很远 )。
解,(1)由于静电感应，外球内表面电量为
-q，外表面电量为 +q外球的电势为：
(2)外球内表面电量仍为 -q,
外表面电量为零 外球的电势为：
q
r2U2 ?04?=
0′U2 =
q
r 1
q
+q
r2
q
r 1
qr
2
q1
r2U外 ?04?=
q
=ΔU U外 U2
r1
r2?04?=
q
2
r2
r2?04?
q
2
2 ( )
= r2r
2?04?
q
2
2r1
外球的电势改变为：
(3)设内球电量为 q1,内球电势为零
=0+
q1
r1U1 ?04?=
q
r2?04? = q
r1q
1 r2
r 1
qr
2
q1
q
r2U2 ?04?=
一,腔内无带电体
? 内表面处处没有电荷
? 腔内无电场,即 腔内电势处处相
等
0=腔内E
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
§ 4.4 静电屏蔽 (Electrostaticshielding)
静电平衡导体内部场强为零的规律在技术上用于 静电屏蔽
二,腔内有带电体
?电量分布
?腔内的电场
qQ ?=
表面
腔内 用高斯定理可证
1)与电量 q有关；
2)与腔内带电体、几何
因素、介质有关。 + q1
q1
q1+q2
三,静电屏蔽的装置 ---接地导体壳
静电屏蔽：腔内、腔外的场互不影响
腔内场只与内部带电量及内部几何条件及介质有关
只腔外场由外部带电量和外部几何条件及介质决定
不接地的导体腔 接地的导体腔
静电屏蔽
金属罩
仪器
++++ +
+
带电体
4.5 唯一性定理
1.唯一性定理
在给定的以导体为边界的区域中
若电荷分布确定
则边界上按下列条件之一给定
域内的静电场必唯一
这些条件是
条件是
1) 给定每个导体的电势
2) 给定每个导体上的总电量
3) 一部分导体上给定电势
另一部分导体上给定带电量
(混合条件 )
2.应用
1)静电屏蔽
由唯一性定理知
两者壳外区域场分布相同
? 两球壳电势相同
外半径均为 R的两个导体球壳
腔内均有一个电量相同的点电荷
q R R
q
如图
2)电像法
如果在电荷附近放置一定形状的导体，
由于导体上感应电荷情况的复杂性，
直接解场不够方便。
但如果导体形状比较 简单,
而且原电荷是 线 电荷或者 点 电荷，
可采用镜象法 (电像法 )，
算出它们的合场。
具体作法：
用与原电荷 相似 的若干 点 电荷或 线 电荷
代替实际导体上的 感应电荷,
来计算原电荷与感应电荷合成的场。
这些相似的电荷称为 镜象电荷 。
求,1)点电荷一侧的场的分布
2)导体表面的感应电荷面密度
域内解唯一
?导体板上感应电荷的总量
例 1 无限大接地导体平板附近有一点电荷 q
镜像
电荷q?
qQ ?=?
a
镜象电荷与原电荷产生的
合场满足同样的边界条件
q
a
解：
原电荷q
a
0=U
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
=
222222
0 )az(yx
1
)az(yx
1
4
q
??
j
qq ?? ?= jjj
1)求场量
1rP
2r y
z
q
q?
a
ao
z >0
2010 44 r
q
r
q
????
?
?=
z
E z
?
??= j ?
?
?
?
?
? ?
??= 3
2
3
104 r
az
r
azq
??
2)平板上电荷面密度
zE0?s = ? ? 2
3
2222 ayx
qa
??
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?= 3
2
3
10
11
4 rr
qy
??
y
E y
?
?
?=
j
x
E x
?
??= j
?
?
?
?
?
?
?= 3
2
3
10 r
1
r
1
4
qx
??
0=z
电像法小结
1)理论根据
唯一性定理
2)基本思想
在 域外 放置适当的电像等效导体边界上
未知的 感应电荷 对域内电场的影响
3)适用的对象
边界简单 (球、柱、面 )域内 电荷简单 (线、点 )
4)原则 不能影响原边值
１ 6、在空气平行板电容中，平行插入一块各向同性的
电介质板，如图所示，当电容器充电后，若忽略边缘效
应，电介质中的场强Ｅ与空气中的场强相比较，
＋
Ｅ ０
Ｅ
有Ｅ＜Ｅ０
(三 )
徐援改编
目录
电磁学概述
第一章 静止电荷电场
第四章 静电场中的导体
第三章 电势
第五章 静电场中的电介质
第六章 恒定电流
第二章 运动电荷电场 *
第四章 静电场中的导体
§ 4.1 导体的静电平恒条件
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析和计算
§ 4.4 静电屏蔽
§ 4.2 静电平恒的导体上的电荷分布
*§ 4.5 唯一性定理
静电感应 —— 在静电场力作用下，导体
中电荷重新分布的现象。
4-1 导体的静电平衡条件
静电感应原因,导体中存在大量自由电
子,在静电场力作用下大量自由电子将
产生定向运动,
导体的静电感应过程
无外电场时 返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
返回结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
结束
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E外 E感+ ==内 0
导体达到静平衡
E外E
感
返回结束
F? 外 F? 感
用场强来描写：
1,导体内部场强处处为零；
2,表面场强垂直于导体表面。
静电平衡 —— 导体中电荷的宏观定向运动
终止，电荷分布不随时间改变。
用电势来描写：
1,导体为一等势体；
2,导体表面是一个等势面。
静电平衡条件：
ba jj =
? ?
? ?
0ldE
b
a
ba =?=j?j ?
??
证：在导体上任取两点 a和 b
静电平衡条件的另一种表述
c=j
[例 ] 导体的电势,导体静电平衡时，导体各点电
势相等，即导体是等势体，表面是等势面。即
?ld
a
b
导体等势是导体体内电场
强度处处为零的必然结果
0E =?
由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质
，可以得出导体上的电荷分布。
1,静电平衡的导体,内部处处无净
电荷，电荷分布在导体表面 。
0SdE
S
=??
??
0dVq
Vi
i =?= ??
? = 0
证明：在导体内任取体积元
由高斯定理
?体积元任取 证毕
0=内E
V?
４－２ 静电平衡时导体上的电荷分布
V?
0E =?
+0 E= 表 S + 0
σ
ε= oE表
E.dSE.dS = 侧E.dS内 E.dS表+ +s?? ?? ?? ??
ε 0σ S= σ
S
E
2.静电平衡的导体,其 表面电荷面密度与当
地 表面近邻处的 电场强度的大小成正比,
3.孤立带电导体处于静电平衡时,其 表面电荷
面密度与它 表面各处的 电场强度的 曲率有关,
曲率较大,电荷面密度较大,曲率较小,电荷面
密度较小,
尖端放电 孤立带电导体球 s=c孤立导体
在表面凸出的尖锐部分 (曲率较大 ),电荷面密度较大，
在比较平坦部分 (曲率较小 )电荷面密度较小在表面凹进部分带
电面密度最小
一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷分布
由实验定性地分析。
[例 1]两金属球体，半径分别为 R,r 。它们
相距很远，用一导线将它们相联。当它们带
电时，求两球电荷面密度和曲率半径的关系。
R
Q q r
设两球带电分别为 Q 及 q
因为两球相距很远，所以其中一球上的电荷
对另一球表面的电势的影响可以认为是零。
r
Qqε
π4 0 = Rεπ4 0
σ 2π4= RQR σ 2π4= rqr
静电平衡时两球的电势相等,所以,
r
Qq =
R
= Rr
此式表明,导体的曲率半径越小,电荷面密
度越大。
应用：避雷针
σ r
σR∴ rQ
q= R 2
2
荧光质
导电膜
+ 高压
场离子显微镜 (FIM)
金属尖端的强电场的应用一例
接真空泵或
充氦气设备
金属
尖端
原理：
样品制成针尖形状，
针尖与荧光膜之间加高压，
样品附近极强的电场使吸附在表面的
原子电离，氦离子沿电力线运动，
撞击荧光膜引起发光，
从而获得样品表面的图象。
He 接地
金属球放入前电场
为一均匀场
E
§ 3 有导体存在时静电场的分析与计算
金属球放入后电力线发
生弯曲电场为一非均匀场
+
+++
++
+ E
? =
i
i constQ,
静电平衡的导体
等价
分析与计算的原则,
1.静电平衡的条件
2.基本性质方程
3.电荷守恒定律
?
?
?
=?
s 0
i
iq
sdE
??
? =?
l
0ldE
??
=0内E or j= c
电荷（感应电荷）
[例 1] 空腔导体的电荷分布
（ 1）腔内无带电体：
电荷分布在导体表面，
导体内部及腔体的内
表面处处无净电荷。 +
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
导体腔的内表面处
处无净电荷的证明 +++A
B E
.dl?= EABjA j B ?0
设内表面存在净
电荷，画出电场线，
如图。
将单位正电荷从导体上
的 A点沿着电场线移到 B点，电场力的功为：
?j A j B即：
这说明导体还没有达到静电平衡，和静电
平衡的前提相矛盾。所以这种电荷分布是不
可能出现的。
（ 2）腔内有带电体：
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带
的电量等量异号（ 在 腔体 内紧贴内表面作高斯面
可证明） 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律
决定。
+ q1
q1
q1+q2q
2
放入 后q1未引入 时q1
例 2 金属球 A与金属球壳 B同心放置
求,1)电量分布
Aj Bj
2)球 A和壳 B的电
势,
Q带电为
已知：球 A半径为
0R
带电为
金属壳 B内外半径分别为
21 RR,
q
A
B
2R 1R
0R
o
q
Q
解：
1)导体带电在表面
?球 A的电量只可能在球的表面
?壳 B有两个表面
电量可能分布在内、外两个表面
?由于 A B同心放置
仍维持球对称
?电量在表面均匀分布
A
B
2R 1R
0R
o
q
Q
qQ B ?=内
证明壳 B上电量的分布：
在 B内紧贴内表面作高斯面 S
qQQ B ?=外
? 0=.S sdE ??
0=?
i
iq
面 S的电通量
高斯定理
电荷守
恒定律
A
B
2R 1R
0R
o
q
Qq ?
q?
201000
A R4
R4
q
R4
q
??????
j
?
?
?
?=
20
B
R4
??
j
?
=
等效,在真空中三个均匀带电的球面
A
B
2R 1R
0R
o
q
Qq ?
q?
利用叠加原理
叠加原理 结论,均匀带电球面球外
任意一点的电势,等于将电荷集中于
球心的点电荷的电势,均匀带电球面
球内任意一点的电势等于球表面的
电势（ 球外点半径为到球心的距离,
球内点半径为球半径 ）,
[例 3] 一内外半径分别为 R1及 R2的导体球
壳，该球内同心地放置一半径为 R 的导体球，
让球壳和小球分别带上电量 Q 及 q 。
试求：
(1)小球及球壳内、
外表面的电势；
(2)两球的电势差；
(3)若球壳接地，
再求两球的电势差。
Q
qRR
1
R 2
已知,R1,R2,Q,q,R
求, (1)UR,UR1,UR2 ;
(2) UR - UR1 ; (3)接地后的 UR - UR1
解, (1)球壳内表面带电为 -q
外表面带电为 Q + q
<r R1<R
<r R2<R1
>r R2
由高斯定理可得到各区
域的场强,
E1= πq r 2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
Q
qRR
1
R 2
+q-q
.E dr +=?R1RUR,E dr?R2
R1
+,E dr?
R2
∞
1 2 3
π
q
r 2ε4 0 dr +=?
R1
R dr?
R2
R1
+ dr?
R2
∞E
2
+
π
q
r 2ε4 0
Q
R
q
επ4 0 + += 1 1R1( ) +π
q
ε4 0
Q
R20
E1= πq r 2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
Q
qRR
1
R 2 q
+q
=UR1,E dr?
R2
R1
+,E dr?
R2
∞
2 3
= dr?
R2
R1
+ dr?
R2
∞E
2
+
π
q
r 2ε4 0
Q
+= +πqε4
0
Q
R20 = UR2
Q
qRR
1
R 2 q
+qE1= πq r
2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
= πq r 2ε4
0
dr?R1r
R
q
επ4 0= 1 1R1( )
=UR1UR,E dr?R1R 1
Q
qRR
1
R 2 q
+qE1= πq r
2ε4
0
+E
3 = π
q
r 2ε4 0
Q
E2 = 0
(2) 求 UR - UR1
= πq r 2ε4
0
dr?R1R Rqεπ4
0
= 1 1R
1
( )
= U1UR
E2 = 0
E1= πq r 2ε4
0
qRR
1
R 2 q
E3 = 0
(3)接地后
=,E dr?R1R 1=UR,E dr?R 1地
例 4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示,
求,导体上感应电荷的电量
R O
l
q
+
+
+
+
+
例 4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示,
求,导体上感应电荷的电量
解, 接地 即
设,感应电量为 Q由导体
是个等势体 o点的电势为
0,则,
044
00
=? lqRQ ????
qlRQ ?=
0=j
R O
l
q
0
r4
q
R4
dq
0S 0
=
??
?
???
例 4 无限大的带电平面的场中
平行放置一无限大金属平板
求：金属板两面电荷面密度
21 ss,
21 ss ?=
0
222 0
2
0
1
0
=??
?
s
?
s
?
s
ss 211 ?=
解,设金属板面电荷密度
由对称性和电量守恒
?
导体体内任一点 P场强为零
?
0
1
2?
s
0
2
2?
s
02?
sP
s
x
2qq1
2σ1σ 4σ3σ
[例 4]已知两金属板带电分别为 q1,q2
求,σ1,σ2,σ3,σ4 。
解：作如图圆柱形高斯面，因两底面在导体内
，根椐高斯定理
0SS 23 =s?s
? ==?
s
0ES2sdE ?
?
23 s?=s
2qq1
2σ1σ 4σ3σ
++ =1σε
o2
2σε
o2
3σε
o2
4σε
o2 0
b点：
.
E1E E E 23 4
b
为负，其余电荷为正，设因为 323 ss?=s
=S2σS1σ + q1
1σ
2= q+
4σ =
q1
S2解得：
++ =1σε2 2σε2 3σε2 4σε2 0
o o o o
S3σ S4σ+ = 2q
2σ 3σ=
2q=q1
S2
23 s?=s
[例 5] 半径为 r1, r2 (r1 < r2 )的两个同心导
体球壳互相绝缘，现把 +q 的电荷量给予内
球，求：
（ 1）外球的电荷量及电势；
（ 2）把外球接地后再重新绝缘，外球的
电荷量及电势；
（ 3）然后把内球接地，内球的电荷量及
外球的电势的改变 (设内球离地球很远 )。
解,(1)由于静电感应，外球内表面电量为
-q，外表面电量为 +q外球的电势为：
(2)外球内表面电量仍为 -q,
外表面电量为零 外球的电势为：
q
r2U2 ?04?=
0′U2 =
q
r 1
q
+q
r2
q
r 1
qr
2
q1
r2U外 ?04?=
q
=ΔU U外 U2
r1
r2?04?=
q
2
r2
r2?04?
q
2
2 ( )
= r2r
2?04?
q
2
2r1
外球的电势改变为：
(3)设内球电量为 q1,内球电势为零
=0+
q1
r1U1 ?04?=
q
r2?04? = q
r1q
1 r2
r 1
qr
2
q1
q
r2U2 ?04?=
一,腔内无带电体
? 内表面处处没有电荷
? 腔内无电场,即 腔内电势处处相
等
0=腔内E
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
§ 4.4 静电屏蔽 (Electrostaticshielding)
静电平衡导体内部场强为零的规律在技术上用于 静电屏蔽
二,腔内有带电体
?电量分布
?腔内的电场
qQ ?=
表面
腔内 用高斯定理可证
1)与电量 q有关；
2)与腔内带电体、几何
因素、介质有关。 + q1
q1
q1+q2
三,静电屏蔽的装置 ---接地导体壳
静电屏蔽：腔内、腔外的场互不影响
腔内场只与内部带电量及内部几何条件及介质有关
只腔外场由外部带电量和外部几何条件及介质决定
不接地的导体腔 接地的导体腔
静电屏蔽
金属罩
仪器
++++ +
+
带电体
4.5 唯一性定理
1.唯一性定理
在给定的以导体为边界的区域中
若电荷分布确定
则边界上按下列条件之一给定
域内的静电场必唯一
这些条件是
条件是
1) 给定每个导体的电势
2) 给定每个导体上的总电量
3) 一部分导体上给定电势
另一部分导体上给定带电量
(混合条件 )
2.应用
1)静电屏蔽
由唯一性定理知
两者壳外区域场分布相同
? 两球壳电势相同
外半径均为 R的两个导体球壳
腔内均有一个电量相同的点电荷
q R R
q
如图
2)电像法
如果在电荷附近放置一定形状的导体，
由于导体上感应电荷情况的复杂性，
直接解场不够方便。
但如果导体形状比较 简单,
而且原电荷是 线 电荷或者 点 电荷，
可采用镜象法 (电像法 )，
算出它们的合场。
具体作法：
用与原电荷 相似 的若干 点 电荷或 线 电荷
代替实际导体上的 感应电荷,
来计算原电荷与感应电荷合成的场。
这些相似的电荷称为 镜象电荷 。
求,1)点电荷一侧的场的分布
2)导体表面的感应电荷面密度
域内解唯一
?导体板上感应电荷的总量
例 1 无限大接地导体平板附近有一点电荷 q
镜像
电荷q?
qQ ?=?
a
镜象电荷与原电荷产生的
合场满足同样的边界条件
q
a
解：
原电荷q
a
0=U
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
=
222222
0 )az(yx
1
)az(yx
1
4
q
??
j
qq ?? ?= jjj
1)求场量
1rP
2r y
z
q
q?
a
ao
z >0
2010 44 r
q
r
q
????
?
?=
z
E z
?
??= j ?
?
?
?
?
? ?
??= 3
2
3
104 r
az
r
azq
??
2)平板上电荷面密度
zE0?s = ? ? 2
3
2222 ayx
qa
??
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?= 3
2
3
10
11
4 rr
qy
??
y
E y
?
?
?=
j
x
E x
?
??= j
?
?
?
?
?
?
?= 3
2
3
10 r
1
r
1
4
qx
??
0=z
电像法小结
1)理论根据
唯一性定理
2)基本思想
在 域外 放置适当的电像等效导体边界上
未知的 感应电荷 对域内电场的影响
3)适用的对象
边界简单 (球、柱、面 )域内 电荷简单 (线、点 )
4)原则 不能影响原边值
１ 6、在空气平行板电容中，平行插入一块各向同性的
电介质板，如图所示，当电容器充电后，若忽略边缘效
应，电介质中的场强Ｅ与空气中的场强相比较，
＋
Ｅ ０
Ｅ
有Ｅ＜Ｅ０
