磁力
(四 )
徐援改编
第 10章 电磁感应
§ 1 法拉第电磁感应定律
§ 2 动生电动势
§ 3 感生电动势 感生电场
§ 4 互感
§ 5 自感
§ 6 磁场能量
G
磁铁与线圈相对运动时的电磁感应现象
一, 现象
§ 1 法拉第电磁感应定律
G
磁铁与线圈相对运动时的电磁感应现象
金属棒在磁场中作切割磁力线运动时
的电磁感应现象
G
S
N
金属棒在磁场中作切割磁力线运动时
的电磁感应现象
G
S
N
回路 2
电池
BATTERY
G
当回路 1中的电流变化时，
在回路 2中出现感应电流。
回路 1
电池
BATTERY
G 回路 1
回路 2
当回路 1中的电流变化时，
在回路 2中出现感应电流。
在 SI制中比例系数为 1
感应电动势和 B 矢量通量的变化率成正比
(而不是和 H 矢量通量的变化率有关 )
式中的,”号是楞次定律的数学表达。
二,法拉第电磁感应定律
∝ ddtie Φ
d
dt=ie
Φ
dS
n
L
右旋符号系统：
构成一个右旋符号系统。
dS 的方向,和绕行方向 L 构成右旋关系的
e 的符号,和 L绕行方向一致的 e 为,+”
面元作为 dS 的正方向。
n绕行方向 L和法线方向
返回结束
分四种情况讨论：
ε i＜ 0由定律得 ε
i 与 L方向相反。
ε ＞i 0由定律得 ε
i 与 L方向相同。
d
dt ＞ 0Φ ＞ 01.若,
Φ
d
dt ＜ 0Φ ＞ 02.若,
Φ
nΦ
L
绕 行 方 向
绕 行 方 向
n
Φ
L
ε i
d
dt=ie
Φ
由电磁感应定律确定感应电动势的方向
ε i
返回
若有 N 匝导线
ε i= ddtΦN ψd= dt
Φ=ψ N 磁通链数
感应电流,
= R1 ddtΦ
d Φ= N
dt
( )
d
dt
ΦΦ＜ 0,＞ 03,(同学自证 )
＜ddtΦΦ＜ 0,04,(同学自证 )
εI
R
i=
i
Idq = i dt
感应电量,
1= Φd
R Φ1
Φ2?
q = iI dtt
1
t2?
R
1 d
dt
Φ=
t1
t2 dt?
I = R1 ddtΦi( )
Φ1 Φ2( )1= R
q = iI dtt
1
t2?
Φ1 Φ2( )1= R
讨论：
q 只和 有关，和电流变化无关，即和Φ△
磁通量变化快慢无关。
利用这个原理可以制成磁通计。
q = iI dtt
1
t2?
Φ1 Φ2( )1= R
ω
B
两种情况 I~t 图的面积相等，即电量 q 相等。
快速转动,e I t△但
慢速转动,e I t△但
△ t1
慢
I
to
快
△ t2
i
感应电量和磁通量变化快慢无关的说明
线圈转
过 900
ef v× Bm =
E k 为非静电性电场的场强。对于动生电动
§ 2 动生电动势
由电动势定义：
动生电动势,由于导线和磁场作相对运动所
产生的电动势。
E dlki,= l?e
势，非静电力为洛仑兹力。
感生电动势,由于磁场随时间变化所产生的
电动势。
d i = v× B( ) dl.e
E k= fme v× B=
非静电性电场的场强为：
所以动生电动势为：
.i = v× B( ) dl
l?e
v× B( ) dl.l=?
E dlki,= le ?
B
v
fm
ef
++ +++
1,选择 及方向；dl
2,确定 的方向；v × B
3,确定 dl 所在处的
及 vB ；
= v B dl cos00
= vB L 0
Bv ×
[例 1] 直金属杆在均匀
磁场中作切割磁力线运动。
求：动生电动势。
v × B4,确定 dl 与 的夹角；
与i dl 方向相同,e
.d i = v× B( ) dle
5,确定 d i i及 ee
v
B
i =? vBdle
dl
1,选择 方向；dl
2,确定 的方向；v × B
3,确定 dl 所在处的
及 vB ；
= v B dl cos00
= vB L 0
Bv ×
[例 1] 直金属杆在均匀
磁场中作切割磁力线运动。
求：动生电动势。
v × B4,确定 dl 与 的夹角；
与i dl 方向相同,ei =? vBdle
v
B
dl
ie
.d i = v× B( ) dle
5,确定 d i i及 ee
v B,，,L 。[例 2] 已知,a 求,e
vL
B
a
返回结束
d = v × B( ) dl.e
v B,，,L 。[例 2] 已知,a 求,e
L v
B
a
dl
返回结束
L v
B
a
dl= vB Lsina
sinvB dl= a
sin900 cos ( )900dl= v B a
d = v × B( ) dl.e
= sinvB dlae ?
v B,，,L 。[例 2] 已知,a 求,e
Bv ×
e
返回结束
求：动生电动势。
[例 3] 有一半圆形金属导线在匀强磁场中
作切割磁力线运动。已知,v, B, R
v
BR
sin900 cosld= Bv θ
=v B 2R
求：动生电动势。
v
BR
[例 3] 有一半圆形金属导线在匀强磁场中
作切割磁力线运动。已知,v, B, R
d = v × B( ) dl.e
=v B cosθ R dθπ
2
π
2e ? θd
θ
ld θ
v × B
e
[例 4] 一金属杆在匀强磁场中转动，
已知,B, ω,L 。 求：动生电动势。
O
ω
v
B
L
解一：
返回结束
[例 4] 一金属杆在匀强磁场中转动，
已知,B, ω,L 。 求：动生电动势。
解一：
O
ω
v
B
L
ld
返回结束
lO
ω
v
B v× B
dl
L
[例 4] 一金属杆在匀强磁场中转动，
已知,B, ω,L 。 求：动生电动势。
解一,d= v × B( ) l.de
sin900 cos1800dl=B ωl
v ωl=
ω= LB 212
B dlω l0L= ?e
与 方向相反。dl
式中负号表示 e
返回结束
θ=B L12 L,d
=B 2L θdtd = LBω 212
d B dS=Φ
td=
dΦe
解二：
θL dd
L
B
θ
返回结束
a b
v
I
= vμ I02π ln a ba+( )
v × B
[例 5] 一直导线 CD在一无限长直电流磁
场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。
sin900 cos1800dllπI02v= μ
π dl=
v
l
I0
2
μ
l dl
d= v × B( ) l.de
= a bv I02π a + ldlμ ?e
0<
返回结束
2= ω
1v ad θ =ω t
B l2 v sinθ=
S = ad l.
.
c d
ab
B
θvω
N S
= B ωS sinω t
N S
a
b
c
d l
线圈在磁场中转动时的感应电动势
sinB vl= θe += cdab ee
e 2 ω1 ad ω tB l2 sin= ( )
BS
dt
d
dt
d ?????e tcos? ts inBS ????
ω= ( )I t0sinI j
0I
I
e0
e
t
交 流 电
= B ωS sinω tabe 0e sinω t=
返回结束
把感应电动势分为两种基本形式
? 动生电动势 motional emf
? 感生电动势 induced emf
下面 从 场 的角度研究电磁感应
电磁感应对应的场是电场
?它可 使 静止电荷 运动
研究的问题是,
动生电动势的非静电场？
感生电动势的非静电场？性质？
当回路 1中电流发生变化时，在回路
产生感应电动势的非静电力是什么？
§ 3 感生电动势 感生电场
回路 2
电池
BATTERY
G 回路 1
2中出现感应电动势。
麦克斯韦假设：
E 感 =？问题：
由法拉第电磁感应定律：
ε di tΦd=,B dS= dtd s??
由电动势的定义,ε i = E dl.
感L?
= Bt,dS??s??
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
电场为 感生电场,或 涡旋电场 。
在变化磁场的周围将产生电场，称这种
讨论：
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
2,这是电磁场基本方程之一。
关系，即感生电场是由变化的磁场产生的。
1,此式反映变化磁场和感生电场的相互
3,式中的 S 是以
S
构成左旋关系。
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
4,E感 Bt与 ??
BtE 感
?
?BtE 感 ??
L为周界的任意曲面。
L
b,静电场的电场线是“有头有尾”的，感
= 0
5,感生电场与静电场比较：
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
E l,= 0静L? d
c,静电场是由静止电荷产生的，感生电
a,静电场是有势无旋场，感生电场是有
生电场的电场线是一组闭合曲线。
场是由变化磁场产生的。
旋无势场 ;
[例 1]电子感应加速器。在涡旋电场作用下，
电子可以被加速到 10---100MeV。
铁 芯
线圈
电 束子
环形
真空室
B磁场
已知,Bt 求：感生电场场强。，??
式中负号表示 的方向E 感
E和所设的 方向相反感
设 与 方向一致。E感 ld
s??=
B
t dS?
?
B=
t r
2π?
?
= r2 BtE感 ??
L?E 感 ld= 感E r2π=E dl.感L? E dl.感 cos
o
L?= 0
= Bt,dS cos o??s?? 0= Bt,dS??s??
B?
L
r
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
× × × ×
×
×
×
×B
R
×
?t
感E
×
n
在圆域外 r R>( )
E感
rRO
×
×
×
×
×
n
E感
×
×
×
×
×
×
×
×
× × × ×B
L r
R
×
?
B
t?
E感 rπ2 = Bt π 2R?? = R2 Bt( )
2
r1E感 ?
?
式中负号表示 E感 方向
和所设的 E感 方向相反
即和 L方向相反。
[例 2] 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，
×
?Bt?
已知,h,L。 ?Bt? 的方向如图。
求,CDe
解一：作一假想的回路
CDOC,由法拉第电磁
感应定律
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
O
dt
d ???e
总
dt
d B S 三角形
??
t
BLh
?
???
2
1
L
E感
方向从 C到 D
×
?Bt?L
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
O
总e
t
BLh
?
???
2
1
CDODOC e?e?e?总e
? ??e
OC
OC ldE
??
0
2
??? ?
OC
c o sE d l
0?e OD 同理
t
BLh
?
???
2
1
CDe 总e?
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
解 二,
r cosθ = h( )
E感
θ
dll
θ r
×
?Bt?
E感 = r2 Bt??
= r2 Bt dl cosθ??
2
B
t
h dl=
?
?
2
B
th= L1 ?
?
.=E dl
感de
L= 2
h B
t dl?
?e ?
L
解三,hl = tgθ
=dl h secθ2 dθ
r = h secθ
cosθh secθ2 dθ,.
.=E dl
感de
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
E感
θ
dll
θ r
×
?Bt?L
= 2h secθ Bt,??
= r2 B dl cosθt??
= 2h Bt
2
secθ2 dθ??
2
B
th= L
1
?
?=
2
h B
t
2
tg 2hL1
tg 2hL1 sec
θ2 dθ?? ?e
[例 3] OM,ON及 MN为金属导线,MN
以速度 v 运动，并保持与上述两导线接触。
磁场是均匀的，且：
导体 MN在 t =0 时,x =0
B xk tω= cos
求,ε =ε ( )t
×
×
×
×
×
×
× ×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
××
× × ×
× × × ×× × ×
v
θ
B
x
y
0
M
N
dS= xtgθdx
=Φd B dS.
= xk tωcos xtgθdx.
dx=ktgθ x 2 tωcos
= 13 ktgθω v3t 3 tωsin ktgθ v3t 2 tωcos
× × × ×
× × ×
× ×
× × ×
× × ×× × ×θ
B
x
y
0 dxx
1
3= ktgθ x 3 tωcos=
x
0
dxktgθ x 2 tωcos?
ωdt= tωsin x 3=Φd 13 ktgθ ( )3x 2dxdt tωcose
= B dS.?Φ
感生 动生
ε =动 Bl v ktgθ v3t 2 tωcos=
= 13 ktgθω v3t 3 tωsinε =感 tΦ??
= 13 ktgθω v3t 3 tωsin ktgθ v3t 2 tωcos
感生 动生
ε
[例 4] 一均匀磁场与矩形导体回路面法线
单位矢量 en间的夹角为 θ=π/3（如图），
已知磁感应强度 B 随时间线形增加，即 B =kt
(k>0),回路的 AB边长为 l,以速度 v 向右运动，
设 t = 0时,AB边在 x =0处，求：任意时刻回
路中感应电动势的大小和方向。
q A
B
x
n
v
e B
解：
B tk=已知,π3=q AB l=
Φ, cos= t lk, tv q
d=e Φ
d t 2= costlk v q
= tlk v
q A
B
x
n
v
e B
例 5：直导线通交流电 置于磁导率为 ?的 介质中
求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势
解：设当 I ? 0时，电流方向如图
? ?????
S
SdBNN
??
ts inII 0 ??
已知
其中 I0 和 ?是大于零的常数
设回路 L方向如图 建坐标系如图
在任意坐标处取一面元
L
I
l
ad
xo
sd?
sd?
? ?? ? ??N N B d S
S
? ?
l d x
x
I
N
ad
d
?
?
?
?
?
2
? ?N Il d ad??2 ln
? ?? ? ?NI l t d ad02 s in ln
d
adtlNIr ??? lnc o s
2
00 ?
?
???
??
S
B d sN
dt
d
i
?e ??
交变的
电动势
L
I
l
ad
xo
sd?
d
adtlNIr
i
??? lnc o s
2
00 ?
?
???e
t ?
?
?
?
?? 2t
0i ?e ie
0i ?e ie
L
I
l
ad
xo
sd?
(四 )
徐援改编
第 10章 电磁感应
§ 1 法拉第电磁感应定律
§ 2 动生电动势
§ 3 感生电动势 感生电场
§ 4 互感
§ 5 自感
§ 6 磁场能量
G
磁铁与线圈相对运动时的电磁感应现象
一, 现象
§ 1 法拉第电磁感应定律
G
磁铁与线圈相对运动时的电磁感应现象
金属棒在磁场中作切割磁力线运动时
的电磁感应现象
G
S
N
金属棒在磁场中作切割磁力线运动时
的电磁感应现象
G
S
N
回路 2
电池
BATTERY
G
当回路 1中的电流变化时，
在回路 2中出现感应电流。
回路 1
电池
BATTERY
G 回路 1
回路 2
当回路 1中的电流变化时，
在回路 2中出现感应电流。
在 SI制中比例系数为 1
感应电动势和 B 矢量通量的变化率成正比
(而不是和 H 矢量通量的变化率有关 )
式中的,”号是楞次定律的数学表达。
二,法拉第电磁感应定律
∝ ddtie Φ
d
dt=ie
Φ
dS
n
L
右旋符号系统：
构成一个右旋符号系统。
dS 的方向,和绕行方向 L 构成右旋关系的
e 的符号,和 L绕行方向一致的 e 为,+”
面元作为 dS 的正方向。
n绕行方向 L和法线方向
返回结束
分四种情况讨论：
ε i＜ 0由定律得 ε
i 与 L方向相反。
ε ＞i 0由定律得 ε
i 与 L方向相同。
d
dt ＞ 0Φ ＞ 01.若,
Φ
d
dt ＜ 0Φ ＞ 02.若,
Φ
nΦ
L
绕 行 方 向
绕 行 方 向
n
Φ
L
ε i
d
dt=ie
Φ
由电磁感应定律确定感应电动势的方向
ε i
返回
若有 N 匝导线
ε i= ddtΦN ψd= dt
Φ=ψ N 磁通链数
感应电流,
= R1 ddtΦ
d Φ= N
dt
( )
d
dt
ΦΦ＜ 0,＞ 03,(同学自证 )
＜ddtΦΦ＜ 0,04,(同学自证 )
εI
R
i=
i
Idq = i dt
感应电量,
1= Φd
R Φ1
Φ2?
q = iI dtt
1
t2?
R
1 d
dt
Φ=
t1
t2 dt?
I = R1 ddtΦi( )
Φ1 Φ2( )1= R
q = iI dtt
1
t2?
Φ1 Φ2( )1= R
讨论：
q 只和 有关，和电流变化无关，即和Φ△
磁通量变化快慢无关。
利用这个原理可以制成磁通计。
q = iI dtt
1
t2?
Φ1 Φ2( )1= R
ω
B
两种情况 I~t 图的面积相等，即电量 q 相等。
快速转动,e I t△但
慢速转动,e I t△但
△ t1
慢
I
to
快
△ t2
i
感应电量和磁通量变化快慢无关的说明
线圈转
过 900
ef v× Bm =
E k 为非静电性电场的场强。对于动生电动
§ 2 动生电动势
由电动势定义：
动生电动势,由于导线和磁场作相对运动所
产生的电动势。
E dlki,= l?e
势，非静电力为洛仑兹力。
感生电动势,由于磁场随时间变化所产生的
电动势。
d i = v× B( ) dl.e
E k= fme v× B=
非静电性电场的场强为：
所以动生电动势为：
.i = v× B( ) dl
l?e
v× B( ) dl.l=?
E dlki,= le ?
B
v
fm
ef
++ +++
1,选择 及方向；dl
2,确定 的方向；v × B
3,确定 dl 所在处的
及 vB ；
= v B dl cos00
= vB L 0
Bv ×
[例 1] 直金属杆在均匀
磁场中作切割磁力线运动。
求：动生电动势。
v × B4,确定 dl 与 的夹角；
与i dl 方向相同,e
.d i = v× B( ) dle
5,确定 d i i及 ee
v
B
i =? vBdle
dl
1,选择 方向；dl
2,确定 的方向；v × B
3,确定 dl 所在处的
及 vB ；
= v B dl cos00
= vB L 0
Bv ×
[例 1] 直金属杆在均匀
磁场中作切割磁力线运动。
求：动生电动势。
v × B4,确定 dl 与 的夹角；
与i dl 方向相同,ei =? vBdle
v
B
dl
ie
.d i = v× B( ) dle
5,确定 d i i及 ee
v B,，,L 。[例 2] 已知,a 求,e
vL
B
a
返回结束
d = v × B( ) dl.e
v B,，,L 。[例 2] 已知,a 求,e
L v
B
a
dl
返回结束
L v
B
a
dl= vB Lsina
sinvB dl= a
sin900 cos ( )900dl= v B a
d = v × B( ) dl.e
= sinvB dlae ?
v B,，,L 。[例 2] 已知,a 求,e
Bv ×
e
返回结束
求：动生电动势。
[例 3] 有一半圆形金属导线在匀强磁场中
作切割磁力线运动。已知,v, B, R
v
BR
sin900 cosld= Bv θ
=v B 2R
求：动生电动势。
v
BR
[例 3] 有一半圆形金属导线在匀强磁场中
作切割磁力线运动。已知,v, B, R
d = v × B( ) dl.e
=v B cosθ R dθπ
2
π
2e ? θd
θ
ld θ
v × B
e
[例 4] 一金属杆在匀强磁场中转动，
已知,B, ω,L 。 求：动生电动势。
O
ω
v
B
L
解一：
返回结束
[例 4] 一金属杆在匀强磁场中转动，
已知,B, ω,L 。 求：动生电动势。
解一：
O
ω
v
B
L
ld
返回结束
lO
ω
v
B v× B
dl
L
[例 4] 一金属杆在匀强磁场中转动，
已知,B, ω,L 。 求：动生电动势。
解一,d= v × B( ) l.de
sin900 cos1800dl=B ωl
v ωl=
ω= LB 212
B dlω l0L= ?e
与 方向相反。dl
式中负号表示 e
返回结束
θ=B L12 L,d
=B 2L θdtd = LBω 212
d B dS=Φ
td=
dΦe
解二：
θL dd
L
B
θ
返回结束
a b
v
I
= vμ I02π ln a ba+( )
v × B
[例 5] 一直导线 CD在一无限长直电流磁
场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。
sin900 cos1800dllπI02v= μ
π dl=
v
l
I0
2
μ
l dl
d= v × B( ) l.de
= a bv I02π a + ldlμ ?e
0<
返回结束
2= ω
1v ad θ =ω t
B l2 v sinθ=
S = ad l.
.
c d
ab
B
θvω
N S
= B ωS sinω t
N S
a
b
c
d l
线圈在磁场中转动时的感应电动势
sinB vl= θe += cdab ee
e 2 ω1 ad ω tB l2 sin= ( )
BS
dt
d
dt
d ?????e tcos? ts inBS ????
ω= ( )I t0sinI j
0I
I
e0
e
t
交 流 电
= B ωS sinω tabe 0e sinω t=
返回结束
把感应电动势分为两种基本形式
? 动生电动势 motional emf
? 感生电动势 induced emf
下面 从 场 的角度研究电磁感应
电磁感应对应的场是电场
?它可 使 静止电荷 运动
研究的问题是,
动生电动势的非静电场？
感生电动势的非静电场？性质？
当回路 1中电流发生变化时，在回路
产生感应电动势的非静电力是什么？
§ 3 感生电动势 感生电场
回路 2
电池
BATTERY
G 回路 1
2中出现感应电动势。
麦克斯韦假设：
E 感 =？问题：
由法拉第电磁感应定律：
ε di tΦd=,B dS= dtd s??
由电动势的定义,ε i = E dl.
感L?
= Bt,dS??s??
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
电场为 感生电场,或 涡旋电场 。
在变化磁场的周围将产生电场，称这种
讨论：
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
2,这是电磁场基本方程之一。
关系，即感生电场是由变化的磁场产生的。
1,此式反映变化磁场和感生电场的相互
3,式中的 S 是以
S
构成左旋关系。
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
4,E感 Bt与 ??
BtE 感
?
?BtE 感 ??
L为周界的任意曲面。
L
b,静电场的电场线是“有头有尾”的，感
= 0
5,感生电场与静电场比较：
E dl.感 = Bt, dS??L? s??
E l,= 0静L? d
c,静电场是由静止电荷产生的，感生电
a,静电场是有势无旋场，感生电场是有
生电场的电场线是一组闭合曲线。
场是由变化磁场产生的。
旋无势场 ;
[例 1]电子感应加速器。在涡旋电场作用下，
电子可以被加速到 10---100MeV。
铁 芯
线圈
电 束子
环形
真空室
B磁场
已知,Bt 求：感生电场场强。，??
式中负号表示 的方向E 感
E和所设的 方向相反感
设 与 方向一致。E感 ld
s??=
B
t dS?
?
B=
t r
2π?
?
= r2 BtE感 ??
L?E 感 ld= 感E r2π=E dl.感L? E dl.感 cos
o
L?= 0
= Bt,dS cos o??s?? 0= Bt,dS??s??
B?
L
r
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
× × × ×
×
×
×
×B
R
×
?t
感E
×
n
在圆域外 r R>( )
E感
rRO
×
×
×
×
×
n
E感
×
×
×
×
×
×
×
×
× × × ×B
L r
R
×
?
B
t?
E感 rπ2 = Bt π 2R?? = R2 Bt( )
2
r1E感 ?
?
式中负号表示 E感 方向
和所设的 E感 方向相反
即和 L方向相反。
[例 2] 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，
×
?Bt?
已知,h,L。 ?Bt? 的方向如图。
求,CDe
解一：作一假想的回路
CDOC,由法拉第电磁
感应定律
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
O
dt
d ???e
总
dt
d B S 三角形
??
t
BLh
?
???
2
1
L
E感
方向从 C到 D
×
?Bt?L
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
O
总e
t
BLh
?
???
2
1
CDODOC e?e?e?总e
? ??e
OC
OC ldE
??
0
2
??? ?
OC
c o sE d l
0?e OD 同理
t
BLh
?
???
2
1
CDe 总e?
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
解 二,
r cosθ = h( )
E感
θ
dll
θ r
×
?Bt?
E感 = r2 Bt??
= r2 Bt dl cosθ??
2
B
t
h dl=
?
?
2
B
th= L1 ?
?
.=E dl
感de
L= 2
h B
t dl?
?e ?
L
解三,hl = tgθ
=dl h secθ2 dθ
r = h secθ
cosθh secθ2 dθ,.
.=E dl
感de
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ××C D
L
h
E感
θ
dll
θ r
×
?Bt?L
= 2h secθ Bt,??
= r2 B dl cosθt??
= 2h Bt
2
secθ2 dθ??
2
B
th= L
1
?
?=
2
h B
t
2
tg 2hL1
tg 2hL1 sec
θ2 dθ?? ?e
[例 3] OM,ON及 MN为金属导线,MN
以速度 v 运动，并保持与上述两导线接触。
磁场是均匀的，且：
导体 MN在 t =0 时,x =0
B xk tω= cos
求,ε =ε ( )t
×
×
×
×
×
×
× ×
×
×
×
×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
××
× × ×
× × × ×× × ×
v
θ
B
x
y
0
M
N
dS= xtgθdx
=Φd B dS.
= xk tωcos xtgθdx.
dx=ktgθ x 2 tωcos
= 13 ktgθω v3t 3 tωsin ktgθ v3t 2 tωcos
× × × ×
× × ×
× ×
× × ×
× × ×× × ×θ
B
x
y
0 dxx
1
3= ktgθ x 3 tωcos=
x
0
dxktgθ x 2 tωcos?
ωdt= tωsin x 3=Φd 13 ktgθ ( )3x 2dxdt tωcose
= B dS.?Φ
感生 动生
ε =动 Bl v ktgθ v3t 2 tωcos=
= 13 ktgθω v3t 3 tωsinε =感 tΦ??
= 13 ktgθω v3t 3 tωsin ktgθ v3t 2 tωcos
感生 动生
ε
[例 4] 一均匀磁场与矩形导体回路面法线
单位矢量 en间的夹角为 θ=π/3（如图），
已知磁感应强度 B 随时间线形增加，即 B =kt
(k>0),回路的 AB边长为 l,以速度 v 向右运动，
设 t = 0时,AB边在 x =0处，求：任意时刻回
路中感应电动势的大小和方向。
q A
B
x
n
v
e B
解：
B tk=已知,π3=q AB l=
Φ, cos= t lk, tv q
d=e Φ
d t 2= costlk v q
= tlk v
q A
B
x
n
v
e B
例 5：直导线通交流电 置于磁导率为 ?的 介质中
求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势
解：设当 I ? 0时，电流方向如图
? ?????
S
SdBNN
??
ts inII 0 ??
已知
其中 I0 和 ?是大于零的常数
设回路 L方向如图 建坐标系如图
在任意坐标处取一面元
L
I
l
ad
xo
sd?
sd?
? ?? ? ??N N B d S
S
? ?
l d x
x
I
N
ad
d
?
?
?
?
?
2
? ?N Il d ad??2 ln
? ?? ? ?NI l t d ad02 s in ln
d
adtlNIr ??? lnc o s
2
00 ?
?
???
??
S
B d sN
dt
d
i
?e ??
交变的
电动势
L
I
l
ad
xo
sd?
d
adtlNIr
i
??? lnc o s
2
00 ?
?
???e
t ?
?
?
?
?? 2t
0i ?e ie
0i ?e ie
L
I
l
ad
xo
sd?
