磁力
(二 )
徐援改编
目录
第七章 磁力
第十章 电 磁感应
第九章 磁 场中的 磁 介质
第八章 磁 场的源
第十一章 麦克斯韦方程组
和电磁辐射
第七章 磁力
§ 7.1 磁力与电荷的运动
§ 7.2 磁场与磁感应强度
§ 7.3 带电粒子磁场中的运动
§ 7.4 霍耳效应
§ 7.5 载流导线在磁场中受力
§ 7.2 磁场是哪里来的 *
Bve ×=FL电子受到的洛沦兹力：
一、安培定律
§ 7.5 载流导线在磁场中受力
B
FL
I v
F
电流元的安培力为,d =F dN F L
= dN Bve ×
dF = dN Bve ×
= I dl B×
I = Sne v=dN dlSn
dF B×dlI=安培定律：
dF
dlI
B
e Bv×= dlSn
式中,
=dF B dlI sina
B×dlI=?L
F dF=?L
dF
B
dlI
I
I
a
×
×
×
×
×
×
×
××
×
× ×
×
×
× × × ×
×××× ×
×
×
×
×
B
Fx = 0
FyF =
IB= 2R.
=B dlI
dl =Rdθ( )
=dF B dlI sin900
[例 1] 有一半径为 R 的半圆形导线，通有
电流 I,它处于一磁感应强度为 B 的匀强磁
场 之中。求：安培力。
dFdF B×dlI=
y
xo
= B dlI sinθ?
= dF sinθ?
= B I
0
π Rsinθ dθ?
R
Iθ
θ
d
dlI
[例 2] 任意形状的一段导线 AB，如图
所示，其中通有电流 I,导线放在和匀强磁
场 B 垂直的平面内。试证明导线 AB所受的
力等于 A到 B间载有同样电流的直导线所受
的力。
B
A
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
jidxdl = +I I dyI
证：
B k= B
= ×dF dlI B
=
kji
dxI dyI 0
B00
= B dyIdxIB ij
( )=F IB dydx ij? ?0 00L = IB L j
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
x
y
dlI
L
B
B dlI 90sin=dF 1 2 0
dF
[例 3] 求一无限长直载流导线的磁场对另一
直载流导线 CD的作用力。
( )= 2πμ I1I 2 a b+aln0
π= 2
μ I1 dlI
2l
0
I1 I 2 μ ba,,,,已知,0
dll
dlI 2
I1
a b
C D
无限长直载流导线
的磁场
r2
IB 0
?
??
a b+
l
dl
a?= 2π
μ I1I 20F
FM d= B 2l sinθI= 1l,m=B sinθ
m= BM ×
1l
2l
B
I
F1
F2
二,磁场对载流线圈的作用
m
θ
B
Fd
1l,
θ
F ′
磁
矩
m
I
m
In
S
m I= S nN N 线圈的匝数
S 线圈所包围的面积
m= BM × ?? s inmBM
m?
2
??? 力矩 M最大
.,
0?? 力矩 M最小
m?
B
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
A F xΔ= = B lI xΔ
F
三，磁力的功
1,载流直导线在匀强磁场中移动时
IΔ= Φ
Δ x
lI
ε
I
SBI ??
若电流不变，则有,A = ΦdI? IΔ= Φ
Bm= BM ×
= ΦdI
2,载流线圈在磁场中转动时
θB sin d= SI θ
= M dAd θ
M m B sinθ=
BI S sinθ= θ
m
.
M,
Bm)c osB I S(dA
2
??
???? ?
?
?
???? ? IdBmA ??
)c o sB I S(d ??
第八章 磁 场的源
§ 8-1 毕奥 萨伐尔定律
§ 8.2 匀速运动点电荷的磁场 ※
§ 8.3 安培环路定理
§ 8.5与变化电场相联系的磁场
§ 8.6平行电流间的相互作用力
§ 8.4利用安培环路定理求磁场的分布
I
实验指出：
在真空及 SI制中：
dlIdlI 电流元
dB
r P
.
r
dlI sin
2dB 4π
μ o= a
( )dlI= r,a
a
§ 8-1 毕奥 萨伐尔定律
萨伐尔 (Biot-savart)定律一、毕奥
dB r 2dlI∝dqdE r 2∝
r
dlI sin
2dB
a∝
真空中的磁导率μ o
μ o = 4π × 10 7 ( )H m,1 亨利,米 1( )或
4π
μ o
r
dlI sin
2dB =
a
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
I
I
dB
r
dlIr
dB
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
dB
l
dl
1,载流直导线的磁场
dlI × r 的方向的方向：dB
dB 的大小：
r
I dl
a P
?
4π
μ o rdlI sin
2dB = ?
β?a c tg??
acl = tgβ
变量代换：
=r a cscβ
??? s ins in
?? dadl 2c s c?
?csca?
由上面得到：
)c o s( c o s
a4
I
21
0 ???
?
??
?? dadl 2c s c?
?cscar ?
?
.,aI 2csc d sin
a csc224π
μ o= ??
?
4πμ o r
dlI sin
2dB =
?
B = 4μ o aIπ ?
1?
2?
??dsin
π d4
μ o
a sin=
I
??
dB
l
dl
r
I dl
a P
?β
1?
2?
讨论：
当直线电流为“无限长”时
B = π2μ o aI
)c o s( c o s
a4
IB
21
0 ???
?
??
???201 ??
dB
a
1?
2?
P
P’
lId?
当 P’在 直线电流上或延长线上
0dB ?
4π
μ o rdlI sin
2dB = ? ???,0
0B ?
R
x
θI P
By Bz= =0
由对称性：
2,载流圆线圈轴线上的磁场
dB
4π
μ o dlI=
r 2
4π
μ o dlI sin
2dB = r
a = 900a
π r4μ
o I
2 sinθ dl= ?
dB xB =? r4πμ o I dl2 sinθ= ?sinθdB=?
dlI r θ
x
y
z
dBIdl r
sinθ = Rr
r x 2 +R2 ) 21(= R
dlI dB
x
θ
θ
x
y
z
I
r
R2μ o I
r2 3=
π r 2π4
μ o I
2 R
Rr,.=
x 2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=
π r4
μ o I
2 sinθ dlB = ?
x 2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=B
在圆心处, x = 0
R
μ o I
2=B
引入磁矩后, 圆电流轴线处的磁感应强度可表示为,
=B x 2 +R2( ) 23μ o2π mp r 3μ o2π mp=
讨论：
?
??
2B
B
弧
圆 B2B ???弧 圆 R2 I2 0????
...,,.....,...,,.,.
R P
.
n 单位长度上的匝数
dl = cscR 2β βdl =R ctgβ
l dl
β
= R
2μ
o
R 2 + l 2( ) 22 3
n dlI
3,有限长载流螺线管轴线上 P点的磁场
圆电流在轴线上
3
2
0
2 r
d I R
dB
?
?
dl
dNn ?
Id NdI ? Indl?
3
2
0
2 r
IRB ??
μ o In
2 cosβ 2 cosβ 1( )=
= R
2I
R 2 + 2(2 ) 23
n
R ctgβ2
μ o cscR 2β βd( )
= R
2μ
o
R 2 +l 2( ) 22 3
n dlIBd
β=
R2I
R 3 32
n
csc
μ o cscR 2β βd( ) = μ o In βd
csc2 β
= μ o In2 dβsinβ2ββ
1
?μ o In βdcsc2 β=B ?
Rdl = csc 2β βdl =Rctgβ,由上面得到：
B μ o In2 cosβ 2 cosβ 1( )=
当螺线管为无限长时,β 2β 1 0π,
μ o InB =
...,,.....,...,,.,.
R
β 1 β
2
P
当在螺线管端部时,β 2β 1 0π/2,
μ o I/2nB =
B
x
例一,如图所示的被折成钝角的长导线
中通有 20A的电流。求,A点的磁感应强度。
设 d = 2cm,a =1200
A P
Od
Q
a
I
=1.73× 10-4 T
20AI d= =已知,=2cm a 120 0
求,AB
解,= +
OPB OQBAB
=0OPB A P
Od
Q
a
I
( )= ×π4 10-7× 20
×π4 10-2× 2.0 × 0.86 1
1
2
( )= cosr 1I?π4 0 cos 2OQB ??
?60s indr ?
OQB
?60
1 ??
?180
2 ??
例二,一段导线先弯成图 (a) 所示的形
状，然后将同样长的导线再弯成图 (b) 所示
的形状。当导线中通以电流 I 后，求,P1和
P2两点磁感应强度之比 B1/B2。
P1
P2
2l
l
l
l I
I
(a)
(b)
= 2 Il?π02
= IR?4 0
4=πR l
×
B1 =
B2 2
I
l
?
π02 IR?4 0
解：
π= cosl
I?0 450
B2 = 900sinR 2Idl?π4 0? = R 2I dl?π4 0 ? Rπ
0
4=πR
l
8
2=
2
π
P1
P2
2l
l
l
l I
I
(a)
(b)
= lI?π4 01B 4× )c o s(c o s
21 ???
例三,在半径 R =1cm 的“无限长”
的半圆柱形金属薄片中，有电流 I =5A 自
下而上通过。如图所示。试求：圆柱轴线
上一点 P 的磁感应强度。
I
P
π? Id=Id
?B x cosBd= =B ?2π
2
π
Id?
π2
0=Bd
R
?= I
π2
0
R2 ?d
= I?π2 0 R2 ?d? cos?2π
2
π = I?π 02R
解：
y=B 0由对称性
x
y
..
.
..,,,
.
.
.?d
dl
Bd
?
P ?
R
§ 8.3 安培环路定律
问题：
π=B r2.
安培环路定律的引出,
π πr2 I= r2
μ o = Iμ o
? ?? 0ldEl ?? ? ???ldBl ??
以无限长直线电流为例
B
I
rl
1,圆形环路
Bl dl.? Bl dl cos00= ?
2,若改变积分绕行方向
B
I
rl
π= -B r2.
π πr2 I= r2
-μ o
= I-μ o
Bl dl.? Bl dl cos?= ?
2,平面内环路
= Iμ o
dr = dl cosθj
= 2 Iπμ o rB
I
2π d=
μ o j2π
0
r dl
dj.I
O
l
B
Bl dl.?
= dlcosθl B? = l B dr j?
π r2 I dr=
μ o j?
θ
P
4,任意环路
I= 0 +μ o
dl
I
dl
dl
B
B dl∵
dlBl, = 0∴ ?
Bl dl.? dl +( )Bl,= dl?
dldlBl, Bl,+= ??
Q
l1
l2 P
.
.
.IO jΔ
5,闭合回路不包围电流
Bl dl,Bl dl.1 Bl dl.? 2+=? ?
= I2πμ o l? 1 l2dj dj( )?
== jΔ jΔI2πμ o ( ) 0?
安培环路定律,磁感应场强度矢量沿任
意闭合路径一周的线积分等于真空磁导率乘
以穿过闭合路径所包围面积的 电流代数和 。
Bl dl,= IΣ? μ o
I
绕
向
方行
I
绕
向
方
行
电流 I 取负值电流和回路绕行方向
构成右旋关系的取正值
??B 空间所有电流共同产生的
在场中任取的一闭合线?L
任意规定一个绕行方向
??ld L上的任一线元
?内I
与 L套连的电流如图示
的
321 I,I,I
??
i
iI 内
说明：
ld?L
I 1 I 2 I 3
代数和
与 L绕行方向成右手螺旋的电流取正
如图示的电流 1I 取正,2I 取负,3I
Bl dl,= IΣ? μ o
I I
(c)
l3
I
(b)
l2
I1I2
(a)
l1
l1B dl,= I 1 I 2( )μ o(a) ?
l3B dl,= I I( )μ o = 0(c) ?
l2B dl,= 0(b) ?
答,
.,,,.,,,,.,,,
Ba b
cd
1,直长通电螺线管内的磁场
+ 0+ 0 + 0
§ 8.4 利用安培环路定理求磁场的分布
= B dl.ab? = Bdlab cos 00?
? Bl dl,= B dl.ab B dl.? bc B dl.cd B dl.da+++ ? ??
=B dl?ab
= B ab = n ab Iμ 0
? Bl dl,= Bdl?ab cos 00
(n,单位长度上的匝数 )
nB = Iμ 0
.,,,.,,,,.,,,
Ba b
cd
.
rR
1
R2
..
.
.
.,
..,
..
..
.
..
...,.
..
..
.
..
.
....,.
B
2,环形螺线管的磁场
? Bl dl,= Bdl cos 00? l
= r2πB?B l dl=
N 匝数:( )= NI?0
B = r2πNI0μ
I I
B
rR
1 R 2
0
R
=,dS?sJ cos 00
Rπ 2 2rπ
I= 2rI
R 2=
设电流 I 均匀分布在整个横截面上。
3,均匀通电直长圆柱体的磁场
? Bl dl,= B dlcos 0? l 0
Rr <1,I
J
B r
I′=I,dS?s J′
I
I =
Rπ 2
2rπ I或：( )′′
= r2πB
得,μB = R2 I r2π0
= I ′μ 0
dS? sJ= ?
dS
I
R
B
r
Rr >2.
B = r2π Iμ 0
2
μ
π IR0
B
RO r
r2πB = Iμ 0
μB =
R2
I r
2π
0
B = r2π Iμ 0
??? ????
s
0
l
SdJldB
????安培环路定理可 写成
4,无限大通电平面的磁场 电流密度 i (即通过与
电流方位垂直的单位长度的电流 )为一常量
′B
B
..
..
..
..
..
L
a
l
d
cb
.B dl?cd,B dl?da+ +
.B dl?L,B dl?ab,B dl?= + bc
B l B l= +
2=B
i? 0
B dl?ab B dl?cd+= + +00
il0??
?B I
r? ?
0
2
2
0 jB ??
匝数
场点距中心
的距离 r
(面 )电流的 (线 )密度
小结 由安培环路定理可解一些典型的场
无限大均匀载流平面
无限长载流直导线
或载流 圆柱
密绕螺绕环或螺
线管
I
NI
r?
?
?
0
2
B
B=0r<R1
I
I
R2R1
r>R2
R1<r<R2
解：根据 安培环路定理 Bl dl,= IΣ? μ o
Ir2BldB 0
l
???????
??
r2
IB 0
?
??
)II(r2BldB 0
l
????????
??
B=0
例一，如图两长圆柱筒,通有等值反向电流 I
求磁感应强度的分布。
例二，如图长圆筒通有电流，电流密度
J=kr,求磁感应强度的分布。
R1
R2
JB=0r<R1
R1<r<R2
解：根据 安培环路定理 Bl dl,= IΣ? μ o
r2BldB
l
????? ??
r d r2krSdJI
r
RS 1
????? ??
??
)Rr(3 k2 313 ???
r
)Rr(r3 kB 3130 ???
r>R2
R1
R2
J
r2BldB
l
????? ??
r d r2krSdJI
2
1
R
RS
????? ??
??
)RR(3 k2 3132 ???
)RR(r3 kB 31320 ???
(二 )
徐援改编
目录
第七章 磁力
第十章 电 磁感应
第九章 磁 场中的 磁 介质
第八章 磁 场的源
第十一章 麦克斯韦方程组
和电磁辐射
第七章 磁力
§ 7.1 磁力与电荷的运动
§ 7.2 磁场与磁感应强度
§ 7.3 带电粒子磁场中的运动
§ 7.4 霍耳效应
§ 7.5 载流导线在磁场中受力
§ 7.2 磁场是哪里来的 *
Bve ×=FL电子受到的洛沦兹力：
一、安培定律
§ 7.5 载流导线在磁场中受力
B
FL
I v
F
电流元的安培力为,d =F dN F L
= dN Bve ×
dF = dN Bve ×
= I dl B×
I = Sne v=dN dlSn
dF B×dlI=安培定律：
dF
dlI
B
e Bv×= dlSn
式中,
=dF B dlI sina
B×dlI=?L
F dF=?L
dF
B
dlI
I
I
a
×
×
×
×
×
×
×
××
×
× ×
×
×
× × × ×
×××× ×
×
×
×
×
B
Fx = 0
FyF =
IB= 2R.
=B dlI
dl =Rdθ( )
=dF B dlI sin900
[例 1] 有一半径为 R 的半圆形导线，通有
电流 I,它处于一磁感应强度为 B 的匀强磁
场 之中。求：安培力。
dFdF B×dlI=
y
xo
= B dlI sinθ?
= dF sinθ?
= B I
0
π Rsinθ dθ?
R
Iθ
θ
d
dlI
[例 2] 任意形状的一段导线 AB，如图
所示，其中通有电流 I,导线放在和匀强磁
场 B 垂直的平面内。试证明导线 AB所受的
力等于 A到 B间载有同样电流的直导线所受
的力。
B
A
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
jidxdl = +I I dyI
证：
B k= B
= ×dF dlI B
=
kji
dxI dyI 0
B00
= B dyIdxIB ij
( )=F IB dydx ij? ?0 00L = IB L j
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
x
y
dlI
L
B
B dlI 90sin=dF 1 2 0
dF
[例 3] 求一无限长直载流导线的磁场对另一
直载流导线 CD的作用力。
( )= 2πμ I1I 2 a b+aln0
π= 2
μ I1 dlI
2l
0
I1 I 2 μ ba,,,,已知,0
dll
dlI 2
I1
a b
C D
无限长直载流导线
的磁场
r2
IB 0
?
??
a b+
l
dl
a?= 2π
μ I1I 20F
FM d= B 2l sinθI= 1l,m=B sinθ
m= BM ×
1l
2l
B
I
F1
F2
二,磁场对载流线圈的作用
m
θ
B
Fd
1l,
θ
F ′
磁
矩
m
I
m
In
S
m I= S nN N 线圈的匝数
S 线圈所包围的面积
m= BM × ?? s inmBM
m?
2
??? 力矩 M最大
.,
0?? 力矩 M最小
m?
B
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
A F xΔ= = B lI xΔ
F
三，磁力的功
1,载流直导线在匀强磁场中移动时
IΔ= Φ
Δ x
lI
ε
I
SBI ??
若电流不变，则有,A = ΦdI? IΔ= Φ
Bm= BM ×
= ΦdI
2,载流线圈在磁场中转动时
θB sin d= SI θ
= M dAd θ
M m B sinθ=
BI S sinθ= θ
m
.
M,
Bm)c osB I S(dA
2
??
???? ?
?
?
???? ? IdBmA ??
)c o sB I S(d ??
第八章 磁 场的源
§ 8-1 毕奥 萨伐尔定律
§ 8.2 匀速运动点电荷的磁场 ※
§ 8.3 安培环路定理
§ 8.5与变化电场相联系的磁场
§ 8.6平行电流间的相互作用力
§ 8.4利用安培环路定理求磁场的分布
I
实验指出：
在真空及 SI制中：
dlIdlI 电流元
dB
r P
.
r
dlI sin
2dB 4π
μ o= a
( )dlI= r,a
a
§ 8-1 毕奥 萨伐尔定律
萨伐尔 (Biot-savart)定律一、毕奥
dB r 2dlI∝dqdE r 2∝
r
dlI sin
2dB
a∝
真空中的磁导率μ o
μ o = 4π × 10 7 ( )H m,1 亨利,米 1( )或
4π
μ o
r
dlI sin
2dB =
a
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
I
I
dB
r
dlIr
dB
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
dB
l
dl
1,载流直导线的磁场
dlI × r 的方向的方向：dB
dB 的大小：
r
I dl
a P
?
4π
μ o rdlI sin
2dB = ?
β?a c tg??
acl = tgβ
变量代换：
=r a cscβ
??? s ins in
?? dadl 2c s c?
?csca?
由上面得到：
)c o s( c o s
a4
I
21
0 ???
?
??
?? dadl 2c s c?
?cscar ?
?
.,aI 2csc d sin
a csc224π
μ o= ??
?
4πμ o r
dlI sin
2dB =
?
B = 4μ o aIπ ?
1?
2?
??dsin
π d4
μ o
a sin=
I
??
dB
l
dl
r
I dl
a P
?β
1?
2?
讨论：
当直线电流为“无限长”时
B = π2μ o aI
)c o s( c o s
a4
IB
21
0 ???
?
??
???201 ??
dB
a
1?
2?
P
P’
lId?
当 P’在 直线电流上或延长线上
0dB ?
4π
μ o rdlI sin
2dB = ? ???,0
0B ?
R
x
θI P
By Bz= =0
由对称性：
2,载流圆线圈轴线上的磁场
dB
4π
μ o dlI=
r 2
4π
μ o dlI sin
2dB = r
a = 900a
π r4μ
o I
2 sinθ dl= ?
dB xB =? r4πμ o I dl2 sinθ= ?sinθdB=?
dlI r θ
x
y
z
dBIdl r
sinθ = Rr
r x 2 +R2 ) 21(= R
dlI dB
x
θ
θ
x
y
z
I
r
R2μ o I
r2 3=
π r 2π4
μ o I
2 R
Rr,.=
x 2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=
π r4
μ o I
2 sinθ dlB = ?
x 2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=B
在圆心处, x = 0
R
μ o I
2=B
引入磁矩后, 圆电流轴线处的磁感应强度可表示为,
=B x 2 +R2( ) 23μ o2π mp r 3μ o2π mp=
讨论：
?
??
2B
B
弧
圆 B2B ???弧 圆 R2 I2 0????
...,,.....,...,,.,.
R P
.
n 单位长度上的匝数
dl = cscR 2β βdl =R ctgβ
l dl
β
= R
2μ
o
R 2 + l 2( ) 22 3
n dlI
3,有限长载流螺线管轴线上 P点的磁场
圆电流在轴线上
3
2
0
2 r
d I R
dB
?
?
dl
dNn ?
Id NdI ? Indl?
3
2
0
2 r
IRB ??
μ o In
2 cosβ 2 cosβ 1( )=
= R
2I
R 2 + 2(2 ) 23
n
R ctgβ2
μ o cscR 2β βd( )
= R
2μ
o
R 2 +l 2( ) 22 3
n dlIBd
β=
R2I
R 3 32
n
csc
μ o cscR 2β βd( ) = μ o In βd
csc2 β
= μ o In2 dβsinβ2ββ
1
?μ o In βdcsc2 β=B ?
Rdl = csc 2β βdl =Rctgβ,由上面得到：
B μ o In2 cosβ 2 cosβ 1( )=
当螺线管为无限长时,β 2β 1 0π,
μ o InB =
...,,.....,...,,.,.
R
β 1 β
2
P
当在螺线管端部时,β 2β 1 0π/2,
μ o I/2nB =
B
x
例一,如图所示的被折成钝角的长导线
中通有 20A的电流。求,A点的磁感应强度。
设 d = 2cm,a =1200
A P
Od
Q
a
I
=1.73× 10-4 T
20AI d= =已知,=2cm a 120 0
求,AB
解,= +
OPB OQBAB
=0OPB A P
Od
Q
a
I
( )= ×π4 10-7× 20
×π4 10-2× 2.0 × 0.86 1
1
2
( )= cosr 1I?π4 0 cos 2OQB ??
?60s indr ?
OQB
?60
1 ??
?180
2 ??
例二,一段导线先弯成图 (a) 所示的形
状，然后将同样长的导线再弯成图 (b) 所示
的形状。当导线中通以电流 I 后，求,P1和
P2两点磁感应强度之比 B1/B2。
P1
P2
2l
l
l
l I
I
(a)
(b)
= 2 Il?π02
= IR?4 0
4=πR l
×
B1 =
B2 2
I
l
?
π02 IR?4 0
解：
π= cosl
I?0 450
B2 = 900sinR 2Idl?π4 0? = R 2I dl?π4 0 ? Rπ
0
4=πR
l
8
2=
2
π
P1
P2
2l
l
l
l I
I
(a)
(b)
= lI?π4 01B 4× )c o s(c o s
21 ???
例三,在半径 R =1cm 的“无限长”
的半圆柱形金属薄片中，有电流 I =5A 自
下而上通过。如图所示。试求：圆柱轴线
上一点 P 的磁感应强度。
I
P
π? Id=Id
?B x cosBd= =B ?2π
2
π
Id?
π2
0=Bd
R
?= I
π2
0
R2 ?d
= I?π2 0 R2 ?d? cos?2π
2
π = I?π 02R
解：
y=B 0由对称性
x
y
..
.
..,,,
.
.
.?d
dl
Bd
?
P ?
R
§ 8.3 安培环路定律
问题：
π=B r2.
安培环路定律的引出,
π πr2 I= r2
μ o = Iμ o
? ?? 0ldEl ?? ? ???ldBl ??
以无限长直线电流为例
B
I
rl
1,圆形环路
Bl dl.? Bl dl cos00= ?
2,若改变积分绕行方向
B
I
rl
π= -B r2.
π πr2 I= r2
-μ o
= I-μ o
Bl dl.? Bl dl cos?= ?
2,平面内环路
= Iμ o
dr = dl cosθj
= 2 Iπμ o rB
I
2π d=
μ o j2π
0
r dl
dj.I
O
l
B
Bl dl.?
= dlcosθl B? = l B dr j?
π r2 I dr=
μ o j?
θ
P
4,任意环路
I= 0 +μ o
dl
I
dl
dl
B
B dl∵
dlBl, = 0∴ ?
Bl dl.? dl +( )Bl,= dl?
dldlBl, Bl,+= ??
Q
l1
l2 P
.
.
.IO jΔ
5,闭合回路不包围电流
Bl dl,Bl dl.1 Bl dl.? 2+=? ?
= I2πμ o l? 1 l2dj dj( )?
== jΔ jΔI2πμ o ( ) 0?
安培环路定律,磁感应场强度矢量沿任
意闭合路径一周的线积分等于真空磁导率乘
以穿过闭合路径所包围面积的 电流代数和 。
Bl dl,= IΣ? μ o
I
绕
向
方行
I
绕
向
方
行
电流 I 取负值电流和回路绕行方向
构成右旋关系的取正值
??B 空间所有电流共同产生的
在场中任取的一闭合线?L
任意规定一个绕行方向
??ld L上的任一线元
?内I
与 L套连的电流如图示
的
321 I,I,I
??
i
iI 内
说明：
ld?L
I 1 I 2 I 3
代数和
与 L绕行方向成右手螺旋的电流取正
如图示的电流 1I 取正,2I 取负,3I
Bl dl,= IΣ? μ o
I I
(c)
l3
I
(b)
l2
I1I2
(a)
l1
l1B dl,= I 1 I 2( )μ o(a) ?
l3B dl,= I I( )μ o = 0(c) ?
l2B dl,= 0(b) ?
答,
.,,,.,,,,.,,,
Ba b
cd
1,直长通电螺线管内的磁场
+ 0+ 0 + 0
§ 8.4 利用安培环路定理求磁场的分布
= B dl.ab? = Bdlab cos 00?
? Bl dl,= B dl.ab B dl.? bc B dl.cd B dl.da+++ ? ??
=B dl?ab
= B ab = n ab Iμ 0
? Bl dl,= Bdl?ab cos 00
(n,单位长度上的匝数 )
nB = Iμ 0
.,,,.,,,,.,,,
Ba b
cd
.
rR
1
R2
..
.
.
.,
..,
..
..
.
..
...,.
..
..
.
..
.
....,.
B
2,环形螺线管的磁场
? Bl dl,= Bdl cos 00? l
= r2πB?B l dl=
N 匝数:( )= NI?0
B = r2πNI0μ
I I
B
rR
1 R 2
0
R
=,dS?sJ cos 00
Rπ 2 2rπ
I= 2rI
R 2=
设电流 I 均匀分布在整个横截面上。
3,均匀通电直长圆柱体的磁场
? Bl dl,= B dlcos 0? l 0
Rr <1,I
J
B r
I′=I,dS?s J′
I
I =
Rπ 2
2rπ I或：( )′′
= r2πB
得,μB = R2 I r2π0
= I ′μ 0
dS? sJ= ?
dS
I
R
B
r
Rr >2.
B = r2π Iμ 0
2
μ
π IR0
B
RO r
r2πB = Iμ 0
μB =
R2
I r
2π
0
B = r2π Iμ 0
??? ????
s
0
l
SdJldB
????安培环路定理可 写成
4,无限大通电平面的磁场 电流密度 i (即通过与
电流方位垂直的单位长度的电流 )为一常量
′B
B
..
..
..
..
..
L
a
l
d
cb
.B dl?cd,B dl?da+ +
.B dl?L,B dl?ab,B dl?= + bc
B l B l= +
2=B
i? 0
B dl?ab B dl?cd+= + +00
il0??
?B I
r? ?
0
2
2
0 jB ??
匝数
场点距中心
的距离 r
(面 )电流的 (线 )密度
小结 由安培环路定理可解一些典型的场
无限大均匀载流平面
无限长载流直导线
或载流 圆柱
密绕螺绕环或螺
线管
I
NI
r?
?
?
0
2
B
B=0r<R1
I
I
R2R1
r>R2
R1<r<R2
解：根据 安培环路定理 Bl dl,= IΣ? μ o
Ir2BldB 0
l
???????
??
r2
IB 0
?
??
)II(r2BldB 0
l
????????
??
B=0
例一，如图两长圆柱筒,通有等值反向电流 I
求磁感应强度的分布。
例二，如图长圆筒通有电流，电流密度
J=kr,求磁感应强度的分布。
R1
R2
JB=0r<R1
R1<r<R2
解：根据 安培环路定理 Bl dl,= IΣ? μ o
r2BldB
l
????? ??
r d r2krSdJI
r
RS 1
????? ??
??
)Rr(3 k2 313 ???
r
)Rr(r3 kB 3130 ???
r>R2
R1
R2
J
r2BldB
l
????? ??
r d r2krSdJI
2
1
R
RS
????? ??
??
)RR(3 k2 3132 ???
)RR(r3 kB 31320 ???
