青岛科技大学 大学物理讲义
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飞轮 30 s 内转过的角度
r a dπ75
)6π(2
)π5(
2
22
0
2
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???
210 srad
6
πsrad
30
π50 ?? ????????
t
???
例 1 一飞轮半径为 0.2m,转速为 150r·min-1,因
受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动, 试求,（ 1）
角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（ 2）制动开
始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（ 3） t = 6 s 时飞轮边缘
上一点的线速度、切向加速度和法向加速度,
解 （ 1）,sr adπ5 1
0 ????
.0??t = 30 s 时，
设,飞轮做匀减速运动
00 ??
时，t = 0 s
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（ 2） s6?t 时，飞轮的角速度
11
0 sra dπ4sra d)66
ππ5( ?? ???????? t???
（ 3） s6?t 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
22 sm5.2smπ42.0 ?? ?????? ?rv
该点的切向加速度和法向加速度
22
t sm105.0sm)6
π(2.0 ?? ???????? ?ra
转过的圈数
r5.37π2 π75π2 ??? ?N
2 2 - 2 - 20,2 ( 4 ) 31,6na r m s m s??? ? ? ? ? ?
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Q
y
O
x
例 2 有一大型水坝高 110 m、长 1000m，水深 100m，
水面与大坝表面垂直，如图所示, 求水作用在大坝上的
力，及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元
作用在此面积元上的力 yLA dd ?
ypLApF ddd ??
y
O
h y
x
Ad
yd
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)(0 yhgpp ??? ?
令大气压为,则
0p
yLyhgpF d)]([d 0 ??? ?
2
00 0 2
1d)]([ g L hLhpyLyhgpF h ?? ????? ?
代入数据，得 N1091.5 10??F
ypLApF ddd ?? y
O
h y
x
Ad
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100m?h m1000?L
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32
0 6
1
2
1 LhgLhp ???
? ??? h yLyhgpyM 0 0 d)]([ ?
代入数据，得 mN1014.2 12 ???M
对通过点 Q 的轴的力矩F?d
y
QO
h y ydF?d
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100m?h m1000?L
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lO′
O
解 设棒的线密度为,取一距离转轴 OO′ 为
处的质量元
? r
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?? l rrJ 0 2 d?
rd
32/
0
2
12
1d2 lrrJ l ?? ?? ?
2
3
1 ml?
r
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例 3 一 质量为, 长为 的 均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,
m l
rd 2l2l? O′
O
2
12
1 ml?
如转轴过端点垂直于棒
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OR
R
4
0
3 π
2
dπ2 RrrJ R ?? ?? ?
rdr
例 4 一质量为,半径为 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
m R
解 设圆盘面密度为,
在盘上取半径为,宽为
的圆环
r rd
?
2π Rm??
而
rrm dπ2d ??圆环质量
2
2
1 mRJ ?
所以
rrmrJ dπ2dd 32 ???
圆环对轴的转动惯量
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例 5 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物
体 B 上, 滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计, 问：（ 1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（ 2） 物体 B 从
Bm
Cm
再求线加速度及
绳的张力,
静止落下距离 时，
其速率是多少？（ 3）
若滑轮与轴承间的摩
擦力不能忽略，并设
它们间的摩擦力矩为
fM
y
Am
A
B
C
Am
Bm
Cm
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A
B
C
Am
Bm
Cm
T1F
?
T2F?
?
AP
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O x
T1F
?
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?
Am
y
O
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BP
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Bm
amF AT1 ?
amFgm BT2B ??
?JRFRF ?? T1T2
?Ra ?
解 （ 1）隔离物体分
别对物体 A,B 及滑轮作
受力分析，取坐标如图，
运用牛顿第二定律,转
动定律列方程,
T2F
?
T1F?
?
CP
?
CF
?
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2CBA
B
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2
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CBA
BCA
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如令,可得
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BA
BA
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（ 2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
2/
22
CBA
B
mmm
gymay
??
??v
A
B
C
Am
Bm
Cm
T1F
?
T2F?
?
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（ 3） 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩,转动定律
fM
结合（ 1）中其它方程
?JMRFRF ??? fT1T2
amF AT1 ?
amFgm BT2B ??
?Ra ?
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例 6 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动, 由于此
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小
扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
动,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度,
l m
?
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
作用，由转动定律得 NF
?
?? Jm g l ?s i n
2
1
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式中
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由角加速度的定义
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代入初始条件积分 得
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例 1 一飞轮半径为 0.2m,转速为 150r·min-1,因
受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动, 试求,（ 1）
角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（ 2）制动开
始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（ 3） t = 6 s 时飞轮边缘
上一点的线速度、切向加速度和法向加速度,
解 （ 1）,sr adπ5 1
0 ????
.0??t = 30 s 时，
设,飞轮做匀减速运动
00 ??
时，t = 0 s
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（ 2） s6?t 时，飞轮的角速度
11
0 sra dπ4sra d)66
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（ 3） s6?t 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
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该点的切向加速度和法向加速度
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Q
y
O
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例 2 有一大型水坝高 110 m、长 1000m，水深 100m，
水面与大坝表面垂直，如图所示, 求水作用在大坝上的
力，及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元
作用在此面积元上的力 yLA dd ?
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通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,
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OR
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例 4 一质量为,半径为 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
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在盘上取半径为,宽为
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所以
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圆环对轴的转动惯量
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例 5 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物
体 B 上, 滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计, 问：（ 1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（ 2） 物体 B 从
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Cm
再求线加速度及
绳的张力,
静止落下距离 时，
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若滑轮与轴承间的摩
擦力不能忽略，并设
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青岛科技大学 大学物理讲义
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青岛科技大学 大学物理讲义
例 6 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动, 由于此
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小
扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
动,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度,
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解 细杆受重力和
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作用，由转动定律得 NF
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