青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
这一阶段学习的主要内容有：
1,数学工具矢量分析
2,定义了位置矢量
位置矢量 的一阶导数为质点运动的速度rv vv
位置矢量 的二阶导数为质点运动的加速度rv av
在二维极坐标下的圆周运动，有：
re ???vv v
2
ra r e r e???? ? ?
v v v
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3,伽利略速度变换
u??? ?? 'vv
4,牛顿三大定律
5,动量定理（力的时间积累效应）
牛顿第二定律的变化形式 d d ( )F t m? vv v
定义动量 pm? vvv 定义冲量 dI F t? ?vv
动量定理：冲量等于动量的变化量
合外力为零时，系统的动量守恒
牛顿第二定律
d( d
d
)
d
mF m a p
tt
?? ?v
v vv v
0 'r r r??v v v
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6,动能定理（力的空间积累效应）
2d 1d d ( )
2
F mrm???? vv vvv
v v牛顿第二定律两边点乘 有dr
v
定义功 ddW F r??v v定义动能
21
2k
Em? v
动能定理：合 力对 系统 所作的功,等于系统动能的 增量
k1k2 EEW ??
功率
d
d
WPF
t
? ? ? v
v v
或者 dd kWE?
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7,功能原理
把系统内保守力所作的功从全部合力所作的功中
分离出来，动能定理变成：
0inncex EEWW ???
这就是 功能原理, 质点系机械能的增量等于外力和
非保守内力作功之和 。
()kpE E E??
定义保守力的势能,保守力所作的功
当
0inncex ?? WW 0EE ?
时,有
此时，系统的 机械能守恒
p 2 p 1 P()W E E E? ? ? ? ? ?
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8,碰撞
弹性碰撞：动量守恒、机械能守恒
完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能不守恒
9,刚体的转动定律
M r F??vvv定义力矩
把牛顿第二定律代入整理可以得到
转动定律 MJ ??v v
转动惯量 2 dJ r m? ?
与牛顿第二定律 比较。F m a?v v
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10,角动量定理（力矩的时间累积效应）
转动定律的变化形式 d d ( )M t J ??v v
定义角动量 LJ??v v
刚体定轴转动的 角动量定理
12
2
1
d ?? JJtMt
t
???
—— 冲量矩 等于角动量的增量,tMt
t d
2
1?
?
0M ?v L J C??? vv v，则若
这就是 角动量守恒定律
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2
1
2
2 2
1
2
1d2
1
???
?
?
JJMW ??? ?
刚体绕定轴转动的 动能定理
11,定轴转动的动能定理（力矩的空间累积效应）
?? 21 d?? ?MW
力矩的功
?? MtMtWP ??? dddd
力矩的 功率
转动动能 2
1
2k
EJ ??
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习题点评
青岛科技大学 大学物理讲义
物理学上册 27页习题 1－ 7。
解,已知质点的运动方程为 22 (1 9 2 )r t i t j? ? ?vvv
(1)参数方程为 2xt? 21 9 2yt??
消去参数 t 即得轨迹方程 21 9 0, 5 ( m )yx??
(2)平均速率
121
21
( ) ( ) 2 6 ( m s )r r t r t ij
t t t
???? ? ? ? ?
??
v
v v v vvv
(3)质点运动速度 d
24
d
r i tj
t
? ? ?v
v vvv
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质点运动加速度 4aj?? vv
时切向方向的单位矢量为1st ?
24
20t
ije ???v
v
vvv
v
切向加速度大小
28 ( m s )
5tt
a a e ?? ? ? ?vv
法向加速度大小
2 2 26 4 41 6 ( m s )
5 5nt
a a a ?? ? ? ? ? ?
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物理学上册 27页习题 1－ 14。
解,质点运动的矢量方程为
rr R e?vv
质点运
动速度
d
d
r
t
?v
vv d
d
Re
t ?
?? v
0()b t e???v
v
2
0 0, 5t b ts
RR
? ??? v
(1) 加速度
d
d
a
t
? v
vv
? ? 00 rbtb e b t eR? ?? ? ? ? ? vvvv
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(2) 加速度大小
? ? 422 0R b bt
a
R
??
?
v
ab? 时，有 0 /tb? v
(3) 此时转过的角度
s
R
? ?
2
0 0,5t b t
R
?? v 20
2bR
? v
转过的圈数
2
0
4
n
bR?
? v
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物理学上册 27页习题 1－ 11
解,分析 踢得太低，球
未到球门就已着地，踢高
一点，球刚好在球门处着
地，再踢高一点，球从球
门顶瑞进入，再高的话球
就无法进入球门了；但再往上踢，水平速度分量较小，球在落下
时又从球门顶瑞进入，角度再大一点，球从球门底瑞进
入。如果速度足够大，就存在两个区域的投射角；如果
速度较小，则有可能只有一个区域；速度太小了则不可
能直接射入球门。
由足球从球门
底瑞进入，有
2
0
1sin 0
2
t g t? ??v
0 c o s 2 5t? ?v
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1 25a r c sin
2 40 0
g? ? o1 1 8,8 9? ?
o2 71.11? ?
由足球从球门
顶瑞进入，有
2
0
1sin 3,4 4
2
t g t? ??v
0 c o s 2 5t? ?v ? ?2
2
2
0
1 2 52 5 ta n ta n 1 3, 4 4
2
g?? ?? ? ?
v
o3 27,92? ?
o4 69,9 2? ? oo1 8, 8 9 2 7, 9 2???
6 9, 9 2 7 1, 1 1???
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物理学上册 55页习题 2－ 7
解,取地面参考系（惯性参考系），有 f
v
f?v xdd,f m i f m i
tt
?????vvvv vv
,f f m g i??? ? ?vv v由于 上两式相加，得
ddmm????vv
积分，注意 0:,,0mm? ??v v v
得 0
m
mm
??
? ?vv
利用后面学的动
量守恒马上可得
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d
dm
f m g m a m
x
?? ? ? vv
有 ddgx??vv
积分即得
0
21
2
m
x
g m m?
???
? ??
? ???
v
设在达到共同的速度时,向前运动的距离为 xm
相似地，设在达到共同的速度时,向前运动的
距离为
m?x?
d
dm
m g m a m
x
? ? ?? ? ?? ? ? ?vv
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最后得 2
0
1
2
mx x x
g m m?
??
? ? ? ?
? ?
v
有 ddm g x m? ? ? ? ??? vv
? ?22 02 mx mg? ?? ?? v - v积分得
能不能以木板为参考系建立坐标系？
不能！它是非惯性系。
(如果以木板为参考系建立坐标系必须引入惯性力 )
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物理学上册 55页习题 2－ 11
fvNv
解,隔离物体进行受力分析
F f N??vvv rN e N e??? ? ?vv
2 ra R e R e ???? ? ?v v v
由牛顿第二定律得
2 d
dr
ee
Rt ?
? ? ?vvvv
d
d
Nm
t
??? v
2
Nm
R
? v
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由此得
2
d d t
R
???v
v 0 0
1 || tt
R
??v
vv
0
0
R
Rt?
?
?
vv
v(1) 积分后得
(2) 时 0
1
2
?vv
0
Rt
?
?
v
0
0
ddRst
Rt ?
?
?
v
v
0ln RtRs
R
?
?
?? vln 2R
?
?
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物理学上册 102页习题 3－ 5
y
xo
1vv
2vvddm S t?? v
解,考虑在 时间内流进（流
出）弯管的流体
dt
12 j? ? ?
vvvvv v v v i
由动量定理得弯管内流体受到的作用力
221d ( ) ()
d
mF S i j
t
??? ? ?vv v
vvv vv
弯管受力 2 ( ) 1800 ( )F S i j i j?? ? ? ? ? ? ?v v v v vv
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物理学上册 103页习题 3－ 9
Y
o
y解,建立如图所示的坐标系，绳子上任意一点 y落下到桌面上时，所需时间为 t，与
桌面碰撞的速度为,则有 gt?vv
在 dt 时间内有 dm 的绳子冲击桌面
d ( d ) dm t g t t??? ? ?v
由冲量定理，它对桌面的冲击力的大小为
22( d )
d
mF g t g t
t
??? ? ?v v
此时桌面绳子的重量为 22( 1 / 2)P y g g t????
显然桌面受力 3pF F P P? ? ?
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物理学上册 103页习题 3－ 13
Fv
x
y
o
L
? h
解,取如图所示的坐标系，以开
始时刻物体所在点为原点。有
o
o
o
7
30
o
3
2
11
5 1.69 ( )
si n 3
5 c os
dd
si n
0 si n 37
B
A
h
W F r
J
?
?
?
??
? ? ???
??
? ? ???
v v
5 ( c os si n )F i j????v vv
拉力所作
的功为：
ddr xi? vv
? ? ? ?2d d c tg / s in dx L h h? ? ?? ? ?
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物理学上册 104页习题 3－ 21
2kx m g? ?
解,如图所示，以弹簧自由状态点
为坐标原点，由 B恰能被提起，有 x
x?o A
B再根据机械能守恒，得
22
1
2
( 1 / 2) ( 1 / 2)k x k x m gh
k x m g
h x x
?? ??
?
? ??
? ???
?
x为弹簧的形变量，取正值。 A板需加的压力为
1 1 2()F k x m g m m g? ? ? ?
解得
1 1 2[ ( ) ] /x m m m g k? ? ?
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物理学上册 106页习题 3－ 32
0 c o s ( )m m m? ???vv
xy
0v
v
om
求得碰撞后的速度
0 c o s
m
mm
?? ?
?
vv
Nv
建立如图所示的坐标系，由
于合外力的 X分量为零，该
方向动量守恒，有
解,把子弹与物块看成一个
系统，碰撞过程中外力 不
能忽略，动量不守恒。
Nv
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M g h c tg M g h????
设物块滑出时的速度为,由动能定理得?v
2
22
02 c o s 2 ( c o t 1 )()
m
gh
mm
? ? ?? ? ? ?
??
vv得
令 m m M???
22( 1 / 2) ( 1 / 2)MM??? vv
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物理学上册 151页习题 4－ 11
解,进行如图所示的受
力分析，对重物 A,B，
利用牛顿第二定律，对
组合轮利用转动定律，
得
1T
1mg
2T
2mg
1T
2T
A B
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
()
m g T m a
T m g m a
T R T r J J ?
??
??
? ? ?
12aa
Rr
? ??
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由上方程组可以解出
12
1 22
1 2 1 2
()m R m r gRa
J J m R m r
??
? ? ?
12
2 22
1 2 1 2
()m R m r gra
J J m R m r
??
? ? ? 2
1 2 2 2
11 22
1 2 1 2
J J m R r m r
T m g
J J m R m r
? ? ?
?
? ? ? 2
1 2 1 1
22 22
1 2 1 2
J J m R r m r
T m g
J J m R m r
? ? ?
?
? ? ?
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这一阶段学习的主要内容有：
1,数学工具矢量分析
2,定义了位置矢量
位置矢量 的一阶导数为质点运动的速度rv vv
位置矢量 的二阶导数为质点运动的加速度rv av
在二维极坐标下的圆周运动，有：
re ???vv v
2
ra r e r e???? ? ?
v v v
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3,伽利略速度变换
u??? ?? 'vv
4,牛顿三大定律
5,动量定理（力的时间积累效应）
牛顿第二定律的变化形式 d d ( )F t m? vv v
定义动量 pm? vvv 定义冲量 dI F t? ?vv
动量定理：冲量等于动量的变化量
合外力为零时，系统的动量守恒
牛顿第二定律
d( d
d
)
d
mF m a p
tt
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v vv v
0 'r r r??v v v
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6,动能定理（力的空间积累效应）
2d 1d d ( )
2
F mrm???? vv vvv
v v牛顿第二定律两边点乘 有dr
v
定义功 ddW F r??v v定义动能
21
2k
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动能定理：合 力对 系统 所作的功,等于系统动能的 增量
k1k2 EEW ??
功率
d
d
WPF
t
? ? ? v
v v
或者 dd kWE?
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7,功能原理
把系统内保守力所作的功从全部合力所作的功中
分离出来，动能定理变成：
0inncex EEWW ???
这就是 功能原理, 质点系机械能的增量等于外力和
非保守内力作功之和 。
()kpE E E??
定义保守力的势能,保守力所作的功
当
0inncex ?? WW 0EE ?
时,有
此时，系统的 机械能守恒
p 2 p 1 P()W E E E? ? ? ? ? ?
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8,碰撞
弹性碰撞：动量守恒、机械能守恒
完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能不守恒
9,刚体的转动定律
M r F??vvv定义力矩
把牛顿第二定律代入整理可以得到
转动定律 MJ ??v v
转动惯量 2 dJ r m? ?
与牛顿第二定律 比较。F m a?v v
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10,角动量定理（力矩的时间累积效应）
转动定律的变化形式 d d ( )M t J ??v v
定义角动量 LJ??v v
刚体定轴转动的 角动量定理
12
2
1
d ?? JJtMt
t
???
—— 冲量矩 等于角动量的增量,tMt
t d
2
1?
?
0M ?v L J C??? vv v，则若
这就是 角动量守恒定律
青岛科技大学 大学物理讲义
2
1
2
2 2
1
2
1d2
1
???
?
?
JJMW ??? ?
刚体绕定轴转动的 动能定理
11,定轴转动的动能定理（力矩的空间累积效应）
?? 21 d?? ?MW
力矩的功
?? MtMtWP ??? dddd
力矩的 功率
转动动能 2
1
2k
EJ ??
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习题点评
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物理学上册 27页习题 1－ 7。
解,已知质点的运动方程为 22 (1 9 2 )r t i t j? ? ?vvv
(1)参数方程为 2xt? 21 9 2yt??
消去参数 t 即得轨迹方程 21 9 0, 5 ( m )yx??
(2)平均速率
121
21
( ) ( ) 2 6 ( m s )r r t r t ij
t t t
???? ? ? ? ?
??
v
v v v vvv
(3)质点运动速度 d
24
d
r i tj
t
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质点运动加速度 4aj?? vv
时切向方向的单位矢量为1st ?
24
20t
ije ???v
v
vvv
v
切向加速度大小
28 ( m s )
5tt
a a e ?? ? ? ?vv
法向加速度大小
2 2 26 4 41 6 ( m s )
5 5nt
a a a ?? ? ? ? ? ?
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物理学上册 27页习题 1－ 14。
解,质点运动的矢量方程为
rr R e?vv
质点运
动速度
d
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2
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(1) 加速度
d
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(2) 加速度大小
? ? 422 0R b bt
a
R
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v
ab? 时，有 0 /tb? v
(3) 此时转过的角度
s
R
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2
0 0,5t b t
R
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2bR
? v
转过的圈数
2
0
4
n
bR?
? v
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物理学上册 27页习题 1－ 11
解,分析 踢得太低，球
未到球门就已着地，踢高
一点，球刚好在球门处着
地，再踢高一点，球从球
门顶瑞进入，再高的话球
就无法进入球门了；但再往上踢，水平速度分量较小，球在落下
时又从球门顶瑞进入，角度再大一点，球从球门底瑞进
入。如果速度足够大，就存在两个区域的投射角；如果
速度较小，则有可能只有一个区域；速度太小了则不可
能直接射入球门。
由足球从球门
底瑞进入，有
2
0
1sin 0
2
t g t? ??v
0 c o s 2 5t? ?v
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1 25a r c sin
2 40 0
g? ? o1 1 8,8 9? ?
o2 71.11? ?
由足球从球门
顶瑞进入，有
2
0
1sin 3,4 4
2
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0 c o s 2 5t? ?v ? ?2
2
2
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6 9, 9 2 7 1, 1 1???
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物理学上册 55页习题 2－ 7
解,取地面参考系（惯性参考系），有 f
v
f?v xdd,f m i f m i
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?????vvvv vv
,f f m g i??? ? ?vv v由于 上两式相加，得
ddmm????vv
积分，注意 0:,,0mm? ??v v v
得 0
m
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利用后面学的动
量守恒马上可得
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d
dm
f m g m a m
x
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有 ddgx??vv
积分即得
0
21
2
m
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v
设在达到共同的速度时,向前运动的距离为 xm
相似地，设在达到共同的速度时,向前运动的
距离为
m?x?
d
dm
m g m a m
x
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最后得 2
0
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v
有 ddm g x m? ? ? ? ??? vv
? ?22 02 mx mg? ?? ?? v - v积分得
能不能以木板为参考系建立坐标系？
不能！它是非惯性系。
(如果以木板为参考系建立坐标系必须引入惯性力 )
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物理学上册 55页习题 2－ 11
fvNv
解,隔离物体进行受力分析
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由牛顿第二定律得
2 d
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由此得
2
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0
0
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v(1) 积分后得
(2) 时 0
1
2
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物理学上册 102页习题 3－ 5
y
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1vv
2vvddm S t?? v
解,考虑在 时间内流进（流
出）弯管的流体
dt
12 j? ? ?
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由动量定理得弯管内流体受到的作用力
221d ( ) ()
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弯管受力 2 ( ) 1800 ( )F S i j i j?? ? ? ? ? ? ?v v v v vv
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物理学上册 103页习题 3－ 9
Y
o
y解,建立如图所示的坐标系，绳子上任意一点 y落下到桌面上时，所需时间为 t，与
桌面碰撞的速度为,则有 gt?vv
在 dt 时间内有 dm 的绳子冲击桌面
d ( d ) dm t g t t??? ? ?v
由冲量定理，它对桌面的冲击力的大小为
22( d )
d
mF g t g t
t
??? ? ?v v
此时桌面绳子的重量为 22( 1 / 2)P y g g t????
显然桌面受力 3pF F P P? ? ?
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物理学上册 103页习题 3－ 13
Fv
x
y
o
L
? h
解,取如图所示的坐标系，以开
始时刻物体所在点为原点。有
o
o
o
7
30
o
3
2
11
5 1.69 ( )
si n 3
5 c os
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B
A
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5 ( c os si n )F i j????v vv
拉力所作
的功为：
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? ? ? ?2d d c tg / s in dx L h h? ? ?? ? ?
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物理学上册 104页习题 3－ 21
2kx m g? ?
解,如图所示，以弹簧自由状态点
为坐标原点，由 B恰能被提起，有 x
x?o A
B再根据机械能守恒，得
22
1
2
( 1 / 2) ( 1 / 2)k x k x m gh
k x m g
h x x
?? ??
?
? ??
? ???
?
x为弹簧的形变量，取正值。 A板需加的压力为
1 1 2()F k x m g m m g? ? ? ?
解得
1 1 2[ ( ) ] /x m m m g k? ? ?
青岛科技大学 大学物理讲义
物理学上册 106页习题 3－ 32
0 c o s ( )m m m? ???vv
xy
0v
v
om
求得碰撞后的速度
0 c o s
m
mm
?? ?
?
vv
Nv
建立如图所示的坐标系，由
于合外力的 X分量为零，该
方向动量守恒，有
解,把子弹与物块看成一个
系统，碰撞过程中外力 不
能忽略，动量不守恒。
Nv
青岛科技大学 大学物理讲义
M g h c tg M g h????
设物块滑出时的速度为,由动能定理得?v
2
22
02 c o s 2 ( c o t 1 )()
m
gh
mm
? ? ?? ? ? ?
??
vv得
令 m m M???
22( 1 / 2) ( 1 / 2)MM??? vv
青岛科技大学 大学物理讲义
物理学上册 151页习题 4－ 11
解,进行如图所示的受
力分析，对重物 A,B，
利用牛顿第二定律，对
组合轮利用转动定律，
得
1T
1mg
2T
2mg
1T
2T
A B
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
()
m g T m a
T m g m a
T R T r J J ?
??
??
? ? ?
12aa
Rr
? ??
青岛科技大学 大学物理讲义
由上方程组可以解出
12
1 22
1 2 1 2
()m R m r gRa
J J m R m r
??
? ? ?
12
2 22
1 2 1 2
()m R m r gra
J J m R m r
??
? ? ? 2
1 2 2 2
11 22
1 2 1 2
J J m R r m r
T m g
J J m R m r
? ? ?
?
? ? ? 2
1 2 1 1
22 22
1 2 1 2
J J m R r m r
T m g
J J m R m r
? ? ?
?
? ? ?
