第 2章 等效变换分析方法
2.1 无源单口网络的等效
2.2 含源单口网络的等效化简
2.3 电源转移法
2,4 T—? 变换
☆ 等效的概念,若单口网络 N1,N2的端口伏安关系（ VAR）
相同，则称单口网络 N1,N2对外电路来说是等效的。
N1 外 u
i
+
-
N2 外 u
i
+
-
☆ 二端网络 与 单口网络
☆ 无源二端网络, 内部没有有源元件的二端网络。
☆ 单口网络的伏安关系 (VAR)
等效 R
等效 = U / I
2,1 无源单口网络的等效
一个无源二端电阻网络可以用端口的输入电阻来
等效 。
无
源
+ U
_
I o
o o
R等效 + U _
I o
1,电路特点,
一,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 Rn
+ _ uk i + _ u1 + _ un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
KVL u= u1+ u2 +…+u k+…+u n
由欧姆定律 uk = Rk i ( k=1,2,…,n )
结论,
Req=( R1+ R2 +…+R n) =? Rk
u= (R1+ R2 +…+R k+…+ R n) i = Reqi
等效
串联 电路的 总电阻 等于各 分电阻之和。
2,等效电阻 Req
+ _
R1 Rn
+ _ uk i + _ u1 + _ un
u
Rk
u + _
Req
i
3,串联电阻上电压的分配
由
k k k
jj
u R i R
u R i R????
即 分压与电阻成正比
故有
uRRu
j
k
k ??
例,两个电阻分压,如下图
uRR Ru
21
1
1 ??
+
_
u
R1
R2
+
- u1
+
-
u2
i
o
o
o
+
_
u
R1
Rn
+
_ u1
+
_ un
i o
2
2
12
Ruu
RR? ?
4,功率关系
由 pk=Rki2 有,
p1,p2, ?, pn= R1, R2, ?,Rn
二、电阻并联 (Parallel Connection)
in
G1 G2 Gk Gn
i
+
u
i1 i2 ik
_
1,电路特点,
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
等效
由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ in
故有
i = G1u +G2 u + … +Gn u = (G1+G2+… +Gn) u
即 Geq= G1+G2+… +Gn =? Gk
或
1/Req=1/R1+1/R2+… +1/Rn=? 1/Rk
in
G1 G2 Gk Gn
i
+
u
i1 i2 ik
_
2,等效电阻 Req
+
u
_
i
Geq
Rin=1.3∥ 6.5∥ 13
由 G =1/1.3 + 1/6.5 + 1/13 = 1S
故 Rin=1/G=1?
3,并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk ??由 即 电流分配与电导成正比
知 iGGi
k
kk ??
对于两电阻并联，有
121
1 2 1 2
1/
1 / 1 /
RRi i i
R R R R????
R1 R2
i1 i2
i o
o
13? 1.3? 6.5? Rin=?
o
o
212
1 2 1 2
1/
1 / 1 /
RRi i i
R R R R????
4,功率关系
由 pk=Gku2 有,
p1,p2, ?, pn= G1, G2, ?,Gn
三,电阻的混联
要求,弄清楚串、并联的概念。
例,
R = 4∥ (2+3∥ 6) = 2 ?
R
计算举例,
2?
4?
3?
6?
o
o
R = (40∥ 40+30∥ 30∥ 30) = 30?
R
例,
40?
30?
30?
o
o
40?
40?
30? 30?
o
o
R
注,等电位点可以合并到一点。改画电路时不能改变
各节点与支路的连接关系。
例, 如图，求无穷级连电路 ab端的等效电阻。
Req
a
b
4? 4? 4? 4?
2? 2? 2? 2?
a
b
4?
2? Req Req
解,
2
4
2
eq
eq
eq
RR
R
?
??
?
2 2 3eqR ? ? ? （ ）
（负根舍去）
2 2 3eqR ? ? ?? （）
例,
解,① 分流方法
② 分压方法
RRIIII 2 312 81814121 1234 ??????????
V 3412 124 ??? UUU
RI 121 ?
V 3244 ???? RIU
RI 234 ??
求,I1,I4,U4 +
_ 2R 2R 2R 2R
R R I1 I2 I3 I4
12V
+
_ U4
+
_ U2
+
_ U1
_
例, 如图电路，求 i=?
i
1? 1?
1?
1?
10V
1? 1?
1? 1?
+
_ A
B
C
D
(a)
+
_ A(C)
B
D
0.5?
0.5?
0.5? 1?
1?
10V
i
(b)
+
_ A(C)
B
D
0.5?
0.5?
0.5? 1?
1?
10V
i
(b)
10V
+
_
i
0.5?
1.5?
1.5?
(c)
+
_ 3/8? 10V
1.5?
i
(d)
i=10/(1.5+0.375)=16/3A
例,惠斯登电桥的平衡条件
Ig
R1
R2
R3
R4
a
b
c
d U
s + -
解,
电桥平衡时,Ig=0,Ubd=0
故有 Uad=Uab,且 bd间即可看
作开路,也可看作短路
12
34
RR
RR?
即,R1R4=R2R3 (相对桥臂电阻乘积相等 ）
例, 求 a,b 两端的输入电阻 Rab (? ?1)
解,含受控源时通常用 外加电源法 求
输入电阻。可分为两种,
① 加压求流法
② 加流求压法
下面用 加流求压法 求 Rab
Rab=U/I=(1-? )R
当 ? <1,Rab>0，正电阻
正电阻
负电阻
u
i
U=(I-? I)R=(1?? )IR
当 ?>1,Rab<0，负电阻 (有源）
I
+
U
_
? I
a
b
R
o
o
I
四、含受控源时无源单口网络的等效电阻
例, 求 a,b 两端的输入电阻 Rab
解,设用加压求流法
a 4?
+
- 2u
2? u
+
-
b
-
U
+ I
0.5U
I-0.5U
对左回路列 KVL方程,
U=4(I-0.5U)+2U
即,U=4I
Rab=U/I=4?
a
b
Rab= 4?
说明,注意外加电源的 U,I 参考方向
工作点
1,实际电源的电压源模型
u
i
US
U
u=uS – Rs i
Rs,电源内阻
us,电源源电压
I
i
+
_ uS
Rs
+
u
_
uS=US（直流） 时，其 VAR曲线如下,
1,开路时 i=0,u=uoc=Us 开路电压 uoc
2,短路时 u=0,i=isc=Us /Rs 短路电流 isc
3,Rs =uoc/isc
一、实际电源的两种模型及其等效变换
2.2 含源单口网络的等效化简
工作点
2,实际电源的电流源模型
GU
u
i IS
U
I
i=iS – Gs u
iS=IS时，其 VAR曲线如下,
Gs,电源内电导
is,电源源电流
i
Gs
+
u _
iS
3,实际电源两种模型之间的等效变换
u=uS – Rs i i =iS – Gsu
i = uS/Rs– u/Rs
通过比较，得等效条件,Gs=1/Rs,iS=uS/Rs
i
Gs
+
u _
iS
i
+
_ uS
Rs
+
u
_
由电压源模型变换为电流源模型,
转换
转换
i
+
_ uS
Rs
+
u
_
i
+
_ RS iS
Rs
+
u
_
i
Rs
+
u _
iS
由电流源模型变换为电压源模型,
i
Rs
+
u _ ss
u
R
IS i
(2) 所谓的 等效 是对 外部电路 等效，对 内部电路 是不等效的。
注意,
开路的电流源模型中可以有电流流过并联电导 Gs。
电流源模型端口短路时,并联电导 Gs中无电流。
? 电压源模型端口短路时，电阻 Rs中有电流；
? 开路的电压源模型中无电流流过 Rs；
IS
i
Gs
iS
(1) 等效前后电压源的极性和电流源的方向。（如何判断？）
i Gs
i
iS o
o
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
二,几种典型电路的等效化简
1,理想电压源的串并联
串联,
uS=? uSk
( 注意参考方向 )
电压相同的电压源
才能并联，且每个
电源的电流不确定。
uSn
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_ uS
o
o
+
_ 5V
I
o
o
5V
+
_
+
_ 5V
I
o
o
并联,
2.理想电流源的串并联
可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向），
即 iS=? iSk 。
电流相同的理想电流源才能串联,并且每个电流
源的端电压不能确定。
串联,
并联,
iS1 iS2 iSk
o
o
iS
o
o
3,多个电压源模型串联
us1 us2 usn + - - + + -
R1 R2 Rn
us + -
R
s siuu? ? ? iR R? ?
4,多个电流源模型并联
is
G
G1 G
2 Gn
is1
is2
isn
s siii? ? ? iG G? ?
一个节点
思考,多个电压源模型并联（ 略 ）
Rs1
+
us1
-
Rs2
+
us2
-
Rn
n +
usn
-
is
Rs
Rs1
is1
Rs2
is2
Rsn
isn
Rs=Rs1//Rs2…//R sn
isi=usi/Rsi (i=1,2,…n)
is=∑isi
思考,多个电流源模型并联（ 略 ）
us1 us2 usn
- + - + - +
Rs1 Rs2 Rsn
is1
Rs1
is2
Rs2
isn
Rsn
us - +
Rs
usi=Rsiisi (i=1,2,…n)
us=∑usi
Rs=∑Rsi
5,与理想电压源直接并联的二端网络
+
_ uS
o
o
N u
i
+
-
+
_ uS
o
o
u
i
+
-
结论,与理想电压源直接并联的二端网络对外电
路来说可以视为不存在。
u=us
i 可为任意值
u=us
i 可为任意值
VAR,VAR,
6,与理想电流源直接串联的二端网络
结论,与理想电流源直接串联的二端网络对外电
路来说可以视为不存在。
i=is
u可为任意值
VAR,VAR,
is
N i
u
-
+ is
i
u
-
+
i=is
u可为任意值
三、应用举例
例, 求 I=?
5A 3?
4?
7?
2A
I
b
a
c
I=0.5A
+
_ 15v _
+
8v
7?
3?
I
4?
a
b
c
利用实际电源两种模型转换可以简化电路计算。
注意,化简时不能改变待求支路。
答案,U=20V
例, 如图，求 U=?
6A
+
_ U
5?
5?
10V
10V
a
b
+
_ U
5? 2A
6A 5?
b
a
+
_ U 5?
8A 5?
a
b
可视为
不存在
例, 如图，求 I=?
8A
10? 8? 16V
-
+
8?
6?
6A
a
b
I
c
d
8A
10? 8?
+ a
b
I
c
d
2A
8?
- 36V 6?
I 10?
+ a
b
c
d
- 36V 6?
6A
4?
10?
+ a
b
c
d
- 36V 6?
24V
4?
+
-
I
I=(24-36) /(4+6+10)=-0.6A
例, 如图，求 Uab=?
1A 1?
1V + -
2?
1A
2?
2?
4?
a
b
c
d
e
+
-
Uab
+ 1V -
2?
1A
2?
2?
4?
a
b
c
d
e
+
-
Uab
+ 1V -
2?
2?
2?
4?
a
b
c
d
e
+
-
Uab
2V
-
+
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
1V
-
+
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
1V
-
+
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
0.25A
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab 4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
+ - 3V
43 1, 2
( 4 2 4 )ab VU ? ? ???
思考：如图，求 ab间的最简等效电路
2A
10V + - 12?
12?
5?
a
b
2A
10V + - 12?
12?
5?
a
b
2A 5?
a
b
例,
注, 受控源和独立源一样可以进行两种模型的等效变换。
a
b
u R ?i
+
-
i
(a)
b
a
?iR
R
-
+
u
-
+
i
(b)
对 (a),端口 VAR为,u=R(i-?i)=(1- ?)Ri
对 (b),端口 VAR为,u=Ri-?iR=(1- ?)Ri
对 (a), (b),其端口 VAR相同,
故 (a), (b)对外电路等效
加压求流法或
加流求压法
求得等效电阻
例, 化简电路,
1.5k?
10V +
_ U
I o
o
另解,
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_ U
I o
o
10V
2k?
+
_ U
+ 500I - I
o
o
写端口 VAR,
U= -500I+2000I+10
即,
U= 1500I+10
利用 VAR作
出最简等效
+
_
5?
10V +
_ U
I o
o
U=3(2+I)+4+2I=10+5I
o
+
_ 4V
2?
+
_
U
+ - 3(2+I）
o I
U=3I1+2I1=5I1=5(2+I)=10+5I
2?
+
_ U
+ -
I1
3I1
2A o
o
I
例, 化简如下电路
注意,化简时一般不要改变受控源
的控制支路。若改变了控制支路，
则应保证被控制量大小不变
2.3 电源转移（分裂）法
u1 u2
+ +
- -
i1 i2 R1 R2
Us
+
-
(a)无伴电压源
u1 u2
+ +
- -
i1 i2 R1 R2
(b)电压源分裂
无伴电源,当理想电压源无串联电阻或理想电流源无
并联电阻时，称为无伴电源，此时无法直接使用实际
电源的两种模型间的等效变换进行化简，而需要用 电
源转移（分裂）法 。
分裂为
两点
u1
+
-
u2
+
-
i1 i2
Is
R1 R2
(c)无伴电流源 (d)电流源分裂
u1
+
-
u2
+
-
i1 i2
Is R
1 R2
Is
无电流
u1
+
-
u2
+
-
i1 i2
Is R
1 R2
Is
(e)电流源分裂结果
例, 如图电路,试用电源转移法求 Uac,
+
-
a b c
2A
1? 2?
3? 4? 6V
d
a c
2A
1? 2?
3? 4?
b′ b′
′
d
a c
2A
4/3?
d
+ - + -
0.75?
4.5V 4V
分裂电
压源
Uac=2× 0.75+4.5-4+2× 4/3
=14/3(V)
+
-
a b c
2A
1? 2?
3? 4? 6V
d
分裂电流源法
+
-
a b c
2A
1? 2?
3? 4? 6V
d
2A
+
-
a b c 1? 2?
3? 4? 6V
d
+ - + - 2V 4V
+
-
a b` c 1? 2?
3? 4? 6V
d
+ - + - 2V 4V
-
+
6V
b``
Uac=Uad+Udc=3Iad+4Idc=3× 2+4 × (-1/3)=14/3 (V)
思考 试用电源转移法求电流 I=?
+ -
-
+
4A
2? 4?
2? 2A 10V
5V
a b c
d
I
+ -
-
+
4A
2? 4?
2? 10V
5V
a b c
4A
d
2A
2A
I
-
+
2? 4?
2?
10V
3V
a b c
d
I
+ - + - 8V
+
-
4V
答案,I=3/8A
2,4 T—? 变换
无
源 °
°
°
三端无源网络,引出三个端钮的网络,
并且内部没有有源元件。
三端无源网络的两个例子,?, Y网络,
Y型（星型） 网络 ? 型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
下面是 ?, Y 网络的变形,
o o
o o
o
o
o
o
? 型网络 (? 型 ) T 型网络 (Y 型、星型 )
当 ? 型和 Y 型网络中的电阻满足一定的关系时，
它们是能够相互等效的。
等效的条件, ? 型和 Y 型网络中对应端口上 VAR相同。
下面推导其等效变换的条件
Y型接法, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?型 接法, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
R12 R31
R23
i3 ? i2 ?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R
1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+ –
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
(1) (2)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
由式 (2)解得,
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
(1) (3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得由 Y型 ??型 的变换结果,
??
?
??
?
??
?
1 2 2 3 3 1
12
3
1 2 2 3 3 1
23
1
1 2 2 3 3 1
31
2
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
类似可得到由 ?型 ? Y型 的变换结果,
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
上述结果可从原始方程出发导出, 也可由 Y型 ? ?型
的变换结果直接得到 。
iY i R= 接于端钮 的两电阻的乘积 三电阻之和
1
3 2
0
R1
R2 R3
R12
R23
R31
? — Y变换记忆图
ij Y R= R ij? 型网络电阻两两乘积之和接在与 相对端钮的电阻
?型 ? Y型,
Y型 ? ?型,
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
1 2 2 3 3 1
12
3
1 2 2 3 3 1
23
1
1 2 2 3 3 1
31
2
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
?型 ? Y型 Y型 ? ?型
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R? = 3RY
( 外大内小 )
1 3
注意,
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
应用：简化电路
例 1,桥 T 电路
4
5k?
2k? 3k?
5k? 4K? E
1 2 3
1k? 1.5k?
0.6k?
5k? E
4
1
2
3 0
4k?
12 31
1
12 23 31
23 12
2
12 23 31
31 23
3
12 23 31
25
1
2 3 5
32
0,6
2 3 5
53
1,5
2 3 5
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
RR
R
R R R
RR
R
R R R
RR
R
R R R
4
5k?
2k? 3k?
5k? 4K? E
1 2 3
5k?
E
1 3
4
4K?
2 3 3 5 5 2 3 1
55
2 3 3 5 5 2 3 1
22
2 3 3 5 5 2 3 1
33
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1 3 3 4 4 1
13
4
1 3 3 4 4 1
34
1
1 3 3 4 4 1
41
3
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
31
3 ?? 312 ??
31
5 ??
例 2,双 T 网络
Ω32
1Ω
2Ω
Ω31 1Ω
Ω21
2? 6?
4?
1? 3?
2?
Ω92 Ω32
Ω31
标准元件图
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
2.1 无源单口网络的等效
2.2 含源单口网络的等效化简
2.3 电源转移法
2,4 T—? 变换
☆ 等效的概念,若单口网络 N1,N2的端口伏安关系（ VAR）
相同，则称单口网络 N1,N2对外电路来说是等效的。
N1 外 u
i
+
-
N2 外 u
i
+
-
☆ 二端网络 与 单口网络
☆ 无源二端网络, 内部没有有源元件的二端网络。
☆ 单口网络的伏安关系 (VAR)
等效 R
等效 = U / I
2,1 无源单口网络的等效
一个无源二端电阻网络可以用端口的输入电阻来
等效 。
无
源
+ U
_
I o
o o
R等效 + U _
I o
1,电路特点,
一,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 Rn
+ _ uk i + _ u1 + _ un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
KVL u= u1+ u2 +…+u k+…+u n
由欧姆定律 uk = Rk i ( k=1,2,…,n )
结论,
Req=( R1+ R2 +…+R n) =? Rk
u= (R1+ R2 +…+R k+…+ R n) i = Reqi
等效
串联 电路的 总电阻 等于各 分电阻之和。
2,等效电阻 Req
+ _
R1 Rn
+ _ uk i + _ u1 + _ un
u
Rk
u + _
Req
i
3,串联电阻上电压的分配
由
k k k
jj
u R i R
u R i R????
即 分压与电阻成正比
故有
uRRu
j
k
k ??
例,两个电阻分压,如下图
uRR Ru
21
1
1 ??
+
_
u
R1
R2
+
- u1
+
-
u2
i
o
o
o
+
_
u
R1
Rn
+
_ u1
+
_ un
i o
2
2
12
Ruu
RR? ?
4,功率关系
由 pk=Rki2 有,
p1,p2, ?, pn= R1, R2, ?,Rn
二、电阻并联 (Parallel Connection)
in
G1 G2 Gk Gn
i
+
u
i1 i2 ik
_
1,电路特点,
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
等效
由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ in
故有
i = G1u +G2 u + … +Gn u = (G1+G2+… +Gn) u
即 Geq= G1+G2+… +Gn =? Gk
或
1/Req=1/R1+1/R2+… +1/Rn=? 1/Rk
in
G1 G2 Gk Gn
i
+
u
i1 i2 ik
_
2,等效电阻 Req
+
u
_
i
Geq
Rin=1.3∥ 6.5∥ 13
由 G =1/1.3 + 1/6.5 + 1/13 = 1S
故 Rin=1/G=1?
3,并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk ??由 即 电流分配与电导成正比
知 iGGi
k
kk ??
对于两电阻并联，有
121
1 2 1 2
1/
1 / 1 /
RRi i i
R R R R????
R1 R2
i1 i2
i o
o
13? 1.3? 6.5? Rin=?
o
o
212
1 2 1 2
1/
1 / 1 /
RRi i i
R R R R????
4,功率关系
由 pk=Gku2 有,
p1,p2, ?, pn= G1, G2, ?,Gn
三,电阻的混联
要求,弄清楚串、并联的概念。
例,
R = 4∥ (2+3∥ 6) = 2 ?
R
计算举例,
2?
4?
3?
6?
o
o
R = (40∥ 40+30∥ 30∥ 30) = 30?
R
例,
40?
30?
30?
o
o
40?
40?
30? 30?
o
o
R
注,等电位点可以合并到一点。改画电路时不能改变
各节点与支路的连接关系。
例, 如图，求无穷级连电路 ab端的等效电阻。
Req
a
b
4? 4? 4? 4?
2? 2? 2? 2?
a
b
4?
2? Req Req
解,
2
4
2
eq
eq
eq
RR
R
?
??
?
2 2 3eqR ? ? ? （ ）
（负根舍去）
2 2 3eqR ? ? ?? （）
例,
解,① 分流方法
② 分压方法
RRIIII 2 312 81814121 1234 ??????????
V 3412 124 ??? UUU
RI 121 ?
V 3244 ???? RIU
RI 234 ??
求,I1,I4,U4 +
_ 2R 2R 2R 2R
R R I1 I2 I3 I4
12V
+
_ U4
+
_ U2
+
_ U1
_
例, 如图电路，求 i=?
i
1? 1?
1?
1?
10V
1? 1?
1? 1?
+
_ A
B
C
D
(a)
+
_ A(C)
B
D
0.5?
0.5?
0.5? 1?
1?
10V
i
(b)
+
_ A(C)
B
D
0.5?
0.5?
0.5? 1?
1?
10V
i
(b)
10V
+
_
i
0.5?
1.5?
1.5?
(c)
+
_ 3/8? 10V
1.5?
i
(d)
i=10/(1.5+0.375)=16/3A
例,惠斯登电桥的平衡条件
Ig
R1
R2
R3
R4
a
b
c
d U
s + -
解,
电桥平衡时,Ig=0,Ubd=0
故有 Uad=Uab,且 bd间即可看
作开路,也可看作短路
12
34
RR
RR?
即,R1R4=R2R3 (相对桥臂电阻乘积相等 ）
例, 求 a,b 两端的输入电阻 Rab (? ?1)
解,含受控源时通常用 外加电源法 求
输入电阻。可分为两种,
① 加压求流法
② 加流求压法
下面用 加流求压法 求 Rab
Rab=U/I=(1-? )R
当 ? <1,Rab>0，正电阻
正电阻
负电阻
u
i
U=(I-? I)R=(1?? )IR
当 ?>1,Rab<0，负电阻 (有源）
I
+
U
_
? I
a
b
R
o
o
I
四、含受控源时无源单口网络的等效电阻
例, 求 a,b 两端的输入电阻 Rab
解,设用加压求流法
a 4?
+
- 2u
2? u
+
-
b
-
U
+ I
0.5U
I-0.5U
对左回路列 KVL方程,
U=4(I-0.5U)+2U
即,U=4I
Rab=U/I=4?
a
b
Rab= 4?
说明,注意外加电源的 U,I 参考方向
工作点
1,实际电源的电压源模型
u
i
US
U
u=uS – Rs i
Rs,电源内阻
us,电源源电压
I
i
+
_ uS
Rs
+
u
_
uS=US（直流） 时，其 VAR曲线如下,
1,开路时 i=0,u=uoc=Us 开路电压 uoc
2,短路时 u=0,i=isc=Us /Rs 短路电流 isc
3,Rs =uoc/isc
一、实际电源的两种模型及其等效变换
2.2 含源单口网络的等效化简
工作点
2,实际电源的电流源模型
GU
u
i IS
U
I
i=iS – Gs u
iS=IS时，其 VAR曲线如下,
Gs,电源内电导
is,电源源电流
i
Gs
+
u _
iS
3,实际电源两种模型之间的等效变换
u=uS – Rs i i =iS – Gsu
i = uS/Rs– u/Rs
通过比较，得等效条件,Gs=1/Rs,iS=uS/Rs
i
Gs
+
u _
iS
i
+
_ uS
Rs
+
u
_
由电压源模型变换为电流源模型,
转换
转换
i
+
_ uS
Rs
+
u
_
i
+
_ RS iS
Rs
+
u
_
i
Rs
+
u _
iS
由电流源模型变换为电压源模型,
i
Rs
+
u _ ss
u
R
IS i
(2) 所谓的 等效 是对 外部电路 等效，对 内部电路 是不等效的。
注意,
开路的电流源模型中可以有电流流过并联电导 Gs。
电流源模型端口短路时,并联电导 Gs中无电流。
? 电压源模型端口短路时，电阻 Rs中有电流；
? 开路的电压源模型中无电流流过 Rs；
IS
i
Gs
iS
(1) 等效前后电压源的极性和电流源的方向。（如何判断？）
i Gs
i
iS o
o
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
二,几种典型电路的等效化简
1,理想电压源的串并联
串联,
uS=? uSk
( 注意参考方向 )
电压相同的电压源
才能并联，且每个
电源的电流不确定。
uSn
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_ uS
o
o
+
_ 5V
I
o
o
5V
+
_
+
_ 5V
I
o
o
并联,
2.理想电流源的串并联
可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向），
即 iS=? iSk 。
电流相同的理想电流源才能串联,并且每个电流
源的端电压不能确定。
串联,
并联,
iS1 iS2 iSk
o
o
iS
o
o
3,多个电压源模型串联
us1 us2 usn + - - + + -
R1 R2 Rn
us + -
R
s siuu? ? ? iR R? ?
4,多个电流源模型并联
is
G
G1 G
2 Gn
is1
is2
isn
s siii? ? ? iG G? ?
一个节点
思考,多个电压源模型并联（ 略 ）
Rs1
+
us1
-
Rs2
+
us2
-
Rn
n +
usn
-
is
Rs
Rs1
is1
Rs2
is2
Rsn
isn
Rs=Rs1//Rs2…//R sn
isi=usi/Rsi (i=1,2,…n)
is=∑isi
思考,多个电流源模型并联（ 略 ）
us1 us2 usn
- + - + - +
Rs1 Rs2 Rsn
is1
Rs1
is2
Rs2
isn
Rsn
us - +
Rs
usi=Rsiisi (i=1,2,…n)
us=∑usi
Rs=∑Rsi
5,与理想电压源直接并联的二端网络
+
_ uS
o
o
N u
i
+
-
+
_ uS
o
o
u
i
+
-
结论,与理想电压源直接并联的二端网络对外电
路来说可以视为不存在。
u=us
i 可为任意值
u=us
i 可为任意值
VAR,VAR,
6,与理想电流源直接串联的二端网络
结论,与理想电流源直接串联的二端网络对外电
路来说可以视为不存在。
i=is
u可为任意值
VAR,VAR,
is
N i
u
-
+ is
i
u
-
+
i=is
u可为任意值
三、应用举例
例, 求 I=?
5A 3?
4?
7?
2A
I
b
a
c
I=0.5A
+
_ 15v _
+
8v
7?
3?
I
4?
a
b
c
利用实际电源两种模型转换可以简化电路计算。
注意,化简时不能改变待求支路。
答案,U=20V
例, 如图，求 U=?
6A
+
_ U
5?
5?
10V
10V
a
b
+
_ U
5? 2A
6A 5?
b
a
+
_ U 5?
8A 5?
a
b
可视为
不存在
例, 如图，求 I=?
8A
10? 8? 16V
-
+
8?
6?
6A
a
b
I
c
d
8A
10? 8?
+ a
b
I
c
d
2A
8?
- 36V 6?
I 10?
+ a
b
c
d
- 36V 6?
6A
4?
10?
+ a
b
c
d
- 36V 6?
24V
4?
+
-
I
I=(24-36) /(4+6+10)=-0.6A
例, 如图，求 Uab=?
1A 1?
1V + -
2?
1A
2?
2?
4?
a
b
c
d
e
+
-
Uab
+ 1V -
2?
1A
2?
2?
4?
a
b
c
d
e
+
-
Uab
+ 1V -
2?
2?
2?
4?
a
b
c
d
e
+
-
Uab
2V
-
+
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
1V
-
+
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
1V
-
+
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
0.25A
4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab 4?
2?
4?
a
b e
+
-
Uab
+ - 3V
43 1, 2
( 4 2 4 )ab VU ? ? ???
思考：如图，求 ab间的最简等效电路
2A
10V + - 12?
12?
5?
a
b
2A
10V + - 12?
12?
5?
a
b
2A 5?
a
b
例,
注, 受控源和独立源一样可以进行两种模型的等效变换。
a
b
u R ?i
+
-
i
(a)
b
a
?iR
R
-
+
u
-
+
i
(b)
对 (a),端口 VAR为,u=R(i-?i)=(1- ?)Ri
对 (b),端口 VAR为,u=Ri-?iR=(1- ?)Ri
对 (a), (b),其端口 VAR相同,
故 (a), (b)对外电路等效
加压求流法或
加流求压法
求得等效电阻
例, 化简电路,
1.5k?
10V +
_ U
I o
o
另解,
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_ U
I o
o
10V
2k?
+
_ U
+ 500I - I
o
o
写端口 VAR,
U= -500I+2000I+10
即,
U= 1500I+10
利用 VAR作
出最简等效
+
_
5?
10V +
_ U
I o
o
U=3(2+I)+4+2I=10+5I
o
+
_ 4V
2?
+
_
U
+ - 3(2+I）
o I
U=3I1+2I1=5I1=5(2+I)=10+5I
2?
+
_ U
+ -
I1
3I1
2A o
o
I
例, 化简如下电路
注意,化简时一般不要改变受控源
的控制支路。若改变了控制支路，
则应保证被控制量大小不变
2.3 电源转移（分裂）法
u1 u2
+ +
- -
i1 i2 R1 R2
Us
+
-
(a)无伴电压源
u1 u2
+ +
- -
i1 i2 R1 R2
(b)电压源分裂
无伴电源,当理想电压源无串联电阻或理想电流源无
并联电阻时，称为无伴电源，此时无法直接使用实际
电源的两种模型间的等效变换进行化简，而需要用 电
源转移（分裂）法 。
分裂为
两点
u1
+
-
u2
+
-
i1 i2
Is
R1 R2
(c)无伴电流源 (d)电流源分裂
u1
+
-
u2
+
-
i1 i2
Is R
1 R2
Is
无电流
u1
+
-
u2
+
-
i1 i2
Is R
1 R2
Is
(e)电流源分裂结果
例, 如图电路,试用电源转移法求 Uac,
+
-
a b c
2A
1? 2?
3? 4? 6V
d
a c
2A
1? 2?
3? 4?
b′ b′
′
d
a c
2A
4/3?
d
+ - + -
0.75?
4.5V 4V
分裂电
压源
Uac=2× 0.75+4.5-4+2× 4/3
=14/3(V)
+
-
a b c
2A
1? 2?
3? 4? 6V
d
分裂电流源法
+
-
a b c
2A
1? 2?
3? 4? 6V
d
2A
+
-
a b c 1? 2?
3? 4? 6V
d
+ - + - 2V 4V
+
-
a b` c 1? 2?
3? 4? 6V
d
+ - + - 2V 4V
-
+
6V
b``
Uac=Uad+Udc=3Iad+4Idc=3× 2+4 × (-1/3)=14/3 (V)
思考 试用电源转移法求电流 I=?
+ -
-
+
4A
2? 4?
2? 2A 10V
5V
a b c
d
I
+ -
-
+
4A
2? 4?
2? 10V
5V
a b c
4A
d
2A
2A
I
-
+
2? 4?
2?
10V
3V
a b c
d
I
+ - + - 8V
+
-
4V
答案,I=3/8A
2,4 T—? 变换
无
源 °
°
°
三端无源网络,引出三个端钮的网络,
并且内部没有有源元件。
三端无源网络的两个例子,?, Y网络,
Y型（星型） 网络 ? 型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
下面是 ?, Y 网络的变形,
o o
o o
o
o
o
o
? 型网络 (? 型 ) T 型网络 (Y 型、星型 )
当 ? 型和 Y 型网络中的电阻满足一定的关系时，
它们是能够相互等效的。
等效的条件, ? 型和 Y 型网络中对应端口上 VAR相同。
下面推导其等效变换的条件
Y型接法, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?型 接法, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
R12 R31
R23
i3 ? i2 ?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R
1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+ –
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
(1) (2)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
由式 (2)解得,
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
(1) (3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得由 Y型 ??型 的变换结果,
??
?
??
?
??
?
1 2 2 3 3 1
12
3
1 2 2 3 3 1
23
1
1 2 2 3 3 1
31
2
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
类似可得到由 ?型 ? Y型 的变换结果,
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
上述结果可从原始方程出发导出, 也可由 Y型 ? ?型
的变换结果直接得到 。
iY i R= 接于端钮 的两电阻的乘积 三电阻之和
1
3 2
0
R1
R2 R3
R12
R23
R31
? — Y变换记忆图
ij Y R= R ij? 型网络电阻两两乘积之和接在与 相对端钮的电阻
?型 ? Y型,
Y型 ? ?型,
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
1 2 2 3 3 1
12
3
1 2 2 3 3 1
23
1
1 2 2 3 3 1
31
2
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
?型 ? Y型 Y型 ? ?型
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R? = 3RY
( 外大内小 )
1 3
注意,
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
应用：简化电路
例 1,桥 T 电路
4
5k?
2k? 3k?
5k? 4K? E
1 2 3
1k? 1.5k?
0.6k?
5k? E
4
1
2
3 0
4k?
12 31
1
12 23 31
23 12
2
12 23 31
31 23
3
12 23 31
25
1
2 3 5
32
0,6
2 3 5
53
1,5
2 3 5
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
RR
R
R R R
RR
R
R R R
RR
R
R R R
4
5k?
2k? 3k?
5k? 4K? E
1 2 3
5k?
E
1 3
4
4K?
2 3 3 5 5 2 3 1
55
2 3 3 5 5 2 3 1
22
2 3 3 5 5 2 3 1
33
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1 3 3 4 4 1
13
4
1 3 3 4 4 1
34
1
1 3 3 4 4 1
41
3
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
31
3 ?? 312 ??
31
5 ??
例 2,双 T 网络
Ω32
1Ω
2Ω
Ω31 1Ω
Ω21
2? 6?
4?
1? 3?
2?
Ω92 Ω32
Ω31
标准元件图
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
